微积分-第四章-不定积分

第四章：不定积分

一、本章的教学目标及根本要求

1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数

的关系，即求导与不定积分互为逆运算；曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。

2、熟记根本积分公式；能熟练地利用根本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法

计算不定积分；掌握第二换元积分法。对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法〔凑微分法），

记住常见的凑微分形式。

3、掌握化有理函数为局部分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积

分、无理式的积分。

二、本章教学内容的重点和难点

1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的根本公式，不定积分、定积分的换元法与

分部积分法；

2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、

无理式的积分。

三、本章内容的深化和拓广

1、了解不定积分在现代数学开展史上的重要意义；

2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫；

3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。

四、本章教学方式及教学过程中应注意的问题

1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方；

2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点；

3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作

业，防止学生只抄教材后的答案。

§4.1不定积分的概念与性质

一、内容要点

1、原函数与不定积分的概念

2、不定积分的性质

二、教学要求和注意点

教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与

求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。

注意点：

1、原函数与不定积分的概念：

由导数及导数的意义引入原函数的概念；

解释不定积分的几何意义；

强调原函数和不定积分的特性，并举例说明；

由根本积分表说明根本积分方法；

2、不定积分的性质：

说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；

列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；

一、原函数与不定积分的概念

定义1如果在区间/上，可导函数尸〔X）的导函数为了（X）,即对任一都有

P'（X）・/（X）或"（X）"/（X）公,

那末函数尸(X)就称为(或在区间/上的原函数。

例如，x-2是2x的原函数，Inx是1/x的原函数因，1nX)-COST,故sinx是COSX的原函数。

注：1由此定义上问题是：f(x),如何去求原函数

2.那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？假设存在是否唯一

定理1：假设f(x)在I上连续，那么f(x)在I上一定有原函数。

注意：并不是任意在I上有定义的函数都有原函数，反例/(x)=11,%>0

0,%<0

定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，那么

1.f(x)的任意两个原函数相差一个常数

2.F(x)+C也是f(x)的原函数

定义2在区间/上，函数/1X)的带有任意常数项的原函数称为/(X)〔或了口灿)在区间/上的不定

积分，记作

其中记号I称为积分号，/(X)称为被积函数，/(xHx称为被积表达式，X称为积分变量。

由此定义及前面的说明可知，如果"(X)是/在区间/上的一个原函数，那么R(x)+C就是/(X)的

不定积分，即

jV(x)dx=5(x)+C

因而不定积分可以表示/(])的任意一个原函数。

第一，如果有尸⑸■了刘，那么，对任意常数C,显然也有[尸⑶+C]'・/(立即如果尸(X)是“幻

的原函数，那“：幻+c也是/CO的原函数。

第二，当C为任意常数时，表达式

户(x)+C

就可以表示了（X）的任意一个原函数。也就是说，/（X’的全体原函数所组成的集合，就是函数族

{F（x）+C|-a<C<®）o

例杨I1求步」.

解由于I'，所以3是x的一个原函数。因此

产小7+。

解当x>0时，由于O«x）=x，所以Inx是x在（°，+8）内的一个原函数。因此，在9+8）内,

i—dx-Inx+C

当x<0时，由于面（■*）］=-"=x,由上同理，在（-8,0）内,

J—-ln(-x)C.

将结果合并起来，可写作

ln|x|+C

例3、F（x）是S2L的一个原函数,

X

求：dF(sinx)

解：F(x)=—

X

.、dF(sinx)1.Insinx1

dF(sinx)=------dsinx=—---cosxdx

dsi;nxs;inx

例4、f(x)的导函数是sinx,那么f(x)的原函数

-sinx+CjX+c2,(c「C2为任意常数)

例5、在以下等式中，正确的结果是c

A、jfz(x)dx=f(x)B、jdgx)=f(x)

c>—ff(X)dx=gx)D、dff(x)dx=gx)

dxJ

二、根本积分表

由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分根本表导出积分表。见课本积分表。

三不定积分的性质

根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：

性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即

fl/W+g(x)]dx・|V(x)dx+j*g(x)dx

注意：差的积分等于积分的差

性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即

W(g-可/(小也是常数,&,0)

的I1步f7x(xJ-5)<fx

例1求」.

