2024年春苏科版九年级数学中考复习《几何最值之瓜豆原理》训练（附答案）

2024年春苏科版九班级数学中考复习《几何最值之瓜豆原理》专题训练（附答案）

一.选择题

1.如图，正方形A8CD的边长为4,E为8c上一点，且BE=1,尸为48边上的一个动点,

连接£尸，以所为边向右侧作等边△E/G,连接CG,则CG的最小值为（）

A.0.5B.2.5C./D.1

2.如图，A8=4,AC=2,以为边向上构造等边三角形BCD,连接并延长至点P,

使AO=P。，则尸8的最小值是（）

3.如图，在等腰Rt^ABC中，AC=BC=2,点尸在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC

的中点.当点P沿半圆从点A运动至点2时，点M运动的路径长是（）

C.2D.

4.如图，在直角坐标系中，OA的半径为2,圆心坐标为（4,0）,y轴上有点8（0,3）,

点C是OA上的动点，点P是的中点，则。尸的范围是（）

375g

A.—WOPW—B.2WOPW4C.—WOPW—D.3WOPW4

2222

5.如图，A是08上任意一点，点C在08外，已知4B=2,BC=4,△ACD是等边三角

形，则△BCD的面积的最大值为（

C4断D.6

6.如图，在RtZxABC中，ZBAC=90°，AB=3,AC=4,平面上有一点P,连接AP,CP,

且CP=2,取AP的中点连接则8M的最小值为（）

C-y/13~1D.2^/3

7.如图，矩形ABC。中，48=2,BC=3,以A为圆心，1为半径画OA,E是圆G）A上一

动点，P是8C上一动点，则PE+P。最小值是（）

A.2B.3

8.如图，点C为线段A8的中点，E为直线A8上方的一点，且满足CE=CB,连接AE,

以AE为腰，A为顶角顶点作等腰连接CD,当CD最大时，NDEC的度数为

D.

B

A.60°B.75°C.67.5°D.90°

9.如图，已知点A是第一象限内横坐标为/的一个定点，轴于点交直线y=

-x于点N,若点尸是线段ON上的一个动点，NAP8=30°,BA±PAf则点尸在线段

ON上运动时，A点不变，5点随之运动，求当点尸从点。运动到点N时，点5运动的

D.

4

10.如图，点A是双曲线y=—在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B,

X

以为斜边作等腰RtZXABC,点。在其次象限，随着点A的运动，点C的位置也不断

的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（）

114

A.y=-——%B.y=--xC.y=-——D.「

42X

二.填空题

11.如图，在等边△ABC中，AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E动身沿EA方向运动,

连接PO,以PD为边，在尸。的右侧按如图所示的方式作等边△QPF,当点P从点E运

动到点A时，点下运动的路径长是.

12.如图，△ABC为等边三角形，AB=6,AD±BC,点E为线段A。上的动点，连接CE,

以CE为边作等边△<?£：£连接。凡则线段。尸的最小值为.

以AB为边作正方形ABCD,使得P、。两点落在直线A8的两

侧，当NAP8变化时，则尸。的最大值为

14.如图在△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,BC=2.。是AB上一动点，以。C为斜

边向右侧作等腰RtADCE,使/CED=90°,连接BE,则线段BE的最小值为.

15.如图，点A,2的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为坐标平面内一点，BC=2,点

M为线段AC的中点，连接OM,当OM取最大值时，点M的坐标为

16.如图，等边△ABC边长为4,E是中线A。上的一个动点，连接EC,将线段EC绕点C

逆时针旋转60°得到FC,连接。F,在点E运动过程中，。尸的最小值为

17.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接DP,将直线

。尸绕点尸顺时针旋转使/£>PG=NZMC,且过。作。GJ_PG,连接CG,则CG最小值

(0,4),A(3,0),OA半径为2,P为OA上任意一

点，E是PC的中点，则OE的最小值是.

19.如图，等边△ABC中，48=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD,

取CD的中点E,连接BE,则线段BE的最大值与最小值之和为.

3

20.如图，直线y=—尤+3与坐标轴交于A、8两点，。。的半径为2,点P是。。上动点,

4

△ABP面积的最大值为cnT.

21.如图，ZBAD=90°,42=A£>=4,点C为平面内一动点，且BC=2,点M为线段CO

中点，则线段AM的取值范围为.

22.如图，在四边形ABCD中，连接2£>,AD=BD=CD=4,/BDC=120°,E为AB的

中点，则线段CE的最大值为.

