2024年中考数学一轮复习学案：重难点01 数式、图形与函数的规律探索（解析版）

重难点突破01数式.图形与函数的规律探索问题

目录

・题型特训•精准提分

类型

数式

律

规

一

a-二

型

题

01记数类规律

型

题

02系数规律

型

题

03等式类规律

型

题

04数阵类规律

型

题

05末尾数字规律

型

题

06杨辉三角

型

题

07与实数运算有关的规律题

型

类

二图形规律

型

题

01图形固定累加型

型

题

02图形渐变累加型

型

题

03图形个数分区域累加型

型

题

图形循环规律

型04

题

与几何图形有关的规律探索

型05

类

三函数规律

型

题

型函数图象规律

题01

型函数上点的规律

题02

型函数象与几何形的律

类03图图规

题型特训-精准提分

记数类规律

系数规律

等式类规律

数阵类规律

数数式规律

末尾数字规律

式

杨辉三角

,与实数运算有关的规律题

图

形

图形固定累加型

与

图形渐变累加型

函

图形个数分区域累加型

数图形规律

图形循环规律

的

规与几何图形有关的规律探索

律

探函数图象规律

索7鲂函数上点的规律

函数规律----------------

问------------函数图象与几何图形的规律

题

新定义类规律

类型一数式规律

关于数式规律性问题的一般解题思路：

(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；

(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；

(3)用得到的规律去解决其他问题

1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过

适当的计算回答问题。

2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函

数关系式为主要内容.

题型01记数类规律

1.（2023•浙江衢州•校考一模）观察下列数据：0,3,8,15,24,它们是按一定规律排列的，依照此

规律，第201个数据是（）

A.40400B.40040C.4040D.404

【答案】A

【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1,然后列式计算即可得解.

【详解】V0=12-1,

3=22-1,

8=32-1,

15=42-1,

24=52-1,

.•.第201个数据是:2012-1=40400,

故选：A.

【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减1是解题的关键.

2.（2022.内蒙古鄂尔多斯.统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为京p710按此规律排列,

1017

则第30个数是

【答案】新

3n-2

【分析】由所给的数,发现规律为第〃个数是,当〃=30时即可求解.

n2+l

710

【详解】解：

I1017

第〃个数是3n-2

n2+l

当”=30时，竽=萼188

n2+l302+1901

故答案为：新

【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键.

3.（2020•西藏・统考中考真题）观察下列两行数:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,.

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n等于（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

【分析】根据探究发现:第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,第n个相同的数是6（n-l）+l=6n-5,

进而可得几的值.

【详解】解：第1个相同的数是1=0x6+1,

第2个相同的数是7=1x6+1,

第3个相同的数是13=2x6+1,

第4个相同的数是19=3x6+1,

…,

第九个相同的数是6（九-1）+1=6n-5,

所以6九一5=103,

解得九=18.

答：第71个相同的数是103,则九等于18.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键.

4.（2022・湖南怀化・统考模拟预测）正偶数2,4,6,8,10,……,按如下规律排列，

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是.

【答案】744

【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行

有3个数.....第n行有n个数，则前n行共有也罗个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几.

【详解】解：由图可知，

第一行有1个数，

第二行有2个数,

第三行有3个数,

第〃行有〃个数.

，前n行共有1+2+3+…+〃=辿罗个数.

，前26行共有351个数，

，第27行第21个数是所有数中的第372个数.

•••这些数都是正偶数，

...第372个数为372x2=744.

故答案为：744.

【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，

再结合其他已知条件求解.

题型02系数规律

5.（2023・四川成都•校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式:X、一2/、4/、-8x\16x\根

据其中的规律得出的第9个单项式是（）

A.—256/B.256/C.-512x9D.512/

【答案】B

【分析】根据已知的式子可以得到系数是以-2为底的幕，指数是式子的序号减1,x的指数是式子的序号.

【详解】解：第9个单项式是（-2）9-59=256/.

故选：B.

【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键.

6.（2020•云南•统考中考真题）按一定规律排列的单项式：a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,第ri个单

项式是（）

A.（―2尸一%B.（-2）naC.2n-1aD.2na

【答案】A

【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行

概括即可得到答案.