51

3

解j/x(x-5)<fx=J(x^

51

Jx^dx-J5x^dx

Jx^dx-5jx'dx

2122

-xJ-5-x3+C

73

2B厂10厂

-xVx-—Zx+C.

=73

111

例2.3(1」

3_5

=[(X4-x4)dx

471

=-x4+4x4+C

7

例3fe*(1---)dx=f(1——)dx=fexdx-f—dx=ex-Inx+C

Jx」xJ」x

例4

53

FFFY2r

-2x2+Y)dx-jx4dx-J2x2dx+jIdx=---------+x+C

§4.2换元积分法

一■、内容要点

举较多的例以说明利用换元积分法求不定积分的根本方法

1、教材上的例1-例3,讲解时充分强调第一换元积分法“凑微分”的根本方法，强调熟悉一些简

单函数的微分的重要性；

2、材上的例4-例11,讲解时充分强调第一换元积分法应结合被积函数的代数恒等变形等手段

求不定积分；

3、教材上的例12-例20,讲解时强调要充分利用三角函数的代数特性及微分特性求不定积分；万

能变换的应用及其与三角函数恒等变形方法之间的关系。

二、教学要求和注意点

教学要求:

了解第一换元积分法的意义及证明方法；掌握第一换元积分法求不定积分的根本方法和步骤；熟悉

一些常见简单函数的微分。了解第二换元积分法的意义及证明方法；掌握第二换元积分法求不定积分的

根本方法和步骤；强调第二换元发与第一换元法之间的区别，了解第二换元积分法适用的函数类型。

教学注意点：

1、由不定标分的意义引入换元积分法的公式;

2、由不定积分的意义证明第一换元公式的正确性；

3、讲解利用第一换元法求不定积分的根本方法和步骤

4、由不定积分的意义引入第二换元积分法的公式；

5、由不定积分的意义证明第二换元公式的正确性；

6、讲解利用第二换元法求不定积分的根本方法和步骤，④强调换元函数的可逆性。

7、例题：举例以说明利用第二换元积分法求不定积分的根本方法

8、教材上的例21-例24,说明第二换元法的根本方法和适应的函数；

9、介绍二次多项式的平方根+.+。的积分方法

利用根本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定

积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称

为换元积分法,简称换元法.

换元法通常分成两类.

一、第一类换元法

设f(u)具有原函数F(u),即尸3)'=/(〃)和］7(")底=/(〃)+。令u=。(x),其中6(x)是可导的,

那么F(u)=F(6(x))显然是复合函数，又由于：

("(切)'==/(")“(%)=/S(x))“(x)

这说明(/［。(劝］)W(0(X))“(X)的一个原函数，那么

J/(。(%))。'(%妙=F［0(%)］)+C=F(u)|“=砥X)+C=Jf(u)du火X)

定理1设f(u)具有原函数F(u),U=4>(x)可导，那么有换元公式：

J/［。(%)］。'(无)办=/［。(劝］=［f(u)du|“二0“)

注意：1.在。(%)］不是。。(%)］的原函数!

2.F(u)是f(u)的原函数是针对积分变量u而言的，网。(x)］是/S(x)］“(x)的原函数是针对积

分变量x而言的。

3.运用第一类积分换元法关键在于设法将被积函数凑成］“(x)的形式，在令“=。(乃变

成不定积分］7(〃)而进行计算，最后用u=0(x)进行回代。

4.在"二。(%)下，/[。(％)]=/(w),(/)\x)dx=du

例1求f2cos2xdx.