23.如图，在平面直角坐标系中，点P是以C(-\/0v行)为圆心，1为半径的OC上

的一个动点，已知A(-1,0),B(l,0),连接B4,尸2,则用2+尸#的最小值是.

24.如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为(5,12),点P是OM上的任意一点，E4±

PB,且B4、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点8关于原点。对称，则的最

小值为•

三.解答题

25.如图，正方形A8CD中，AB=2J,。是8c边的中点，点E是正方形内一动点，OE

=2,连接。E,将线段。E绕点。逆时针旋转90°得。凡连接CF.

(1)求证：AE=CF；

(2)若A,E,。三点共线，连接。咒求线段。尸的长.

(3)求线段。厂长的最小值.

1

26.如图，过抛物线y=—f-2尤上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B,交y

4

轴于点C,已知点A的横坐标为-2.

(1)求抛物线的对称轴和点3的坐标；

(2)在AB上任取一点P,连接OP,作点C关于直线OP的对称点£(；

①连接8。，求8。的最小值；

②当点。落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线尸。的函数表达式.

参考答案

选择题

1.解：由题意可知，点厂是主动点，点G是从动点，点P在线段上运动，点G也肯定在

线段轨迹上运动

将△EF2绕点E旋转60°,使所与EG重合，得到△EHG,连接卸/,得到

EHG

从而可知为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，

延长交CD于点N.

:.HE=BE=LZBEH=60°,ZGHE=ZFBE^90°,

.•.△EB”为等边三角形.

•.•四边形ABC。是矩形，

：.ZFBE^9Q°,

；./GHE=NFBE=90°,

：.点G在垂直于HE的直线HN上,

作CMLHN,由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，

作EP_LCM,连接EH,

则四边形HEPM为矩形，

：.MP=HE=1,ZHEP=90°,

：.ZPEC=30°.

；EC=BC-BE=3,

13

：.CP=—EC=—,

22

35

CM=MP+CP=1+—=——，

22

5

即CG的最小值为

2

方法二：以CE为边作等边三角形CEH,连接

则ACEG也AEFH,

:.CG=FH,

当切，4B时，切最小=l+2=2.

22

2.解：如图，以A8为边构造等边三角形A'AB,连接A'P,取AB的中点M,连接。M,

在等边三角形A'A8和等边三角形BC。中，

AB=A'B,BC=BD,AABA'=NCBD=60°,

AZABC=60°-ZABD,ZA'BD=60°-ZABD,

：.ZABC^ZA'BD,

在△ABC和AA'BD中，

AB=AfB

.NABC=/A'BD,

\BC=BD

：.△ABC^AA,BD(SAS),

：.AC=A'D=2,

\"AD=PD,AM^BM,

：.DM是AABP的中位线，

：.PB=1DM,

：.当DM最小时，PB有最小值，

VAA4,2是等边三角形，M是AB中点，

当点A',D,M在同一条直线上时，OM有最小值,

此时，A'A=4,A〃=2,A,MLAB,

•••&'M=4r屋-22=2、5

：.DM^A'M-A'D=2^'3-2,

•••尸8的最小值是4\/§-4.

故选：D.

3.解：取AB的中点O、AC的中点E、8C的中点凡连接。C、OP、OM,OE、OF、EF,

如图，

,在等腰Rt/xABC中，AC=BC=2,

AB=BC=2/Z,

•",A/^V2

11

OC=——AB=OP=—AB=

22a

'：ZACB=90°

；.C在OO上，

为PC的中点,

：.OM±PC,

：.ZCMO^90°,

...点M在以OC为直径的圆上，

点尸点在A点时，M点在E点；点P点在8点时，〃点在厂点,易得四边形CEOF为

正方形，EF—OC—

；.加点的路径为以跖为直径的半圆，

.,.点M运动的路径长=」-・2TT•二4二=*2冗.

222

4.解：如图，在y轴上取点8(0,-3),连接8C,B'A,

:点B(0,3),B'(0,-3),点A(4,0),

：.OB=OB、=3,OA=4,

••/A=J0A?+B，02=y^p^=5,

:点尸是3C的中点，

:.BP=PC,

；OB=OB',BP=PC,

：.B'C=2OP,

当点C在线段84上时，8c的长度最小值=5-2=3,

当点C在线段84的延长线上时，8c的长度最大值=5+2=7,

37

—WOPW—,

22

故选：A.

5.解：以8C为边作等边△8CM,连接。M.

'：ZDCA=ZMCB=60°,

；.NDCM=ZACB,

'：DC=AC,MC=BC

:.ADCMm4CAB(SAS),

.•.OM=AB=2为定值，

即点。在以M为圆心，半径为2的圆上运动，

当点。运动至BC的中垂线与圆的交点时，

CB边上的高取最大值为2、/§+2,

此时面积为4J§+4.

