广西贺州市2024届高考数学四模试卷含解析

广西贺州市2024届高考数学四模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(x)=2sin(iyx+9)+"(0>0),/(—+%)=/(--%),且/(至)=5,则/?=()

888

A.3B.3或7C.5D.5或8

2.下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()

A./(x)=ln(|x|+l)B./(x)=x-1

2\(x<0)

x2+2x,(x>0)

C./(%)=<D./(%)=<0,(x=0)

-x2+2x,(x<0)

3.过双曲线，-£=1(。〉0］〉0)的左焦点作倾斜角为30。的直线/,若/与y轴的交点坐标为(08)，则该双曲

线的标准方程可能为()

里已知函数/⑴;而二，则函数的图象大致为()

B.

y

5.点ASC是单位圆。上不同的三点，线段0C与线段A5交于圆内一点M,若

OC=mOA+nOB,(m>0,n>0),m+n=2,则NAOB的最小值为()

22

6.如图所示，已知双曲线。:=-与=1（。>0/>0）的右焦点为P，双曲线C的右支上一点A,它关于原点。的对称

ab

点、为B,满足NAFB=120。，且|BF|=2|AF|,则双曲线C的离心率是（）.

C.6D.V7

7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

正视图侧视图

2

俯视图

A.2A/3B.4A/3C.3AD.勺8

33

_,、[a“+3,a,,为奇数

8.已知数列｛4｝满足：％=1,%"小便药，贝心6=（）

2a“+1,4为偶数

A.16B.25C.28D.33

9.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,0A，平面ABC,AABC是边长为2下的等边三角形，若球。

的表面积为2（%■，则直线PC与平面所成角的正切值为（）

A.-B.立C.-V7D.立

4374

10.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素

养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值

高者为优），则下面叙述正确的是（）

直观想敛

A.甲的数据分析素养高于乙

B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C.乙的六大素养中逻辑推理最差

D.乙的六大素养整体平均水平优于甲

11.已知空间两不同直线相、n,两不同平面a,0,下列命题正确的是（）

A.若加。且〃2,则根nB.若根且m，则〃°

C.若根_L。且mB,则。_L/?D.若机不垂直于且孔ua,则机不垂直于〃

222

12.已知双曲线G：土+二一=1与双曲线。，：一一上=1有相同的渐近线，则双曲线。1的离心率为（）

mm-lQ4

A.-B.5C.y/5D.好

42

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

..(万-n3兀z

13.已知sin|e+—|=一，且一<e<—,贝(jcosa=________.

k4j544

14.已知a的终边过点(3m,-2),若tan("+a)=g,则m=.

15.(f+2)(2工-工)的展开式中所有项的系数和为,常数项为.

16.在平面直角坐标系x0y中，若函数“耳=如:-⑪在尤=1处的切线与圆G/-2工+/+1-。=0存在公共点,

则实数〃的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|2x-a|+|x-2a+3].

(1)当a=2时，解关于x的不等式/"(%)<9；

(2)当a#2时，若对任意实数%,/(%)之4都成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的

还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均

相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款).

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

(1)若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小

张该笔贷款的总利息；

(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月

收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)；

(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：LOCH?’。。2.61.

19.(12分)已知抛物线。：/=2°%(0>0)的焦点为/，点网2,力(〃>0)在抛物线C上，|尸刊=3,直线/过点

F,且与抛物线。交于A,B两点.

(1)求抛物线。的方程及点尸的坐标；

(2)求PAPB的最大值.

20.(12分)在AABC中，角A,3,C的对边分别为。，b,c,(sinA+sinB)(a-/>)=c(sinC-sinB),a=2#f，

且ABC的面积为6石.

⑴求A；

⑵求ABC的周长.

21.(12分)已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列(“eN*),q=2,且2q,的，3%成等差数列.

(I)求数列｛为｝的通项公式；

(II)设〃=log2。”，S“为数列｛々J的前几项和，记北=[+=+/+……+=,

证明:L,T“<2.

