2020-2021中考数学压轴题复习 初中数学 旋转的综合及详细答案

2020-2021中考数学压轴题专题复习一一初中数学旋转的综合及详细答案

一、旋转

1.如图1,在口ABCD中，＞48=6,NB=a（60。＜＜区90。）.点E在BC上，连接AE,把&BE沿

AE折叠，使点B与A。上的点F重合，连接EF.

⑴求证：四边形ABEF是菱形；

⑵如图2,点M是BC上的动点，连接AM,把线段AM绕点M顺时针旋转。得到线段

MN,连接FN,求FN的最小值（用含。的代数式表示）.

（图D（图2）

3

【答案】⑴详见解析；（2）FE-sin（2«-90o）

【解析】

【分析】

⑴由四边形ABCD是平行四边形得AFIIBE,所以NFAE=NBEA,由折叠的性质得

NBAE=NFAE,NBEA=NFEA,所以NBAE=NFEA,故有ABIIFE,因此四边形ABEF是平行四

边形，又BE=EF,因此可得结论；

1

⑵根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明NENG=90。一/，利用菱形的性质得到

3_

ZFEN=_a-90°,再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.

【详解】

（1）四边形ABCD是平行四边形，

ADIIBC,

ZFAE=ZBEA,

由折叠的性质得NBAE=ZFAE,ZBEA=ZFEA,BE=EF,

ZBAE=ZFEA,

ABHFE,

.四边形ABEF是平行四边形，

又BE=EF,

■四边形ABEF是菱形；

（2）①如图1,当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G,使MG=AB,连接GN、

EN.

(图D

,/ZAMN=NB=a,ZAMN+Z2=N1+ZB

/.Z1=N2

又AM=NM,AB=MG

「.△ABM之△MGN

/.ZB=N3,NG=BM

MG=AB=BE

/.EG=AB=NG

11

/.Z4=ZENG=_(180°-a)=90°--a

又在菱形ABEF中，ABHEF

/.ZFEC=NB=a

13

/.ZFEN=NFEC-Z4=a~(90°--a)=_«-90o

同理可得：NFEN=NFEC-Z4=a~（90°—寸）=寸一90°

3

综上所述，ZFEN=/—90。

A当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动（如图3）

3

当FN_LEH时，FN最小，其最小值为FE・sin（mJ90。）

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出ZFEN

3

—90°,再运用垂线段最短求出FN的最小值.

2.如图1,在RtjBC中，N4CB=90。，AC=BC.点。、E分另lj在AC、BC边上，DC=

(I)P/W与BE的数量关系是,BE与MN的数量关系是.

(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断(1)中BE与MN的数量关系结论

是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

(3)若CB=6.CE=2,在将图1中的△OEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、

。三点在一条直线上时，求MN的长度.

【答案】⑴PM=gBE,BE=OMN；(2)成立，理由见解析；(3)MN=yfn-

1或JT7+1

【解析】

【分析】

(1)如图1中，只要证明VPMV的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解

决问题；

(2)如图2中，结论仍然成立，连接A。、延长BE交AD于点〃.由VEC6MVDC4,

推出5E=A。，NDAC=/EBC,即可推出5〃JLAD,由M、N、尸分别AE、

BD、A3的中点，推出PM//BE,PM=^BE,PN//AD,PN=^AD,推出

PM=PN,ZMPN=90°,可得BE=2PM=2义6MN=&MN；

2

(3)有两种情形分别求解即可.

【详解】

(1)如图1中，

■PMWBE,PM=-BE,

2

BN=DN,AP=PB,

.PNWAD,PN=-AD,

2

•••AC=BC,CD=CE,

：.AD=BE,

:.PM=PN,

■：ZACB=90°,

ACA.BC,

：.'：PMWBC,PNWAC,

：.PM±PN,

△PMN的等腰直角三角形，

MN=&PM,

MN=J2-BE,

2

BE=J2MN,

故答案为9=：8石，BE=y[2MN.

