2023-2024学年高考数学专项复习-压轴题（含答案）

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题

决胜2024年高考数学专项特训:压轴题

，、12

c,g(x)=—x+X

1.已知函数〃x)__2xlnx,2.

⑴求/(x)的极值;

(2)证明：当工>1时，/(x)+g(x)>0.(参考数据：In2。0.69)

/(x)=—x2-x\nx+t(teR)

2.已知函数2

(l)g(x)是/(无)的导函数，求g(x)的最小值;

…J<e

(2)证明：对任意正整数都有(其中e为自然

对数的底数)；

⑶若X'-xInx+(2-4)x-12°恒成立，求实数。的取值范围.

3.已知函数/G)=e一渡，曲线,=在。,”1))处的切线方程为,量力］

⑴求“力的值：

⑵求,(X)在［°，”上的最值；

(3)证明：当x>0时，6工+(1-e..xlnxNO

4.已知函数/(x)=flnr+a(x+l),fleR

⑴若。=1,求函数/GO的单调区间；

(2)右关于*的不等式/(x)W2a在［2,+8)上恒成立，求o的取值范围.

(3)若实数b满足。<一/+1且6>1,证明/(x)<l-21n〃

E:--H--——1(Q>6>0)---M(yfl1、

5.椭圆〃b2的离心率是2,点C1是椭圆E上一点，过点

夕(°」)的动直线/与椭圆相交于"，8两点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求”08面积的最大值；

QA_PA

(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点尸不同的定点°,使3恒成立？存在,

求出点°的坐标；若不存在，请说明理由.

6.已知函数""Lx""",g(x)="x)-2"eR)

(1)当a=0时，

(i)求曲线丁=/(')在点(2J。))处的切线方程；

(ii)求/(X)的单调区间及在区间1e'」上的最值；

(2)若对"'€(1，+8),gG)<°恒成立，求.的取值范围.

211

7.抛物线""宣j与X轴交于"6°),8(8，°)两点，与y轴交于点C,直线

歹=区-6经过点也点尸在抛物线上，设点尸的横坐标为

(2)如图1,连接NC,AP,PC,若A4PC是以CP为斜边的直角三角形，求点尸的坐标;

⑶如图2,若点尸在直线BC上方的抛物线上，过点尸作尸。1BC,垂足为0,求

CQ+-PQ

2的最大值.

8.已知集合/={123/一，2〃}(">0,对于人的一个子集s,若存在不大于〃的正整数叫

使得对S中的任意一对元素卬$2,都有卜1-52上加，则称S具有性质尸.

(1)当〃=10时，试判断集合8={xe/1x>9MC={xe/|x=3"l#eN}是否具有性质产？

并说明理由；

(2)当时,=1010,若集合S具有性质产，

①判断集合？={202171xeS}是否一定具有性质尸？并说明理由；

②求集合中S元素个数的最大值.

9.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究了="/(〃>0)型抛物线图象.发现：如图1所

示，该类型图象上任意一点M到定点4J的距离|吹|,始终等于它到定直线

'4a上的距离1MAi(该结论不需要证明)，他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/

1

y------

为图象的准线，4a叫做抛物线的准线方程.其中原点。为的中点，

\FH\=2\OF\y=—x2尸Z:y=--

2“例如，抛物线2,其焦点坐标为I2),准线方程为-2.其中

\MF\=\MN\,\FH\=2\OH\=1

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线夕=2—的焦点坐标和准线/的方程；

y=-x2

(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线.8上一点尸到准线/的距离为6,求点P的坐

标;

(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线，=如2">°)的焦点厂的直线依次交抛物线及准

线/于点月、BC,若忸。=2网，朋=4求0的值;

(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”

问题：点C将一条线段分为两段/C和C3,使得其中较长一段/C是全线段与另一

AC_BCV|-l

段C8的比例中项，即满足：ABAC2,后人把这个数称为“黄金分割”，把

y=—X2

点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线4的焦点/(°，1),准线/与>轴

交于点£为线段近的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当

皿行

\MF\时，求出的面积值.

C----=1(62>0,Z)>0)^

10.已知双曲线«b2的一条渐近线方程的倾斜角为6A0O°,焦距为4.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)/为双曲线C的右顶点，为双曲线C上异于点/的两点，且

①证明：直线龙W过定点；

②若M，N在双曲线的同一支上，求A/MN的面积的最小值.