%,3

V13

22.(10分)如图在四边形ABC。中，84=6，BC=2,E为AC中点，BE•.

2

(1)求AC；

77

(2)若。=可，求AACD面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据函数的对称轴X=£以及函数值，可得结果.

O

【详解】

函数/(%)=2sin(<uv+0)+Z?(^>O),

若/(K+x)=/(g—外，则/(x)的图象关于X=1对称，

888

7T

又/(一)=5,所以2+3=5或-2+6=5,

8

所以力的值是7或3.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题

2、C

【解析】

对选项逐个验证即得答案.

【详解】

对于A，〃r)=ln(H+l)=ln(W+l)=/a),.•./(可是偶函数，故选项A错误；

对于3,f(x)=x1=-,定义域为{尤归00},在R上不是单调函数，故选项3错误；

X

对于C,当x>0时，一x<0,二.7(一%)=—(―x)~+2(—%)=—x~—2%=—+2%)=—/(%)；

当x<0时，—x>0,=(―x)~+2(—x)=x?—2x=—(―X?+2x)=—/(无)；

又％=0时,/(-o)=-/(o)=o.

综上,对xeR,都有/(r)=—/(%),•・.〃尤)是奇函数.

又“0时，/(x)=V+2x=(x+l)2—1是开口向上的抛物线，对称轴x=—1,.•./(力在［0,+8)上单调递增，

“X)是奇函数，.・•/(九)在R上是单调递增函数，故选项C正确；

对于D,/(%)在(—8,0)上单调递增，在(0,+。)上单调递增，但/(-l)=g>/(l)=-g,.・•/(同在R上不是单

调函数，故选项。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的基本性质，属于基础题.

3、A

【解析】

直线/的方程为y=g(x+c),令x=0,得'=1?0,得到°,分的关系，结合选项求解即可

【详解】

直线/的方程为y=g(x+c),令X=0,得y=1§c.因为当c=6,所以“2=02—82=3/2—82=232,只有选

项A满足条件.

故选：A

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.

4、A

【解析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.

【详解】

设g(x)=/(x-1)=-2由于=；匚r>。，排除5选项；由于g(e)=--,g(e?)=消，所

lnx-x+1'7ln-+-2-e''3-e

22

以g(e)>g(e2),排除C选项；由于当xfy时，g(x)>0,排除。选项.故A选项正确.

故选：A

【点睛】

本题考查了函数图像的性质，属于中档题.

5、D

【解析】

由题意得1=7川+〃2+2〃切cosNA05,再利用基本不等式即可求解.

【详解】

将0C=mOA+nOB平方得1=+“？+2mncosZAOB，

-1222

/A八八1一〃z—nl—(m+n)+2mn3.3.1

cosZAOB=----------二—________________________________|_]<-----------------------------1_]

2mn2mn2mn2x(m+n)21

(当且仅当m-n=1时等号成立),

0<ZAOB<7i,

.•・NA0B的最小值为3，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题.

6、C

【解析】

易得|AF|=2a,|5尸|=4a,又FO=；(F5+E4),平方计算即可得到答案.

【详解】

设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形，

所以|BR|—IAFHBRI—|BE|=2a,又|3R|=2|AF|,

故|Ab|=2a,\BF\=4a,FO=^(FB+FA),

222

所以。2=l(4a+16tz-2ax4a),gpc=3/,

4

故离心率为e=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立“，仇c的方程或不等关系，是一道中档题.

7、A

【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.

【详解】

由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

FE

「~1

DC

其中，底面为直角三角形，AD=2,AE=g，高为A5=2.

二该几何体的体积为V=!义2*gx2=2百

2

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.

8、C

【解析】

依次递推求出&得解.

【详解】

n=l时，/=1+3=4,

n=2时，。3=2义4+1=9,

n=3时，/=9+3=12,

n=4时，tz5=2x12+1=25,

n=5时，4=25+3=28.

故选：C

【点睛】

本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9^C

【解析】

设。为A5中点,先证明CD，平面R43,得出NCP。为所求角，利用勾股定理计算PA,。,得出结论.

