云南省大理白族自治州2024届高三第二次复习统一检测数学试题含答案

大理州2024届高中毕业生第二次复习统一检测

数学

（全卷四个大题，共22个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）

考生注意：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答

题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名'考场号、座位号及科目，在规定

的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.已知xwR,i是虚数单位，则不等式|1+五|<2的解集为（）

A.（-百,6）B.（-1,1）

C.（-75,75）D.（-2,2）

2.已知卜|"2-4%+1=0}={6},其中则6=（）

A.0B.；或.

C11

C-ID-4

3.已知向量Z,b,［均为单位向量，且£+5+百展=6,则3与1的夹角为（）

数学试卷•第1页（共6页）

4.已知a=e2,b=cos工,c=lg〃，则()

3

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

5.函数/（力=小皿39）+〃卜>0,0>0,|如苫的部分图象如图所示，则函数

g(x)=/(x+J)T的单调递减区间为()

6

A.(k/r^+kTr\keZ

jr

B・(-y+keZ

C・(--4-^,—+k社keZ

22

D.((左一1)",(左+1)%)，kGZ

6.如图，圆锥的高SO=VL底面直径43=2,C是圆。上一点，且力C=l,若双与6C所成

角为6,则sin2g—cos2g=()

22

A.叵

4

RV3

4

C.-

8

D.一叵

7,已知为实数，则直线"-勿=0与圆/+>?+"一如=0的位置关系是（）

A.相交且过圆心B.相交但不过圆心

C.相离D.相切

8.若m为函数/(x)=m(x-加)2(M-X)（其中加。0）的极小值点，则（）

A.m>n>0B.m<n<0

C.mn>m1D.mn<m2

数学试卷•第2页（共6页）

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分）

9.下列四个选项中，说法正确的是（）

A.从人群中随机选出一人，设事件幺=“选出的人患有心脏病"，3=“选出的人是年龄

大于6。岁的心脏病患者”,则有：尸⑷〉尸伊）

B.掷一枚骰子，设事件/="掷出2点”，B="掷出的点数不大于4点”,则有：尸（4U3）==

C.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设4=“第一枚正面朝上”，3="第二枚反面朝上”，

则有：尸（叫Z）=P（3）

D.两批同种规格的产品，第一批占50%,次品率为6%；第二批的次品率为4%,从混

合产品中任取1件，设事件4=”取出的产品为合格品”，则有：尸（力）=0.95

10.如右图所示，在平行六面体-4BCD中，。为正方形48co的中心，

A1A=AlC^AB,M,N分别为线段4幺，的中点，下列结论正确的是（）

A.G。〃平面0MM

B.平面48//平面。AW

C.直线"”与平面4瓦）所成的角为45°

D.OMA.DXD

11.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.

tank函数是常用的激活函数之一，其解析式为/（乃=二1,贝U（）

A.tanh函数是奇函数

B.tanh函数是减函数

C.对于实数。，当0＜。＜1时，函数》=|力＞）|-。有两个零点

D.曲线y=/（x）存在与直线x+2y=0垂直的切线

数学试卷•第3页（共6页）

22

12.已知双曲线。：「一4

=l（a>0团>0）的左、右焦点分别为耳、F2,离心率为2,焦点

/b2

到渐近线的距离为几.过工作直线/交双曲线。的右支于4B两点,若H、G分别为

A4号巴与A5片鸟的内心，则（）

A.双曲线。的焦距为2百B.点H与点G均在同一条定直线上

C.直线HG不可能与/平行D.|的|的取值范围为

第II卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知某种商品的广告费支出”（单位：万元）与销售额V（单位：万元）之间有如下

表对应数据：

X13457

根据表中数据得到V关于％的经验回归方程为f=5.5x+<5,

y1520304045

则当x=7时，残差为.（残差=观测值-预测值）

14.已知抛物线C：y=/n，（掰e凡加。0）过点尸0,2）,则抛物线C的准线方程为.