11.设圆。的弦PQ的中点为过点M任作两弦/瓦冲，弦/。与分别交P。于点

(1)试用解析几何的方法证明：”为石尸的中点;

⑵如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？

12.定义在R上的函数/(*)满足：①对V』，x2eR,当尤1*超时，总有

[/a)-/5)]a-X2)>0；②对VxeR,/(“X)-9-3)13.

⑴求“x)；

/■6)+("1)3』

⑵若对任意-，*2,WeR,均存在以了(项)，/。2)

/(X3)

为三边长的三角形，求实数后的取值范围.

13.对于数集'={一1，*，X2，-一,％}("22为给定的正整数)，其中0<玉气<…<x"，如果

对任意“SeX,都存在GdeX,使得这+仄/=。，则称X具有性质P

0<x<—

⑴若2,且集合〔2J具有性质产，求x的值；

(2)若X具有性质P,求证：leX；且若%>1成立，则玉=1；

(3)若X具有性质产，且%=2023,求数列和孙…，毛的通项公式.

14.已知/Oe、*,/'(x)是/(x)的导函数,其中—R.

(1)讨论函数/'(X)的单调性；

⑵设g3="x)+x(eT)+al,尸g。)与、轴负半轴的交点为点尸，尸g。)在点?

处的切线方程为户'(X).

①求证：对于任意的实数X,都有g(x)N〃(x)；

②若关于X的方程g(x)='C>°)有两个实数根且看<2证明：

z(l-2e)

—X]W1+

1-e

“I一，u|x=—

15.在平面直角坐标系》伽中，一动圆经过点12J且与直线2相切，设该动圆圆心

的轨迹为曲线K,P是曲线K上一点.

⑴求曲线K的方程；

(2)过点/且斜率为左的直线/与曲线K交于8、C两点，若〃/。尸且直线。尸与直线％=1交

网

于。点.求的值；

⑶若点。、E在y轴上，D尸DE的内切圆的方程为卜一1)+/=1,求口PDE面积的最小值.

22(八(八

XV耳(1,1),6(0,1),6-1.,41.

=1(。＞6〉0)

16.已知椭圆C：四点IJIJ中恰有三

点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线/不经过巳点且与C相交于/，8两点，若直线8/与直线的斜率的和为-1,

证明：/过定点.

(3)如图，抛物线M：V=4x的焦点是尸，过动点G(TJ)的直线人与椭圆。交于p,。两点,

与抛物线M交于4月两点，且G是线段P。的中点，是否存在过点尸的直线4交抛物线M

于7,。两点，且满足47〃片。，若存在，求直线4的斜率后的取值范围；若不存在，说明

理由.

17.已知函数/(x)=lnx-〃zx(加为常数).

(1)当机=1时，求曲线了=/0)在点(1J。))处的切线方程；

、3行

m之---2

⑵当-2时，设函数g(x)=2/(x)+x的两个极值点3，％®＜三)恰满足关系式

In土

b=——y=^-x2)(------6)

再一工2,求尤1+尤2的最小值.

18.给定正整数后，m,其中24加4左，如果有限数列｛“"｝同时满足下列两个条件.则称

｛%｝为（匕⑼一数列.记⑸⑼-数列的项数的最小值为G@,m）.

条件①：总｝的每一项都属于集合｛I2…眉；

条件②：从集合AZ…上｝中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是业■｝的子列.

注：从｛“」中选取第力项、第4项....第彳项（2—八）形成的新数列

唯，%•••，殁称为｛%｝的一个子列.

（1）分别判断下面两个数列，是否为（3,3）一数列.并说明理由！

数列4:123,L2,3,1,2,3.

数列4-1,2,3,2,1,3,1

（2）求G&2）的值;

“，、k2+3k-4

G（k,k）＞---------

⑶求证2.

答案:

2

1.(1)极大值为无极小值

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解;

F(x)=/(x)+g(x)=—x2+jc-2xlnx(x>1)

(2)构造函数27,利用导数求出函数的最小值，再

p、n—x+1-2Inx>0(x>1)

证明几n>u即可或者转换不等式为2,通过构造函数可得证.

