2024北京燕山九年级（上）期末数学

燕山地区2023—2024学年第一学期九年级期末考试

数学试卷2024年I月

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。

考

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号。

生

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须

4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。

知

5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。

一'选择题（共16分，每题2分）

第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只・有・一・个・.

1.下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是

(BVD)

D.

2.已知点P在半径为外的。。内，且。尸=3,则r的值可能为

A.1B.2C.3D.4

3.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是

A.y=xB.y=x+\C.y=x2D.y=—x2

4.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上.如果每一块方砖除

颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是

5.如图，点48在。。上，点C是劣弧的中点，ZAOC=80°,

则的大小为

A.40°B.45°

C.60°D.80°

九年级数学试卷第1页（共8页）

6.电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约

6.8亿元.若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x,根据题意可列方程为

A.3.5x2=6.8B.3.5(1+X)=6.8

C.3.5(1+x)2=6.8D.3.5(1-x)2=6.8

7.如图，在平面直角坐标系xO歹中，的三个顶点都在格点上,

则△48。外接圆的圆心坐标为

A.(3,2)B.(2,3)~1~I~~

2345%

C.(2,2)D.(3,3)

8.平面直角坐标系x/中，已知二次函数歹=af+bx（aWO）的部分图象如图所示，给出下

面三个结论：

①a*b>0;

②二次函数歹="2+反（0W0）有最大值4；?

③关于％的方程af+阮=0有两个实数根5=-4,%2=。・!，

上述结论中，所有正确结论的序号是/,u

A.①②B.①③f1

C.②③D.①②③!

二'填空题（共16分，每题2分）

9.平面直角坐标系》。歹中，与点口一4,1）关于原点对称的点的坐标是______.

10.一元二次方程x（x-3）=x-3的解是______.

1,

11.将抛物线歹=2一向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为.

12.已知某二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为（1,3）,则这个二次函数解析式可以是

13.如图，PA,总是。。的两条切线，切点为Z,B,若/次笫=90°,a=3,则。。

的半径为__.

（第13题）（第14题）

14.如图，48是。。的直径，弦CD[AB于点,E,连接力。，若。£=3,CD=8,贝

的长为.

九年级数学试卷第2页（共8页）

15.在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有。个红球，这些球除颜色外无其它差别.

为估计。的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜

色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：

摸球的次数，2050100200300400500

摸到红球的次数”133262117181238301

摸到红球的频率丝0.650.640.620.5850.6030.5950.602

n

根据以上数据，估计。的值约为.

16.2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.某网店

经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元.

当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超

过50元/盒.在销售过程中发现该礼盒每周的销量

X件）与销售单价式元）之间近似满足函数关系：

y=-2x+180（30WxW50）.

（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为以元），则w与x的函数关系式为

（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为元.

三'解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21—23题，每题5分，第

24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.解方程：f+以-12=0.

18.已知2X-5=0,求代数式3x(x-2)+(x-Ip的值.

19.2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重.为了做好防

汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志

愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组.

（1）小东被分配到A组是______事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；

小东被分配到A组的概率是_______.

（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率.

九年级数学试卷第3页（共8页）

20.如图，将△ZBC绕点B逆时针旋转得到点。的对应点£恰好落在26上.

(1)若BC=6,BD=9,求线段4E的长.

(2)连接若NC=U0°,/BAC=40：求N3D4的度数.

21.阅读下面的材料

一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》

中.到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一

元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》

中也给出了类似的解法.

以f+iox=39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：

①如图1,在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一

个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；

②一方面大正方形的面积为(x+)\另一方面它又等于图中各部分面积之和，

因为/+10,=39,可得方程(x+『=39+,则方程的正数解是

图1图2

根据上述材料，解答下列问题.

(1)补全花拉子米的解法步骤②；

(2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程f—6x=7的正数解

的正确构图是______(填序号).

九年级数学试卷第4页(共8页)

0

22.已知关于x的一元二次方程f-2x+(加-2)=0有两个不相等的实数根.

求加的取值范围；

0(1)

(2)若m为正整数，请你写出一个满足条件的掰值，并求出此时方程的根.

0

0

23.已知二次函数y=ox2+bx+3(ar0)的图象经过点4(1,0),5(3,0).

0(1)求该函数的解析式；

(2)当x>3时，对于x的每一个值，函数歹=x+〃的值小于二次函数丁=加+阮+3的值,

0结合函数图象，直接写出〃的取值范围.

c

>

0

024.如图，在△4BC中，NZC5=90°,点D在AB上,以4D为直径作。。与BC相切于

点E,连接OE并延长交ZC的延长线于点E

0(1)求证：AF=AD;

⑵若CE=4,CF=2,求。。的半径.

0

0

0

O

九年级数学试卷第5页(共8页)

25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂

的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥

发时间为x分钟时，在场景A,B中的剩余质量分别为外，%（单位：克）.