【详解】

P

设RE分别是的中点CD=F

平面ABC:.PALCD

AABC是等边三角形:.CDLAB

又PAAB=A

\CDA平面:.NC尸。为PC与平面R45所成的角

AABC是边长为的等边三角形

2

:.CD=AE=3,4尸=§4£=2且尸为人45。所在截面圆的圆心

球。的表面积为20万••.球。的半径。4=石

:.OF=^O^-AF2=1

24,平面ABC:.PA=2OF=2

PD=VPA2+AD2=H

CD33币

tanZCPD=而一丁一〒

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解

出线段长，属于中档题.

10、D

【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的总得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素养整

体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

11、C

【解析】

因答案A中的直线相，〃可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线〃u£也成立，故不正确；答案C中的直线心

可以平移到平面夕中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面内，互相垂直，是正确的；答案D中直线相也有可

能垂直于直线〃，故不正确.应选答案C.

12、C

【解析】

由双曲线G与双曲线G有相同的渐近线，列出方程求出加的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案.

【详解】

222

由双曲线G:L+二一=1与双曲线C-匕=1有相同的渐近线,

mm-104

可得ju詈=2,解得加=2,此时双曲线G：]—：=1，

则曲线G的离心率为e=£='妻=君，故选C.

aV2

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答

的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,--

10

【解析】

试题分析：因f<a(半，故乡.•1■■■■,5-J-<隔所以cos(a_2)=-J1-—

44之臂4V25

cosa=cos[(ct_+~)=-'应填一！^".

考点：三角变换及运用.

14、-2

【解析】

J由题意利用任意角的三角函数的定义，求得力的值.

【详解】

；戊的终边过点(3根,一2),若tan(〃+a)=；,

/\-21-

tan(7i+a\=tana=——=—,:.m=-2..

v73m3

即答案为-2.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.

15、3-260

【解析】

⑴令x=l求得所有项的系数和；（2）先求出Lj展开式中的常数项与含《的系数，再求（f+2）12%-工］展

开式中的常数项.

【详解】

将x=l代入（％2+2）（2x-1,得所有项的系数和为3.

因为的展开式中含5的项为C：（2x）21-口=粤,（2x-口的展开式中含常数项C：（2x）［-5=-160,所以

（x2+2）12x—工］的展开式中的常数项为60—320=—260.

故答案为：3；-260

【点睛】

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.

16、（o,i］42，H

【解析】

利用导数的几何意义可求得函数/（%）=加-◎在处的切线,再根据切线与圆存在公共点，利用圆心到直线的距离

满足的条件列式求解即可.

【详解】

解：由条件得到,（无）=工—a

X

又/⑴=-=a

所以函数在x=l处的切线为y=（l-。）（六1）-。=（1-。）尸1,

即（1-。）六广1=0

圆C方程整理可得：（%-1）2+/=«

即有圆心。（1,0）且a>0

|1—tz—11同I—

所以圆心到直线的距离d=/=12cc，

a）+1y/a-2a+2

即&<Ja2-2a+2•解得a»2或。V。W1,

故答案为：（0』［2,+s）.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题，同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题，属

于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

214

17、(1){%e7?|-2<x<4)(2)(-00,--]1[—,+<»)

【解析】

(1)当。=1时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.(2)对。分成。>2和。<2两类，利用零

点分段法去绝对值，将/(%)表示为分段函数的形式，求得了(%)的最小值，进而求得。的取值范围.

【详解】

(1)当a=2时，/(x)=3|%-l|

由得K-心3

由|尤-1区3得—3Wx-1W3

解：-3<x-l<3,得-2WxW4

.•.当a=2时，关于x的不等式/(尤)49的解集为{xeR|-24尤W4}

3%—3〃+3,%>2〃一3

/(%)=<x-^-a-3,^<x<2a-3

(2)①当a>2时，一<2a—3,

2

___a

~3x+3ci—3,x<一

2

于+°0]是增函数，所以小心=/]£|=?一3,

所以/(%)在-上是减函数，在

由题设得天—324,解得aN—.②当。<2时，同理求得a<一一.

