江苏省南京市秦淮2022-2023学年七年级下学期质检数学试题（5月份）（含答案解析）

江苏省南京市秦淮外国语学校2022-2023学年七年级下学期

质检数学试题（5月份）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.大庆市2020年GDP超过了2800亿元，2800亿用科学记数法表示为（）

A.2.8x103B.28X10UC.2.8xl012D.2.8xlOH

2.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.（-2尸与23B.（一2尸与

C.33与（一93D.（-3尸与（；＞

[x=\

3.若是关于x和V的二元一次方程ax+y=l的解，则。的值等于（）

卜=-2

A.3B.1C.-1D.-3

4.一个三角形的两边长分别为2和5,且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大

值是（）

A.10B.11C.12D.13

5.已知关于x的不等式（1-。卜＞。-1的解集为无＜-1,则。的取值范围是（）

A.〃>0B.a>1C.a<0D.a<1

6.（垂线段在三角形内）如图，在中，ZC=50°,NB=30。，AE平分NBAC,

点尸为/E上一点，FDLBC于点Q,则/£7办的度数为（）

C.12°D.20°

7.将一副学生用的三角板按如图所示的位置放置，若AE〃BC,则ZDAF的度数是（）

C.30°D.45°

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8.如图，线段4D,3c相交于点。，连接48,CD,4P平分/BAD,CP平分NBCD,

则/尸，ZB,满足的关系式是（）

9.如图，AABC中，点。、E分别在边3C、AC±,ZDCE=ZDEC,点尸在/C上,

点G在DE的延长线上，NDFG=NDGF.若NEFG=37。，则NCD尸度数为（）

A.53°B.73°C.74°D.80°

10.如图，4B"CD,p为AB上方一点、，H、G分别为AB、上的点，4PHB、ZPGD

的角平分线交于点E,/尸GC的角平分线与EW的延长线交于点R下列结论：

©EGVFG-,@ZP+ZPHB=ZPGD-③NP=2NE；@ZAHP-ZPGC=ZF,贝!]

ZF=60°

其中正确的结论有（）个.

二、填空题

11.如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画个

三角形.

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12.如果两个角的两条边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少30。，那么这两

个角的度数分别为.

13.已知实数满足力+/?=3+°6,则(2“-36)~+(a+26)(a-2b)的最大值为.

14.若(〃-3)"的值为1,则〃的值为.

15.将一张长方形纸片48CD按如图所示方式折叠，AE、胪为折痕，点3、。折叠

后的对应点分别为8、DM若NB'4D'=8°,则2瓦4尸的度数为.

16.如图，在"BC中，AG=BG,BD=DE=EC,CF=4AF,若四边形DEFG的

面积为28,则“8C的面积为

17.如图，在四边形纸片/BCD中，AB//CD,将纸片沿E尸折叠，点A、。分别落在

H、〃处，且经过点8,尸。交8c于点G,连接EG,EG平分NBEF,EG〃A'D,

ZA+ZDFE=130°,则ZCFE的度数是.

18.如图，在中，BD、BE分别是高和角平分线，点尸在。的延长线上，

ABAC>ZC,FH工BE交BD于G,交,BC于H,下列结论：①NDBE=ZF；

②2NBEF=NBAF+NC；③/万=J(NBNC-NC)；@ZBGH=ZABE+ZC.其中正

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确的是.

三、解答题

19.如图，在8x8的正方形网格中，请用无刻度的直尺，按下列要求作图.

⑴在图1中，过点。作NC的平行线。£；

(2)在图2中，在48上取一点R使44阳=45。.

3(2-x)<2+x

20.(1)解不等式组：!x2x-l

,2-3

匚匕1=1

(2)解方程组：23

=8

21.分解因式：

(1)9/(2尤-y)+(y-2x)；

(2)(/-J)2+14(j-y2)+24.

22.先化简，再求值；

[(a-26)~+(a-26)(26+a)-2a(20-6)卜2a,其中°=b=-2.

23.随着人们大量选择网上购物，人工分拣速度是影响快递时效性的最重要因素.某快

递公司采用了机器人分拣的方式来提高工作效率，该公司采用N、8两种型号机器人,

若/型机器人工作2小时，3型机器人工作4小时，一共可以分拣700件包裹；若4型

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机器人工作3小时，B型机器人工作2小时，一共可以分拣650件包裹.