解作变换u=2x、便有

/2cos2xdx=fcos2x•2dx=fcos2x•(2x)'dx=fcosudu=sinu+C,

再以〃二点代入,即得

f2cos2xdx=sin2x+C.

例2求/tanxdx.

解ftanxdx=fsinx/cosxdx.

因为-sinxdx=dcosx,所以如果设u=cosx,那么du=~sinxdx、即-du=sinxdx,因此

旌,x」

Itanxax--------ax■一J—■-ln^|+C--ta|co$W+C

JJcosx

类似地可得/cotxdx=ln/sinx1+C.

在对变量代换比拟熟练以后,就不一定写出中间变量u.

例3求fch(x/a)dx.

ask—^C

解

rdx

例4求」6一二

(a>0).

下面的一些求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要

用到一些三角恒等式.

例5求fsinxdx.

解fsinxdx=fsinxsinxdx=~f(1-cosx)d(cosx)

=-fd(cosx)+fcosxd(cosx)

=~cosx+(1/3)cosx+C.

例6求fcosxdx.

解Jcos2xdxdx0Jco52xdfx)

-+|Jcos2xd(2x)*+向：，+C

附力口:

1、(—--dx=-—[——d(3-2x)=--h|3-2x1+c

J3-2x2J3-2x211

2、jJ"xdx=jJ]nxdInx=：(tax)久+c

3、jcosxsin3xdx=jsin3xdsinx=sin4x+c

4、J/x,dx=」jdj]_x2=Nl-x2+c

J-VI-x22」

5、jx2e'dx=-gjex3d(-x)3=-^ex3+c

6、

利用定理1来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法那么求函数的导数要来的困难,因为其中需要

一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=@⑴没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一

些典型的例子外,还要做较多的练习才行.

二、第二类换元法

第二类换元法从形式上看与第一类换元法恰好相反，它是将不定积分，/(x)dx通过X="(/)转换成

(〃⑺力来计算，但有几点需要说明。1(〃⑺W(。力要存在，2尽量寻找这样的x=〃⑺

使力容易求出，3。求出后要用t="T(X)将积分变量换回到x,因此这里还要求％=〃⑺

的反函数存在。

定理2设x="Q)是单调的、可导的函数，并且，⑺H0.又设⑺]〃'⑺具有原函数①⑺，，那

么f(x)具有原函数①0T(x))那么有换元公式：

ff(x)dx=①[〃―1(%)]+C=jI”⑺

其中t=〃—i(x)是工="Q)的反函数.

证明：(o>(〃T(x))y=<u«x〃T(r))'=一^=/[〃0)]=/(x)所以

①[材T(X)]是f(X)的原函数，从而

If(x)dx=①(x)]+C=①⑺|~⑴+C=f〃〃⑺,'⑺力|9一小)

例1求W*(a>0)

解求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sirh+c/t=l来化去根式.

设厂as加7,-Ji/2〈伙“/2,那么J。"x"~a8m'',于是根式化为了

三角式,所求积分化为.

利用例6的结果得

.n—T.Jz.仙以)o2―

|Va-x'dx-a”一+-----♦C——/♦—stntcost♦C

J12422

由于x=asinti-兀/2<t<兀/2,所以

于是所求积分为

jjl-•—arcsm—+|x>/a2-x3+C

具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.