故选：A.

6.解：取AC的中点N,连接MN,BN.

*：AN=CN=—AC=2f

2

VZBAN=90°,A8=3,

•1•BN=JAB=+AN2=V32+22=H，

'：AM=MP,AN=NC,

1

：.MN=——PC=1,

2

；BM，BN-MN,

-1,

的最小值为Q-1,

故选：C.

7.解:如图，以BC为轴作矩形ABC。的对称图形A'BCD'以及对称圆A',连接A'D

交BC于P,贝|。仪就是尸E+PQ最小值；

•・,矩形ABC。中，AB=2fBC=3,圆A的半径为1,

二•A'Dr=BC=3,DD'=2OC=4,AE'=1,

二•A'0=5,

：.DE'=5-1=4

：・PE+PD=PE'+PD=DE'=4,

故选：C.

8.解：如图1中，将线段C4绕点A逆时针旋转90°得到线段A",连接CH,DC.

9：ZDAE=ZHAC=90°,

：.ZDAH=ZEAC,

\9DA=EA,HA=CA,

：./\DAH^/\EAC(SAS),

：・DH=CE=定值,

•：CDWDH+CH,是定值，

・••当O,C,〃共线时，OC的值最大，如图2中，

此时NA"O=NACE=135°,

：.ZECB=45°,ZDCE=ZACE-ZACH=90°,

•・•NECB=/CAE+/CEA,

\9CA=CE,

：.ZCAE=ZCEA=22.5°,

AZADH=ZAEC=22.5°,

：.ZCDE=45°-22.5°=22.5°,

・・・/DEC=90°-22.5°=67.5°.

故选:C.

9.解：由题意可知，0M点N在直线y=-x上，AC_LJC轴于点M,则△OMN为等

腰直角三角形，0N=v，®OM=y历X

如答图①所示，设动点P在。点（起点）时，点8的位置为8o,动点P在N点（终点）

时，点B的位置为8",连接加瓦

VAOXABo,ANLABn,

.,.ZOAC^ZBoABn,

又•.•A8o=AO・tan30°,ABn=AN-tan300,

.1.ABo：AO=ABn-.AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），

：.LABoBnSAAON,且相像比为tan30°,

J3

BoBn—ON・tan30°=X------=-

3

现在来证明线段BoB"就是点2运动的路径（或轨迹）.

如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点8为连接AP,ABi,

BoBi

'：AO±ABo,APLABi,

：.ZOAP=ZBoABi,

又,.,ABo=AO,tan30°,ABi—AP,tan30°,

.".ABo：AO=ABi：AP,

：.AABoBisAAOP,

ZABoBi=ZAOP.

又；△A2oB"S△AON,

ZABoBn=ZAOP,

/ABoBi=ZABoBn,

/.点历在线段BoB”上,即线段8o8”就是点B运动的路径（或轨迹）.

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段BoB”,其长度为品.

故选：C.

10.解：作4。，彳轴与点。，连接OC,作CELy轴于点E,

:△ABC为等腰直角三角形，点。是A8的中点，

?.OC=OA,CO.LAO,

：.ZCOE=ZAOD,

：NOEC=NOZM=90°,

.".△OEC^AODA（A4S）,

：.OD=OE,AD=CE,

设点C的坐标为（尤，y）,则点A为（y,-x）,

■二点A是双曲线＞=士上，

X

-y尤=4,

'.xy=-4,

-4

.,.点C所在的函数解析式为：y=------,

X

故选：C.

填空题

11.解：如图，；△ABC为等边三角形,

/.ZB=60°,

过。点作。E'LAB,贝=」BD=2,

2

:.点E'与点E重合,

:.NBDE=3G°,£)E=、/§BE=2®

,/ADPF为等边三角形,

?.ZPDF=60°,DP=DF,

/EDP+/HDF=90°

VZHDF+ZDFH=90°,

ZEDP=ZDFH,

在和△NDH中，

,^PED=^DHF

,/EDP=/DFH,

\DP=FD

：.^DPE^AFDH,

:.FH=DE=2后

...点P从点E运动到点A时，点/运动的路径为一条线段,此线段到BC的距离为2啰，

当点尸在E点时，作等边三角形DEP1,/BDF1=3O°+60°=90°,贝

当点P在A点时，作等边三角形DAF2,作F2Q±BC于Q,则△。尸2。g△?!£>£,所以

DQ=AE=10-2=8,

：.FIF2=DQ=S,

当点P从点£运动到点A时，点尸运动的路径长为8.