(1)求/型、3型两个机器人每小时各分拣多少件包裹.

(2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，要让/型、2型机器人每天分拣包裹的总量不

低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？

24.已知：如图，点。是△48C内一点.求证：

(1)BD+CD<AB+AC^

(2)AD+BD+CD<AB+BC+AC.

25.定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开

心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在△/8C中，N4=70。，ZB=35°,则

NA与NB互为“开心角”，△45C为“开心三角形”.

【理解】

(、1)若△NBC为开心三角形，//=144。，则这个三角形中最小的内角为一。；

(2)若为开心三角形，ZA=10°,则这个三角形中最小的内角为一°；

(3)已知//是开心△/2C中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定//的

取值范围，并说明理由；

【应用】

如图，平分△48。的内角交BC于点、E,CD平分AABC的外角尸，

延长R4和。C交于点P,已知/P=30。，若/A4E是开心中的一个开心角，设

/BAE=/a,求/a的度数.

26.(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生

折射现象，如图1,光线。从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线6,根

据光学知识有/1=/2,N3=/4,请判断光线。与光线b是否平行，并说明理由.

(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光

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线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线。与水平线OC的夹角为40。，

现放置平面镜儿W,可使反射光线6正好垂直照射到井底，则儿W与水平线的夹角

/MOC的度数=_。.

(3)如图3,直线E尸上有两点A、C,分别引两条射线/2、CD.ZBAF=110°,

Z£>CF=80°,射线48绕A点以2度/秒顺时针转动，同时射线绕C点以3度/秒的速

度逆时针转动，设时间为上在射线48转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得

与平行?若存在，求出所有满足条件的时间

图1图2图3

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参考答案：

1.D

【分析】根据科学记数法的表示方法进行改写即可.

【详解】2800亿=2.8x103x1()8=2.8x10”,

故选：D.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为axl0"(la|<10),

n为整数，正确确定a的值是解题的关键.

2.D

【分析】直接利用负整数指数幕的运算法则以及相反数的定义、有理数的乘方运算法则分别

化简得出答案.

【详解】解：人.(-2尸=一^与23=8,两数不是相反数，故此选项不符合题意；

O

B.(-2广=9与2-2=9，两数不是相反数，故此选项不符合题意；

C.33=27与(-》3=-\,两数不是相反数，故此选项不符合题意；

D.(-3尸=-1与(。3=3，两数是互为相反数，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了负整数指数幕的运算以及相反数的定义、有理数的乘方运算，解题

的关键是正确化简各数.

3.A

【分析】

[x=\

把c代入ax+y=l即可得到答案.

U=-2

(X=1

【详解】解：：c是关于X和歹的二元一次方程"+>=1的解，

。=-2

u—2—1,

解得：a=3,

故选A

【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，熟记二元一次方程的解的含义是解本题的关键.

4.D

答案第1页，共21页

【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而

求得周长最大时，对应的第三边的长.

【详解】解：设第三边为a,

根据三角形的三边关系，得：5-2<a<5+2,

即3<。<7,

为整数，

.*.a的最大值为6,

则三角形的最大周长为6+2+5=13.

故选：D.

【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

5.B

【分析】根据不等式的性质，即可求解.

【详解】解：.•・关于x的不等式（l-a）x>a-l的解集为x<T,,

•-1—a<0,

解得：a>1.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,

不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边

乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

6.B

【分析】先求出/"E=50。，由外角的性质求出/EEO=80。，然后根据直角三角形两锐角

互余即可求出ZEFD的度数.

【详解】•••NC=50。,NB=30°,

：.4NC=180°—/C-4=180°-50°-30°=100°,

ZE是/氏1C的平分线，

NBAE=50°,

/尸£。=50°+30°=80°,

又•：DF±BC,

：.ZFED+ZEFD=90°,

答案第2页，共21页

NMD=90°—80°=10°，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和等于180。，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的

性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键.

7.B

【分析】

由平行线的性质可得/E/C=//C8=30。,由ZD4尸=4c即可求解.