下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：

记录为，必与x的几组对应值如下：

双分钟）05101520•・•

为（克）2523.52014.57•••

%（克）252015105・・・

（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x,y），（%,%）,

并画出函数为，力的图象；

25I--------------1--------------1--------------r

20

15

10

5

A

~0510152025x

⑵进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，为与x之间近似满足函数关系

2

yi=-0.04x+bx+c.场景B的图象是直线的一部分，为与x之间近似满足函数关

系%=ax+c（。并0）.请分别求出场景A,B满足的函数关系式；

⑶查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用.在上述实验中，

记该化学试剂在场景A,B中发挥作用的时间分别为4,在，则4xB

（填“>”，"=”或“V"）.

26.在平面直角坐标系中，点M（—l,m）,N（3,〃）在抛物线y=af+bx+c（a>0）上,

设抛物线的对称轴为％=九

（1）若加=”，求/的值；

（2）若cvmV",求才的取值范围.

九年级数学试卷第6页（共8页）

27.如图，AABC为等边三角形,点M为Z8边上一点(不与点4,8重合)，连接CN,过

点4作于点。，将线段4。绕点4顺时针旋转60°得到线段Z&连接

(1)依题意补全图形，直接写出//动的大小，并证明；

(2)连接勖并延长交8。于点八用等式表示8/与尸。的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中，对于。。和。。外一点P给出如下定义：

连接C尸交。。于点0,作点。关于点。的对称点尸‘，若点P'在线"'厂次/

段。。上，则称点？是。。的“关联点”.例如，右图中?为0c的\Sj

一个“关联点”.一A

Ox

(1)。。的半径为1.

①如图1,在点4(一后，0),5(2,2),D(0,3)中，。。的“关联点”是______;

②已知点河在直线V2上，且点〃是。。的“关联点”，求点〃的横坐标

m的取值范围.

(2)直线歹=一百(x-l)与x轴，j，轴分别交于点点死。丁的圆心为0),半径为2,

若线段印上所有点都是。T的“关联点”，直接写出，的取值范围.

加

-6-5~4~3~2T023456x

-1

-2

-3

-4

-5

备用图

九年级数学试卷第7页(共8页)

燕山地区2023—2024学年第一学期九年级期末考试

数学试卷答案及评分参考2024年1月

阅卷须知：

1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考

生将主要过程正确写出即可。

2.若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

第一部分选择题

一、选择题(共16分，每题2分)

题号12345678

选项BDDBACAD

第二部分非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

1

9.(4,—1)；10.xi=1,忿=3；11.y=5(x+l)9；

12.答案不唯一，如：y=(X—i)2+3；13.3；14.46；

15.24；16.(l)y=(—2%+180)(%—30),或y=—2/+240%—5400；(2)1600.

三、解答题(共68分，第17—19题，每题5分，第20题6分，第21—23题，每题5分，第

24—26题，每题6分，第27—28题，每题7分)

17.(本题满分5分)

解：方法一：

Z?=4,c=T2,.................................................1分

A=Z72-4ac=42-4xlx(-12)=64,.................................................2分

.—b±VK—4±V64—4±8八

・・%2=-----------=-------------=---------‘.................................................3分

1,22a2x12

・二玉=—6,%=2•.................................................5分

方法二：

移项，得f+44=12,.................................................1分

配方，得f+©+4=12+4

(X+2)2=16.................................................2分

由止匕可得元+2=±4,.................................................3分

二.七=—6,%=2•.................................................5分

九年级数学试卷答案及评分参考第1页共9页

18.（本题满分5分）

解：原式=3/—61+12.2%+1.................................................2分

=4x2-8x+1..................................................3分

VX2-2X-5=0,

x2-2x=5,.................................................4分

4x2-8x=4（x2-2x）=4X5=20,

・••原式=20+1=21・.................................................5分

19.（本题满分5分）

解：⑴随机；-；........................2分

3

⑵记小东和小北被分配到同一组为事件M.

方法一：用列表法列举所有可能出现的结果:

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

由表中可以看出，所有可能的结果有9种,并且这9种结果出现的可能性相等,

所有可能的结果中，满足事件M的结果有3种，即AA,BB,CC,

31

：.P(M)=-=-..................................................5分

93

方法二：根据题意可以画出如下的树状图：

ABC

小小小

ABCABCABC

由树状图可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相

等，所有可能的结果中，满足事件〃的结果有3种，即AA,BB,CC,

31

"(〃)=-=-..................................................5分

93

20.(本题满分6分)

解：(1)•.,将△ABC绕点2逆时针旋转得到△D2E,点C的对应点E落在上，

:.BD=BA,BE=BC,

：.AE=AB-BE=BD-BC=9-6=3..................................3分

九年级数学试卷答案及评分参考第2页共9页

(2)VZC=110°,ZBAC=40°,

ZABC=180°-ZC-ZBAC=30°,

・・,将△ABC绕点8逆时针旋转得到

:・BD=BA,ZDBA=ZABC=30°,

180—ND3A

：.ZBDA=ZBAD=

2

180-30

6分

2

21.(本题满分6分)

解：(1)5,5,25,3；4分

(2)①.5分

22.(本题满分5分)

角星：(1)A=b2-4ac=(-2)2-4xlx(m-2)

=4-4m+8

=12-4m.