注意检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的,

否那么结果是错误的。

常用变量代换

(1)被积函数中含有二次根式

Va2-x2,令x=asint

Ja?+x2，令x=atant

A/X2-a2,令x=asect

如是Vax2+bx+C配方

fJu2+a;,Ju?-a；,Jaj-u，

例、［Jl-x2令

2dxx=sint,dx=costdt

Jx2

解：原式=f^I.COstdt

Jsint

=jcot2tdt=j(esc21-l)dt

Vi-%2

=-cott—t+C

------------arcsmx+C

x

例3、f___1dx二种解法

x2Vx2-4

x=2secf

x=4cos%

[2)被积函数中含一般根式

rdx

例虱-----°/

J1+Vx+2

解：令)x+2=tx=t3-2dx=3t2dt

3t21

原式=Jdt=3j(t-l+)dt

1+t1+1

2______________

=|3(x+2y-3Vx+2+31n|1+Vx+2|+C

例5、fdx令x=t6dx=6t5dt

原式=|■乎=dt=6|■二dt=6f(t—1+，)dt

Jt3+t4Jl+t八1+t

=6&—t+ln|l+t||+C

=3Vx-6Vx+6In1+Vxl+C

例6、jJe*+Idx

解：令Je*+1=tex=t2—1

x=ln(t2-1)dx=jt出

t2-1

原式=+K=2t+ln—+C

」t2-1t2-1Jt+1

=2Vex+l+ln(7ex+l-l)-ln(Je'+l+1)+C

§4.3分部积分法

一、内容要点

1、分部积分法：

由不定积分的意义引入不定积分的分部积分公式；

教材上的例一例7,说明分部积分法的根本方法及其特性；

教材上的例8-例10,说明应注意分部积分法应与其它的方法结合使用。

2、有理式的积分：

有理式分解的最后形式和分解方法；

有理式分解后每一局部的积分法；

x+31

例：分解，及-------说明分解的步骤。

x一5x+6x(x-1)

二、教学要求和注意点

教学要求:了解分部积分法的意义及证明方法；掌握分布积分法的根本步骤和适应函数；了解有理式积

分的根本思想及有理式分解的根底

这是一个新的积分方法，设u(x),v(x)具有连续导数,那么有个v)'=+,即,

两边同时积分那么有，J〃丫'公=av-J〃'丫公即udv=wv-jvdu,上式就是分布积分公式。

注意：使用分部积分的关键是如何选取U和V

例1、jxcosxdx=jxdsinx

=xsinx-jsinxdx

=xsinx+cosx+c

例2、jxe~xdx=-jxdex

=-xe-x+jeXdx

=-xex—e-、+C

例3、

[(arcsinx)2〃

2

f=x(arcsinx)-Jx2arcsinx•J,dx=x(arcsinx)2+2jarcsinxdV1-x2

=x(arcsinx)2+211一x2arcsinx-JA/1-x2-/]dx

A/1-X2

=x(arcsinx)2+2V1-x2arcsinx-2x+C

例4、J”.dx=jInInxdlnx

=lnx-totax-ftax••—dx

JInxx

=lnxInInx-Inx+c

例5、Jdx=—JInxdQ)

Inx1,

=------+f—dx

XJX

Inx1

-------------+c

XX

例6、Jxtan2xdx=Jx(sec2x—l)dx

riX

=xtanx-tanxdx-----

J2

=xtanx+Incosx------FC

112

2

的।xarctanx,「x2+l-l

例7、C[---------------dx=[arctanxdx

J1+x」1+x2

/arctanx、1

=Jr(arctanx——-----)dx

=jarctanxdx-jarctanxdarctanx

x1一

=xarctanx-r-------dx——z(arctanx)

J1+x22

2、1/\9

=xarctanx-—ln(l+x)-—(arctanx)+c

例8、

jln(x+Jl+xjdx=xln(x+Jl+x?)-jqdx,+c

=xln(x+vl+x2)--Vl+x2+C

例9、Je2xcosexdx=Jexdsine'

=exsinex-Jsine'de"

=exsinex+cosex+c

例10、Jx2sin2xdx=Jx2^(1-cos2x)dx

=————fx2dsin2x

64J

=-....x2sin2x+—[xsin2xdx

642J

x3x2]