15.函数〃x）=l-2A|lnx|的最大值为.

16.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之梗，日取其半，万世不竭”，其

意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为2省的线段尸。，取尸。

的中点M，以尸叫为边作等边三角形（如图1）,该等边三角形的面积为S],再取MO

的中点〃2，以为边作等边三角形（如图2）,图2中所有的等边三角形的面积之

和为S2,以此类推，则S3=;二不有L=.

数学试卷•第4页（共6页）

四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

如图，在四棱锥。-43co中，底面43c底面43CD是边长为2的正方形,

OA=2,羔M、N、0分别为。4、BC、CD的中点.

(I)证明：DNLOQ.

(II)求点。到平面的距离.

18.(本小题满分12分)

如图所示，在平行四边形48co中，有：XCcosZBAC=(2AB-BC)cosZABC.

(I)求NX5c的大小;

(H)若BC=3,AC=近，求平行四边形々CD的面积.

19.(本小题满分12分)

学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项

目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得

6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20

米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核

不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格

都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8,“20米运球绕杆射门”考核合

格的概率为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.

(I)若小明先进行“定位球传准”考核，记X为小明结束考核后的累计得分，求X的分布列;

(II)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

数学试卷•第5页(共6页)

20.(本小题满分12分)

在数列｛%｝中，4=2,%=6，%=12,且数列｛4+i-%｝是等差数列.

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)若，=(一1)"4,设数列｛"｝的前〃项和为北,求私.

21.(本小题满分12分)

已知函数/'(刈=加一lux,awR.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)设a>0,g(x)=/(x)+6x,且X=1是g(x)的极值点，证明:

(i)x=l时，g(x)取得极小值;

(ii)lna+26<0.

22.(本小题满分12分)

已知点/(T,0)，BQ0)，点。是圆。：,+丁=4上一动点，动点E满足旗=2而，线段

8E的中垂线与直线NE交于点P.

(I)求点尸的轨迹C的标准方程；

(II)已知点。在直线/：%-4=0上，过点。作曲线C的两条切线，切点分别为Af、N,若

四边形。蛇N的面积S,求乜誓的最大值，并求出此时。点的坐标.

数学试卷•第6页(共6页)

大理州2024届高中毕业生第二次复习统一检测

数学参考答案及评分标准

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号12345678

答案ABCBABDC

1.【解析】由于|1+四＜2,即有：再？＜2,解得：-百。〈百•故选A.

2.【解析】由题意知法为方程/_4x+l=0的根，当"0时，6当时’有

a/—46+1=01.

，此lt时r6=不，故IZ选B.

16-4tz=02

3.【解析】因为,|=W=，|=1，且4+3+百C=6,则4+3=-百。，两边平方可得

卜|+恸+20.3=3卜］,即2。.否=1，所以=a与刃的夹角为工，故选C.

1

~^>—=b,所以Q〉6；又c=lg%<，=lgA/TU即b>c,故c〈b〈Q,

4.【解析】因为

\Je22

故选B.

A+/i=3八4=12'又3彳T=1171/7i孝37'i所以7=兀=2称Jr'

5.【解析】依题意可得T+人-1,解得

解得0=2,所以〃x）=2sin（2x+0）+l,又函数过点p3L所以

2sinf2x-^71-+^j+l=3,即sin5+9j=l,所以］71+夕=71>2而，左eZ,所以

632

(p=3+2kit,AreZ,又|夕|<:，所以夕=三，所以/(%)=2sin12x+£卜1.故g(x)=2cos2x,

O26

7T

其单调递减区间为（左匹—+ki）,左wZ.故选A.

6.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系得：A0,-l,0）,M0,1,0）,

S(0,0，V3),cf—而的夹角为e,o<0<-

(22J2

又下=(0,1,6)，就=^y,-1,0

7

e八AS-BC

贝!Jcos8=______

MS||3C|

由于sin2'-cos28=-cos6=一且,故选B.