【详解】解:1■,a,-2a,4a,—8a,16a,—32a,

可记为：(-2)%,(-2)%,(~2)2a,(-2)3a,(~2)4a,(-2)%,…,

第？i项为：(-2严一%.

故选A.

【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键.

7.(2023・云南昆明・昆明八中校考三模)按一定规律排列的单项式：—x,3/,-5x3,7x4,-9x5,第

71个单项式是()

A.(2n—1)(—B.(2n+1)(—%)"C.(2n+l)xnD.(2n—l)xn

【答案】A

【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数的绝对值是一些连续的奇数且第奇数个单项式的系数为负数，

比的指数是一些连续的正整数，从而可以写出第n个单项式.

【详解】解：A、当n=l时，第一个单项式为：—》符合题意；

B、当n=l时，第一个单项式为：-3x,不符合题意，排除；

C、当几=1时，第一个单项式为：3x,不符合题意，排除；

D、当几=1时，第一个单项式为：X,不符合题意，排除；

故选：A.

【点睛】此题考查了数字的变化规律，单项式的系数和指数，解此题的关键是明确题意，发现单项式系数

和字母指数的变化特点及规律.

题型03等式类规律

8.(2023•浙江嘉兴•统考中考真题)观察下面的等式：32—12=8x1,52-32=8x2,72-52=8x3,92—

72=8X4,…

⑴写出192-"2的结果.

(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含〃的等式表示，〃为正整数)

(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.

【答案】(1)8x9

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n

(3)见解析

【分析】(1)根据题干的规律求解即可；

(2)根据题干的规律求解即可；

(3)将(2n+l)2-(2Tl-1)2因式分解，展开化简求解即可.

【详解】(1)192-"2=8X9；

(2)(2n+I)2-(2n-l)2=8n；

(3)(2n+l)2-(2n-l)2

=(2n+1+2n—l)(2n+1—2n+1)

=4nx2

=8n.

【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳

发现其中的变化规律.

9.(2022.安徽.统考中考真题)观察以下等式：

第1个等式：(2x1+1)2=(2x2+1)2-(2x2)2,

第2个等式：(2x2+1)2=(3x4+1产—(3x4)2,

第3个等式：(2x3+1)2=(4x6+1)2-(4x6)2,

第4个等式：(2x4+1)2=(5x8+1)2—(5x8)2,

按照以上规律.解决下列问题：

⑴写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式(用含〃的式子表示)，并证明.

【答案】(1)(2x5+=(6x10+I)2-(6x10)2

(2)(2n+I)2=[(n+1)-2n+l]2—[(n+1)-2n]2,证明见解析

【分析】(1)观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；

(2)观察相同位置的数变化规律可以得出第"个等式为(2n+1)2=[(n+l)-2n+l]2-[(n+l)-2n]2,

利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明.

【详解】(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：(2X5+1)2=

(6x10+1)2—(6x10)2,

故答案为：(2x5+=(6x10+I)2-(6x10)2；

(2)解：第n个等式为(2n+I)2=[(n+1)-2n+I]2-[(n+1)-2n]2,

证明如下：

等式左边：(2n+I)2=4n2+4n+1,

等式右边：[(几+1)-2n+l]2-[(n+1)-2n]2

=[(n+1)-2n+1+(n+1)-2n]•[(n+1)-2n+1—(n+1)-2n]

=[(n+1)-4n+1]x1

=4n2+4n+1,

故等式(2n+l)2=[(n+1)-2n+l]2—[(n+1)-2TIK成立.

【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关

键.

10.(2022.安徽淮南.统考二模)(1)初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：

①=1；②"3+23=3；③，1.3+23+3?=6；@V13+23+33+43=；...

(2)深入探究，观察下列等式：

01+2=O+：)X2；②1+2+3=③1+2+3+4=a+7x4；

根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：

1+2+3+•--+n+(n+1)=.

(3)拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：

①“3+23+33+…+993+1003；

②113+123+133+•••+193+203.

n

【答案】(1)10；(2)(+2器1)；(3)①5050；②41075

【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；

(2)所有自然数相加的和等于首项+尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可;

(3)利用(1)(2)中的规律综合运用即可求解.

