山西省晋城市陵川2024届高三3月份模拟考试数学试题含解析

山西省晋城市陵川一中2024届高三3月份模拟考试数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

xlnx-2x,x>0

1.已知函数/（x）=23的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=履-1的图像

x-\—%0

I2

上，则实数上的取值范围是（）

22

2.设耳，凡分别是双曲线二-七=1（°>0/>0）的左右焦点若双曲线上存在点P,使/£桃=60。，且忸制=2忸闾,

ab

则双曲线的离心率为（）

A.73B.2C.6D.76

3.a为正实数，i为虚数单位，9=2,则a=（）

I

A.2B.73C.夜D.1

4.已知边长为4的菱形ABC。，ZZMB=60°,M为CD的中点，N为平面ABC。内一点，若AN=NM,贝!J

AMAN^（）

A.16B.14C.12D.8

5.给出下列四个命题：①若“P且q”为假命题，则q均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

2

③若命题°：叫eR,XQ>0,则命题可:VxeR,X<0；④设集合4={1%>1},3={x|x>2},贝!|“xeA”

是“xe3”的必要条件；其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知复数，则-的共物复数在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7T.

7.已知函数/（X）=sin2x+sin2（x+y）,则/（x）的最小值为（）

D.—

2

8.设i是虚数单位，若复数z=l+i,则也+z2=(

)

Z

A.1+zB.1-zC.-1-zD.-1+z

9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了()

A.96里B.72里C.48里D.24里

10.已知将函数/(x)=sin((«x+。)(0<®<6,—3<e<g)的图象向右平移？个单位长度后得到函数g(x)的

77

图象，若/'(X)和g(x)的图象都关于x=—对称，则口的值为()

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

11.将函数/(x)=2sin(3x+e)(0<。<乃)图象向右平移一7T个单位长度后，得到函数的图象关于直线x=72T对称,

83

71冗

则函数/■(*)在一；三上的值域是()

OO_

A.[-1,2]B.[-73,2]C.--,1D.[-72,2]

2-1―.

12.如图，在AABC中，AN=-NC,尸是BN上一点，若AP=/A3+—AC,则实数f的值为()

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为逑，则该半球的体积为.

14.平面直角坐标系中Q为坐标原点，己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=aOA+13OB，其中a/GR,且a+p=l，则点

C的轨迹方程为一

15.AABC内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若2ccos3=2a+b,则NC=.

16.已知复数zi=l-2i,Z2=a+2i(其中i是虚数单位，aGR),若zi・Z2是纯虚数，则a的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在直角AAO3中，OA=OB=2,AAOC通过AAO3以直线Q4为轴顺时针旋转120。得到

(ZBOC=120°).点。为斜边AB上一点.点〃为线段上一点，且出=逑.

(1)证明：平面AOB；

(2)当直线血。与平面所成的角取最大值时，求二面角5-CD-O的正弦值.

18.(12分)如图，在四面体。ABC中，ABLBC,DA=DC=DB.

(1)求证:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4O=30。，二面角C—AB—。为60，求异面直线与8C所成角的余弦值.

19.(12分)在「.ABC中，内角的对边分别是"c,满足条件c=2b—"z,C=工.

4

(1)求角A；

(2)若A6c边A5上的高为g,求AB的长.

20.（12分）已知三棱锥A-BCD中侧面曲与底面5CD都是边长为2的等边三角形,且面ABD±面BCD,M、N

分别为线段AO、A5的中点.P为线段上的点，且MNLNP.

（1）证明：P为线段的中点；

（2）求二面角A—NP—M的余弦值.

21.（12分）如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ZADC=90，平面上4。_L底面

ABCD,。为AO的中点，M是棱PC上的点且PM=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=1,CD=2.

2

（1）求证：平面PQB，平面以PAD；

（2）求二面角M-BQ-C的大小.

7

22.（10分）已知公比为正数的等比数列｛4｝的前“项和为S,,且q=2,S3=-.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

⑵设勿=（2〃；）」,求数列也｝的前”项和Tn.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

可将问题转化，求直线y=履-1关于直线y=-1的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临

界点，进一步确定攵的取值范围即可

【详解】

可求得直线y=H-1关于直线y=-1的对称直线为y=mx-1(m=-k),

当尤>0时，/(x)=xlnx-2x,/'(x)=lnx-l,当x=e时，/'(x)=0,则当xw(0,e)时，/,(x)<0,f(x)

单减，当xe(e,+8)时，/'(x)>0,单增;