理由：连接AD、延长BE交AD于点儿

•­•AABC和△CDE是等腰直角三角形，

CD=CE,CA=CB,ZACB=^DCE=90°,

•••ZACB-ZACE=ADCE-ZACE,

ZACD=NECB,

：.△ECB^△DCA,

BE=AD,ZDAC=NEBC,

'：ZAHB=180°-QHAB+NABH)

=180°-(45°+ZHAC+NABH)

=N180°-(45°+ZHBC+NABH)

=180°-90°

=90°,

BHLAD,

M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，

.PMWBE,PM=iBE,p/viiAD,PN=—AD,

22

PM=PN,ZMPN=90°,

/2

•，-BE=2PM=2x；MN=J2MN.

则CG=GE=DG=8

当D、E、B共线时，在RtABCG中，BG=4BC2—CG2==用，

BE=BG-GE=用-母,

MN=”BE=yf^-1.

2

当。、E、B共线时，在RtABCG中，BG=xlBC2—CG2==用，

BE=BG+GE=6+F,

MN=^-BE=J17+1.

综上所述，MN=。万-1或JT7+1.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾

股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题，属于中考压轴题.

3.如图1,在锐角△ABC中，NABC=45。，高线AD、BE相交于点F.

(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；

(2)如图2,将AACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,

当DEIIAM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.

【答案】(])BF=AC,理由见解析；(2)NE--AC,理由见解析.

【解析】

试题分析：(1)如图1,证明AADC^△BDF(AAS),可得BF=AC；

(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC,由线段垂直

平分线的性质得：AB=BC,则NABE=NCBE,结合(1)得：△BD这△ADM,则

ZDBF=ZMAD,最后证明NANE=ZNAE=45°,得AE=EN,所以EN=J-AC

2'

试题解析：

(1)BF=AC,理由是：

如图1,AD±BC,BE_LAC,

ZADB=ZAEF=90°,

•••ZABC=45°,

△ABD是等腰直角三角形，

AD=BD,

丁ZAFE=ZBFD,

/.ZDAC=ZEBC,

在小ADC^DABDF中，

ADAC=ZDBF

.・<ZADC=ZBDF,

AD=BD

：.△ADC合△BDF(AAS),

BF=AC；

1

(2)NE=-AC,理由是：

如图2,由折叠得：MD=DC,

,/DEIIAM,

AE=EC,

,/BE±AC,

/.AB=BC,

ZABE=ZCBE,-

由（1）得：△ADC^△BDF,

△ADCM△ADM,

△BD0△ADM,

ZDBF=ZMAD,

•••ZDBA=ZBAD=45°,

ZDBA-ZDBF=NBAD-ZMAD,

即NABE=N-BAN,

•/ZANE=ZABE+ZBAN=2ZABE,

ZNAE=2ZNAD=2ZCBE,

ZANE=ZNAE=45°,

AE=EN,

1

EN=-AC.

2

4.如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线0M上，且OA=6cm,点D

从。点出发，沿OM的方向以lcm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C

逆时针方向旋转60。得到△BCE,连结DE.

(1)求证：ACDE是等边三角形；

(2)如图2,当6Vt<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小

周长；若不存在，请说明理由；

(3)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角

三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)存在

【解析】

试题分析：(1)由旋转的性质得到NDCE=60。，DC=EC,即可得到结论；

(2)当6Vt<10时，由旋转的性质得到BE=A。，于是得到

c=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到OE=CD,由垂线段最短得到当

△UDC

CDLAB时，ABDE的周长最小，于是得到结论；

(3)存在，①当点。于点B重合时，D,B,E不能构成三角形，②当04<6时，由旋

转的性质得到NABE=60。，ZBDE<60°,求得NBED=90。，根据等边三角形的性质得到

ZDEB=60°,求得NCEB=30°,求得。D=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2+l=2s；③当6cte10s

时，此时不存在；④当t>10s时，由旋转的性质得到NOBE=60。，求得NBDE>60。，于是

得到t=14-M=14s.