233

(214

综上所述，。的取值范围为-8,+s

【点睛】

本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.

18、(1)289200元；(2)能够获批；(3)应选择等额本金还款方式

【解析】

(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还

款总额，减去本金即为还款的利息；

(2)根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x元，由等比数列求和公

式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；

(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.

【详解】

(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为｛4｝，

S,表示数列｛4｝的前“项和，则q=4900,/40=2510,

贝！IS240=240(。；+%。)=a。*(4900+2510)=889200,

故小张该笔贷款的总利息为889200-600000=289200元.

(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，

239240

则x+x(l+0.004)+尤(l+0.004y++%(1+0004)=600000x(l+O.OO4),

(1_if)04240

所以x:-----=600000X1.OO4240,

11-1.004)

600000xl.00424°x0.004600000x2.61x0.004

即mx=----------赤---------h-----------------*o3o8n9i1,

1.00424°-12.61-1

因为3891<10000x-=5000,

2

所以小张该笔贷款能够获批.

(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为：

3891x240-600000=933840-600000=333840，

因为333840>289200,

所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.

【点睛】

本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于

中档题.

19、(1)V=4x,尸(2)1.

【解析】

(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；

(2)设直线/的方程为：x+my-1=0,代入)2=4%,得，y2+4my-4=0,设A(xi,ji),B(必，)2),贝!Jyi+y2=-

2

4m,yiy2=-4,xi+x2=2+4m,xiX2=l,PA=(石-2,yr-2y[2),PB=(必-2,%—20),由此能求出PA-PB

的最大值.

【详解】

(1)二•点歹是抛物线V=2px(p>0)的焦点，P(2,jo)是抛物线上一点，|PF|=3,

p

.\2+—=3,

2

解得：p=2,

...抛物线C的方程为y2=4x,

•.•点尸(2,n)(n>0)在抛物线C上，

:.n2=4x2=8,

由〃>0,得”=20,：.P(2,2桓).

(2)VF(1,0),...设直线/的方程为：x+mj-1=0,

代入，2=4%,整理得，y2+4my-4=0

设A(xi,ji),B(M，)2),

则山，,2是产+4次y-4=0的两个不同实根，

；・yi+y2=-4m,yiyi=-4,

xi+X2=(1-my\)+(1-myr)=2-m(ji+j2)=2+4一，

xiX2=(1-my\)(1-mj2)=1-m(J1+J2)+m2jij2=l+4m2-4m2=l,

PA=(%—2,%—PB=(X2-2,y2—2^/2),

PA。PB=(xi-2)(X2-2)+(y-2后)(%—2血)

=xiX2-2(X1+X2)+4+%%-20(X+%)+8

=1-4-8m2+4-4+8及m+8

=-8m2+8Qm+5

=-8(m-----)2+l.

2

也

.••当机=—时，取最大值L

2

【点睛】

本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考

查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

20、(1)A=y；(2)10+2-77

【解析】

(1)利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；

(2)利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可.

【详解】

(1)(sinA+sinfi)(a-b)=c(sinC-sinfi),/.由正弦定理可得：(a+Z?)(a-Z?)=c(c-Z?)，即：尸+c?―/二人。,

1JT

由余弦定理得cosA=a，Ae(O,»):.A=§.

(2)VA=-,所以Lesin工=6百，.2c=24,又b~+^-cr=bc，且a=2近

323

(b+c)-=3bc+o2=100,:.b+c=\Q,，/\//18。的周长为10+2^/7

【点睛】

本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.

21、(I)4=2",〃eN*；(II)见解析

【解析】

(I)由4=2,且2%,%,3出成等差数列，可求得g,从而可得本题答案；

(II)化简求得〃，然后求得!，再用裂项相消法求(,，即可得到本题答案.

【详解】

(I)因为数列｛4｝是各项均为正数的等此数列(〃eN),q=2,可设公比为q,q>0,

又2%,%,3%成等差数列，