3a33Q

当x<0时，/(x)=x2+|x,/'(%)=2x+|,当工=—j尸(x)=0,当x<—；时，/(%)单减，当一六x<0时,

/(x)单增；

根据题意画出函数大致图像，如图:

31

当丁=如一1与7'(力=必+万工(尤<0)相切时，得A=0,解得m=一5；

y=xlnx-2x

当y=nu-l与y(x)=xlnx—2x(%>0)相切时，满足,丁=如一1

m=Inx-1

解得x=l,m=—1,结合图像可知机e1-1,-\,即-左左

故选:A

【点睛】

本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

2、A

【解析】

由归耳|=2归司及双曲线定义得归耳|和卢闾(用。表示)，然后由余弦定理得出。的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意周=2归闾，.•.由双曲线定义得归耳卜归囚=2。，从而得|尸制=4a,|P闾=2a,

在中，由余弦定理得(2cy=(4a)2+(2a)2—2x4ax2acos60°,化简得e=f=Q.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出。的齐

次式.

3^B

【解析】

Ia+'1=2:Na2+]=2:.a=a>0,a=,选B.

i

4、B

【解析】

取AM中点。，可确定AM.QN=0；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得AM2,利用

AM-AN=4"-(49+(^)可求得结果.

【详解】

取AM中点。，连接0V,

NDAB=60，ZADM=120，

.-.AM2=(DA/-DA)2=DA/2+DA2-2|DA1||DA|cosZADM=4+16+8=28,

则AM•AN=A".(AO+QN)=AM•AO+AM•ON=gAM?=14.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面

向量数量积的运算性质进行求解.

5、B

【解析】

①利用。人q真假表来判断，②考虑内角为90，③利用特称命题的否定是全称命题判断，

④利用集合间的包含关系判断.

【详解】

若“。且4”为假命题，则。、q中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为90时，不是象限角，故②错误；

由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为3口A,所以xe5nxwA,所以"xwA"是“尤e5"的必要条件，

故④正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.

6、C

【解析】

分析：根据复数的运算，求得复数二，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案.

详解：由题意，复数一一.一，则==_/_-

=■"1■=11———=一，4

所以复数;在复平面内对应的点的坐标为,位于复平面内的第三象限，故选C.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力.

7、A

【解析】

先通过降募公式和辅助角法将函数转化为"x)=l-gcos12x-

卜再求最值.

【详解】

_JI

已知函数/(X)=sin2x+sin2(x+—),

i22吟

1—cos2xH-----

=l-cos2xI3J，

22

111cos2xsin2x।,l/八九、

=l——----------------------=l——cos2x+—,

2122J2L3；

因为cos[2x+mje[—l,l],

所以/(x)的最小值为g.

故选：A

【点睛】

本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8、A

【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可

【详解】

,复数z=l+i,|21=V2>z?=2,，则^~■—■I-z，=----H2z=-----------1-2z=1—z+2z=1+z,

z1+z(1+z)(l-z)

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题

9、B

【解析】

人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为由,计算4=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为g的等比数列，设此人第一天走的路程为生,

_378，解得4=192,从而可得出=192xg=96,4=192x24,故/一%=96-24=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10、B

【解析】

因为将函数/(x)=sin(or+。)(0<®<6,—三<(p吟)的图象向右平移g个单位长度后得到函数g(x)的图象,

)(

可得g(%)=sinx-y1+^=sin[cox-^a+p,结合已知，即可求得答案.

【详解】

将函数/(x)=sin(s+。)(0<®<6,-3<e<g)的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象

乙乙D

(「71

：.g(x)=sinx--\+(p=sinla)x--a)+(p

77

又/⑴和g(x)的图象都关于x对称,

71771

一①+(p=k\兀+一

•・由42(匕■GZ),

7in,n/

一0---0+0=Z/+—

〔4322

得—CD—(4]_&)»，2GZ),

即°=3(K—左2)(尢,匕GZ),

又0＜。＜6,

0=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

11、D

【解析】

由题意利用函数y=Asin(s+°)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.

【详解】

JT

解：把函数"x)=2sin(3%+°)图象向右平移/个单位长度后,

8

可得y=2sin13x+9)的图象;

TT

再根据得到函数的图象关于直线X=4对称,

3

c713%,TC

3X-------(D—K7lH---,左£Z,

382

747万

(p——函数/(x)=2sin3x+

88

n7i715万

在上，3x+—e,sin3x--e

I,8"85'彳I8j44

故/(x)=2sin13x-£Je[-72,2],即/(x)的值域是[-72,2],

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(0x+e)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题.