【详解】解：由题意可知：ZACB=30°,ZDAE=45°,

AB//CD,

ZEAC=ZACB=30°,

ZDAE=45°,

：.ZDAF=ZDAE-ZEAC=45°-30°=15°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解决问题的关键.

8.D

【分析】根据角平分线的定义得到N1=N2,N3=N4,再根据三角形外角的性质得到

/l+NB=/3+/尸，Z2+ZP=Z4+ZZ),两等式相减即可求解.

【详解】解:如图，

ZBAD和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,

：.Zl=Z2,N3=N4,

NBEP=Nl+N8=N3+/P,ZPFD=Z2+ZP=Z4+ZD,

ZB-ZP=ZP-ZD,

即zp=1(Z5+zr)).

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和.也考查了

答案第3页，共21页

角平分线的定义，解题的关键是理解“8字形”中角的关系.

9.C

【分析】

本题考查三角形的内角和定理，设NDCE=NDEC=x,对顶角相等，得至也G=x,三角

形的内角和定理求出NDG尸的度数，进而求出NDPC的度数，再利用三角形的内角和定理

进行求解即可.

【详解】

设NDCE=NDEC=x,

:.ZFEG=x,

■.■ZEFG=37°,

ZDGF=180°-NFEG-ZEFG=143°-x,

ZDFG=ZDGF=143°-尤，

ZDFC=ZDFG-EFG=106°-x,

ZCDF=180°-ZDFC-ZDCE

=180°-(106°-x)-x

=74°,

故选：C.

10.D

【分析】由角平分线的性质以及平行线的性质可求出NEGF=90。，即可判断①；设PG交AB

于点M,GE交于点N,根据平行的性质即有再结合三角形外角的性质

即可判断②；根据角平分线的性质有4阳B,ZPGD=2ZEGD,再证

ZP+ZPHB=ZPGD,ZE+ZEHB=ZEGD,即可得/PGD=2/£GD,即可判断③；先证

ZP=ZF,根据/E+NF=90。，即有NP+N£=90。，再结合/尸=2/E,节即可判断④正确；

【详解】平分NPGC,EG平分NPGD,

：.ZPGF=|ZPGC,ZPGE=yZPGD,

ZPGC+ZPGD=180°,

：.ZPGF+ZPGE=90°,

：.EG±FG,故①正确；

设尸G交于点GE交AB于点、N,如图，

答案第4页，共21页

CGD

•：AB//CD,

：.ZPGD=ZPMB,

"：ZP+ZPHB=ZPMB,

：.ZP+ZPHB=ZPGD,故②正确；

〈HE平分/PHB,EG平分/PGD,

：.ZPHB=2NEHB,ZPGD=2NEGD,

AB//CD,

：.ZENB=ZEGD,ZPMB=ZPGD,

,：ZP+ZPHB=ZPMB,ZE+ZEHB=ZENB,

：.ZP+ZPHB=ZPGD,ZE+ZEHB=ZEGD,

,：ZPHB=2ZEHB,ZPGD=2ZEGD,

AZP=2ZE,故③正确；

；AB//CD,

：.ZPMA=ZPGC,

：.ZAHP-ZPGC=ZAHP-ZPMH=ZP,

"：ZAHP-ZPGC=ZF,

：.ZP=ZF,

NFGE=90。,

：.ZE+ZF=90°,

：.ZP+Z£=90°,

ZP=2ZE,

：.NE=30。,

：.ZP=ZF=2ZE=60°,故④正确；

正确的共计有4个，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以及直角三角形中

答案第5页，共21页

两个锐角互余等知识，灵活运用平行线的性质和三角形的外角的性质是解答本题的关键.

11.10

【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三

个点画出图形即可解答.

【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，

【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照

一定的顺序，保证不重复不遗漏.

12.10°,10°或42°,138°

【分析】由两个角的两条边分别平行，得这两个角相等或互补.设一个角为x,则另一个角

为4六30。，分两种情况，分别列出方程，即可求解.

【详解】•••两个角的两条边分别平行，

•••这两个角相等或互补.

设一个角为x,则另一个角为4x-30。，

若两个角相等，则x=4x-30。，解得：x=10°,

.,.4x-30o=4xl0o-30o=10°；

若两个角互补，则x+(4x-30°)=180°,解得：x=42°,

二4x-30°=4x42°-30°=138°.