【详解】(1)/(X)的定义域为(°，+◎,r(x)=-2(l+lnx),

当°”、时,小)>0,当时，/'(x)<0,

所以函数,(X)在0,-—,+co

e上单调递增，在上单调递减,

_£

故/(%)在“="处取得极大值

2

所以“刈的极大值为e,无极小值；

F(x)=/(x)+g(x)=^-x2+x-2xlnx(x>1)

解法一：则尸(x)=x-21nx-l,

2x-2

.令/?(无)=x-21nx-l(x>l)/?，W=l--=^—

当l<x<2时，"(x)<0,力(x)单调递减，当x>2时，h\x)>0；〃(x)单调递增,

又〃⑵=1—ln4<0,〃(1)=0,〃(4)=3—21n4>0,

所以存在“"亿4),使得以％)=0,gpxo-21nxo-l=O,

当时，〃(x)<0,即尸'(x)<0,尸(x)单调递减,

当时，〃(x)>0,即/'(x)>0,尸(x)单调递增,

所以当x>l时，"x)在x=x。处取得极小值，即为最小值,

11

F(x)>F(x)=-x2+x(l-21nx)=--x2+2x

故02000200

设。(％)=-*+2?因为/e(2,4),

p(jc)=—xi+2x

由二次函数的性质得函数n2n在(2,4)上单调递减，

故。(％)>。(4)=0,

所以当X〉1时,尸(x)>0,即/(x)+g(x)>0.

解法二：要证尸(M>°,即证27,

因为P。)一5J2x6>1),所以当xe(l,4)时，p(x)<0>°(x)单调递减，

当xe(4,+")时，〃(x)>0,p(x)单调递增，

所以p(x"p(4)=2+l_21n4=3-41n2>0,所以尸(x)>0,即/(x)+g(x)>0.

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(“)(或/(*)(g(x))转化为证明

/G)-g(x)>。(或/GO-g(x)<。),进而构造辅助函数2)=/3-g”

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.(1)°

(2)证明详见解析

⑶aV2

【分析】(1)利用导数求得gG)的最小值.

(2)根据(1)的结论得到<")"一，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.

(3)由不等式x'-xlnx+(2-a)x-12°分离参数。，利用构造函数法，结合导数求得。的取

值范围.

f(x}=—x2-xlnx+t(tGR,x>0)

【详解】(1)依题意，2

所以g(x)=/'(x)=x-(lnx+l)=x-lnx-l(x>0)

SG)=l丁丁,所以g(x)在区间(°」)上g'(x)<°，g(x)单调递减;

在区间（L+°°）上g'（x）>°，g（X）单调递增，

所以当x=l时g（x）取得最小值为g（l）=lTnl-l=O.

（2）要证明：对任意正整数〃（〃22）,都有〔Timm

1+J<lne

+ln"

+…++

即证明

由(1)得/'(x)=g(x)»g(l)=O,gpx-lnx-l>O,lnx<x-l

元=1+二,"22,"eN*+41+3-1=3

令n-，所以I〃J犷"，

+山l+f111

所以

11111111i

<----1-----F…+------=1---1-----F•••H---------i/]

1x22x3(H-1)H223n-\n~n

所以对任意正整数〃（心2）,都有+*上，

(3)若不等式x*_xlnx+(2-a)x_lWO恒成立，此时x>0,

xx-x]nx+2x-l

a<---------------

则X恒成立，

zx_xx-xlnx+2x-l

令⑺一,

人〃(x)=e*-x-1(x>O),M(x)=ex-1>0

所以"(x)在区间他+动上单调递增，

xx

所以“(x)>e°-O-l=O,e-x-l>O,e>x+l当x=0时等号成立,

,z、exln'-xln^+2x-lxlnx+l-xlnx+2x-l,

h(x)=---------------->--------------------=2

所以XX

当xlnx=O,x=l时等号成立，所以a<2.

利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数/（X）进行求导，得到它的导函数/（X）.导函数

表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程/'(x)=°,找到使得导

数为零的点，这些点被称为临界点，可能是函数的极值点(包括最大值和最小值)，检查每个

临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.

3.b=e-2

⑵/(X)max=e[/Wmin=l

(3)证明见解析

【分析】(1)利用切点和斜率列方程组，由此求得0涉.

