2024苏北七市高三二模数学试卷含答案

2024苏北七市高三二模数学试卷含答案

2024届高三第二次调研测试

数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上指定位置上，在其他位置作答一律无效。

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并

交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知单位向量ei,ez的夹角为位0°,则3-02）通=

A.-2B.0C.1D.2

2.在正方体4BCD—小BCjOi中，下列关系正确的是

A.ADLB\CB.AyDLBDC.ACilAiCD.AC\LCD\

3.一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10,21,25,35,36,40.若这两组数

据的中位数相等，则删除的数为

A.25B.30C.35D.40

’2'+27,xW3,

4.已知函数。贝"（1吗9）=

/（'）'》>3，

.8IQc典D典

A.]B3J9,9

5.设x>0,y>0,-+2y=2,则x+上的最小值为

xy

A.|B.2VIC.1+V2D.3

6,若函数/（x）=e〃+2x有大于零的极值点，则实数々的取值范围为

A.a>-2B.C.a<-2D,

2工

高三数学试卷第1页（共4页）

7.设抛物线C：y2=4x的焦点为凡C的准线与x轴交于点4过N的直线与C在第一

象限的交点为M,N,且|FM|=3|1W|,则直线MN的斜率为

A.§B.1C.乎D.1

8.若cosa,cos(a-[),cos(a+日)成等比数列，则sin2a=

A6D石pj_D-1

A.4B..丁C.3D.彳

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知双曲线C：手一0=1(6>0)的右焦点为凡直线/：x+by=0是C的一条渐近

线，尸是/上一点，则

A.C的虚轴长为2形B.C的离心率为6

•...1;

C.|「网的最小值为2D.直线尸尸的斜率不等于-半

10.己知P(4)=g,P(5|J)=|.若随机事件4,8相互独立，贝！1

A.P(B)=1B.尸(如=击

.'\.»-二”.«

、■■,,»■,f.I>•'1:

t•t.

..、•

c.尸(—川5)=力4D.P(4+5—)=44

11.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(X)的图象关于点(2,0)对称,g(0)=g(2)=L

g(x+y)+g(x-y)=g(x)/(y),则

A.〃x)为偶函数B.g(x)为偶函数

C.g(-l-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设mGR,i为虚数单位.若集合4={1,2m+(/M-l)i},B={-2i,1,2},且413,

贝!1加=.

13.在△4BC中，AB=沂,AC=\,“为的中点，NM4c=60。，则NA/=.

14.若正四棱锥的棱长均为2,则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为,该十

面体的外接球的表面积为.

高三数学试卷第2页(共4页)

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

15.(13分)

甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了

1000名消费者，得到下表：

满意不满意

男44060

女46040

(1)能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；

(2)若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用x表示不满意的人数,

求X的分布列与数学期望..

n(ad-be)2

附：K2=7———~~—~n=a+b+c+d.

(a+6Xc+d)(a+c)(b+d)

尸(形浦0.10.050.01

k2.7063.8416.635

16.(15分),

设函数f(x)=sin(0x+0)(0>O,0<0<兀)一已知/(x)的图象的两条相邻对称轴间

的距离为枭且

(1)若/(X)在区间(0,m)上有最大值无最小值，求实数机的取值范围；

(2)设/为曲线片/(x)在了=-］处的切线，证明：/与曲线y=/(x)有唯一的公共点.

O

17.（15分）

如图，边长为4的两个正三角形N3C,BCD所在平面互相垂直，E,尸分别为5C,CD

的中点，点G在棱力。上，AG=2GD,直线与平面ERG相交于点H

A

(1)从下面两个结论中选一个证明：

①BD//GH；②直线GF,NC相交于一点；

注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

(2)求直线8。与平面ERG的距离.

D

高三数学试卷第3页(共4页)

18.(17分)

已知数列｛%｝的前八项和为S„=a„-4an+l,a=-1.

(1)证明：数列｛2%+】-%｝为等比数列;

(2)设儿=求数列｛丛｝的前〃项和；

(3)是否存在正整数p,q(p<6<q),使得%,S6,Sg成等差数列？若存在，求P，q；

若不存在，说明理由.

19.(17分)

在平面直角坐标系x(力中，已知椭圆r：岑+《=1(。>6>0)的离心率为半，直线

abJ

/与「相切，与圆o：/+产=3°2相交于4B两点.当/垂直于X轴时，\AB\=246.

(1)求「的方程；

(2)对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有

最小距离的最大值存在，则记此最大值为〃(跖N)..

(i)若M,N分别为线段43与圆。，尸为圆。上一点，当的面积最大时，

求d(M,N)；

(ii)若d(跖N),d(N,M)均存在，记两者中的较大者为H(M,N).已知

H(X,Y),H｛Y,Z),H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(F,Z)及H(X,K).

高三数学试卷第4页(共4页)

2024届高三第二次调研测试数学参考答案与讲评建议

一、选择题：

1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.A8.B

二、选择题：

9.AD10.BCD11.ACD

三、填空题：

12.113.414.封0；4兀

26

四、解答题：

15.解：(1)根据题意，知《2=7_，「叱丫

(〃+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

1000x(440x40-60x460)2)八

=.......................................................2刀

500x500x900x100

=岑＞3,841,

所以有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关.……5分

(2)X的可能取值为0,1,2,3,且X8(3,击).……7分

则X的分布列为:尸(X=0)=管=焉，尸(X=1)=C；*X(Q=勰,

尸3=2)=/(#端=需，尸(x=3)=喝)……11分

所以X的数学期望项X)=2.……13分

16.解：(1)因为/(%)的图象的两条相邻对称轴间的距离为经，所以/(x)的周期为兀，

即室=无，解得0=2.……2分

又/(一/)=一：，故乱一390=_4，即®夕=),又0＜夕＜兀，故9=1.