试题解析：（1）证明：1,将△AC。绕点C逆时针方向旋转60。得到△BCE,

ZDC£=60°,DC=EC,

△CDE是等边三角形；

（2）存在，当6<t<10时，

由旋转的性质得，BE=AD,

&DB=BE+DB+DE=AB+DE=^+DE,

由（1）知，ACDE是等边三角形，

DE=CD,

C△DBE=CD+4,

由垂线段最短可知，当C0_L4B时，ABDE的周长最小，

止匕时，CD=26cm,

「.△BDE的最小周长=CO+4=2.+4；

（3）存在，①二•当点。与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，

「•当点D与点B重合时，不符合题意；

②当0。<6时，由旋转可知，ZABE=60°,ZBDEV60。，

/.ZBED=90°,

由（1）可知，△CDE是等边三角形，

/.ZDEB=6Q09

ZCEB=30°,

,/ZCEB=NCDA,

/.ZCDA=30°,

,/ZCAB=60°f

/.ZACD=NADC=30°,

/.DA=CA=4,

/.OD=OA-DA=6-4=2,

t=24-l=2s；

③当6<t<10s时，由NDBE=120°>90°,

此时不存在；

④当t>10s时，由旋转的性质可知，NDBE=60。,

又由（1）知NCDE=60°,

ZBDF=ZCDE+NBDC=60°+ZBDC,

而NBDC>0°,

ZBDE>60°,

二只能NBDE=90°,

从而NBCD=30a,

：.BD=BC=4,

/.OD=Ucm,

t=14-rl=14s.

综上所述：当t=2或145时，以。、E、B为顶点的三角形是直角三角形.

点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代

数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变

量，从某一个方面出发去分类.

5.如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120°.

(1)求证：AABD2△ACE；

(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD,点M、P、N分别为DE、

DC、BC的中点，连接MN、PN、PM,判断△PMN的形状，并说明理由；

(3)在(2)中，把AADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=6,请分别求出

△PMN周长的最小值与最大值.

图①图②

【答案】(1)证明见解析；(2)△PMN是等边三角形.理由见解析；(3)APMN周长

的最小值为3,最大值为15.

【解析】

分析：(1)由NBAC=NDAE=120°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即

可判定△ABD2△ADE；(2)△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得

11

PM=-CE,PMIICE,PN=-BD,PNIIBD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所

以^PMN是等腰三角形；再由PMIICE,PNIIBD,根据平行线的性质可得NDPM=ZDCE,

ZPNC=ZDBC,因为NDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,所以

ZMPN=NDPM+NDPN=NDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+

NABD+NDBC=NACB+NABC,再由NBAC=120°,可得NACB+NABC=60°,即可得

NMPN=60。，所以△PMN是等边三角形；(3)由(2)知，△PMN是等边三角形，

1

PM=PN=-BD,所以当PM最大时，APIVIN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM

最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最

大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.

详解：

(1)因为NBAC=ZDAE=120°,

所以NBAD=NCAE,又AB=AC,AD=AE,

所以△ABD合△ADE；

（2）APMN是等边三角形.

理由：,点P,M分别是CD,DE的中点，

PM=J-CE,PMIICE,

2

,・,点N,M分别是BC,DE的中点，

PN=-BD,PNIIBD,

2

同（1）的方法可得BD=CE,

PM=PN,

△PMN是等腰三角形，

PMIICE,ZDPM=ZDCE,

•，,PNIIBD,ZPNC=ZDBC,

•，-ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

ZMPN=NDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+NDBC=ZACB+ZABC,

•••ZBAC=120°,ZACB+ZABC=60",

ZMPN=60°,

△PMN是等边三角形.

1

（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=-BD,

二.PM最大时，APMN周长最大，

.•.点D在AB上时，BD最小，PM最小，

.BD=AB-AD=2,APMN周长的最小值为3；

点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，

BD=AB+AD=10,APMN周长的最大值为15.

故答案为4PMN周长的最小值为3,最大值为15

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判

定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；

点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.

6.在平面直角坐标中，边长为2的正方形。ABC的两顶点A、C分别在y轴、X轴的正

半轴上，点。在原点.现将正方形0ABe绕。点顺时针旋转，当A点一次落在直线＞=x上

时停止旋转，旋转过程中，A8边交直线了=尤于点M,BC边交X轴于点N（如图）.