224

数学参考答案及评分标准•第1页（共8页）

7.【解析】圆/+/+办一力=0（/+62＞0）,可化为、+£|+[y-^]

故圆心为,半径r=+4,

而圆心到直线ax-by=O的距离d=：2=1k〜廿=r,

J/+/2

所以直线改一如=0与圆/+/一勿=。相切，故选D.

8.【解析】若根=〃，则/（'）=-冽（％-加丫为单调函数，无极值点，不符合题意，故冽

由于/'（%）=加（工-加）（-3x+加+2〃），且能X"，故/'（x）=0有两根为1=冽或X=

①当加＞0时，若比为极小值点，则需满足：W＜Z2±±2,故有0〈机＜〃

②当机＜0时，若"7为极小值点，则需满足：俏故有：0＞相＞〃，故A,B选项

错误，综合①②有：机〃＞机2,故选C.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是

符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案ACDBCDACBD

9」解析】对于A,设事件C=“选出的人年龄大于60岁，，，贝第：P（CH）=^f=Wg＜l

故P（4）＞尸（B）,故A正确；

2

对于B,事件A与B不互斥，故尸（4U3）=尸（/）+尸（台）-尸（/3）=1，故B不正确;

对于C,事件42相互独立，则尸（司”）=尸（8）,所以C正确;

对于D,根据全概率公式可得

尸（/）=0.5x0.94+0.5x0.96=0.95,故D正确

故选ACD.

10.【解析】如图所示，

对于A,若C。//平面。AW,因为CC〃4/,贝!!&4〃

平面QMV,或//u平面。MV,而4N和平面。W相

交，故A错；

对于B,因为分别为线段4台的中点，所以

MN//AB//CD,平面4°，CDu平面4cO,

所以MN//平面48,因为。,N分别为线段42的中点，所以ON//4。，ON①

平面4cD,4〃u平面4CD,所以ON//平面4CD,MNCON=N,MVu平面OAW,

ONu平面QW,所以平面4CD//平面QMV,故B正确；

数学参考答案及评分标准•第2页（共8页）

对于C,由于且4/=&C,故/CJ_4(9,而40cBD=。，故平面

&BD,而MN//AB,故MV与平面4助所成的角即为与平面4班＞所成的角，即

为/48。=45。，故C正确.

对于D,设//=4C=/B=a,则/0=任，显然41+4。2=4。2,故4C，//,

由MO〃4C,所以而2。////,所以OMLDQ,故D正确.

故选BCD.

222

11.【解析】〃x)=k」定义域为R'〃T)+/(X)=B-1+ET=°,

2

所以/(x)=k-l为奇函数,A正确;

/'(X)=＞°恒成立，所以tanh函数是增函数，故B错误;

当x＞o时，/(x)=^^7-i＜i恒成立，所以了="(町|在(-叱0)上单调递减，

在(0,+8)上单调递增,且y=|/(x)|e[0,l),

故当0＜。＜1时，＞="(切与直线y=q有两个交点，故函数y="(x)|-a有两个零点.

C正确；

4ex44

八="百『T】’且八x)e(。』，

所以((x)w2,故曲线y=〃x)不存在与直线x+2y=o垂直的切线.D错误.

故选AC.

12.【解析】设双曲线C半焦距为c,双曲线C的渐近线方程为夕=±2X，即次土町=0,

双曲线C的右焦点F2(C,0)到渐近线的距离为

由题意知12,

a

所以々2=2,2及，故双曲线C的方程为

一人1

-------1，

26

故双曲线C的焦距为4收，故A不正确；

对于B选项，记△/百工的内切圆在边4与、/8、片马上

的切点分别为可、N、E,由切线长定理可得忱”|=闺同，RM=|凡同,

由M周一|/闾=2%即MM+I岫卜(MM+|Nf；|)=2a,

得河附=2°,即国国-|伊©=2°,

记H的横坐标为飞,则£(%,0),于是％+c-(c-尤o)=2a,得x0=。,

同理内心G的横坐标也为。，故〃G_Lx轴，即77、G均在直线x=a上，故B正确;

