山西省临汾、翼城中学2024年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

山西省临汾一中、翼城中学2024年高三第二次模拟考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f(x)=ax?+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是

11

A.—B.—

33

11

C.----D.一

22

2.M是抛物线V=4x上一点，N是圆(尤—iy+(y-2)2=l关于直线％-丁一1=0的对称圆上的一点，贝!肱V]最

小值是()

A.半TB.73-1C.20—1D.|

3.设全集U=R,集合A={x|(x—1)(%—3)20},5=〉：>.则集合©A)3等于()

A.(1,2)B.(2,3]C.(1⑶D.(2,3)

4.已知无=0是函数/(x)=x(ax-tanx)的极大值点，则”的取值范围是

A.(―oo,-1)B.(-0°,1]

C.[0,+oo)D.[1,-K»)

5.若数列{4}满足q=15且34+1=3%—2,则使49+1<0的左的值为()

A.21B.22C.23D.24

6.已知函数/0)=|8$划+$山工,则下列结论中正确的是

①函数/(X)的最小正周期为万;

②函数/(X)的图象是轴对称图形；

③函数f(x)的极大值为近；

④函数/'(X)的最小值为-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

7.已知函数/（x）=sin（ox+e）,其中。>0,其图象关于直线x=?对称，对满足—〃々）|=2

的再，马，有上一%|1m“=]，将函数/（无）的图象向左平移6个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（©的单

调递减区间是（）

7TC7C/77冗

A.kn---,K7lH----(K€AIB.(jteZ)

_62「7

7»777r

7冗15乃

C.忆兀--,K7lH-----(jteZ)K7l-\---，忆兀A----(左eZ)

361212

8.在钝角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,dc,3为钝角，若acosA=》sinA,则sinA+sinC的最大值

为（）

l97

A.A/2B.—C.1D.一

Y88

9.设集合A/={x|lvxK2},N={H%<〃},若McN=M,则〃的取值范围是（）

A.（一8,1）B.（-00,1]C.（2,+00）D.[2,+00）

22

10.已知双曲线j-方=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为耳，F],过工作一条直线与双曲线右支交于AB两

点,坐标原点为0,若|。4『=4+/,怜片|=54，则该双曲线的离心率为（）

AA/15RA/10rV15nV10

2233

11.已知正四面体A-BCD外接球的体积为8辰，则这个四面体的表面积为（）

A.1873B.1673C.1473D.1273

12.已知复数z满足工=1+7,则目的值为（）

Z

A.-B.y/2C.—D.2

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分

别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.

如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色.已知这13名学

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新

加入的学生可以扮演的角色的种数为.

14.利用等面积法可以推导出在边长为。的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值回，类比上述结论，利用

2

等体积法进行推导，在棱长为“的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是

15.设/(%)为偶函数，且当时，/(x)=-x(x+2)；当xe[2,+oo)时，f(x)=(a-x)(x-2).关于函数

g(x)=/(x)-加的零点，有下列三个命题：

①当a=4时，存在实数%,使函数g(x)恰有5个不同的零点；

②若V〃ze[O,l],函数g(x)的零点不超过4个，则aW2；

③对V«7e(l,+8),〃e(4,+8),函数g(x)恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列.

其中，正确命题的序号是.

16.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线C4、CB围成一个三角形养殖区ACB.为了便于管理，在线段

A6之间有一观察站点"，"到直线BC,C4的距离分别为8百米、1百米，则观察点〃到点A、3距离之和的

最小值为百米.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

71

x-tcos—

3

17.(12分)在直角坐标系xQv中，直线/的参数方程是”为参数),曲线。的参数方程是

71

y=1+tsm・—

3

x=2y/3cos(p

((P为参数)，以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

y=2A/3+losing)

(1)求直线/和曲线。的极坐标方程;

(2)已知射线。M：0<aV?与曲线C交于两点，射线。N：劣=。+段与直线/交于N点，若

AOMN的面积为1,求a的值和弦长10Ml

18.（12分）已知函数-------（6/>0）.

x-ax+1

（1）当1=0时，试求曲线y=/（x）在点（。"（。））处的切线；

（2）试讨论函数4%）的单调区间.