【详解】解；⑴10；

⑵(葭+2)(英+2)

(3)①原式=1+2+3+4+5+•••+99+100

(1+100)x1.00=5050；

2

②原式=13+23+33+…+183+193+203-(I3+23+33+…+103)

400X441_100X121=44100—3025=41075.

4444

【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用,

其中探求规律是解题关键

题型04数阵类规律

11.（2023・湖南常德・统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数孤若

排在第a行b列，则a—b的值为（）

1

1

12

21

123

321

1234

4321

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数

一致.

【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数

一致，故照在第20歹U,即b=20；向前递推到第1列时，分数为《黑白=总，故分数总与分数总在

同一行.即在第2042行，则a=2042.

.,.a-b=2042-20=2022.

故选：C.

【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性.

12.（2018.湖北十堰.中考真题）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行

从左至右第5个数是（）

1

V2V3

2V5V6

V72V23V10

A.2710B.V41C.5V2D.V51

【答案】B

【分析】由图形可知，第n行最后一个数为-1+2+3+…n=产密，据此可得答案.

【详解】由图形可知，第n行最后一个数为+2+3+…丁=平^，

:.第8行最后一个数为杉=V36=6,

.•.第9行从左至右第5个数是=V41,

故选B.

【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为

13.（2023•安徽合肥•统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

请根据上述规律解答下面的问题：

⑴第6行有个数；第〃行有个数（用含〃的式子表示）；

⑵若有序数对（九，血）表示第〃行，从左到右第小个数，如（3,2）表示6.

①求（11,20）表示的数；②求表示2023的有序数对.

【答案】⑴11;2n-l；

（2）①120；②（45,87）

【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可；

（2）①先求第11行最后一个数，然后判断（11,20）为第11行倒数第二个数即可解答；

②先根据442v<452判断2023为第45行的数字,然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2,

2O23

即可判断.

【详解】（1）解：第1行有1个数，

第2行有3=1+2个数，

第3行有5=1+2x2个数，

第4行有7=1+2x3个数，

第5行有9=1+2x4个数，

，第6行有1+2x5=11个数,

第n行有1+2(n-l)=(2n-1)个数；

(2)解：①•..第11行有2X11-1=21个数，且最末尾的数是=121,

而(11,20)表示第11行的第20个数，

(11,20)表示的数是121-1=120：

②:442=1936,452=2025,

A442<2023<452,

.".2023位于第45行,

•.•第45行有45X2-1=89个数，而2023与2025相差2个数，

.".2023位于第45行的第87个数，

表示2023的有序数对是(45,87).

【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键.

题型05末尾数字规律

14.(2022.湖北鄂州.统考中考真题)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模

型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示.即:

2』2,22=4,23=8,24=16,25=32,……，请你推算22<磔的个位数字是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案.

【详解】解：•；2i=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

尾数每4个一循环，

：2022+4=505...2,

...22022的个位数字应该是：4.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键.

15.(2023•河南南阳・统考一模)观察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

根据其中的规律可得7。+71+72+.••+72。23的结果的个位数字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【分析】由已知可得尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环，则7。+7】+72+…+72023的结果的个位数

字与7。+7】+72+73的个位数字相同，即可求解.

【详解】解：V70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环，

；1+7+9+3=20,

Z.7°+71+72+73的个位数字是0,

又「2024+4=506,

.,.7°+71+72+…+72。23的结果的个位数字与%+71+72+7?的个位数字相同,

...7。+71+72+…+72023的结果的个位数字是0.

故选：A.

【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键.

16.（2022・湖南湘西•校考模拟预测）观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,

…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22022的末尾数字是（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】D

【分析】通过观察发现2〃的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，直接填空即可；

【详解】解：通过观察发现2"的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，且2+4+8+6=20,尾数为

0

2022-4=500...2,

则尾数为2+4=6,

故选D.

【点睛】此题考查幕的乘方末尾的数字规律，注意观察循环的数字规律，利用规律解决问题.

