江苏省2024届高三年级下册（3月）一模适应性考试数学试卷(含答案)

江苏省前黄高级中学2024届高三下学期（3月）一模适应性考试数

学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.设全集为。定义集合A与5的运算:=3},则（4*5）*4=（）

A.AB.BC.A型

2.已知向量0,8满足忖=2炳=6，且（。+“,人则°与沙的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

3.“log?。〉log2。”是"2。>2='的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

4.如图,将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体,四个部分为直三棱柱，四个

部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体

C.28D.24

c°s0，则sin。+20=()

1+sin。

C.交

A.1B.

22

6.已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1,现有一个半径为

r（r>0）的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则厂的取值

范围是()

A.(0,2]B,1,2C.|0,-D.|0,-

[2」I2」I4」

7.设实数满足x〉|,y〉3，不等式k[2x-3)(y-3)<8x3+—12/—3)?恒成立，贝ij

实数左的最大值为（）

A.12B.24C.2若D.4G

8.已知函数〉与y=lnx+x的图象有两个交点,则实数a的取值范围为（）

A.1十3D『T

二、多项选择题

9.若机，〃为正整数且〃>机>1,则（）

1

A.C；=C；B.C；=苧C,根C：=（”—1）心D,A：+mA：-=A：+1

10.已知等差数列｛风｝的前〃项和为的公差为〃则（）

A.S]3=13s7B.S5=44+%

C.若｛w〃｝为等差数列，则d=—lD.若｛疯｝为等差数列，则d=2ax

11.在平面直角坐标系中,将函数/（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转a（0<a<90°）后,

所得曲线仍然是某个函数的图象，则称/（%）为“。旋转函数”.那么（）

A.存在90。旋转函数

B.80°旋转函数一定是70。旋转函数

C.若g（x）=ax+L为45。旋转函数，则a=l

D.若以》）=如为45。旋转函数，贝1J—e2<b<0

ex

三、填空题

12.[2+3]（x-的展开式中丁丁的系数为.（用数字作答）

22

13.已知尸是双曲线0：1_一q=〃/〉0）上任意一点，若P到C的两条渐近线的距离

之积为2,则。上的点到焦点距离的最小值为.

3

14.在正方体A3CD-中，球a同时与以A为公共顶点的三个面相切，球0?同时

与以G为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E若以R为焦点,A用为准线的抛物

线经过&,。2，设球。1,。2的半径分别为小马,则+=_______..

四,解答题

15.如图，在梯形ABCD中,ADIIBC，BD=5,ZCBD=60°-

(1)若sin/BCD=L求CO的长；

4

(2)若A£>=2,求cosNABD

16.如图，正四棱柱ABCD-的底面边长为1,高为2,点般是棱CC］上一个动点

(点时与eq均不重合).

(1)当点M是棱CG的中点时，求证:直线AM±平面B］MD［；

(2)当平面将正四棱柱ABC。-44GA分割成体积之比为1：2的两个部分时，

求线段的长度.

17.已知过点(1,0)的直线与抛物线E：/=2px(p>0)交于A,B两点为坐标原点，当

直线A3垂直于x轴时,△AOfi的面积为夜.

(1)求抛物线E的方程；

(2)若。为△ABC的重心，直线AC,BC分别交y轴于点MN,记AMC/V,/\AOB的面积

分别为航，$2,求m的取值范围.

s2

18.七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力,建立以

下模型.有数组用吗,…吗和数组4也，…，4+2，规定%(1W小，+2)与bj相配对则视为“正

确配对"，反之皆为“错误配对”.设「(〃)为，=“时，对于任意j(l<j<n)都不存在“正确配

对”的配对方式数，即错排方式数.

(1)请直接写出P⑴,P(2)的值；

(2)已知尸("+1)=(“+2)尸(〃)+nP(n-1).

①对见,出，…吗和4也，…也进行随机配对，记X为“正确配对”的个数.请写出x的分布

列并求E(X)；

②试给出P(n+1)=(〃+2)P(n)+nP(n—1)的证明.