对于C选项，当/与x轴垂直时，HGHI,故C错误；

数学参考答案及评分标准•第3页(共8页)

n

对于D选项，设直线NB的倾斜角为0,则N/G=5,

ZHF2O=W°--(。为坐标原点)，

在△SG中，

,n\-|sin5sin[900-§]

\HG\^\EG\+\HE\^^c-a)tan|+tan

、"卜"4MU

sin—cos一

)22V=2____

（C-17）2,2c-aca

e.o.ee<-sin。sin。'

cos—sin—sin—cos—

22J22

由于直线/与C的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为2=行，倾斜角为60。,

Q、

6所以，|〃G卜哀20,竿4V6，故D

结合图形可知60°<。<120。，BP—<sin6><l,

sin。3

27

正确.故选BD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

1-ln2(或1/)

答案—1.5＞二一一-

8264'9V34--17

13.【解析】x=1x(l+3+4+5+7)=4,7=|x(15+20+30+40+45)=30,

故回归直线方程过点(4,30),代入，=5.5x+&,可得30=5.5x4+6,&=8,

当％=7时，/=5.5x7+8=38.5+8=46.5,

所以残差为45-46.5=-1.5,故答案为：-1.5.

1

14.【解析】由题可得，2="『=加=2,故C：＞=2%2n/—y

2

故抛物线C的准线方程为丁=-1故答案为：y=-^

X0

15•【解析】由题可得，当时，/(x)=1-2x-Inx,/.f\x)=-2--<0

x

.•./(X)在[l,+oo)为减函数，/«_=/(1)=-1；

当0<x<l时，/(x)=l-2x+lnx,f\x)=-2+—=-2x—1

xx

时，外幻＞当%£（；」）时，八幻＜

・••当xw0,0,

综上可知，（）.故答案为：

・・・/⑴ln|=-ln2,/xg=Tn2-M2.

数学参考答案及评分标准•第4页（共8页）

16.【解析】由题可得，5,=-xV3xA/3xsin60°=—,

24

从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的!，

4

故可构成一个以H为首项，工为公比的等比数列，

4

111[l-(7)"]^i「1

21

则S“=[1+-+(-)+…+(-)"-]51=-—=V3[l

1--

4

所以S3=G[l-d)3]=g".

3464

114"

s„V34"-1

111114"14"+114"1

+1+1+1

4S,5„+14"V34"-1V34"-134"-14"-1

_lp___

9x14"-14n+1-lJ

f——_______

k+412Op___3O...p___+1Ml

4'SkSk+}9LI'-4-1J+(42-14-1J++(4"-l4"-1JJ

故答案为：风=史也，.........2分

364

弋1_1(11)八

i+1=X+l

£j4SA+19[Vr-l)-..........3刀

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.【解析】（I）证明：由题意可知/。、AB、4D两两垂直，以点/为坐标原点，4B、40、

40所在直线分别为X、八z轴，建立如图所示的空间直角坐标系N-斗，从而可得以

下各点的坐标.