19.（12分）已知。涉都是大于零的实数.

a2b2

（1）证明幺+6

ba

a1/

（2）若证明〃?+7T~1—；--->4.

ba（a-b）

20.（12分）已知椭圆。：1+，=1（。〉6〉0）的离心率为q，且过点A（0,l）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P是椭圆上异于短轴端点A,3的任意一点，过点P作轴于。，线段产。的中点为M直线AM与直

线y=T交于点N,O为线段5N的中点，设。为坐标原点，试判断以。。为直径的圆与点M的位置关系.

21.（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行

一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按上个人一组进行随机分组，把从每组上个人抽来的

血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这左个人的血只需检验一次（这时认为每

个人的血化验1次）；否则，若呈阳性，则需对这人个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组上个人的血总共需要

................k-

化验人+1次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为P,且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组上个人的每个人的血化验次数为X,求X的分布列；

（2）设p=01，试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比

方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

22.（10分）已知AABC的内角A、B、C的对边分别为b、c,满足也sinA+cosA=0.有三个条件：①a=l;

②b=6；③508,=走.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：

ZV1DC4

（1）求C；

（2）设。为边上一点，且求的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-1=-2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

/.b=0,a+b=—.故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-x)=f(X);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

2、C

【解析】

求出点(1,2)关于直线x-y—1=。的对称点C的坐标，进而可得出圆(X-1)?+(y-2)2=1关于直线x—y—1=。的

对称圆c的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出IACVI^=|wc|nijn-i,即可得解.

【详解】

如下图所示：

设点(1,2)关于直线x-y-1=0的对称点为点C(a,b),

Q+1/7+21八

22a-b-3=0a=3/、

则,整理得,cc，解得,八，即点C（3,0）,

b-2.a+b—3=0p=0

、a—I

所以，圆(x—l)?+(y—2)2=1关于直线x—y—1=0的对称圆C的方程为(x—3)?+y2=i,

设点河匕",则四=口.3]+/=后彳+9=收广4丫+8，

当'=±2时，MC取最小值2夜，因此，=|MC|1rfli—1=2行一1.

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等

3、A

【解析】

先算出集合aA,再与集合8求交集即可.

【详解】

因为A={x|x»3或x<l}.所以dA={x[l<x<3},又因为3={%|21<4}={尤|尤<2}.

所以（令4）门5={》|1<%<2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.

4、B

【解析】

方法一：令gCx)=ox-tan%,贝！)/(x)=,gf(x)=a——,

cosX

当九£(—时，g'(%)K。，g(x)单调递减，

7T

...1€(-5,0)时，g(x)>g(O)=O,/(x)=x-g(%)<0,且y(x)=xg'(x)+g(x)>0,

.•.尸a)>o,即y(x)在(-T会T0)上单调递增，

TT

XC(0,Q)时，g(x)<g(O)=O,/(x)=x-g(x)<0,且尸(尤)=xg'(x)+g(x)<。，

7T

：.f'(x)<0,即/Xx)在(0,5)上单调递减，，》二。是函数/(x)的极大值点，满足题意；

JT1

当。>1时，存在re(0,万)使得COS”而，即g«)=0,

1JT

又g'(x)=a--:在(0,一)上单调递减，.•.xe(0,t)时,g(x)>g(0)=0,所以f(x)=x-g(x)>0,

cosx2

这与x=0是函数/(X)的极大值点矛盾.

综上，a<l.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使X=0是函数〃x)的极大值点，须在x=0的左侧附近，/(%)<0,即ox-tanx>0；

在x=0的右侧附近，/(%)<0,即办—tanx<0.易知，。=1时，V=^与y=tan尤相切于原点，所以根据y=or

Vy=tanx的图象关系，可得故选B.