..•方程有两个不相等的实数根,

AA>0,BP12-4m>0,

机的取值范围是机<3.........................2分

(2)m<?>,且加为正整数，

."=1或2.........................3分

方法一：

取加=2,原方程化为7-2x=0,

解这个方程，得%=0,%2=2.........................5分

方法二：

取，"=1,原方程化为/一2x-1=0,

解这个方程，得Xj=1-72,x2=l+6...................5分

23.(本题满分5分)

解：(1)：二次函数y=o^+6x+3的图象经过点/(I,0),3(3,0).

.JO=〃+b+3,

[o=9。+3Z?+3,

解这个方程组，得

[b=-4.

・,・该函数的解析式是y=f_公+3.........................3分

(2)〃W—3.........................5分

九年级数学试卷答案及评分参考第3页共9页

24.(本题满分6分)

(1)证明：如图，连接0E.

。为。。的切线，

J.OELBC.

'：ZACB=90°,

：.AF1BC,

J.OE//AF,

：.ZF^ZOED.

；OE=OD,

：.ZOED=ZODE,

：./F=NODE,

：.AF=AD.3分

⑵解:方法一：

如图，连接AE.

为。。直径，

ZAED=9Q°,即于点E,

又

/.AAEC^AEFC,

.CE_CF

"ACCE；

：.AF=AC+CF=10,

：.AD=AF=IO,

二。。的半径为5.6分

方法二：

如图，设/歹与。。相交于点G,连接。G.

由（1）得，OE//AF,

；O为4D中点，

:.E为DF中点.

VAD为。。直径，

ZAGD=90°,即。G_LN?

y.'：EC±AF,

：.CE//DG,

；.CE为4FGD中位线，

二尸G=2PC=4,DG=2CE=8.

设。。的半径为r,

在RtZX/G。中，ZAGD=90°,AD=AF=2r,AG=AF~FG=2r~4,Z)G=8,

(2r-4)2+82=(2r)2,

解得r=5,

：.0O的半径为5.6分

九年级数学试卷答案及评分参考第4页共9页

25.（本题满分6分）

解：（1）描点并画出函数H，及的图象如图;

⑵场景A：

将点(0,25),(10,20)的坐标代入必=-0.04/+bx+c,

得!25=c,

[20=-0.04X102+10Z?+C,

解得产-0」，

[c=25.

场景A满足的函数关系式为=-0.04x2-O.lx+25.

场景B：

将点(0,25),(5,20)的坐标代入为=iix+c,

得[25=c,

[20=5a+c,

解得

[c=25.

场景B满足的函数关系式为%=-x+25.....................................5分

（3）>..................................................6分

26.（本题满分6分）

解：（1）方法一：

・m=",

・,•点M（—1,m）,N（3,几）关于直线％=/对称,

即t=l..................................................2分

九年级数学试卷答案及评分参考第5页共9页

方法二：

•.•点M(—1,机)，N(3,〃)在抛物线上,

.[m=a-b+c,

[n=9a+3b+c.

•77t=M,

^.a-b+c=9a+3b+c,

b=-2a,

.b

••t----=1,

2a

即方=1.2分

(2)方法一:

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=f,

b

••t=-----

2a

・・b~~2〃/,

抛物线解析式为y=ax2-2atx+c.

・・•点M(—1,m),N(3,几)在抛物线上,

.[m=a+2at+c,

[n=9a-6at+c.

■:c〈m〈n,

.[c<a+2at+c,

a+2at+c<9a-6at+c,

Q(1+2t)>0,

整理，得

8〃(1—/)>0.

.+2/>0,

解得-工<t<if

2

的取值范围是-工</<1.6分

2

方法二:

Vtz>0,

抛物线二加+bx+c开口向上，

.•.当xWf时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大.

九年级数学试卷答案及评分参考第6页共9页

设抛物线y=ax2+b犬+。与〉轴交于点C(0,c).

①若后3,点M-l,m),C(0,c),N(3，力都在对称轴左侧，

*.m>c>n,不合题意.

②若—1,点M(—1,m),C(0,c),N(3,几)都在对称轴右侧，

.\m<c<n,不合题意.

③若一1VZV3,点M(—1,m),N(3,〃)位于对称轴两侧，

做点M(—1,如关于i」的对称点心，则M(2/+l,㈤位于对称轴右侧.

A2Z+K3,

i)若岸0,显然满足c<"；

ii)若Y0,点C(0,c),AT(2f+l,m)均位于对称轴右侧,

.：c<m,

；.0<2/+1,

综上，/的取值范围是..........................6分

2

27.(本题满分7分)

(1)依题意补全图形，如图......................................................1分

ZAEB=90°......................................................2分

证明：

・・,将线段4。绕点A顺时针旋转60°得到线段ZE,

：.AE=AD,ZEAD=60°.

•:AABC为等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

・・・ZEAD=ZBAC,

丁ZEAB=ZEAD-/BAD,

ZDAC=ABAC-/BAD,

:・/EAB=/DAC,

：.AAEB^AADC,

・•・NAEB=ZADC.

U：ADL