题型06杨辉三角

17.（2023.四川成都.模拟预测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示

了（a+b¥（"为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：

（a+6）1=a+b,展开式有两项，系数分别为1,1;

（a+b}2=a2+lab+b2,展开式有三项，系数分别为1,2,1；

（a+&）3=a3+3a2b+3ab2+b3,展开式有四项，系数分别为1,3,3,1；

根据以上规律，（〃+。）4展开式共有五项，系数分别为.

I$BI

【答案】1、4、6、4、1

【分析】此题考查完全平方公式，多项式展开式，数字的变化规律，正确观察已知的式子与对应的三角形

之间的关系是关键.

观察可得（a+b）71（w为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1,中间各项系数等于

（a+by1-1相邻两项的系数和.

【详解】解：根据题意知，（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1,

即：1、4、6、4,1；

（a+b），=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

故答案为：1、4、6、4、1.

18.（2023•黑龙江大庆•统考中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了

如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”.

11（a+b）i=a+b

121（a+bypKZa加

13313a〃+乂

14641

（。+6）4=,4+4东护+6a*+4a"+"

•♦•

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为—.

【答案】128

【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果.

【详解】根据题意得：(a+6)5展开后系数为：1510,10,5,1,

系数和：1+5+10+10+5+1=32=25,

(a+b)6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1,

系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

(a+展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1,

系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案为：128.

【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律.

19.(2022下•重庆•九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)我国古代数学的许多发现都曾位于世界前列，其中

杨辉三角(如图)就是一例.这个三角形给出了(a+b)"(几=1,2,3,456...)的展开式(按a的次数由大到

小顺序排列)的系数规律.例如在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应(口+匕)2=(12+2仍+62展

44

开式中各项的系数；第四行的五个数1,4,6,4,1,恰好对应着(a+b)=a+4a3b+6a2b2+4ab3+匕4展

开式中各项的系数等等.有如下结论：①“杨辉三角”中第9行所有数之和1024；②“杨辉三角”中第20行

第3个数为190；③(a+b)3=a3—3a2b-3仍2+〃；④993+3x99?+3x99+1的结果是1。6；⑤当代

数式£14+8口3+24£12+32£1+16的值是1时，a的值是—1或—3.上述结论中，正确的有()

o行

1

1行

11

行

“2

弓

3行121

4行1331

5行14641

15101051

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据每一行的数字，找到其和的规律为124,8,16,25,…可得每一行的数字和为2%进而可以判断①，

根据从第2行起，每一行的第三个数字分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4…找到规律第九行的的第3个

数字为变产，即可判断②，根据第三行的数字可得(a+b)3=a3+3a2b+3aF+b3,即可判③④，根据

(a+2)4=a4+Sa3+24a2+32a+16=1,因式分解一元二次方程即可求得a的值，即可判断⑤

【详解】解：•••每一行的数字，其和的规律为1,2,4,8,16,25,…

••・第n行的数字和为2%

则“杨辉三角”中第9行所有数之和29=512

故①不正确；

••・从第2行起，每一行的第3个数字分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4…

・•・第九行的第3个数字为弯国，

••・“杨辉三角”中第20行第3个数为迎罗2=190；

故②正确；

第三行的数字为1,3,3,1可得，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

故③不正确，

•••993+3X992+3X99+1=(99+I)3=(102)3=IO6

故④正确

(a+2)4=a4+8a3+24a2+32a+16=1,

(a+2尸=1

(a+2)2=1

解得a=—1或a=-3

a的值是一1或-3.

故⑤正确

故正确的有3个，

故选B

【点睛】本题考查了因式分解解一元二次方程，数字类规律，找到规律是解题的关键.

20.(2022•重庆巴南•统考模拟预测)“杨辉三角”给出了(a+匕产展开式的系数规律(其中，为正整数，展开

式的项按a的次数降幕排列)，它的构造规则是：两腰上都是数字1,而其余的数则是等于它肩上的两个数

之和.例如：(a+b)2=a?+2例+炉展开式的项的系数1,2,1与“杨辉三角”第三排对应：(a+b)3=a3+

3a2b+3ab2+b3展开式的项的系数i,3)3)b与“杨辉三角，，第四排对应；依此类推……判断下列说法正

确的是()

1

11

\Z

121(a+b)2

i¥Y

1•g+z>)3

Vv\z

146411・…(。+与‘

①“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1；

②当a=2,b=—1时，代数式+3a2。+3ab2+产的值为—1；

③(a+b)2022展开式中所有系数之和为22022；

④当代数式a4-8a3+24a2-32a+16的值为1时，a=1或3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解.