(1)求边在旋转过程中所扫过的面积；

(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形0ABe旋转的度数；

(3)设AMBN的周长为P,在旋转正方形0ABe的过程中，P值是否有变化？请证明

你的结论.

【答案】(1)兀龙(2)22.5。⑶周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积；

(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出NA0M的度数；

(3)利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.

试题解析：(1)rA点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是

45°,

•••0A旋转了45°.

•••0A在旋转过程中所扫过的面积为45兀义22=三.

3602

(2)•••MNIIAC,

ZBMN=NBAC=45°,ZBNM=ZBCA=45°.

ZBMN=ZBNM./.BM=BN.

又BA=BC,AM=CN.

又0A=0C,Z0AM=ZOCN,/.△0AM空△OCN.

ZA0M=ZCON=-(AOC-ZMON)=一(90°-45°)=22.5°.

2Z2

二旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45。-22.5。=22.5。.

(3)在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.

证明：延长BA交y轴于E点，

则NAOE=45°-ZAOM,ZCON=90°-45°-ZAOM=45°-ZAOM,

ZAOE=ZCON.

又：OA=OC,ZOAE=180°-90°=90°=ZOCN.

△OAE2△OCN.

/.OE=ON,AE=CN.

文:ZM0E=ZMON=45°,0M=0M,

△OME合△OMN.MN=ME=AM+AE.

MN=AM+CN,

p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.

二在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.

考点：旋转的性质.

7.在RtAACB和△AEF中，NACB=NAEF=90°,若点P是BF的中点，连接PC,PE.

特殊发现：

如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上，则结论：PC=PE成立(不要求证明).

问题探究:

把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.

⑴如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若

不成立，请说明理由；

⑵如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成

立，请说明理由；

AC

⑶记寸=k,当k为何值时，ACPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）

【答案】（DPC=PE成立（2）,PC=PE成立（3）当k为近时，VCPE总是等边三

3

角形

【解析】

【分析】

（1）过点P作PM_LCE于点M,由EF_LAE,BC±AC,得到EFIIMPIICB,从而有

EMFP

,再根据点P是BF的中点，可得EM=MC,据此得到PC=PE.

MCPB

（2）过点F作FDLAC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD,先证

ADAa△EAF,即可得出AD=AE；再证△DAP'&EAP,即可得出PD=PE；最后根据

FD±AC,BC±AC,PM±AC,可得FDIIBCIIPM,再根据点P是BF的中点，推得PC=PD,

再根据PD=PE,即可得到结论.

（3）因为ACPE总是等边三角形，可得NCEP=60。，ZCAB=60°；由NACB=90。，求出

ACAC

NCBA=30。；最后根据=左，=tan30。，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是

BCBC

多少即可.

【详解】

解：（1）PC=PE成立，理由如下：

如图2,过点P作PM_LCE于点M,EF±AE,BC_LAC,/.EFIIMPIICB,

EMFP

,I=K，丫点P是BF的中点，，EM=MC,又PM_LCE,PC=PE；

MCPB

c

(2)POPE成立，理由如下：

如图3,过点F作FD_LAC于点D,过点P作PM_LAC于点M,连接PD,「NDAF二NEAF,

ZFDA=ZFEA=90°,在^DAF和^EAF中

,,/ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA,AF=AF,

△DAa△EAF(AAS),

AD=AE,在^DAP和^EAP中,

「AD=AE,ZDAP=ZEAP,AP=AP,

•.△DAP合△EAP(SAS),

PD=PE,

「FD±AC,BC±AC,PM±AC,

FDIIBCIIPM,

.DM_FP

..点P是BF的中点，

DM=MC,又PM_LAC,

PC=PD,又＜PD=PE,

PC=PE；

£

图3

(3)如图4,•••△CPE总是等边三角形,

ZCEP=60°,

/.ZCAB=60°,

,/ZACB=90°,

/.NCBA=90°-ZACB=90°-60°=30°,

ACAC

2,z由M3。。,

k=tan3O°=0

3

二当k为近时，△CPE总是等边三角形.