(2)利用多次求导的方法求得,(X)在区间网11上的单调性，由此求得/(X)在[°闺上的最值.

(3)先证明x>0时，/(x)“e-2)x+l,再结合口)转化为e*+(2-e)x-l2xlnx+x,从

而证得不等式成立.

【详解】(1)/'(x)=e.2ax,

1/'0)=e-2a=6

」/(l)=e-"6+1,解得i=i,』-2；

⑵由⑴得："x)=e=x2,

f'(x)=ex-2x令"x)=e'_2x则如尸一

'(X)是增函数，令"(x)=°解得X=ln2.

hG),也即尸(X)在山2)上〃(x)<0,力(x)单调递减,

在(ln2,+8)上〃(x)>0,h(x)单调递增，

,h(In2)=f(ln2)=2-21n2>0,J(x)在“递增，

.../Ox=/⑴=eT；=/(0)=l；

(3)由(2)得/(X)过(LeT),

且了=10)在x=l处的切线方程是>=伞一2六+1,

故可猜测x>0且xwl时，/(X)的图象恒在切线了二G一2卜+1的上方，

下面证明x>0时，/(x)“e-2)x+l,设g(x)=/(x)_(e-2)x-l,(x>0),

...g'(x)=e*-2x-(e-2),令他(x)=g'(x)=e*-2x-(e-2),

*(%)=ex-2

由(2)得：8'3在(°1112)递减，在g,+8)递增,

..g'(0)=3-e>0g'(l)=O<ln2<l,^(M<0

•，，0f，

...存在x°e(O，l),使得g'(x)=°,

...xe(0,Xo)u(l,+co)时，g'(x)>0,xe(xo，l)时，g'(x)<0,

故g(x)在(O，%)递增，在(%」)递减，在&+°0)递增.

又g(O)=g(l)=O,..苫卜展。当且仅当x=l时取“=，，,g(x)=ejr-x2-(e-2)x-l>0

ex+(2-e)x-l

故x-x,x>0,由⑵得：ex>x+l,故x»ln(x+l),

ex+(2-e)x-l

-------------->x>lux+1

...x-lNlnx,当且仅当％=1时取，i,x,

QX+(2—e)x—1

gp->lnx+1.e%+(2—e)x-1>xlnx+x

即e"+(1-e)x-xlnx-1"成立，当且仅当％=i时“=，，成立.

求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一

次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒

成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.

4.⑴单调增区间为(°』)，单调减区间为a+8)；

(2)(-*21n2]

(3)证明见解析

【分析】(1)求导，再根据导函数的符号即可得解；

,xlnxxInx_

a<----g(zx)x=-----,x>2

(2)分离参数可得x-l,构造函数x-1,利用导数求出函数的最小

值即可得解；

(3)由得。-1<-方2,贝|」/(》)4/(6"7)=61+。<—"-62+1,要证

小)<1-21而，即证e"_/+i<i_2in/,即证/+2M6-6<0,构造函数

〃(x)=(21nx-x)e，(x>l),证明即可

【详解］(1)当°=1时，/(x)=_xlnx+x+l,x>0,

/(x)=-lnx；由/(x)>0,得0<x<l,由/''(x)<0,得x>l,

故/G)的单调增区间为(°』)，单调减区间为&+00):

---f(x)<2a,:.a<

⑵V7"In",

xlnx、八

入g(x)=-■------,x>2

令x-1

x-1-Inx

g'(x)=

则(1)2,

|1一V

令()=lnx-x+l,贝/3==1=?，

由f'(x)>0,得0<x<l,由f'(x)<。,得，>1,

故O在(0J)递增,在(1，+°°)递减，®)max=/(l)=。,

/.t(x)<0所以InxWx-l,

00

二•g(工)>°送(、)在［2，+)上单调递增，「遭(%)血11=8(2),

/.a<g(2)=2In2

二°的取值范围(一叫21n2］；

(3)/+1,-1<—Z)2

又/(x)-/(e°i)=e"1+ay=ca】+Q在QWR上递增,

所以/(x)W/(ea-1)=e"T+a<e^-^+l,

下面证明：-b2+l<\-2lnb2,

-+2\nb2-b2<0

即证e",

----F2Inx-x<0

令x=b>1,则e、,

即(21nx-x)-ex<-l

令Mx)=(21nxr)e%x>l),则

222-fx-lY-1

(p(x)=2lnx-x+——l(x>l)(p(x)=——1y=―/—<O(x>l)

令X，则XXX,

...函数。(x)在(1，+8)上单调递减，

•••夕(X)<夕⑴=0,

.•.”3<0,/心)在(1,+00)递减，

/z(x)</z(l)=-e<-1

所以21加.