【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1,故说法①正确;

当a=2,b=—1时，a3+3a2b+3ab2+b3—(a+b)3=(2-I)3=1,故②说法错误；

令a=l,b=l,则(a+b)2022=(1+1)2022=22022,故说法③正确；

当代数式a”-8a3+24a2-32a+16的值为1时，

即a，-8a3+24a2-32a+16=1,

Aa4+4x(-2)%3+6x(-2)2a2+4x(-2)3a+(-2)4=(a-2)4=1,

(a—2)2=1或(a-2>=-1(不合题意，舍去),

a—2=±1,

解得a=3或1,

故说法④正确,

1

11..................................(a+b)l

V

121..................................(a+bp

v\/

(a+b)3

1331

VW

(a+b>

..(a+b)5

15101051.............................

综上可得，说法正确的有①③④，

故选：C

【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律,正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解

题的关键.

题型07与实数运算有关的规律题

21.(2022・湖北恩施・统考中考真题)观察下列一组数：2,|,....它们按一定规律排列，第〃个数记为厮，

且满足-=■贝！J%=________，。2022=__________•

anan+2an+l

【答案】1蠢

【分析】由题意推导可得吟即可求解・

【详解】解:由题意可得：aj=2=|,"2=泻,哈

..1.12

・-----1-----=一，

a2a4a3

1

・・・2-7,

・_1_2

•・a4=-=一，

510

..1,12

a4

同理可求〃6=：=/,…

816

•.an=—-------

3(71-1)4-1

・_21

••42022=670767473032’

11

故答案为:

5’3032

【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.

22.（2021・湖北鄂州•统考中考真题）已知的为实数，规定运算：=1—<=1—工=1—工，=

1--,.......，a=1———.按上述方法计算：当的=3时，。2021的值等于（）

。4nan-l

A.--B.-C.--D.-

3323

【答案】D

【分析】当生=3时，计算出@2=|,%=—”4=3,……，会发现呈周期性出现，即可得到02021的值.

【详解】解：当。1=3时，计算出=|,。3=—”4=3,

会发现是以：3,|,-5循环出现的规律,

•••2021=3x673+2,

a2021=="

故选：D.

【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相

应的规律，利用其规律来解答.

23.（2020•浙江金华•统考一模）求1+2+22+23+...+2202。的值，可令S=1+2+22+23+...+22。2。，则2s

=2+22+23+24+...+22021,因此2S—S=2202i—l.仿照以上推理，计算出1+2020+20202+20203+...十

20202020的值为（）

.2020202°-12O2O2021-!。2O2O2021-!、20202o2o-l

A.------------B.------------C.------------D.------------

2020202020192019

【答案】C

【分析】由题意可知S=1+2020+20202+20203+...+20202020①，可得到2020S=2020+20202+20203+...

+20202M+20202021②，然后由②一①，就可求出S的值.

【详解】解：设$=1+2020+20202+20203+...+20202。20①

则2020S=2020+20202+20203+...+2O2O2020+202()202i②

由②一①得：

2019s=20202021—1

・c20202O21-l

.・3--•

2019

故答案为：C.

【点晴】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算.

24.（2023・浙江・统考一模）有一列数，记为的,a2,an,记其前〃项和为%=%++…+以，定义

&+Sz：…+S"

Tn=为这列数的，，亚运和，，,现有99个数的，a2,a99,其“亚运和”为1000,则1,a1,a2,

（299这100个数的“亚运和”为（）

A.791B.891C.991D.1001

【答案】C

【分析】根据“亚运和”的定义分析可得99个数的，a2,....a9g,其“亚运和”为1000,,即1+S?+…+S99=

99x1000.同理根据定义求新数列1,%,a2,....&99这100个数的“亚运和”.

【详解】解：^=1000,

・'.Si+S2+…+S99=99X1000,

1,alfQ2，…，的9这10。个数的"亚运和''为

1+1+S1+I+S2+,0,+1+S99

100

1X100+S]+512+…+S99

=100

_lx100+99X1000

二100

=1+990

=991.