5、C

【解析】

222247

因为4+「4=-§，所以｛4｝是等差数列，且公差〃=-§,4=15,贝！|%=15-§5-1)=-§"+彳，所

2472454547

以由题设如q+i<。可得(-a"+Z)(-a"+z)<0nf<"<f，贝!)7Z=23,应选答案C.

6、D

【解析】

因为/(%+兀)=|cos(x+7i)|+sin(%+7i)=|cos%|-sinxwf(x),所以①不正确；

因为/W=1cosx|+sinx,所以/(—+x)=|cos(—+x)|+sin(—+x)=|sinx|+cosx,

吗一MIcosgT+si吗r)=|sinx|+c°sx,所以吗+x)=吗一人

所以函数“X)的图象是轴对称图形，②正确；

易知函数/(X)的最小正周期为2%,因为函数/■(*)的图象关于直线X=g对称，所以只需研究函数/■(%)在[看,羡]上

的极大值与最小值即可.当工<xK加时，/(x)=-cosx+sinx=V2sin(x-^),且号，令x-?=g,得

22444442

X=—,可知函数/■«在X=3处取得极大值为金，③正确；

44

因为手，所以-lW0sin(x-2)4点，所以函数/(X)的最小值为—1,④正确.

4444

故选D.

7、B

【解析】

根据已知得到函数/(九)两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得。的值，结合其对称轴，求得。的值，进而求得

/(九)解析式.根据图像变换的知识求得g(x)的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得g(x)的单调递减区

间.

【详解】

解：已知函数/(x)=sin(ox+e),其中切>0,Oe].g｝其图像关于直线x=?对称，

对满足|/(%)一/(%2)|=2的4，％2，有|玉―工21^=W=5,既，,口=2・

TTJTTT

再根据其图像关于直线x=—对称，可得2x—+e=br+—,kez.

662

；.0=^9；./(x)=sinf.

将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(%)=sin12%+彳+f]=cos2x的图像.

6I36)

令2k兀<2x<2k兀+7i，求得k7i<x<k7i—,

2

71

则函数g(尤)的单调递减区间是左肛左万+5,左eZ,

故选B.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中

档题.

8、B

【解析】

首先由正弦定理将边化角可得cosA=sin6,即可得到A=3-a，再求出苧）最后根据

sinA+sinC=sinB--+sin求出sinA+sinC的最大值;

I2

【详解】

解：因为acosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因为sinAwO

所以cosA二sin5

B>f

■,-A=JB4

C47C

0<A<—0<<

2B-77

71„71八713万

—<B<兀，即《—<B<7T,/.Be,?.cosB€f拒o]

225'7

71

0<c<0<万一B<—

i22

/.sinA+sinC=sinB--+sin

I2

=-cosB-cos2B

=-2cos2B-cosB+1

9

cosB+—+-

8

9

cosB——w------,0时(sinA+sinC)

4I2J\/max8

故选：B

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

9、C

【解析】

由McN=〃得出M0N,利用集合的包含关系可得出实数a的取值范围.

【详解】

M={x|l<x<21,N={x|x<a}且AfcN=M,:.a>2.

因此，实数。的取值范围是（2,”）.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.

10、B

【解析】

由题可知|OA|=C=TK闾，4A8=90。，再结合双曲线第一定义，可得|"|=|A闾+2a,对放..A毕有

的『+|阳2=网「,

即（,闾+2。）2+（卜闾+3。）2=（5。）2,解得,闾=-再对RtA4E乙，由勾股定理可得/+（3不=（24，化简

即可求解

【详解】

如图，因为|%|=5a,所以忸囚=5a—2a=3a.因为|。4|='="片闾所以6=90。.

在7?力中，|河「+|46『=忸周2,即（卜闾+2ay+（|A司+34=（5才，

得|AE,1=a,则，用=a+2a=3a.在RtZWFJF,中，由/+（34）?二仅域得e=£=M^.