.•.这两个角是42。、138。或10。、10°.

故答案是：10°,10。或42。，138°.

【点睛】本题主要考查角的相关计算与一元一次方程的综合，根据等量关系，列出一元一次

方程，是解题的关键.

13.22

【分析】

将(2“-3by+(a+28)(a-26)化简可得5/+5/-12仍，将/+/=3+而代入化简结果可

得原式=15+3劭，将/+/=3+9两边力口上2ab,得到(a+叶=3+3仍，根据平方的非负

答案第6页，共21页

性解出/的取值范围，即可解答.

【详解】解：(2a—3b)2+(〃+2b)(q—2b)

=4a2-nab+9b2+a2-4b2

=5a2-12ab+5b2

将/+62=3+。6代入得：原式=5(/+/)—12。6=15—7。6,

将〃2+廿=3+/两边加上2ab,

得：a2+b2+2ab=3+ab+lab,即(a+=3+3"/,,

(a+>0,

:.3+3ab>0,BPab>—1,—ab<1,

15-7。6=15+(-7ab)415+7=22

•••原式的最大值为22.

故答案为：22.

【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，不等式的性质，根据完全平方公式得出。6

的取值范围是解题的关键.

14.0或2或4

【分析】

题目主要考查有理数的乘方运算及零次幕的运算，分三种情况分析求解即可，熟练掌握运算

法则是解题关键.

【详解】

解：•.•(”-3)"的值为1,

.,.当〃=0时，

原式=(〃-3)°=1,

当〃-3=1时，

解得：〃=4,

原式=(4-3)4=1,

当〃-3=-1时，

解得：n=2,

答案第7页，共21页

原式=(〃-3)=(-1)2=1,

综上所述：〃=0或2或4；

故答案为：0或2或4.

15.41°/41度

【分析】根据折叠的性质得出=瓦尸=/。幺/，根据N3ND'=8。，得出

ZBAE+ZB'AE+ZDAF+ZD'AF=98°,进而得出/E4F+/8'4D'=49。，即可求解.

【详解】解：\•折叠

/.ZBAE=ZB'AE,ZDAF=ZD'AF,

ZBAE+NB'AE+ZDAF+ZD'AF=ABAD+AB'AD'=90°+8°=98°,

^EAF+ZB'AD'=49°

/E4尸=41。，

故答案为：41°.

【点睛】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键.

16.60

【分析】连接CG、BF,过点下作于点M,i^SyAFG=a,根据同高的三角形的面

O

积的比等于底边的比，分别得到国汨=2〃、5ABe尸=84、SVABC=10aASNCFE=-a.

SMCG=S2CG=5Q、SVBDG=*，再根据四边形O£FG的面积，求出。=6,即可得出“BC

的面积.

【详解】解：连接CG、BF,过点尸作出45于点

设SvAFG=a，

QSN.G=5AG.FM,SvFGB=—,BG-FM,AG=BG,

一国AFG=SyFGB~"，

•,APB=2a，

QCF=4AF,

同理可得：S\BCF~4、AFB'

…S询JF=①，

答案第8页，共21页

••SvABC=AFB+，VBCF=的+&=1也，

\'BD=DE=EC,

:.BC=3EC,

[8

问理可得：CFE=5sA5FC='

•••G是45的中点，

同理可得：S*CG=S^BCG=5CI,

-：BD=DE=EC,

BC=3BD,

同理可得：BDG=BCG=^af

四边形D£FG的面积为28,

••S四边形OEFG=S'ABC-SyAFG-SyCFE~5BDG=

Q=6,

Sy1ABe=10。=10x6=60,

故答案为：60.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积的应用，解题关键是熟记两个同高的三角形，它们的

面积之比等于底边之比.

17.128°

【分析】

设NBEG=a,则NDFE=NFEB=2a,由折叠可得/H+2a=130。，再由可

得44'+N4'£B+a=180。，求出/=50。+£，根据44'仍+2a+2a=180。，能求出

a=26°,再求NCFE=128。即可.