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)(g(x))转化为证明

/(x)-g(x)>0(或/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数“x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22

工+匕=1

5.(1)42

(2)也

(3)存在,°(").

【分析】(1)由离心率及过点“6"列方程组求解“力.

S_J_.I

(2)设直线/为了=息+1与椭圆方程联立，将"0*一2"121表达为上的函数，由基本不

等式求最大值即可.

(3)先讨论直线水平与竖直情况，求出°(°2),设点8关于〉轴的对称点"，证得

PA

PB

0,4"三点共线得到QB成立.

c_V|

a2r

<Q2=Tb2.+c26Z=4

2仔=2x2

【详解】⑴根据题意，得田b-,解得1,一，椭圆C的方程为42

（2）依题意，设/（再，必）*（々，%）,直线/的斜率显然存在，

y=kx+\

<J+y2Tz2

故设直线/为尸丘+1,联立E万一，消去九得（1+23”+4米-2=0

_4k2

因为直线/恒过椭圆内定点尸（°」），故A>°恒成立，西+七一|+2小卒2-]+2左2,

VLJ1+4左2

S"OB-4x

-1+2P-

故3（一3）

S.AOB=叵X；：]=也*2]£72

令t="+4kJ21,所以'+/,当且仅当（=1,即左=0时取得

等号，

综上可知：003面积的最大值为行.

（3）当/平行于x轴时，设直线与椭圆相交于°，°两点，如果存在点°满足条件，

\QC\

\PC\ZA

则有311尸。,即1。。卜1。必,所以。点在了轴上，可设。的坐标为（°，为）；

当/垂直于X轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点。满足条件，

%一^72-1

\QM\JPM\——

则有3「网|,即％+C"+1,解得%=1或%=2,

所以若存在不同于点尸的定点。满足条件，则点。的坐标为（°'2）；

当/不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线1方程为了=履+1,

-4左—2

由（2）知一1+2产-1+2产，

又因为点B关于V轴的对称点B'的坐标为（一%，％）,

左“="2="匚=左一1人=及二2=铝二1=一左+1_

又X]%!M-X2-X2x2

则――J

\QA\\QAx,PA

所以则。,48’三点共线，所以|。0\QB'超PB

QA_PA

综上：存在与点尸不同的定点。，使308恒成立，且°(0,2).

—+2-=1

方法点睛：直线Nx+8y+C=°与椭圆/b2交于M，N,当且仅当

ab

a2/2+/82_2c2=0时，SMON取得最大值2.

6.(1)(i)3x+2j-21n2-2=0.(ii)答案见解析

£j_

2,2

⑵

【分析】(1)(i)求出/。"二+为？，求导得到'(2)--5,由点斜式写出切线方程；

(ii)求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况；

—<2a-fa-y^lxVxen+oo)/z(x)=—,xe(1,+co)

(2)变形为xI2)对八41,+叼恒成立问题，令一x'，求导

y=1a-[a-^\x1)h(x)=~

得到其单调性，并画出函数图象，求出I2>恒过点'(41人且无在

(1，°)处的切线方程为kxT,"°』)刚好在切线上，结合图象kX-1在

=e(1,+co)

x'上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出。的取值范围.

【详解】⑴⑴当"0时，4)=丁+1广"2)=-2+ln2,

/，3=r+5r(2)=-2+1=-|

故曲线J=/（X）在点（2/（2））处的切线方程为'一（一2+In2）=-2）

即3x+27一2In2—2=0.