W一

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

11、B

【解析】

设正四面体ABCD的外接球的半径R,将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据

正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面

积.

【详解】

将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a,如图所示，

设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则等1=8m，得R=&.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的

外接球是同一个球，则有由a=2R=2",二2=2夜.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长,

所以，正四面体ABCD的棱长为缶=2拒x及=4,因此，这个正四面体的表面积为4x巫二=16百.

4

故选:B.

【点睛】

本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计

算能力，属于中档题.

12、C

【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.

【详解】

mJ,•11-/

因为一=1+Z=>z=---=-----

Z1+Z1-Z2

故选:C

【点睛】

本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9

【解析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.

【详解】

依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组.

①若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1

名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；

②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1

名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；

③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、营长、团长各1

名；旅长、师长、军长各1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；

④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团长、旅长各1

名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；

⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1

名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.

综上所述，新加入学生可以扮演9种角色.

故答案为：9.

【点睛】

本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.

正

14、4——-a

3

【解析】

计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.

【详解】

作尸0,平面ABC,。为AA3C的重心

如图

A

AD=ABsinNABD=«-sin60=——a

2

则AO=2AD=3a,

33

所以PO=飞AP?—AO?=—a

3

设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x

则|,SAABC,尤=；,SAABC.POnx=(~a

故答案为：旦a

3

【点睛】

本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.

15、①②③

【解析】

根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.

【详解】

7L

解：当a=4时/(x)=6r.，、又因为/(%)为偶函数

(4一v%-2)xe[2,+ooJ'/

二可画出/(尤)的图象，如下所示:

可知当加=0时g(x)=/(x)-777有5个不同的零点；故①正确;

若V7〃e[0,l],函数g(x)的零点不超过4个,

即V/77.e[0,l],y="可与y=根的交点不超过4个，

.•.122时/(同40恒成立

又当xe[2,+oo)时，/(x)=(a-x)(x-2)

.,.。-兀<0在X42，+8)上恒成立

.•.44*在兀€[2,+00)上恒成立

:.a<2

由于偶函数/(X)的图象，如下所示:

直线/与图象的公共点不超过4个，则aW2,故②正确;

对W,〃e(l,+oo),偶函数/(x)的图象，如下所示：

3«G(4,+CO),使得直线/与g(x)恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确.

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

16、5A/5

【解析】

建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段A5的长度，最后利用导数来求函数最小值.

【详解】

以C为原点，CA,CB所在直线分别作为羽y轴，建立平面直角坐标系，则M(8,l).设直线AB:y-l=/x-8),即

y=kx+1-Sk,则A———,0,5(0,1-8^),

1—8左八

------>0

所以《k,所以k<0,

1一8上〉0

AB2=^-]—^+(1—8左)2=/(左)(左<0),

则/(4)=(1一84)2[1+*](左<0),

则/'(«)=2(1-8k)x(-8)x“+£)+(1-8k¥x(-2)x+

-2(1-8人)(8左3+1)-2(1-8k)(2k+1)(4^2—2左+1)

-PP，

当—gj时，r(x)<0,则/(x)单调递减，当xe[—时，/'(盼>0,则/(》)单调递增，

所以当左=—；时，A3最短，此时AB=5A/L

故答案为：5亚

【点睛】

本题考查导数的实际应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)psin^3-=—,p=4y/3sin3；(2)看，2y/3•

【解析】

(1)先把直线/和曲线C的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；

(2)联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得|Q0|,|ON|,再由面积SA°MN=T°MHON|=1可解得极角，从而

可得10Ml.

【详解】

71

X-tcos—

3

(1)直线/的参数方程是。为参数）,

,.乃

y=l+tsin—

3

消去参数/得直角坐标方程为：yf3x-y+l=Q.

转换为极坐标方程为：\[3pcos0—psinO+1=0>BPpsin[—j=

X=2yl3cos（P

曲线C的参数方程是LL(9为参数),

y=2J3+2<3sirup

转换为直角坐标方程为：炉+(,—2百)2=12,

化为一般式得好+/-4V3y=0

化为极坐标方程为：p=4也sin®.