/(0,0,0),5(2,0,0),£>(0,2,0),0(0,0,2),M(0,0,l),N(2,l,0),

2(1,2,0),…….…..2分

则丽=(2,—1,0)，02=(1,2,0)......3分

DN-OQ=2x1+(-1)x2+0=0,:.DNLOQ.4分

所以£>NJ_。。......5分

(II)解：设平面NMV的法向量为方=(x/,z),

N

数学参考答案及评分标准•第5页（共8页）

n-AM=Qz=0

则＜——..................6分

n-AN=O2x+y=0

令x=l,可得平面OW的法向量打=。,一2,0),...................8分

\DN-n\4A/5

114

故点D到平面AMN的距离d=,,=-^=竺巳..................10分

同V55

18.【解析】(I)由/CcosN5/C=(2/3-3C)cosN/3c,

由正弦定理得，2sinZACBcosAABC=sinABACcosAABC+sinAABCcosABAC…2分

/.2sinAACBcos/ABC=sin(Z^C+NABC)=sin(»-/ACB)=sinZACB,

XvZ.ACBe(0,^-),则sinN/CHwO,/.cosZABC=,...................4分

兀

,：ZABCZ.ABC=—；...................6分

JT

(II)在平行四边形4BC。中，ZABC=~,BC=3,AC=5，

在AA8C中，由余弦定理得，

AC2=AB2+BC2-2ABxBCcosAABC,HR7=+9-2x3x(-)...........8分

解得：AB=\^AB=2,..................10分

当N2=l时，平行四边形/8C。的面积：

S=2S瘀=2xL8x8Csin工=2x1xlx3x@=迪；.........11分

"C23222

当N3=2时，平行四边形/8CD的面积：

S=2S,sr=2x-ylJBxJBCsin-=2x-x2x3x—=373....................12分

aABC2322

19.【解析】(I)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10,...................1分

则P(X=0)=1-0,8=0.2,P(X=4)=0.8x(1-0.7)=0.24,

p(X=10)=0.8x0.7=0.56,...................5分

所以X的分布列为：

X0410

P0.20.240.56

...................6分

(II)小明应选择先进行“定位球传准”考核，理由如下：

由(I)可知小明先进行“定位球传准”考核，累计得分的期望为

E(X)=0x0.2+4x0.24+10x0.56=6.56,...................8分

若小明先进行“20米运球绕杆射门”考核，记丫为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为0,6,io,

尸(y=0)=l—0.7=0.3,p(y=6)=0.7X(1-0.8)=0.14,

P(Y=10)=0.7x0.8=0.56,...................10分

贝！Jy的期望为E(y)=0x0.3+6x0.14+10x0.56=6.44,...................11分

数学参考答案及评分标准•第6页(共8页)

因为颐X)〉颐丫)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行“定位球传准”考核.

................12分

20.【解析】(I)因为。2-q=4,%-%=6，所以%-。2-(。2-q)=2............3分

所以数列｛%+i—%｝是首项为4,公差为2的等差数列，所以。用-%=4+2(〃-1)=2〃+2.

当哈2时,

an=-an_x)+(凡_1-Q2)+—(%—%)+Qi-2n+2(〃-1)H----1-2x2+2=/+〃.…5分

当〃=1时，q=2也满足上式.所以4=»+〃..................6分

(II)由(I)知，2=(—1)〃(/+〃)=(_1)5(〃+1)..................8分

当n=2k,左£N*时，

7；=-1X2+2X3-3X4+4X5-------(〃-1)〃+〃(〃+1)=2(2+4+…+〃)=也±巴

...........10分

20x(20+2)=22。........昼分

2

21.【解析】(I)由函数/。)=次2—Mx知，定义域为(0,+s),.................1分

f'(x)=2ax--=——-,.................2分

XX

当时，/'(x)<0恒成立，/(X)在(0,+8)单调递减，.........4分

当Q〉0时，/〈X)<0n0<x<，f\x)>0=>x>,

2a2a

所以/(%)在(0,叵)单调递减，在(叵,+8)单调递增；.........6分

2a2a

(II)g(x)=f｛x)+bx=ax2-inx+bx,

g\x)=2ax--+b,由条件g'(l)=2a—1+6=0,所以b=l—2a,.................7分

，,、41,c2ax2+(l-2a)x-l(2ax+-1)八

(i)g'(x)=2ax——+1—2a=------------------——--------4——................8o分

XXX

由于a>0,故0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以x=l时，g(x)取极小值成立，........10分

(ii)设〃(。)=lna+2b=lna+2—4。，h\a)=--A,易知〃(。)在(0,工)单调递增，