=-------sin2x——fxdcos2x

644J

X3171Cl.c

=------xsin2x——xcoszx+-sm2x+c

6448

xarcsinx

例11、dx=-JarcsinxdVl—x2

Vl-x2

=—Vl—x2arcsinx+x+c

注意：

1一般而言分部积分法和换元法同时使用会有更好的效果。

2分部积分常适用于以下积分

Jx"In〃xdx^xmeaxdx.^xmsinaxdx.JxmCOSIAZZX,J*sinbxdx,

Je"cosbxdx^xmarcsimzZx,等等。

§4.4几种特殊类型的函数积分举例

一、内容要点

1、有理函数的积分：

例1-例4,说明有理函数积分的根本方法和步骤；

三角有理似的积分，说明三角有理式的积分可通过万能变换化为有理式的积分，用教材上的例5说

明；

无理式的积分，用例6-例9说明一次无理式和二次无理式可通过适当的变换化为有理式的积分，并

总结变换式的规律；

2、归纳不定积分的积分方法和应注意的地方

二、教学要求和注意点

掌握有理函数积分的根本方法；归纳不定积分的积分方法和应注意的地方

一有理函数的积分举例

有理函数是指形如尺(%)=且2=+•…许，其中期小为正整数或者0,

2仆)犷+W+.•…bm

a0,..…/；％,…力,“都是常数，且gwO，dwO,当n〈m是真分式，当加时是假分式，但总可以通

过多项式除法写成一个多项式与一个真分式的和，因此问题就集中在解决真分式的积分问题。

定理1：任何实多项式都可以分解成为一次因式与二次因式的乘积。

定理2：有理函数的分解

P(x)=__+_^2___+...+4

。(九){x-d)a(%-O)aT(x-a)

BTIB、।B

-\----------1----------2-F•••H-------p-

{x-bY(%-Z?)，T(x-Z?)

Mjx+M?x+N2M3X+N3

(x2+px+qY(x2+px+qY~1(x2px+q)

7?.x+S,7?2x+S2

(x2+rx+sY(x2+rx-\-sY~x(x2+rx+s)

局部分式：

[]Mx+NMx+N

11252n

ax+b'(ax+b)'x+px+q(x+px+q)

其中：p2-4q<0上述常数用待定系数法可以确定。

方法：分式一真分式f局部分式

1、rx+3,

例：1)—；---------dx

Jx-5x+6

13AB

解：2r=上一十——用待定系数法:A-5,B=6

x—5x+6x—2x—3

那么：J2"3—dx=f(^~+-^—)dx=—51n1x—21+6In\x-3\+C

x5尤+6JV2x3

解：x+1=x+1

x2-x-12(x-4)(x+3)

AB

=------+-------

x-4x+3

A(x+3)+B(x-4)

(x-4Xx+3)

A(x+3)+B(x-4)=x+l

令=4A=-,

x7

令=-3B=-

x7

x+1,2

-----------dx+dx

x2+3x+5x+3

52

=—h|x-4|+—]n|x+3|+C

1x+2

3)Jdx=-arctan--------Fc

x2+4x+8；22

12x+4-2

Ir-----1-------C1tx=—f—-----------

Jx~+4x+8；2Jx2+4x+8

2+4+8)f1

d(x+2)

~2+4x+8」(x+2)2+22

1x+2

=—Inlx2+4x+8|--arctan------+c

222

备用习题:

x—2j

4)J—；---------ax

x+2x+3

5)-----dx

x(x-1)

1

6)-dx

(1+2x)(1+/)

二、三角有理式积分jR(sinx,cosx)dx

三角函数的有理式是指三角函数经过有限次四那么运算所构成的函数求这类函数的积分是可以通

过如下变换计算:

2

.x1-t.2t2dt

令tan—=tJ

cosx=---s-m-x=----7dx=----

21+t21+t21+t2

1

1、dx1告出

2+sinxZ2T

2H--------

1+t2

1

dt

=1t2+1+1

1dt4

=J2

t+jrvsY

+hJ

1

2Cto---

=--j=arctan—产—FC

V3V3

T

CX.

c2tan—F1

2o

=—^arctan----奔——+C

V3V3

2

dxrsecx,

2、=----;-----dx

3+cos2xJ3sec2x+1

1dV3tanx