江苏镇江一中2024届高三年级上册1月学情检测调研数学试题+含答案

江苏镇江一中2024届高三上学期1月学情检测调研

数学试题+答案

2024届高三年级1月学情检测调研试题数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合4=卜隧3(2-#<1｝，8=(0,3],贝UAn(1B)=()

A.[-1,0]B.[-1,0]U(3,+co)C.(-oo,2)U(3,+8)D.[—1,3]

2.已知复数z满足(l+2i)z=|3-4小z的共轨复数为W,则z4=()

A.6B.5C.4D.3

3.函数/(x)=cos%.In(J%。+1-x)的图象大致为()

4.若(2-村°展开式中二项式系数和为A,所有项系数和为5,一次项系数为C,则A+B+C=()

A.4095B,4097C,-4095D.-4097

5.已知底面半径为JI的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为()

A.V2B.2C.2V2D.4

6.19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个

世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的

频数约为总数的三成，并提出本・福特定律，即在大量6进制随机数据中，以九开头的数出现的概率为

&5)=108"*，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来

n

检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若冷&(冷=log：211123(林N*,心20),贝麟的

值为()

A.2B.3C.4D.5

71为偶函数，（）（）则下列结论不正确的是（

7.已知/(x)=sincox+—+(pIco>0,|^?|<2gx=sinox+0,

A9-

6

B.若g（x）的最小正周期为珈，则0=:

C.若g（x）在区间（0㈤上有且仅有3个最值点，则。的取值范围为

D.若g（：=g,则。的最小值为2

.已知；为数列｛的前〃项积，若,+工则数列｛£,｝的前〃项和（

87“J=1,S“=)

%T"

A.n2+InB.-n2+2nC.n2-2nD.~H~—2〃

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。

9.已知。>08>0,若a+2b=1,则（）

A.a。的最大值为工的最小值为1

8

C.2+工的最小值为8D.2。+4）的最小值为2亚

ab

10.已知两个不等的平面向量2B满足力=（1"）3=0-1,2）,其中4是常数，则下列说法正确的是（）

A.若方/区，贝小=-1或4=2B.若2,3,贝在Z+B上的投影向量的坐标是（一:，一口

C.当卜+2可取得最小值时，同=?D.若无彼的夹角为锐角，则几的取值范围为,,+ooj

22

11.已知双曲线C:二-工=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳，工，过工的直线与双曲线交于A3

ab

两点，A在第一象限，若AA5片为等边三角形，则下列结论一定正确的是（）

A.双曲线C的离心率为后B.AA£K的面积为2岛2

C.AA6工内切圆半径为（V3-11D.ABFR的内心在直线x=±a上

12.如图，在三棱锥D-ABC中，平面ABC_L平面A8O,AB=AC=BC=BD=3,AD=2,则()

B.点C到直线AD的距离为叵

A.三棱锥O-ABC的体积为逐

2

C.二面角B-AD-C的正切值为巫D.三棱锥D-ABC外接球的球心到平面ABD的距离为旦

42

三、填空题：共4小题，每题5分，共20分。

13.某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每

名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有种.

一ng1一cos0sin0|

14.已知------+---------=4A,贝miUtang=.

sin01+cos0

2

15过双曲线妙_2L=1的右支上一点P,分别向。G：（X+5）2+/=4和。。2：（X—5）2+/=1作切

线，切点分别为MN,则1PM2-|PN「的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。

17.在AABC中，角A,5,C的对边分别是"c,已知c=5,2bcosC=2a-c.

(1)求角8的大小；

(2)若AABC的面积104，设。是BC的中点，求sin/MD的值.

sinZCAD

18.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S”，且d=4S「2〃〃-数列也｝满足b=」一，7；为数

列｛2｝的前〃项和.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前w项和北；

(3)若对任意的“eN*,不等式27；<〃+8.(-1)"恒成立，求实数X的取值范围；

19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市

的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各10°人

进行分析，从而得到表(单位：人)：

经常网购偶尔或不用网购合计

男性45100

女性65100

合计

(1)完成上表；对于以上数据，采用小概率值e=0.01的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有

关联？

(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送优惠

券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X,

求随机变量X的数学期望和方差.

参考公式：/=______"(ad-3一_______常用的小概率值和对应的临界值如下表：

(q+/?)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.如图，在三棱柱ABC-A】AG中，直线GB，平面ABC,平面44℃_L平面8月£。.

(1)求证：AC1BB,;

(2)若AC=BC=BG=2,在棱4耳上是否存在一点尸，使二面角P-BC-G的余弦值为当孑？若存

在，求里的值；若不存在，请说明理由.

4片

22[

21.已知椭圆C:=+二=1(。〉6〉0)的离心率为一，焦距为2.

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

3

(2)若直线/:y=日+m(左，加©R)与椭圆C相交于两点，且左3•左外二一7

①求证：AAOB的面积为定值；

②椭圆C上是否存在一点尸，使得四边形0AP3为平行四边形？若存在,求出点尸横坐标的取值范围;

若不存在，说明理由.

22.已知函数〃x)=(x-Q)lnx-x+Q-3(aGR).

(1)若。=。，求/(x)的极小值；

(2)讨论函数/'(X)的单调性；

(3)当a=2时，证明：/(x)有且只有2个零点.

参考答案

1.A2.B3.B4.C5.C6.B7.D8.A

9.ACD10.BC11.BD12.ACD

_4

13.24014.15.1716.（e,+oo）

-3

17.解：（1）V2Z?cosC=2a-c,・••由正弦定理得,2sinBcosC=2sinA-sinC,

即2sinBcosC=2sin-B-C）-sinC,即2sinBcosC=2sin（B+C）-sinC,

即2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC,即2cosBsinC=sinC,

vCG（0,^-）,1.sinCwO,，cosB=g,vBG（0,^）,••--f

（2）—acsinB=10^3=>-=10^3=〃=8,

222

b=yja1+c2-2〃ccos3=64+25-2x8x5x1=7.