故选：C.

【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分

发生了变化，是按照什么规律变化的.关键是找到S1+S2+-+S99=99x1000.

25.（2022・四川达州.统考中考真题）人们把粤。0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的

“0.618法”就应用了黄金比•设a=第＞b=记S1=书+捻，$2=总？+号P…，Sioo=二+

100

则S]+S2+—FS=

1+b100100

【答案】5050

【分析】利用分式的加减法则分别可求S/=l,S=2,Soo=lOO,…，利用规律求解即可.

Vs—1Vs+i

【详解】解:a—,b7=

2-------2

1A

・•・ab=-/-5--1x-V-5-+-1=11,

22

2+a+b2+a+by

T=1，

'.'S1=而+G=1+a+b+ab2+a+b

2222

2,2-2+a+b仁2+a+b

---7-I---77=2X---1--；--;~~=2X；~-

1+a21+b2l+a2+b2+a2b22+a2+b2

_1001001+a100+1+bwo_

+100100

S100=1+aloo1+*00=义i+aioo+bioo+aioobioo=

***S]+S2+…+Si。。=1+2+……+100=5050

故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=l,找出的规律是本题的关键.

26.（202L湖南怀化.统考中考真题）观察等式：2+22=23—2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=

25—2,……，已知按一定规律排列的一组数：2】。。，2101,2]。2,……，2199,若21。。=加，用含血的代数

式表示这组数的和是.

【答案】m2-m

【分析】根据规律将21。°,2101,2]。2,……，2】99用含力的代数式表示，再计算2。+21+…+299的和，即

可计算21°°+2101+2101+•••+2】99的和.

【详解】由题意规律可得：2+22+23+…+2"=2100-2.

V2100=m

；•2+22+23+…+299+2=2ioo=m=2om,

V2+22+22+…+2"+2100=2101-2,

2101=2+22+23+—F2"+2100+2=m+m=2m=21m.

2102=2+22+23+—F2"+2100+2101+2=m+m+2m=4m=22m.

2103=2+22+23+—F2"+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.

.•.2199=299m.

故21°°+2101+2101+—F2199=2°m+21m+—F299nl.

令2°+2】+22+…+2"=S①

21+22+23+•••+2100=2s②

②-①，得21°°-1=5

2100+2101+2101+—F2199=2°m+2rm+—F2"m=(2100—l)m=m2-m

故答案为：m2-m.

【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.

27.(2021・四川眉山・统考中考真题)观察下列等式：均=11+^+^=|=1+^-；

AlJ.ZZJ.XZ

根据以上规律，计算％1+%2+%3+…+%2020-2021=

【分析】根据题意，找到第〃个等式的左边为1+吃+』，等式右边为1与的和；利用这个结论

•Jnz(n+l)2n(n+l)

得到原式=1工+1工+12+...+1----------------2021,然后把工化为1-工，工化为工-三，--------化为1-1,再进

26122020X2021226232020x202120152016

行分数的加减运算即可.

【详解】解：由题意可知，-+白+』=1

71(71+1)'"2U20—1।2020X2021

、nz(n+1)2

+%2+%3--------H%2020—2021

1111

=1i+1-+1—+...+1——-——-2021

26122020X2021

=2020+1-V-i+...+-^------------2021

22320202021

=2020+1---2021

2021

_1

2021,

故答案为：一嘉・

【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律,解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便

运算.

28.（2023•内蒙古・统考中考真题）观察下列各式:

Si=小+1+1=1+力$2==1+六'$3=J1+/+[=1+曰一

利用你所的律，算：

请发现规计Si+S2+…+S50=.

【答案】50拳等

【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.

【详解】S1+$2+…+S50

111

1++1++•♦•+1+

1x22x350x51

11111

50+(1-2+2-3+，，，+50-51

5唱

故答案为：50g.

【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键.

类型二图形规律

方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前

一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.

题型01图形固定累加型

解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图

形的基础上累加的所求图形的个数b（即固定累加图形个数），再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有

关的关系式为a+b（n-l）.

29.（2023.重庆.统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个

图案中有5