3

04

【点睛】

考点：L几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的

判定与性质；6.平行线分线段成比例.

8.已知:在△ABC中，BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:

(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且NACB=60°,则CD=—；

(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且NACB=90°,则CD=—；

(3)如图3,当NACB变化且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应

的NACB的度数.

【答案】(1)3\尸；⑵3\四一3\巴⑶当NACB=120。时，CD有最大值是a+b.

【解析】

【分析】

(1)a=b=3,且NACB=60。，△ABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据

此即可求解；

(2)a=b=6,且NACB=90。，△ABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的

高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；

(3)以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接

AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b.

【详解】

(1)a=b=3,且NACB=60°,

AABC是等边三角形，

30

0C=2,

CD=3\B；

(2)3、后M串;

(3)以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60。,

则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,

:CDE为等边三角形，

CE=CD.

当点E、A、C不在一条直线上时，

有CD=CE<AE+AC=a+b；

当点E、A、C在一条直线上时，

CD有最大值，CD=CE=a+b；

只有当NACB=120°时，ZCAE=180°,

即A、C、E在一条直线上，此时AE最大

ZACB=120°,

因此当NAC此120°时,CD有最大值是a+b.

本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件，

是解题的关键.

9.如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从

点D出发，点P沿D玲A以：Lcm/s的速度向终点A运动.点Q沿DfBfD以2cm/s的速度

运动，回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将APQN绕QN的中点旋

转180。得到AMNQ.设四边形PQMN与AABC重叠部分图形的面积为S（cm2）,点P运

动的时间为t（s）（0<t<3）.

（1）当点N落在边BC上时，求t的值.

（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.

（3）当点Q沿D玲B运动时，求S与t之间的函数表达式.

（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF

与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值.

3型99

【答案】）2）（）菱形424）

（1（223S=S1MN=2SAPNQ=2t2；'（4

15

1或七

【解析】

试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；

（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；

333

（3）当OStG时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当Xt.时，四

边形PQMN与4ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.

312

（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时5ct<5,列出四边形PEMF与四边形PQMN的

面积表达式后，即可求出t的值.

试题解析：（1）,「△PQN与△ABC都是等边三角形，

:•当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.

「•DQ=3

/.2t=3.

3

t=2;

（2）•.•当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上,

PD=DQ,

3

当o<t<5时，

止匕时，PD=t,DQ=2t

t=2t

.t=0(不合题意，舍去)，

3

当24t<3时，

此时，PD=t,DQ=6-2t

t=6-2t,

解得t=2；

综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；

(3)由题意知：此时，PD=t,DQ=2t

当点M在BC边上时，

MN=BQ

PQ=MN=3t,BQ=3-2t

/.3t=3-2t

3

二解得t=5

3

如图①，当时,

但90

94

S=S2

菱牍MN=2SAPNQ=t2,

33

如图②，当时，

设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,

,/MN=PQ=3t,NE=BQ=3-2t,

/.ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3,

・「△EMF是等边三角形，

••.SAEMF"ME2='(5L3)2

S=S箜形PQMN-SxMEF=-±(5t-3)2

（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,

312

此时5ct<5,

15

t=l或

cc

考点：几何变换综合题

10.如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,E是边AC上任意一点(点E与点A,C不重

合)，以CE为一直角边作RtAECD,ZECD=90°,连接BE,AD.

(1)若CA=CB,CE=CD

①猜想线段BE,AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②现将图1中的RtAECD绕着点C顺时针旋转锐角a,得到图2,请判断①中的结论是否

仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(2)若CA=8,CB=6,CE=3,CD=4,RtAECD绕着点C顺时针转锐角a,如图3,连接BD,

AE,计算的值.

【答案】(1)①BE=AD,BEJ_AD；②见解析；⑵125.