ABBDBD^BDA

在△A3。中,由正弦定理得,S[NZBAD=

sinZBDAsinZBADAB

ACCD.cnCDsinZCDA

在CACZ）中,由正弦定理得,---------nsm/CAD=--------------------

sin/CZMsin/CAOAC

sinZBADACb7

•・•BD=CD,sinZBDA=sinZC£>A,；

sin/C4。ABc5

18.解：(1)当九=1时，%=1；

当心2时,因为4>0,^=4Sn-2an-l,所以。3=4S〃「1,

aa

两式相减得n~n-\=42-2an+=2(Q〃+%_]),

所以4-%一1=2,所以数列｛〃/是以1为首项，2为公差的等差数列，所以为=2〃-1.

1二11______L_]

(2)由题意和(1)得:

an-an+i（2n-l）-（2n+l）2（2〃-12n+\）

所以数列色｝前〃项和7；+；+…+小n

八j5jIn—i2n+l

r?

(3)①当〃为偶数时，要使不等式2(<〃+8•(-!)"恒成立，即不等式一5币<n+8恒成立，即需不等式

QO

A<2n-\F17恒成立.*.*2nd—28,等号在〃=2时取得.止匕时丸需满足4<25.

nn

②当“为奇数时，要使不等式2(<”+8•(-!)"恒成立，即不等式小五币<〃-8恒成立，即需不等式

OQQ

A<2n——15恒成立.・・・2几—-是随〃的增大而增大，・・・〃=1时，2〃—-取得最小值-6.

nnn

二•此时％需满足4<-21.综合①、②可得4的取值范围是4<-21.

1

19.解：（1）完善列联表如下表所示（单位：人）:

经常网购偶尔或不用网购合计

男性4555100

女性6535100

合计11090200

零假设为：性别与网购之间无关联,

2_200x(45x35-65x55)2_800

由列联表得，力n8.081>6.635=Xooi，

110x90x100x10099

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.

（2）①由题意可知，所抽取的20名女市民中，经常网购的有20*总=13人,

偶尔或不用网购的有20x需35=7人,

+量=208

所以，选取的3人中至少有2人经常网购的概率为P=

Co285

②由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为流=吊，

将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为以,

（11^1111QQQ

由题意可知，X~820,高，所以，E（X）=20x-=ll,D（X）=20x-x-=-.

20.证明：(1)在三棱柱ABC-A4G中，由GB_L平面ABC,AC,BCu平面ABC,得_LBC，G8_LAC,

在平面BBgC内过B作8。，CG于O,由平面AAGC±平面BB£C,平面AA^CH平面BB©C=CQ,

得3。」平面A41clC,而ACu平面441clC,则有8。1AC,

显然BOnGB=尻JBO，GBu平面B4CC，因此AC，平面2片。。，又平面3环70,

所以ACLBg.

(2)过点C作Cz〃GB,由GB，BC，G8_LAC,得CzJ.CA,Cz_LC2,

由(1)知AC_L平面BB©C,BCu平面34cle，则CA_LC8,即直线CA,CB,Cz

两两垂直，

以点C为原点，直线C4,CB,Cz分别为x,%z轴建立空间直角坐标系,

2

由4c=BC=g=2,得A(2,0,0),8(0,2,0),C/0,2,2),Bx(0,4,2),CB=(0,2,0),BA=(2,-2,0),

假定在棱4耳上存在一点p，使二面角P-BC-CX的余弦值为亚，

10

令率=2丽=九"=(2九一240),0<4<1,则尸(22,4-22,2),CP=(22,4-22,2),

则行・Z?=2/U+(4-2；l)y+2z=0

设平面PBC的一个法向量宕=(x,y,z),

、[n-CB=2y=Q

令x=l,得1(1,0,-㈤，显然平面BC£的一个法向量前=(1,0,0),

依题意‘cos而公=号i=噜‘解得"4‘即翳:

3B,P1

所以在棱44上存在一点P,使二面角尸-BC-£的余弦值为型W,

10443

c1

21.解：(1)由题思知，焦距2c=2,故c=l,又e=—=1故〃=2,

a2

22

所以/=/-o2=3,故椭圆C的方程为二+二=1.

43

R+£=1

(2)①由<43消去y,化简得：(3+4Z2)f+8fonx+4病-12=0,

y=kx+m

设A(%，x),B(x2,y2),贝必二64严病一4(4/+3)(4疗—12)=48(4/一病+3)〉0,

8km4m2-12

%+%=——F'

22

故%%=(g+m)(Ax2+m)~kxxx2+km^xx+x2)+m~~:

因为—筐=t，所以2疗=3+4左2,

24(1+用

2

所以14用=yjl+kJ(X]+%)~-47了2

3+止

\m\

坐标原点到直线I的距离为"=方一

所以0408的面积为5=3阴.4='回£=6,

2112V3+4/Ji+%22V3+4F

故CIAOB的面积为定值.

②假设存在椭圆上的点尸，使得OAPB为平行四边形，则丽=丽+砺，

3

22.解:(1)当〃=0时，/(%)=%111元—%—3,/(元)的定义域为(0,+8),f(x)=lnx+l-l=]nx,

在区间(O,1),/V)<0"⑴递减;在区间(1,+8),广⑺〉0J(x)递增.所以当X=I时，“%)取得极小值fm=

(2)/(x)=()lnx-x+a-