:△ABC为等边三角形，AD1BC,AB=6,

：.BC=AC=AB=6,BD=DC=3,ZBAC=ZACB=6Q°,ZCAE=30°

:△CEF为等边三角形

：.CF=CE,ZFCE=60°

:.NFCE=NACB

NBCF=ZACE

.•.在△83和△人0£中

BC=AC

,ZBCF=ZACE

CF=CE

：.ABCF^AACE(SAS)

：.ZCBF=ZCAE=30°,AE=BF

...当J_8/时，。产值最小

止匕时/台万二%。，ZCfiF=30°,BD=3

13

：.DF=—BD=—

22

故答案为：—.

2

13.解：过点A作AQLAP,使AQ=AP=2,连接B。,

...NQAP=90°,

•..四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB,ZDAB=9Q°,

：.ZQAP^ZBAD,

：.ZQAP+ZPAB=ZBAD+ZPAB,

即/QA8=N81。，

：.^QAB^/\PAD(SAS),

：.BQ=PD,

：.PD最大值即为BQ最大值，

•:BQWPQ+PB,

...当Q、P、2在同始终线时，3。最大，最大值为尸。+尸8,

在RtAAQP中，

尸。=JQ+ApWy^，

J.PQ+PB最大值为212+4,

.•.尸。最大值为2\/攵+4,

故答案为：2〃+4.

14.解:如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C,边E1C与AB交于点G,

连接E1E延长与AB交于点凡作BE2LE1尸于点出,连接CF,

VRtADCE与RtAAEiC为等腰直角三角形,

ZDCE=ZCDE=ZACEi=ZCAEi=45°

ZACD=ZEiCE

..CD_AC

•CECE「

AACDSAEICE,

：.ZCAD=ZCEIE=30°,

为AB上的动点，

在直线EiE上运动，

当时，BE最短，即为BE2的长.

在△AGC与AEiG尸中，

/AGC=/EiGF,/CAG=NGEiF,

：.ZGFEi=ZACG=45°

；./BFE2=45°,

,：ZCAD=ZCEiE=30°,

...点A,点C,点尸，点Ei四点共圆，

/.ZAEiC=ZAFC=9Q°,且/A8C=60°,BC=2,

•：BF='呼&,

:.BE2=

2

故答案为：

2

15.解：如图，•..点C为坐标平面内一点，BC=2,

；.C在08上，且半径为2,

取。。=。4=4,连接CD,

'：AM=CM,OD=OA,

，。加是△ACQ的中位线,

1

/.OM=—CD,

2

当。河最大时，即最大，而。，B,C三点共线时，当C在DB的延长线上时，0M

最大，

；0B=0D=4,ZBOD=90°,

:・BD=4R

：.CD=4^+2,

作CELx轴于E,

'：CE//OB,

OBODBD444万

CEDECDCEDE42+2'

：.CE=DE=4+

・•・OE=DE-OD

•・・”是AC的中点，

：.M(2+/~,2+^^),

22

故答案为：(2+比，2+"2).

22

16.解：如图，取AC的中点G,连接EG,

:旋转角为60°,

：.ZECD+ZDCF=60°,

又•.•/ECZ)+/GCE=NACB=60°,

:.NDCF=NGCE,

'：AD是等边△ABC的对称轴，

1

CD=—BC,

2

:.CD=CG,

又：CE旋转至！|CF,

:.CE=CF,

在△Ob和△GCE中，

CE=CF

</DCF=/GCE,

\cD=CG

:ADCF乌AGCE(SAS),

：.DF=EG,

依据垂线段最短，EGLA。时，EG最短，即。尸最短，

-111

此时：NCAO=—X60°=30°，AG=一AC=—义4=2,

222

11

：.EG=——AG=——X2=l,

22

：.DF^1.

故答案为：1.

17.解：如图，作。H_LAC于H,连接HG延长HG交CD于R作HE_LC。于E.

'JDGLPG,DH±AC,

：.ZDGP^ZDHA,

'：ZDPG=ZDAH,

：.AADHs^PDG,

ADDH

-------,ZADH=ZPDG,

DPDG

：.ZADP=ZHDG,

：.△ADPs^DHG,

：./OaG=/OAP=定值，

.•.点G在射线HF上运动，

当CGLHF时,CG的值最小,

:四边形ABC。是矩形，

ZADC=90°,

/.ZADH+ZHDF^9Q°,

VZDAH+ZADH=90°,

/.NHDF=/DAH=ZDHF,

：.FD=FH,

VZFCH+ZCDH^90°,/FHC+NFHD=9Q°,

NFHC=ZFCH,

：.FH=FC=DF=L5,

在中，VZADC=90°,AD=4,CD=3,

AD-DC12

/.AC=y32+42=5,DH=

AC5

/ce9

D

DH-CH36

EH=-----------=——，

CD25

•：NCFG=NHFE,/CGF=/HEF=90°,CF=HF,

：./\CGF^/\HEFCAAS),

36

CG=HE=——，

25

CG的最小值为——,

25

故答案为——.