19.若一个两位正整数机的个位数为4,则称机为“好数”.

(1)求证：对任意“好数”办疗-16一定为20倍数；

(2)若加二/一八且P以为正整数，则称数对(夕⑷为“友好数对”，规定：”(旬=£例

如24=52―仔,称数对(5,1)为“友好数对"，则“(24)=1,求小于70的“好数”中，所有“友好

数对"的H(m)的最大值.

参考答案

1.答案：B

解析：,A*B={A-|xeAI3且xcAB}=(BgA)(ACVB)

.•.(A*B)*A=[A1瘠(A*B)][(A*B))VA]=(A3)3(34A)=3

故选:B

2.答案：D

解析：因为(a+b)J_人，所以(a+=0,即a.b+片=Q,

又=2,k|=G，所以a./?+//=2厉cos(a,6)+3=0,

解得cos卜,0)=

又0W(a,A)4兀，则a与b的夹角为

故选:D.

3.答案：A

解析："2">2h"="a>b",

t4

log2a>log2b"c"a>b>0”,

“a>b>0”是“a>b”的充分而不必要条件，

故"log?a>log2b”是"2">2"”的的充分而不必要条件，

故选:A.

4.答案：C

解析：设每个直三棱柱高为每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长

为b,

设正四棱台的高为九因为每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,

1,,、

—abh=3

222

则:，可得abh=(Th-及h=/03=36，可得a2fl=12,

-b~h=1

[3

所以,该正四棱台的体积为V=Q2无+4x3+4xl=12+16=28-

故选:C.

5.答案：A

cosasin.D

解析：由题意tanB----------=-------coscrcos3=sin0+sinsinB,

1+sinacos°

sin(3=cosacos/3-sinasin/3=cos(a+/?),

a,/.sin/?>0,.\cosQ+/?)>0,a+夕£[o,

jr

/3+{a+/3)=—,sin(tz+2/7)=1.

故选:A.

6.答案：C

解析：以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系,

22

当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为好+⑶_r)=r(r>o).

因为抛物线的通径长为1,则抛物线的方程为丁=必，

代入圆的方程消元得：/卜2+Q—2/)]=0,

所以原题等价于方程x2[%2+(1-2/)]=0在[-r,厂]上只有实数解％=().

因为由V[尤2+(1-2厂)]=0,得％=0或f=2厂一1，

所以需2r—1W0或2―1>,，即r•或(—1)2<o.

因为厂>o,所以o<厂vL

2

故选:C.

7.答案：B

a

解析：元〉jy>3,变形为2x-3>0,y-3>0,

令〃=2%-3>0,人=y一3>0,

贝IJ左(2x—3)(y—3)<8x3+—12*—3/转化为

8x3+y3-12x2-3y24x2y2,

k<—广-------/,即0n----+」一>k,

(2x-3)(y-3)y-32x-3

故选:B

8.答案：A

解析：由题意，“函数》=以^与y=lnx+x的图象有两个交点”等价于“方程

依e，=lnx+x有两个实数根”，等价于“方程役，=皿+1有两个实数根，即等价于

X

“g(x)=al与/i(x)=53+1的图象有两个交点”,如图所示，

X

显然a>0,否则aWO时,g(x)=ae*与阳)=皿+1只有一个交点.

X

另一个临界状态为g(x)="与7z(x)=皿+1相切时，不妨设两个曲线切于点P(x0,%),

X

［小=2+1

又’00=茂，,〃(乃=匕坐,所以，可得爪+1=匕”，即

%ae*0-1-1口%o*0%o

(4+l)ln3=1一端

又多>0,所以In%。=1一%,即In/-1+/=0,

令夕(％)=lnx-l+x,贝(jp\x)=—+1>0-fi夕(1)=0,

x

故p(x)在(0,+oo)上单调递增，因此％=1是p(x)唯一的零点，

所以x°=l,代入。物=皿+1,可得所以0<a<L则实数°的取值范围为I。」］.

