2024年高考数学一模试题分类汇编：不等式（解析版）（广东专用）

专题14不等式

不等式的性质

基本不等式

一元二次不等式

题型01不等式的性质

1.（2024下•广东清远•一模）使成立的一个充分不必要条件是（）

X

A.x>0B.0<x<一

2

C.0<x<1D.0<x<2

【答案】B

【详解】

111-x„

—>1--->0则选项中的X的范围组成的集合是（°』）的真子集

由X，得X,解得0<x<l,

1>1

由选项知，选项A，C,D均不满足，选项B满足.故使"X"成立的一个充分不必要条件可以是

0<x<一

，，2〃.

故选：B.

2.（2024下•广东深圳•模拟）下列结论正确的个数有（）个

①的>0是f>0的充要条件

b

②已知实数X、>满足5x>y>o,则hJ+土的最小值为塞上2

5龙一了了5

③命题"女>1,-X40"的否定是x2-x>0"

④关于x的不等式尤2-办+1<0有解，实数。的范围是。<-2或。>2.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

aa

.—>0—>0j

【详解】①由浦>o,即同号，故6；由6,即0力同号，故品>0,

a八

一〉0

所以浦>°是6的充要条件，正确；

5x,x1

---11>0—>一

②因为5x>y>0,所以，，即>5,

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yx1x1,X1,1、c1、，卜111

--——+—=----------+—=

5x-yyy275+1

所以5

当且仅当，即＞时等号成立,

y245+1

-------------1-------------------

所以＞的最小值为5,错误；

③由存在量词命题的否定为全称量词命题知命题，

命题"七＞1,Y-X40"的否定是"Vx＞l,x2-x＞0",正确;

④由题设A=/-4＞°,解得。＜-2或。＞2,正确.

故选：C

题型02基本不等式

22

1.（2024下•广东湛江•高三一模）已知融>0,a+ab+2b=B则/+2/的最小值为（）

.8-272R2V2_37-2V2

A.-----------------D.----------C.一U.------------------

7348

【答案】A

【解析】

【详解】因为仍＞0,得：a?+2b22212a2b2=2^ab(当且仅当a=&时成立)，

即得：ab＜a"=—(a2+2b2),

2万4'

222

则1=a?+仍+2624a2+2bz+—（fl+2b）=（/+2b）,

44

218-2A/2

/曰a-+2Zr>----产=---------

得：4+亚7

4

所以/+2bl的最小值为8二2J5,

7

故选：A.

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+x12

2.（2024下•广东•梅州市一模）已知函数/（x）=ln-------（加〉0,〃>0）是奇函数，则一+—

1-n-xmn

的最小值为（）

A.3B.5C.3+2拒D.3+40

【答案】C

【解析】

777+Y

【详解】令------->0,得（X+冽）0—1+〃）<0，故函数的定义域为

1-n-x

因为“乃是奇函数，则其定义域关于原点对称，

可得一加+1—〃=0,即加+〃=1,

此时f（x）=In-----，可得/（x）+/（-x）=ln------+ln-----=lnl=0,

m-xm-xm+x

可得了（%）是奇函数，即加+〃=1符合题意；

izI2fl2V2m、c.r~

故—i—二—I—（加+〃）=3H---1-----23+2A/2,

mnnJmn

当且仅当」=——，即加二行—l，〃=2—正时等号成立，

mn

I2=

故一+一的最小值为3+2行，

mn

故选：C.

3.（2024下•广东深圳•模拟预测）当时，关于工的不等式（2酒@+8$2工-3）3"-@40有

解，则。的最小值是（）

A.2B.3C.4D.4A/2

【答案】A

71

0<x<一.,1/八

［详解］当2时，记y=smx-无，了=cosx-lV0,

71

0<x<-

故函数>=smx-x在2上单调递减，

sinx-x<sin0-0=0,故sinx<x,

0<x<-

所以2〃sinx+cos2x-320在2上有解，

0<x<-

由于2,所以sinx>0,

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「一■Fsinx

a>

所以2qsinx23—cos2x=2+2sin),所以sin%min

------Fsinx22%=—

由sinx,当且仅当2时取等号，所以。的最小值是2.

故选：A

4.（2024下广东广州•模拟预测）已知圆。的方程为一+^2=1,过第一象限内的点尸（。⑼作圆。的

两条切线尸/,PB,切点分别为45,若方力=8，则的最大值为（）

A.2百B.3C.3亚D.6

【答案】C

【详解】

如图所以，因为过点尸（见与作圆。的两条切线尸4P8,可得NO,尸Z,

由丽・莎=（2+布>莎=92=8即四『=8

所以卢引产a+\°a\=、即/+〃=9,

(a+b)2=/+62+2.42(/+62)=18

所以

a3红厂

当且仅当2时取等号，所以6的最大值为312.

5.（2024下•广东东莞•模拟）在（x+l）（x+2）（x+3）（x+加）（x+〃）（加〉0,〃>0）的展开式中，含d的项

32

的系数为加〃+2〃+13,则一+一的最小值为（）

mn

A.13B.25C.30D.36

【答案】B

［详解］(x+D(x+2)(x+3)=d+6X2+11X+6(x+m)(x+A?)=x2-\-(m+n)x-\-mn

则含丁的项的系数为冽〃+6冽+6〃+ll,

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所以mn+2几+13=加〃+6冽+6〃+11,所以3加+2〃=1,

32_1+2］（3加+2"）=13^^>13+&i6n

—I——二=2f

贝I」mnmn）mnmn

6n6m1

——----m=n=-

当且仅当冽〃，即5时，取等号,

32

—+—

所以机”的最小值为25.