（ii）/（%）=_；/+后二xe（0,+oo）

令“W>°,解得“武叫,令八解得I42)

xe_,e/(x)=f(1)=--

当l_e「时，/、辰J1/2,

f(e)=-—e2+lne=e2+1

v722

其中

±jOn=/（e）=-#+l

故2,

故〃x）的单调递增区间为（°」），单调递减区间为（L+00）；

ffy\―，e——e2+1

在区间Le」上的最大值为2,最小值为2；

g（x）=|tz-—|x2+Inx-2ax

（2）I2＞，

2

对Vxe(l,+oo),x+Inx-2ax<0

恒成立,

Inx-

——<2a-X“Vx€(1,+oo)L4。

变形为X对''〃恒成U,

令什『5）,则"审,

当x《l,e）时，〃（x）＞0,'。）一丁单调递增,

当x«e，+8）时,〃（x）＜0/（x）一丁单调递减,

其中〃（＞。，”力等4,当m时，乎＞°恒成立,

2）=皿

故回出X的图象如下：

N（2，l）

其中

〃⑴=9=1=%（I。）,

又1，故x在处的切线方程为歹=xT,

又2（2」）在y=x-l上，

A（x）=e（1,+co）

结合图象可得此时y=x-i在x“上方，

另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小

于。时，不合要求,

Inx31

-----<2a-——ae[。，1]

故要想满足X需要2

ae——

解得122」，

。的取值范围是I2'2.

对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是

含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满

足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为

两个函数，通过两个函数图像确定条件.

y=——x2+—x-6k=—

7.(I)-44,t=3,4

“。,-3

⑵12)

169

⑶16

【分析】（1）利用待定系数法求解即可;

PA/*=_in加+6/%,与

（2）作尸轴于点M,可求得44,AM=m-3,证明ACO/~ANMP,

OAPC

可得尸70-M4,进而可得出答案；

（3）作PN'x轴交8c于点N,过点N作NE,y轴于点E,通过证明RMP0N~RMBOC,

3455

QN=—PN,PQ=—PNCN=-EN=-m

求出55,再通过证明△CNE〜△C30,可得44,再根据二

次函数的性质即可得解.

211

/?仅。、尸QX+—x—6

【详解】（1）・・•I'J在抛物线4上，

64a+—x8-6=0

4,

1

a=——

4,

1H於

V=----X2H----X—O

・•・抛物线解析式为44,

„--t2+-t-6=0

当y=0时，44,

J=3,t2=8（舍），

・,・,=3,

/（8,0）在直线尸履一6上，

...8左-6=0,

4；

（2）如图，作尸M'x轴于点

y=­x~Hx_6✓

对于44,令尤=0,则》二-6,

.点。（0,-6）,即℃=6,

J（3,0）

•,

,・Q=3,

,・•点P的横坐标为m.

D（12H/

・・・I44J,

1

PDM”=-m2---1-1-m+6u,,。

...44AMr=m—3,

..ZCAP=90°f

­,ZOAC+ZPAM=90°f

...AAPM+NPAM=90°,

...ZOAC=ZAPM,

.,.ZAOC=ZAMP=90\

...△CCU-^AMP,

OA_PC

...PM-MA,

3（m—3）=6-|—m2——m+6

；.OAMA=OCPM,gp144

:.叫=3（舍），%=10,

...加=10,

(3)如图，作尸"Lx轴交8c于点N,过点N作轴于点石,

N\m,-m-6

I4

•••点

PN=--m2+—m-6--m-6——m"+2m

4444

...PN_Lx轴，

.-.PN//OC,

.ZPNQ=ZOCB,

...RUPQN~RtABOC,

PN_NQ_PQ

：^BC~~OC~~OB,

..O8=8,OC=6,8C=10

34

QN=-PN,PQ=-PN

55

轴，

.♦.NE7/x轴,

..CNEfCBO,

CN=-EN=-m

44.

关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.

8.(1)详见解析；

⑵①具有性质尸；理由见解析；②1346

【分析】(1)当〃=10时，先求得集合A,由题中所给新定义直接判断即可；

(2)当〃=101。时，先求得集合A,

①根据，={2°21-x|xeS},任取'=2021-x()e7,其中%cS,可得1,2021-x。工2020,

利用性质P的定义加以验证，即可说明集合T具有性质P；

②设集合S有《个元素，由⑴可知，任给xeS,1<x<2020,贝口与2021-x中必有1个

不超过1°1°,从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010,然后利

用性质尸的定义列不等式，由此求得人的最大值.