【详解】

解：设NBEG=a,

'：EG平分NBEF,

答案第9页，共21页

/FEB=2a，

ZDFE=ZFEB=2a,

由折叠可知，

■.■ZA+ZDFE=13O°,

+2a=130。，

EG||A'D',

ZAr+ZArEB+a^180°,

:.ZA,EB=50°+a,

ZA£F+2a=180°,

ZArES+2a+2a=180°,

a=26°,

ZDFE=52°,

NCFE=128°,

故答案为：128。.

【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质，折叠的性质是

解题的关键.

18.①②③④

【分析】

根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义证明结论②，证明

ZDBE=ZBAC-ZC-ZDBE,再结合①的结论可得结论③，证明乙4匹=NN8E+NC,再

由尸C,FH1BE,可以证明结论④.

【详解】

解：如图，设BE交FH于点、J,

①BDLFD,

答案第10页，共21页

:.ZFGD+AF=9Q°

■：FHVBE,

ZBGJ+ZDBE=90°,

•••ZFGD=ZBGJ,

:.NDBE=NF,①正确；

②;BE平分/45C,

AABE=NCBE=-ZABC,ZBEF=ZCBE+ZC,

2

2ZBEF=2NCBE+2ZC=ZABC+2ZC,

■：ZBAF=ZABC+ZC,

2ZBEF=ZBAF+ZC,②正确；

③ZABD=90°-ZBAC,NABE=NCBD-ZDBE,

ZDBE=ZABE-ZABD=ZCBD-ZDBE-90+ZSAC,

2NDBE=N4BE-ZABD=ZCBD-90°+ABAC,

;NCBD=90°-NC,

2ZDBE=ZBAC-ZC,

ZDBE=1(Z5T4C-ZC),

由①得：ZDBE=ZF,

:.NF=g(NBAC-NC),③正确；

④•••ZAEB=ZEBC+ZC,ZABE=NEBC,

ZAEB=ZABE+ZC,

BD1FC,FH1BE,

ZFGD=NBGH=/FEB,

ZBGH=ZABE+ZC,④正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查角度的证明，角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关

系的证明方法.

19.(1)见解析

(2)见解析

答案第11页，共21页

【分析】（1）利用格点构造全等三角形，再根据全等三角形的性质即可得出/C〃DE,据

此作图即可；

（2）利用格点构造等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可得出Z4ED=45。,

据此作图即可.

【详解】（1）如图1,取格点£,过点、D、E作直线

止匕时，在和

'AM=EN

■：-NCMA=ZEND,

CM=DN

:.^AMC=^END（SAS）,

ZACM=ZEDN,

:.AC//DE,

直线DE即为所求；

（2）如图2,取格点尸，过点。、尸作射线ED,

此时，三角形。尸0是等腰直角三角形，

AAFD=45°,

点尸即为所求.

答案第12页，共21页

图2

【点睛】本题考查了简单作图，涉及全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质，平行线的

性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

'12

X=—

20.(1)l<x<2:(2)f

o

J=5

【分析】

本题主要考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组：

(1)先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间

找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可；

(2)利用加减消元法解方程组即可.

【详解】

3(2-x)<2+x

解：(1),x〉2%-1

—一3

解不等式3(2—x)<2+x,得x〉l,

解不等式Y;N勺QX—1，得xW2,

23

不等式组的解集为1<XW2.

3x-2y=4①

(2)方程组整理得

4x_y=8②

②x2得：8x-2y=16③,

由③-①式得：5x=12,

解得x=£12,

答案第13页，共21页

将x=M代入②式得于x4-y=8,

Q

解得y=《，

’12

x=—

方程组得解为f.

o

21.（l）（2x-y）（3a+l）（3a-l）

（2）（尸2乂了+1乂了-4乂了+3）

【分析】

本题考查因式分解，掌握因式分解的方法，是解题的关键.

（1）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可；

（2）利用十字相乘法进行因式分解即可.

【详解】（1）

解：9a2（2x-y）+（y-2x）

=9a2（2尤_了）_（2尤_了）

=（9a2-l）（2x-y）

=（2x-y）（3a+l）（3a-l）；

（2）

（y2-y）2+14（y-y2）+24

=（/-》-14旨-力+24

=（y-2）（y+l）（y-4）（y+3）.

”,3

22.—a—bj—

2

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.