故选：B.

6.（2024下•广东中山一模）已知P是圆C：/+y2=l外的动点，过点P作圆C的两条切线，设两切

点分别为A,B,当也.每的值最小时，点尸到圆心C的距离为（）

A.V2B.V2C.V2D.2

【答案】A

【详解】设尸GM,则3=6+/,

则万•丽=（而+西（而+西=|图2OA+O^+OA151

万•砺=|德|•恒卜os4O8=cosZ4O8=cos2ZPCU=2cosYPOA-1

E况=也砺=|困同cos（180。-/尸OH喇砰cosN尸O

OA_

1

=-|po|-p|.~OP~

Xy-—2o-22/~

当且仅当'x+y,即x+y=V2时，等号成立,

故当》.丽的值最小时，点尸到圆心C的距离为蚯.

故选：A.

7.（2024下•广东深圳•模拟）已知P为棱长为八的正四面体各面所围成的区域内部（不在

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表面上）一动点，记P到面48C,面/CD,面3CZ）,面的距离分别为4,%,用，%,若%=1,

18

则需十元的最小值为（）

9+4后

cD.12+4收

.2

【答案】B

【详解】正四面体棱长为灰，£为△BCD的中心，则底面BCD,

厂为CD边中点，则E在3尸上，如图所示，

则有BF±CD,BFu平面BCD,AE1BF,

2

AF=BF=^BC-CF-=^2LEF=-BF=—

2,32,

即正四面体"Ba＞的高%=2,

P为正四面体力-BCD各面所围成的区域内部，连接P4,PB,PC,PD,

可得到4个小四面体,

-S（h,+h,+h,+h.}=-Sh

设正四面体力-BCD各面的面积为S,则有33

得4+%+%3+4=%=2

由"+4=1,贝i]4+均=1

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、

h8k_25

一=-Ll2l

则2kh(24+h24h2

l2272

h2_841

%=—,h2=—

当且仅当24%,即55时等号成立,

1.825

----1-

24h的最小值为2.

故选：B

题型03一元二次不等式

1.（2024下•广东・茂名市一模）“X<1”是“一_4》+3〉0”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C,充要条件D,既不充分也不

必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】解不等式必一4x+3〉0得x>3或x<l,

记N=（—e,l）u（3,+oo）,5=（-oo,l）,

因为/冬5,所以“X<1”是“X2-4X+3>0”的充分不必要条件.

故选：A

2.（2024下•广东•一模）已知〃,6,ceR且a#0,则“4/+®x+c>o的解集为H1}"是"a+6+c=0"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由题意，二次不等式。/+6x+c>0的解集为卜,,1},

a>0

」=1

2a

则等价于1A=4一"的二。，即a=c>0力=-2°,即a+6+c=0,

当a+6+c=0时，不能推出a=c>0,b=_2a.

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所以皿2++c>0的解集为{小利"是"a+6+c=0”的充分不必要条件，

故选：A

f+]

3.(2024下广东东莞•模拟)已知p:ln("l)>0,q:玉>0,----<a,则。是q的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

Ja-1>0

【详解】由ln(a7)>°,得，

设，"={a|ln(a-1)>0}={《a〉2}

„x+1x+1

dx>0,----<aX/x>0,---->a

由X的否定为X

f(x)=X=x+—>2x=—

令XX,当且仅当X时，又X>O,即x=l等号成立,

若X，贝

Bx>0,x+I<a

若x,贝心22,

设q:3={a|N2},因为{司22}二{4a>2},所以。二自且夕中乙

所以。是9的充分不必要条件

故选：A

4.(2024下广东河源•二模)若2e卜辰2+3尤+/-3>0},则a的取值范围为()

A.(-3,-1)B.[-3,-1]

C.(-oo,-3]u[-l,+oo)D.(-00,-3)o(-l,+oo)

【答案】D

【详解】由题意知，当。=°时，科"2+3x+"-3>0}可变为何》>1},符合题意；

当QW0时，由2£{X|QX2+3X+Q2_3>0},得ax22+3x2+〃2_3>0,

即/+44+3>0,解得〃〈一3或〃>一1且awO；

综上，实数a的取值范围为(-00，-3)D(T，+S).

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故选：D

abx1,.

5.（2024下•广东珠海,模拟）定义二阶行列式,厂团儿，则"2xx>W'是〜』>°"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

x1।।

>|耳2cII

由2xx[得x_2x>|x|,

当x20时，x2-2x>x,解得x>3,

X1>|^|

当x<0时，x?-2尤〉-x,解得x<0,所以2无X的解集为（-MUG+s）.

由/_3x>0,即（龙-3）">0,解得x>3或x<0,

即不等式V-3x>0的解集为（一°0,°）U⑶+8）,

%1II

>|x|

所以“2xx，堤“/-3工>0，，的充要条件.

故选：A

6.（2024下•广东深圳•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.不等式4/一5x+l>0的解集是卜>:取<1]

B.不等式2-7-640的解集是kxV-g或rN21

C.若不等式分2+8分+21<0恒成立，则。的取值范围是0

D.若关于x的不等式2尤2+.-3<0的解集是（见1）,则。+4的值为

【答案】CD

4为2—5x+1>0（x—1）（4x~1）>0x<—