【详解】⑴当〃=10时，/={1,2,…,19,20},

5={相川》>9}={10,11,12,一、19,20}不具有性质?，

因为对任意不大于1°的正整数加,

都可以找到该集合中的两个元素4=1°与4=10+切，使得向心|=加成立，

集合C={x—"1,hN*}具有性质尸，

因为可取加对于该集合中任一元素，

q=34-Ig=3仅-1（后u^eN*）都有忖-c2]=3%一上*1

（2）当〃=1010时,集合"={L2,3,--,2019,2020},7M41010（meN*）

①若集合S具有性质尸，那么集合7={2021-x|xe必一定具有性质P.

首先因为？={2°217口€5},任取:2021-X。eT,其中与©s.

因为Su4,所以与e{1,2,3,…,2020}.

从而142021_/<2020,即法4,所以TuZ.

由S具有性质尸，可知存在不大于101。的正整数加，

使得对s中的任意一对元素$”$2,都有N一$2上机.

对于上述正整数加，从集合？={2°21一划^S}中任取一对元素4=2021-再,

t2=2021-X2）其中占,乙€5,则有,一"二卜】一$2〔工机.

所以，集合T={2°217EeS}具有性质P；

②设集合S有左个元素，由（1）可知，若集合S具有性质产，

那么集合？={2021一刈xeS}一定具有性质尸.

任给x£S,1<x<2020,则x与2021-x中必有一个不超过1010.

所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010.

不妨设S中有I2J个元素4也，…抱不超过1010.

由集合S具有性质尸，可知存在正整数加41010.

使得对S中任意两个元素S，$2，都有N”

所以一定有4+加,&+机，…，2+加史s

yZ?.+m<1000+1000=2000故4+加,优+加，…，4+加£%

即集合A中至少有/个元素不在子集S中，

k+-<k+t<2020?t+-<2020

因此2，所以2,得女41346.

当5={1,2,…,672,673,…,1347,…,2019,2020}时，取用=673

则易知对集合S中的任意两个元素乂，%,都有%一为设673,即集合S具有性质尸.

而此时集合S中有1346个元素，因此，集合S元素个数的最大值为1346.

解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

⑵重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法归纳

“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

1

y=一

9.(1)48

(2)(@)或"4)

1

Q=­

⑶4

⑷君T或3-石

【分析】(1)根据焦点和准线方程的定义求解即可；

(2)先求出点P的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；

(3)如图所示，过点3作2。J^轴于。，过点/作/EL'轴于E,证明推

\FD\=—\OD\=\OF\-\DF\=——\BD\=—

出6a,贝丁12a,点8的纵坐标为12a,从而求出16a,证明

[-2后2+；]

△AEFSABDF,即可求出点/的坐标为I4",再把点/的坐标代入抛物线解析式

中求解即可；

(4)如图，当£为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点〃作W/于N,贝,〃初=1九〃1,

先证明△何/是等腰直角三角形，得到加印=|儿四，设点M的坐标为I"'加工则

\MN\=-m2+1=—m=IHA^IIu-ri_/7_i

4,求出加=-2,然后根据黄金分割点的定义求出岸口一"T,则

SAHME=-HE-NH=y/5-1

2；同理可求当点£是靠近，的黄金分割点时超的面积.

2fo,-ly=--

【详解】（1）由题意得抛物线夕=2》的焦点坐标和准线/的方程分别为I8；8.

y=—x2y=——=—2

（2）由题意得抛物线.8的准线方程为’4"，

因为点P到准线1的距离为6,所以点尸的纵坐标为4,

...当了=4时，=4,解得±4百，...点P的坐标为G汇9或（-4四,4）

（3）如下图所示：

过点3作BO'y轴于。，过点/作/E'y轴于总

由题意得点尸的坐标为直线/的解析式为：＞二一5,

1BDFD_FB

...BDHAEHCH,但川一五，...&FDBfFHC,...HCJH~^C

BD_FD_FB1

-因

\BC\=2\BF\.\CF\=3\BF\,^C-THFC-36a,

\OD\=\OF\-\DF\=^-1

••点B的纵坐标为12。,

-L*、=皂

.・.12a,解得6a（负值舍去），.•・