此时/(x)=sin(2无+孕....4分

因为函数Ax)在区间(0,租)上有最大值无最小值，所以畀2机+或W等,

解得装〈加W患.……7分

(2)由(1)知，/(—[)=0，/(%)=2cos(2x+冬，则/，(—空)=2.

所以/的方程为丁=2。+当.10分

O

记p(x)=sin(2x+y)-2(x+§,

则p'(x)=2cos(2x+号)-2W0,故p(x)单调递减....13分

又P(-袭)=0,故p(%)有唯一零点一

所以/与曲线y=/(x)有唯一的公共点.……15分

17.证明：选①因为E,尸分别为3C,CD的中点，所以所〃……2分

又80$平面£FG,Efu平面£FG,所以8。〃平面£FG.4分

又B£)u平面AB。，平面ABOC平面EFG=GH,所以即〃G”.…6分

A

选②在A4C£＞中，AG^2GD,F为CD中点,人

所以GF与AC不平行.……2分

设GFf]AC=K,则KeAC,K^GF./\\

又ACu平面ABC,FGu平面£FG,夕冬、\\

所以Ke平面ABC,Ke平面EFG.…4分/\

又平面ABC0平面EFG=HE,企'[一

所以KeHE,所以HE,GF,AC相交于一点.V'OQ\

(2)解：若第(1)问中选①，W/XX\

由(1)知，平面EFG.D\\\

所以点B到平面£FG的距离即为8£＞与平面EFG的距离.……7分、

若第(1)问中选②，因为E,尸分别为8C,CD的中点，

所以

又平面EFG,EPu平面EFG,所以8D〃平面EFG.

所以点B到平面EFG的距离即为8。与平面EFG的距离.……7分

连接EA,ED,因为△ABC,△88均为正三角形，E为BC的中点,

所以£A_L3C,EDLBC.

又平面ABC1平面BCD,平面ABCf"!平面3CD=3C,A£u平面ABC,

所以AE_L平面BCD,又即u平面3cD,所以EA_LED.怎…9分

以EB,ED,EA为基底建立如图所示空间直角坐标系，

贝U2(2,0,0),F(-l,73,0),G(0,

EB=(2,0,0),£F=(-1,y/3,0),

EG=(0,

设平面EFG的一个法向量为"=(x,y,z),

-x+6y=0,

/n=。，即，

不妨取〃=(石，1,-2).…'"12分

则呼y+手z=o,

苑〃=0,

设点B到平面EFG的距离为d,则1=半卫=挛=酉

""-"""'1«1瓜2

所以B。与平面EFG的距离为坐.……15分

18.(1)当〃=1时，S]=q—4%,故％=().

当n»2时，Sn=ctn—4a〃+],①

5„_j=an_t-4an,②

①一②，a„=a„-a„-i-4a„+l+4a„,即包鹏=4%一名」....2分

所以2(2%+[-%)=2q一々1.又2%-4=1。0,所以V〃EN*,2%+1-。〃。0,

所以篝=2所以｛24M-%｝是以1为首项，[为公比的等比数列.…4分

Zan-an-l22

(2)由(1)得,2an+l-an=.

所以〃〃所以解得分

24n++ii—2—4n=1,n—2n,r^n—i……7

所以b“=—+/+2=i[—5-----------------].

"2n+3n(n+l)8T^n2n(«+l)

所以｛6〃｝的前"项和为：

1｛(1——3—)+--------—)+…+------------——1)=1---------110分

832x2)'2x222X32"-72"(〃+1)'82"+3(«+1)

(3)由(1)知，S„=2LZI2_4X^1=--々

n2〃一i2〃2〃一i

因为So,Sg成等差数列，所以一圣=一系_一言，罂g得/+焉=尚•…12分

因为贲+差得，所以

又lWp<6,peN*,经检验，只能。=5.14分

所以2+幺=&,故g=J_

m1322016蚁2"32'

令”=生,则""+i,所以&=%>&>&>4>….

因为4=吉,所以4=8.所以存在。=5,4=8,使得际S6,现成等差数列.…17分

19.（1）因为当/垂直于x轴时，内周=2"，所以交，_「="解得4=百，…2分

c_A/6

又因为椭圆「的离心率为夸，所以，

a3解得b=1,

a2=b2+c2,

所以「的方程为《+

V=1.……4分

（2）（i）法1：当/的斜率存在时，不妨设/的方程为：y=kx+m,

与椭圆「联立，消去y得，（3fc2+l）x2+6A77zr+3m2-3=0.

因为直线/与椭圆「相切，所以△=（6初）-4（3左2+1）（3疗—3）=0,

整理得，m2=3k2+1.6分

因为圆心。到直线/的距离d=下叁

a+i

所以唐=^^=里»=3--e[b3),即de[l,石).……7分

二+1严+11C+1

则的面积为SW和+3).网=+3).2的-〃2=^(3-J)(<y+3)3.

设〃1)=(3—〃)(1+3)3,贝ij-(1)=2(1+3)2(3-2”).

当时，广。）>0,所以〃d）单调递增；

当5<d<用时，f'（d）<0,所以单调递减.

所以d=?时，取得最大值，此时S1mx=邛.……9分

当/的斜率不存在时，由(1)知，SW；x(g+3)x2几=38+3指.

因为邛>30+3"，所以［=……10分

对于线段A3上任意点E,连结OE并延长与圆。交于点尸，则厂是圆上与E最近的点.

当E为线段M的中点时，历,取得最大值|,所以"(M,.…12分

法2：设原点。到直线/的距离为d,的面积为S,

则SW；(d+3>|A同='.(4+3).2的一储=J(3—d)(d+3y.

设〃")=(3-")("+3)3,