]

兀、、「|ON|=----------------------------

（2）由于0Va<_，得|。河|=4氐山a,I।.（色）_Q（色）cosa+y/3sina.

sZAZIaIIcosIaII

I2；I2）

所以S"=^\OM\•|0N|=2底器=1,

2cosa+73sma

所以tana=—，

3

兀jl

由于0<aV—,所以a=一,

26

所以|OM|=26.

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

18、(1)y=x+\.(2)见解析

【解析】

(1)对函数进行求导，可以求出曲线y=/Q)在点(0"(0))处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线

方程；

(2)对函数进行求导，对实数〃进行分类讨论，可以求出函数/(x)的单调区间.

【详解】

(1)当。=0时，函数定义域为R,f(x)=：J/n/'(0)=l,

(%+1)

所以切线方程为y=x+i；

x~-ax+l-2x+ajex(^x2-(a+2)x+l+a^e”(x-l)(x-(a+l))

(2)/(%)=-

(%2-以+1)(九2一〃%+1)(%2一〃%+1)

,ex(x-l)2

当。=0时，函数定义域为R,f(x)=(222°」/(x)在火上单调递增

(x+1,)、

当ae(0,2)时，△=片一4<0,.“2—以+1>0恒成立，函数定义域为R,又a+1>1,，/(幻在(-0,1)单调递增,

(1,1+a)单调递减，(1+a,+8)单调递增

当a=2时，函数定义域为(Y),1)D(L+8),/'(x)=O三"，•./(%)在(-8,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,+8)

(x-l)

单调递增

当ae(2,+oo)时，A=1—4>0设依+1=。的两个根为占,马且玉〈尤2，由韦达定理易知两根均为正根，且

0<公<1</，所以函数的定义域为(-O0,%)L(%，+8)，又对称轴X=^|<。+1,且

(a+1)~—a(a+1)+1=a+2>0x2<a+1,

/(x)在(f,%),(%」)单调递增，(1,%),(%，。+1)单调递减，(l+a,+s)单调递增

【点睛】

本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.

19、(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解析】

2L2

(1)利用基本不等式可得幺+够+a2b,两式相加即可求解.

ba

(〃、h2(a—b}

(2)由(1)知。2..沙a+)——=ab+———代入不等式，利用基本不等式即可求解.

IaJa

【详解】

/h2

(1)-------------Fa2b

ba

b22

两式相加得乙+a幺..〃+b

ab

/、上/、卜2j(j7b2(a-b)

(2)由(1)知ci..ba+b-----cibH-------------------------

、aJa

▼口2a1,b2(a-b)a1

于是，a+—+-------..ab+---------+—+--------

ba{a-b)aba(a-b)

(.a\(b2(a-b)1、

Ib~)aa(a—b),

a

..2-+2->4.

ba

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

20、(1)一+;/=1(2)点/在以为直径的圆上

4

【解析】

(1)根据题意列出关于〃，b,。的方程组，解出〃，b,c的值，即可得到椭圆C的标准方程；

(2)设点P(%,%),则%),求出直线的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点。

的坐标，下面结合点尸在椭圆。上证出揄.血=(),所以点以在以8为直径的圆上.

【详解】

b=lr

厂a—2

(1)由题意可知，\-=^~,解得1=1,

a2

a2=b2+c2=《3

2

二椭圆C的标准方程为：—+/=1.

4-

(2)设点「(不，％),则%),

Jo-12(y0-l)

「•直线AM的斜率为员_0一天,

2

2(%T)।

，直线AM的方程为：>=:x+i,

令y——1得，x=1\，

1一%

二点N的坐标为(1°,-D,

1一%

二点。的坐标为J"-1),

2(1-%)

OMDM=(^,%>(包-一^,%+1)=日+姬__^L+y

、2