尤oeeIej

故选:A.

9.答案：AD

解析：对A:由组合数性质:C：=C；F可知,A正确；

对B：c；=&,故B错误；

73!

n\n\(n—1)!

对C:mC；=mx-----=---------=nxy——\/——u，

———(m——mJ!

-：=(l)x鬲瑞城故仁〃H(1)C》C错误；

万/\川

对D:A：+mA'，=7-f+mx----——=(n-m+l)x----——+mx----——

nnyn—my.(n-m+lj!(n-m+1)!(n-m+lj!

(几+1)!,,

=J——=A，",故D正确.

(n-m+1)!n+1

故选:AD.

10.答案：BD

解析：A选项,s="(%+?)=13x2^=，而邑,%不一定相等,A不正确；

22

B选项，因为S5="%；%)=5a3,44+%=4(q—d)+q+42=5%,

所以S5=4g+%,故B正确;

C选项，因为=〃[,+(九—l)d]=/d+(q—d)n,

2

若｛〃%｝为等差数列，则(〃+l)%+i-次z八=(〃+1)2d+(q-^)(zi+l)-ziJ-(tz1-d^n

=2nd+%,

要想2nd+%为常数，则［=0,故C不正确;

2

D选项，由题可知S“=叫+=|H+L1-1V

d]

为关于〃的一次函数,

所以q—=0,即d=2al，故D正确.

故选:BD

11.答案：ACD

解析：对A,如y=x满足条件，故A正确；

对B,如倾斜角为20。的直线是80。旋转函数，不是70。旋转函数，故B错误;

对C,若g(x)=公+工为45。旋转函数，则根据函数的性质可得,g(x)=ax+工逆时针旋转

XX

45。后，不存在与％轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为

45。的直线与且(%)=奴+工的函数图象有两个交点.即y=与g(%)=〃%+工至

xx

多1个交点.联立广融+最可得(〃-1)/—区+i=o.

y=x+b

当a=l时,_瓜+1=0最多1个解，满足题意；

当awl时-瓜+1=0的判别1式A=炉1对任意的a,都存在人使得判别

式大于0,不满足题意，故。=1.故C正确；

对D,同C,/z(x)=处与y=x+a(acR)的交点个数小于等于1,即对任意的=史-x

exe*

至多1个解，故g(x)="-X为单调函数，即/(力=吗6—1为非正或非负函数.

ee

又=—1,故一1W0,即b(x—1)恒成立.

“1e*

即y=e'图象在丁=一人(％—1)上方，故一/720,即Z?VO.

当y=与y=-z?(x-1)相切时，可设切点(Xo，e^，对y=d求导有V=e',故上=e2,

%—1

解得/=2，此时b=-e%=-e2，故-e?WbW0•故D正确.

故选:ACD

12.答案：-40

解析：(x_2y『的通项公式为&I=q?-r(-2y)r=C[(—2)’/「y,

令厂=2得，n=C；(-2)2尤4y2=60尤4y2，此时60%4y2.?=⑵”,

令厂=3得,n=C：(—2)3X3y3=-160%3/，此时-160x3y3.1=-160x4y2,

故/丁2的系数为i2()_i60=T0

故答案为:―40

13.答案：73-V2

22

解析：所求的双曲线方程为充―3=；1(；1〉0)，则渐近线方程为x±0y=O，

22

设点P(%,%),则会-卷="片一2y=82，

点P到c的两条浙近线的距离之积为卜。+⑸.卜。一⑸=匠叫=阴=2,

333

i2

解得：几=工,故双曲线C方程为：--y2=1，

42

故a=0，c=g，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=6-&-

故答案为：73-V2.

14.答案：2-6或-6+2

解析：如图所示：

根据抛物线的定义，点。2到点R的距离与到直线A片的距离相等，

其中点。2到点R的距离即半径伯也即点。2到面CDAG的距离，

点02到直线ABX的距离即点02到面ABB^的距离，

因此球。2内切于正方体.