【解析】

试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD,BE±AD；设BE与AC的交点为点

F,BE与AD的交点为点G,根据NACB=ZECD=90。得出NACD=ZBCE,然后结合AC=BC,

CD=CE得出△ACDV△BCE,贝I]AD=BE,ZCAD=ZCBF,根据NBFC=NAFG,

NBFC+ZCBE=90。得出NAFG+ZCAD=90°,从而说明垂直；首先根据题意得出

△ACD-ABCE,然后说明NAGE=NBGD=90。，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线

段转化成已知的线段得出答案.

试题解析：(1)①解：BE=AD,BE±AD

②BE=AD,BE_LAD仍然成立

证明：设BE与AC的交点为点F,BE与AD的交点为点G,如图1.

•••ZACB=ZECD=90°,/.ZACD=ZBCE；AC=BCCD=CE二△ACDV△BCE

AD=BEZCAD=ZCBF：ZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°

ZAGF=90°BE±AD

(2)证明：设BE与AC的交点为点F,BE的延长线与AD的交点为点G,如图2.

.•ZACB=ZECD=90°,/.ZACD=ZBCE；AC=8,BC=6,CE=3,CD=4:&ACD-&BCE

ZCAD=ZCBEZBFC=ZAFGZBFC+ZCBE=90°/.ZAFG+ZCAD=90°

■.ZAGF=90°BE±ADZAGE=ZBGD=90°

■_AE2=AG2+EG2,BD2=BG2+DG2,...BD2+AE2=AG2+EG2+BG2+£)G2.

,AG2+BG2=AB2,EG2+DG2=ED2,

-BD2+AE2=AB2+ED2=CA2+CB2+CD2+CE2=125

考点：三角形全等与相似、勾股定理.

11.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边那么这个三角形叫做"等高底"三角

形，这条边叫做这个三角形的"等底"。

（1）概念理解：

如图1,在AABC中,AC=6,8。=3.44。8=30。,试判断儿48。是否是“等高底"三角

形，请说明理由.

（2）问题探究：

如图2,AABC是"等高底”三角形,6。是"等底"，作AABC关于6c所在直线的对称图形得

AC

到AA'BC,连结A4'交直线BC于点D.若点8是4=3-ai,z=1+2i的重心，求—的直

12rsf.

（3）应用拓展：

如图3,已知//（I与/2之间的距离为2."等高底"AABC的“等底"在直线〈上，点A在

直线（上,有一边的长是的JT倍.将AABC绕点c按顺时针方向旋转45。得到

AA'B'C,AC所在直线交/,于点。.求的值.

【解析】

分析：（工）过点A作直线CB于点D,可以得到AD=BC=3,即可得到结论;

(2)根据ZMBC是"等高底"三角形，BC是"等底"，得到AD=BC,再由AABC与AABC关于

直线BC对称，得到NAOC=90。，由重心的性质，得至ljBC=2B0.设BD=x,则AD=BC=2x,

CD=3x,由勾股定理得AC=即可得到结论；

(3)分两种情况讨论即可：①当AB=JIBC时，再分两种情况讨论；

②当AC=JTBC时，再分两种情况讨论即可.

详解：(1)是.理由如下：

如图1,过点A作A。，直线CB于点。，

,AAOC为直角三角形，ZADC=90Q.

1

•••NACB=30。，AC=6,：.AD=-AC=3,

：.AD=BC=3,

即MBC是"等高底"三角形.

(2)如图2,•••MBC是"等高底"三角形，BC是"等底"，,AD=BC,

1,A/VBC与ZMBC关于直线BC对称，^ADC=90°.

,点B是AAA'C的重心，BC=2BD.

设BD=x,则AD=BC=2x,CD=3x,

由勾股定理得AC=jI7x,

,AC_巫x_713

fiC-2丁-2,

昭2

(3)①当AB=V?BC时，

I.如图3,作AEJJ［于点£,DFJ/C于点F.

•.・"等高底"MBC的"等底”为BC,〃儿，

人与4之间的距离为2,AB=y/2BC,

：.BC=AE=2,AB=2y/2,

：.BE=2,即EC=4,:.AC=20

MBC绕点C按顺时针方向旋转45。得到MBCNCDF=45。.

设DF=CF=x.

DFAE1

1//1,：.ZACE=NDAF,：.-,即AF=2x.