12、C

【解析】

2

由题意，可根据向量运算法则得到AP=1冽AC+(1-m)AB,从而由向量分解的唯一性得出关于，的方程，求出

，的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+mAN—ABj=mAN+(1—m)AB,

222

又，AN=-NC,所以AN=(AC,AAP=-mAC+(1-m)AB>

l—m=t

又+所以21,解得机=3,♦=!，

3—m=—66

[53

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

4友

13、----兀

3

【解析】

由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积

的关系，进而求得结果.

【详解】

设所给半球的半径为R,则四棱锥的高/?=R,

则AB=BC=CD=ZM=OR，由四棱锥的体积上!2=历RnR=啦,

半球的体积为：乙兀R3=晅兀.

33

【方法点睛】

涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题

转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

14、x+2y-5=0

【解析】

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果

【详解】

因为OC=aOA+13OB，且a+p=L所以A,B,C三点共线，

因此点C的轨迹为直线AB:y—1=，|（x—3）x+2y—5=0.

【点睛】

本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

15、120°

【解析】

%2_72

V2ccosB=2a+Z?,A2cx---------------=2a+b即a2+b2-c2=-ab，

lac9

cosc=a2+b2~c~=_1,c=120°.

lab2

16、-1

【解析】

a+4=0

由题意4/2=〃+4+(2-2〃»,令＜CC八即可得解.

2—2aw0

【详解】

=l-2i,zi=a+2i,

/.Z\、z[=(1-2i)(a+2z)=(2+4+(2-2a)i,

_a+4=0

又zi%2是纯虚数，I-c„>解得：a—~1-

2-2。/0

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)

35

【解析】

(1)先算出的长度，利用勾股定理证明06,再由已知可得Q4LOM,利用线面垂直的判定定理即可

证明；

(2)由(1)可得NMDO为直线血。与平面A08所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得。为中点，然后

建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.

【详解】

(1)在AMO3中，ZOBC=30，由余弦定理得

OM=y/OB-+BM2-2OBBMcos30=>

3

:.OM-+OB2=MB~,

：.OMLOB,

由题意可知：AOA±OB,OA±OC,OBOC=O,

Q4_L平面COB,

OMu平面COB,：.OALOM,

又OAOB=O,

OM,平面AOB.

(2)以。为坐标原点，以OM，OB)的方向为x,V,z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

*/OM±平面AOB,：.MD在平面A0B1.的射影是OD,

与平面AOB所成的角是NMDO,NMDO最大时，即ODLAB,点。为AB中点.

3(020),C(A-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(-百,2,1),

DB=(0,1,—1),OD=(0,1,1),设平面CD3的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=0z=0.

由《，得〈-A/3X+2J+，令z=l,得y=l,x=6r，

所以平面CDB的法向量〃=(A1,D，

同理，设平面C£>0的法向量加=(x,y,z),由<加0一°,得「瓜+2y+z-0,

\7[m-OD=Q[y+z=O

令y=l,Mz=-l,x=—,所以平面C。。的法向量机=

3I3I

^/105WTO

：・cos<m,n>=-----，sin<m,n>=T_

353535

故二面角5—CD—O的正弦值为上画.

35

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

18、(1)证明见解析

⑵近

6

【解析】

(1)取AC中点b，连接得DFLAC,可得£4=£8=尸。,

可证DFg.DFB,可得DF上FB,进而。尸，平面ABC,即可证明结论；

(2)设26,〃分别为边45,。,5。的中点，连DE,EF,GF,FH,HG,可得Gb/MD,GH//BC,EF//BC,

可得NFGH（或补角）是异面直线AO与所成的角，BC1AB,可得即，A3,/£>即为二面角C——D

的平面角，即NDEF=60，设AD=a,求解AFGH,即可得出结论.

【详解】

（1）证明:取AC中点/，连接

由ZM=DC,则DBJ.AC,

AB1BC,则以=用=尸。，

JT

故DFA^DFB,/DFB=ZDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

...OF，平面ABC,又D尸u平面AC£）,

故平面ABC_L平面ACD

（2）解法一:设G,H分别为边。,8。的中点，

则bG/MDOH/ABC,

ZFGH（或补角）是异面直线AD与所成的角.