25

18.解：如图，连接AC,取AC的中点H连接EH,0H.

:CE=EP,CH=AH,

1

:.EH=—24=1,

2

.•.点E的运动轨迹是以X为圆心半径为1的圆,

VC(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

:，0H=42：H-1.52=25

；.0E的最小值=0H-EH=2.5-1=1.5,

故答案为：1.5.

19.解:延长CB到T,使得BT=BC,连接AT,DT,AD.

AABC是等边三角形，

.•.a4=BC=AC=2T=2,ZACB=6Q°,

：.ZCAT=9Q°,

；.AT=CT・sin60。=2溷

VAZ)=1,

•••2/§7Wg2/§+l,

"：CB=BT,CE=DE,

1

：.BE=—DT,

2

线段BE的最大值与最小值之和为2/§,

20.解:如图,

y,

3_

•・•直线y=—x+3与坐标轴父于A、3两点,

4

AA(-4,0),B(0,3),

・・・OA=4,08=3,

在RtzXAOB中，依据勾股定理得，42=5,

中，AB=5是定值，

要使的面积最大，即。。上的点到的距离最大，

/.过点O作OCLAB于C,CO的延长线交。。于P,此时SAPAB的面积最大,

11

S^AOB=——OA*OB=——AB・0C,

22

OA-OB4X312

oc=-----------=--------=—,

AB55

：0。的半径为2,

22

；.CP=OC+OP=——，

5

1122

.".SAPAB=——AB'CP=——X5X——=11.

225

故答案为n.

21.解:如图1,连接8。，取8。的中点M连接AN.MN,

:点M为线段CD中点，

:.MN是ABCD的中位线,

11

MN=——BC=——义2=1,

22

VZBA£>=90°,AB=4D=4.

■■BD=JAB'±AD2=4^

又：点N为BD的中点，

1

：.AN=BD=2

2

(1)如图1,当点A,N,M不共线时,

由三角形的三边关系得：AN-MN<AM<AN+MN即2-l<AM<2y2+1；

(2)如图2,当点A,N,M共线，且点N位于点A,M中间时,

则AM=AN+MN=2、/乌+1；

(3)如图3,当点A,N,M共线，且点M位于点A,N中间时,

则AM=AN-MN=2万-1；

综上，线段AM的取值范围为2jQ-1WAMW2.5+1,

解法二：倍长到R得到AM等于二分之一CR点C的运动轨迹是以点B为圆心,

BC=2为半径的圆，同时当尸C经过圆心B的时候，FC1是最大,也就是AM最大，FC2

最小也就是AM最小，

;点M为线段CD中点，AF=AD,

1

：.AM^一FC,AF^AD=AB=4,

2

VZBAD=90°,

・"尸=4住

当尸C经过圆心2的时候，*1是最大为4、/1+2,也就是AM最大，AM=2j»l,

-2,也就是AM最小，AM=2j1-l,

线段AM的取值范围为2-1WAMW2jQ+1,

故答案为：2、/不-1WAMW2、/叵+1.

22.解：如图，点F为BD中点,连接ERFC.

'：AD=BD=CD=4,

1

：.EF=——AD=2,

2

在RtZVTOC中，

DC=4,

NCDH=18Q-/HDC=60°,

：.DH=2,HC=2&FH=4,

在RtZV/FC中，

FC=JFH、HCT42+(273)2=2/7'

；.CEWEF+FC=2+27,

，CE的最大值为2+2、行，

23.解：设尸（尤，y）,

PA2=(无+1)2+y2,PB2=(x-1)2+y2,

：.PA^+PB2=2^+2/+2=2(/+廿)+2,

•/0尸2=/+/,

：.PA2+PB2=2OP2+2,

当点尸处于oc与圆的交点上时，。尸取得最值，

OP的最小值为CO-CP=，弓-1,

J.H^+PB2最小值为14-44.

故答案为：14-4〃号.

24.解：连接。尸，

VE4XPB,

AZAPB=90°,

'：AO=BO,

：.AB=2PO,

若