【详解】解：原式=[/一4仍+4/+/—4/一（4/一2。61+2。

答案第14页，共21页

=(a2-4ab+46~+a~-4b~-4a~+2a6)+2a

=(2。--4ab-4a~+2a6)+2”

=(-2cr_2ab)+2q=_a_b,

i13

当°=彳，6=-2时，原式=一;一(-2)=工.

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

23.(1M型机器人每小时分拣150件包裹，B型机器人每小时分拣100件包裹

(2)它们每天至少要一起工作9小时

【分析】

(1)设/型机器人每小时分拣x件包裹，2型机器人每小时分拣了件包裹，根据/型机器

人工作2小时，8型机器人工作4小时，一共可以分拣700件包裹；若N型机器人工作3

小时，2型机器人工作2小时，一共可以分拣650件包裹，列出方程组，解方程组即可；

(2)设它们每天至少要一起工作加小时，根据N型、8型机器人每天分拣包裹的总量不低

于2250件，列出不等式，解不等式即可.

【详解】(1)解：设N型机器人每小时分拣x件包裹，3型机器人每小时分拣y件包裹，根

据题意得：

f3x+2y=650

[2x+4y=700，

x=150

解得:

y=100

答：A型机器人每小时分拣150件包裹，B型机器人每小时分拣100件包裹;

(2)解：设它们每天至少要一起工作,“小时，根据题意得：

150m+100m>2250,

解得：m>9,

答：它们每天至少要一起工作9小时.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量

关系，列出方程组或根据不等关系列出不等式，准确计算.

24.⑴见解析

答案第15页，共21页

(2)见解析

【分析】(1)延长交/C于E,从而找到3O+CD与48+/C的中间量8E+CE,再利用

不等式的传递性(若a<6,b<c,则.<c.)得出8D+CD<N5+/C；

(2)同理可得/D+CZK/2+8C,BD+AD<BC+AC,与(1)结论左边加左边，右边加右边,

再两边除以2即可.

【详解】(1)证明：延长AD交NC于E,

在中，WAB+AE>BE,

：.AB+AC=AB+AE+CE>BE+CE,

在中，DE+CE>CD,

：.BE+CE=BD+DE+CE>BD+CD,

：.AB+AC>BE+CE>BD+CD,

：.BD+CD<AB+AC；

(2)解：由(1)同理可得：

BD+CDVAB+AC①,

4D+CDVAB+BC②,

BD+AD<BC+AC®,

①+②+③得：2(4D+BD+CD)<2{AB+BC+AC),

：.AD+BD+CD<AB+BC+AC.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等

式的性质是解题的关键.

25.【理解】(1)12°；(2)35。或(―)°；(3)ZA<45°,理由见解析；【应用】Za=40

或/cz=48°或

【分析】理解：(1)根据开心三角形的概念求解即可；

(2)根据开心三角形的概念分两种情况求解即可；

(3)设是开心△48C中最小的内角，则与//互为开心角的内角只能为2x,列

答案第16页，共21页

出不等式求解即可；

应用：分/34E与N/3E互为开心角和与互为开心角两种情况讨论求解即可.

【详解】解：理解(1),；△ABC为开心三角形，N/=144。，

与/C互为开心角，

设最小的角为x。，则另一个角为2廿，

,xo+2x°+144°=180o

解得，x=12

即最小的角为12。

故答案为12°；

(2)△48C为开心三角形，ZA=10°,

设最小的角为x°,

①当最小的角与/N互为开心角时，则有：

2x°=70°,

解得，x=35

工最小的角为35。

②当最小的角与另一个角互为开心角时，则有：

廿+2x°+70°=180°

解得，》=?，

最小的角为(3)°

故答案为：35。或

(3)设/是开心△48C中最小的内角，则与//互为开心角的内角只能为2x.

这个开心三角形的第三个内角为180°-x-2x.

,/NA为最小内角，

x<180°-x-2x®-

解得，x<45°,即//V45。；

【应用】平分△NBC的内角/5/C,

:./CAE=NBAE=/a,

：.ZJR4C=180°-2Za,

设NPC4=x,

答案第17页，共21页

9：CD平分△45C的外角/BCF,

：.ZBCD=ZDCF=x,

：.ZACB=\S00-2x,

ZP=30°,

.•.180°-2Za+x=150°.

•・％=2Na—30,

/.NNE8=Na+180°-2x=2