设E为边A3的中点，则"/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由（1）有。尸，平面

所以NDEF为二面角C—AB—D的平面角，.•.40石尸=60，

设。4=。。=。3=之则。尸=4£>/04£>=幺

2

在RtADEF中,EF=--—^—a

236

从而GH=^BC=EF=®a

26

在RtVBDF中,FH=-BD=-,

22

又BG=LAD=0,

22

从而在_FGH中，因FG=EH,

~GH6

cosZFGH=Z——=—'

FG6

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为如

6

解法二:过点口作府，AC交AB于点M,

由(1)易知bCEO,引0两两垂直，

以P为原点，射线尸。分别为x轴，

y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系歹-孙z.

不妨设A£>=2,由。=AD,NC4D=30°,

易知点AC,。的坐标分别为A(O,-V3,0),C(0,V3,0),£>(0,0,1)

则A£>=(0,73,1)

显然向量上=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C—。为60。，

设则疗+〃2=3,AB=(九〃+6,0)

设平面ABD的法向量为n=(%,y,z),

ADn=01岛+z=0

则〈A/r\

ABn=0mx+\n+yi3\y—0

令y=i,贝！l〃=_〃+百,i,―6

m

7

cos<k,n>\=

由

由上式整理得9rr+273/1-21=0,

解之得〃=-6(舍)或〃=9

9

/47626、

..JDzt---,----,U..Cz)一土----,-

999八丁。1,

7

2

,ADCB§=百

cos<AD,CB>=----pj

102百一6

AD\\CB2x---

3

因此，异面直线AD与所成角的余弦值为

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空

间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.

19、(1)(2)2G-2

【解析】

(1)利用正弦定理的边角互化可得sinC=2sinB_0sinA，再根据3="—A-C=»-1A+?),利用两角和的

正弦公式即可求解.

L冗一

(2)已知C£>=6，由A=—知AD=1,在ABDC中，解出6D即可.

3

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB—A/2;sinA

jr

由己知。二而B'=7T-A-C=7T

4

—=2sin(A+^]

-A/2sinA

2<4；

=2f—cosA+—sinA

-A/2sinA

[22」

=V2cosA

..\,71

..cosA=—,A=—

23

(2)已知C£>=0,

71

则由A=一知AO=1

3

CD

B=7i-A-C=-7i.DB-

12tanB

辽4•5.(冗冗、

先求sm—》=sm—+—卜;(后+W)

12143,

5(71

cos—n--cos—+—二=-(A/6-72)

12U3J4

2+V3

12(A/6—V2)

A

：.DB=VV=2V3-3

2+V3

:.AB=AD+DB=l+2y/3-3=273-2

c

b/h

ALDB

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.

20、(1)见解析；(2)叵

5

【解析】

(1)设。为中点，连结0AOC,先证明3。，4。，可证得5。_1痔，假设「不为线段8。的中点，可得应)，

平面ABC,这与"6C=60°矛盾，即得证；

(2)以。为原点，以05,OC,分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP,平面肱VP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【详解】

(1)设。为BD中点，连结Q4,OC.

•*.OA±BD,OCLBD,

又。AiOC=O

•••班)，平面Q4C,

ACu平面。4C,

：.BDLAC.

又M,N分别为AD,A3中点，

MN//BD,又MNLNP,

:.BDLNP.

假设P不为线段6C的中点，

则NP与AC是平面内ABC内的相交直线，

从而3。_L平面ABC,

这与"6C=60°矛盾，所以尸为线段的中点.

(2)以。为原点，由条件面面5C。，

：.AOVOC,以OB,OC,CM分别为％，，z轴建立空间直角坐标系,

173

,P万,0

57

A/3A/3

PN,ACV=(1,0,0).

设平面ANP的法向量为根=(8y,z)

L一旦=o

m-AN=022

所以n

m•PN=0-旦+巴=。

22

取y=l,则z=l,x=60m=(石,1,1).

同法可求得平面MNP的法向量为n=(0,1,1)

、m-n2而

：.cos(zm,n)=--n―

\m\\n\斯后一5

由图知二面角A-NP-M为锐二面角,

二面角A-NP-M的余弦值为典.

5

【点睛】

本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.

21、(1)证明见解析；(2)30。.

【解析】

(1)推导出CD/ABQ,QBYAD,从而平面PAD,由此证明平面平面以PAD；

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角M-BQ-C的大小.

【详解】

解：（1）AD//BC,BC=^AD,。为AD的中点，

二四边形BCOQ为平行四边形，CD//BQ.

ZADC=90°,^AQB=90°,即QBLAD.

又平面PAD_L平面ABCZ）,且平面PAD平面ABCD=A£）,

•••BQ，平面PAD.

3Qu平面PQB,

•••平面平面PAD.

（2）PA=PD,。为