12AFCE

二.AC=3x=21s,可得x=2石',二CD=5/^x=彳.

33

n.如图4,此时AABC是等腰直角三角形，

•••MBC绕点C按顺时针方向旋转45。得到A4B'C,

..MCD是等腰直角三角形，

CD=72AC=242.

出4

②当AC="BC时，

I.如图5,此时“BC是等腰直角三角形.

MBC绕点C按顺时针方向旋转45。得到AAB'C,

CD=AB=BC=2.

往

HC'

阳5

II.如图6,作AE，、于点金则AE=BC,

AC=y/2BC=y/2AE,：.ZACE=45°,

■■■AABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到MEC时,

点A在直线/I上，

12,即直线AC与4无交点.

2I--

综上所述：C。的值为§回，2应，2.

点睛：本题是几何变换-旋转综合题.考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读

理解能力.解题的关键是对新概念"等高底”三角形的理解.

12.正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.

（1）如图1,若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为：；

（2）如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆

时针旋转90。，得到线段FQ,连接EQ,请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明

你的结论.

（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写

出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：.

【答案】（1）证明见解析（2）BF+EQ=BP（3）BF+BP=EQ

【解析】

试题分析：（1）EF与FG关系为垂直且相等（EF=FG且EF_LFG）.证明如下:

・点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点，

二△AEF和4BGD是两个全等的等腰直角三角形.

EF=FG,ZAFE=ZBFG=45".二ZEFG=90°,即EF±FG.

（2）取BC的中点G,连接FG,则由SAS易证AFCJE空△FPG,从而EQ=GP,因此

EF=72（BP-EQ）.

（3）同（2）可证△FQE号△FPG（SAS）,得EQ=GP,因此,

EF=GF=V2BG=V2（GP-BP）=V2（EQ-BP）.

13.（1）发现

如图，点A为线段BC外一动点，且=AB=b.

填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为.

（用含。的式子表示）

（2）应用

点A为线段外一动点，且6c=3,A3=1.如图所示，分别以AB,AC为边，作等

边三角形45。和等边三角形ACE,连接C。，BE.

①找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段3E长的最大值.

（3）拓展

如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（2,0）,点8的坐标为（5,0）,点尸为线段

A3外一动点，且24=2,PM=PB,ZBPM=90°,求线段AM长的最大值及此时

点P的坐标.

【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的最大值是4;

（3）AM的最大值是3+201，点P的坐标为（2-/，y/2）

【解析】

【分析】

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；

（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,NBAD=NCAE=60。，推出

△CAD^△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD

的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；

（3）连接BM,将AAPM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,得到△APN是等

腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延

长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2,过P作PE_Lx轴于

E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）•.・点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,

当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b,

故答案为CB的延长线上，a+b；

（2）①CD=BE,

理由：△ABD与△ACE是等边三角形，

AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

二ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NCAD=ZEAB,

在4CAD与公EAB中，

AD=AB

ZCAD=ZEAB,

AC=AE

:&CAD之△EAB,

CD=BE；

②;线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上,

最大值为BD+BC=AB+BC=4；

（3）•.・将△APM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,

则△APN是等腰直角三角形，

图1

PN=PA=2,BN=AM,

rA的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0）,

/.OA=2,OB=5,

AB=3,

线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

二当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

■-AN=>/2AP=2V2,

最大值为2、历+3；

△APN是等腰直角三角形，

•••PE=AE=7T,

•••OE=BO-AB-AE=5-3-72=2-72,

・P（2-/,72）.

【点睛】

考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质.正

确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

14.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点0；在RtAPMN中，NMPN=90。.

(1)如图1,若点P与点。重合且PM_LAD、PN±AB,分别交AD、AB于点E、F,请直

接写出PE与PF的数量关系；

(2)将图1中的RtAPMN绕点0顺时针旋转角度a(00<a<45°).

①如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由；

②如图2,在旋转过程中，当ND0M=15。时，连接EF,若正方形的边长为2,请直接写出

线段EF的长；

③如图3,旋转后，若RtAPMN的顶点P在线段0B上移动(不与点0、B重合)