不妨设&=1，两个球心孰,R和两球的切点F均在体对角线AG上,

两个球在平面AgCQ处的截面如图所示，

则—“夸"弋三S所以”59

=6—1.

丁2

因为启=工万，所以44=石弓，所以4/=40；+q/=百｛+个

因此（6+1）弓=百-1,得弓=2-VL所以二=2-6.

r2

故答案为：2-百

15.答案：（1）10石

⑵巫

19

解析：（1）在△BCD中,由正弦定理得一些一=—殁一

sinZBCDsinZCBD

「八_BDsinNCBD5sin600V3^

则8=氤BCD=20x=1Q

j_2

4

(2)因为AD〃BC，所以NAD6=NCBD=60°.

由余弦定理得AB-=BD2+AD2-2BD-AD-cosZADB=19，

则A5=/25+4—2x5x2xg=M，

人玄+9-AD?19+25-4_4^/19

所以cosZABD=

2ABBD2x719x5-19

16.答案：（1）证明见解析

⑵-1+75

解析：（1）因为航是棱eq的中点,

所以AM=VAC2+ow2=VAB2+BC2+OW2=J1+1+1=百,

B[M=y/B^+QM2=VT+T=万旦A=4B阂+=Vl+4=也，

由勾股定理与屋=印陵+.2,得A“，片“洞理可得,人知，,

又B[M0/=〃，耳M,£＞幽u平面4MD1,

所以直线AM,平面4MDi；

（2）连接QD，作MN平行于3D，交CD于点N,连接AN,BM,

因为AD〃与Ci，AD=51G，

所以四边形AB}QD是平行四边形，所以AB\gD,

所以A3J/70N,则截面为平面B[ANM,

设线段CM的长为M0</i<2),

因为MN〃G。，所以空=工，得CN=4

h22

i，\(h\1h

故Sc梯形ABCN=2X[A1+2JX1=2+45

可得%.4BCN

又由%ABB=」x(工x2xl]xl=L可得ZNMBAB=—+-+-，

M-ADDI312)3cNM-BABjJ263

由题意久+2+J.=J_x（i*ix2），整理的/+2/z—4=0,解得"=-1+逐,

12633v7

所以线段MC的长度为一1+6.

17.答案：（1）E的方程为y=2x

解析：（1）当％=1时,>=2〃,y=±,2p，

所以|ABk2月，

由题意可知,SA0B=gxlx2同=0,

所以p=l,

所以抛物线E的方程为f=2x

（2）如图，

设孙％），。（毛，为卜

因为。为△ABC的重心，

所以％+%+七=0,SAAOB=S^AOC=S^BOC；

MC|2VC|-X

因为"MOC\\S^NOC3

□△AOC|AC|玉-*3S^BOC\BC\X2-X3

且^AMOC+S&NOC=S]，^AAOC=*^ABOC=^2，

（石+%）2石+彳2)2

所以县=+-%_工1+X]+X]+X]______3________________3_(_________

%2%1+2

S2%1-x3一退2x1+x22X2（2X1+X2）（X1+2X2）2（xt+X2）

设AB:x=）+1,与y2=2%联立得：y2一2）一2=0,所以必%=-2,

2

所以玉々=（x%）=1,贝U玉+%222dxia=2；

4

Si3f2

G

所以52-2+—1352J；

所以gs,的取值范围为-3

32

18.答案：⑴P（1）=2,P⑵=7

⑵①分布列见解析,E(X)=5；

②证明见解析

解析：（1）P（1）=2,P（2）=7；

⑵⑴。—。)=黑之黑"】）=*繇

7.7

P（X-2）-尸⑶C.320/、P（2）C70P⑴C；10

（）©2520,pX=3）={{5=—^-,P（X=4）

）

7'A7；2520A12520

C61

尸（X=5）=T———，

''A；2520

X01234