云南省砚山县2024届高三第六次模拟考试数学试卷含解析

云南省砚山县二中2024届高三第六次模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都

有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种.

A.360B.240C.150D.120

2.若复数z=l+2_。为虚数单位），贝!|z的共轨复数的模为（）

1+z

A.好B.4C.2D.J5

2

3.已知命题使sinx＜』x成立.则一^为（）

2

A.H,sinxN,九均成立B.\/尤£均成立

22

C.HxwH,使成立D.Iv£使sin九二工九成立

22

4.已知平面向量,满足|=21a+b|=1,2=+4b且X+2〃=l,若对每一个确定的向量Q,记|c|的最

小值为机，则当〃变化时，加的最大值为（）

111

A.—B.—C.-D.1

432

5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业

岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

8OM319（畤从事互收同行业盲位分布用

技木阖39.6%

运雪

im|IX2«

90CttH-

56%vn12.3%

产品6.”

H佬♦.6%

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

6.已知命题p：VxeR,x2>0，则力是（）

2

A.VxeR,%<0B.3x0eR,x；<0.

2

C.3x0eR,%Q>0D.V%^R,X<0.

7.已知复数z满足：（l+i）（z—l）=l—i,贝”的共轨复数为（）

A.l-2zB.1+zC.-1+zD.l+2z

y>x

8.已知x,y满足<x+y«2,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则。的值是（）

x>a

321

A.4B.—C.—D.一

4114

9.已知|2a+q=2,a-be[-4,0],则同的取值范围是（）

A.[0,1]B.g,lC.[1,2]D.[0,2]

10.设｛4｝是等差数列，且公差不为零，其前“项和为S".则"V"N*，5“+1>乞，，是“｛4｝为递增数列，，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11.阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数左（左>0,左的点的

轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与A,3的距离之比为注，当尸，

2

A,5不共线时，的面积的最大值是（）

A.272B.V2C.D.交

33

22

12.设片，心分别为双曲线二—3=1（«>0,&>0）的左、右焦点，过点耳作圆Y+y2=b2的切线与双曲线的

ab

左支交于点P,若归闾=2|P娟，则双曲线的离心率为（）

A.V2B.73C.逐D.76

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数y=log0.5（x2-依+5）在区间（-00,1）上递增，则实数。的取值范围是一

14.已知关于空间两条不同直线〃，两个不同平面e、B,有下列四个命题：①若mila宣nila,则/〃〃“；②

若〃Z_L/7且772_1_〃，则“〃，；③若_La且"2〃，，则（ZJ_，；④若"Ua,且则〃z_L”.其中正确命题的

序号为.

15.已知F是抛物线C：V=2Px3>0）的焦点，过F作直线与C相交于P,Q两点，且。在第一象限,若2PF=FQ，

则直线P。的斜率是

16.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“小表示猜

测某人获奖，“x”表示猜测某人未获奖，而“。”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测

是正确的，那么两名获奖者是.

甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖

甲的猜测7XX

乙的猜测XOO

丙的猜测X7X

丁的猜测OONX

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=tanx+asin2x_2x[o<x<aj.

（1）若a=O,求函数/（尤）的单调区间；

（2）若/（尤）2。恒成立，求实数。的取值范围.

18.（12分）已知函数/（尤）=（尤+D（靖—1）.

（I）求/Xx）在点（一1,/（一1））处的切线方程；

（II）已知在R上恒成立，求。的值.

eh

（m）若方程/（x）=b有两个实数根玉,声，且玉〈々，证明：x2-xi<b+1+——.

e-1

19.（12分）已知中心在原点。的椭圆C的左焦点为耳（—1,0）,。与y轴正半轴交点为A,且44耳。=3.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过点A作斜率为匕、&（勺冬w°）的两条直线分别交C于异于点A的两点M、N.证明：当左2=7^7时，直

/v|I

线MN过定点.

Inx

20.（12分）已知函数/（无）=式-士.

a

（1）若/（X）在[1,2]上是减函数，求实数4的最大值；

（2）若0＜。＜1,求证：/（x）N2也.

a

22

21.（12分）在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆「+与=1（。〉6〉0）的左、右顶点分别为4、B,焦距为2,直

a"b~

线/与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线/过椭圆的右焦点尸且垂直于x轴时，四边形的

面积为6.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线AC,加的斜率分别为勺,右.

①若左2=3左1，求证：直线/过定点；

②若直线/过椭圆的右焦点试判断口是否为定值，并说明理由.

化2

22.（10分）某保险公司给年龄在20-70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽

取100名作为样本进行分析，按年龄段[20,30）,[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如

下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用

为一百万元.

年龄

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（单位：岁）

保费

X2x3x4x5x

（单位：元）

（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求X精确到整数时的最小值.%;

（2）经调查，年龄在［60,70］之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）.该病的治疗费为12000元，

如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（1）中的/）.针对此疾病所支付的费

用为x元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为y元.试比较x和y的期望值大小，并判断该老人购买

此项保险是否划算？

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老

教师带一个新教师，分别计算后相加即可.

【详解】

分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有资看=60种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教

师，有"％a=90.

2!

,共有结对方式60+90=150种.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再

C2c2

计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为t

2!

2、D

【解析】

由复数的综合运算求出z,再写出其共轨复数，然后由模的定义计算模.

【详解】

2=1+^-.=1+z=2+z,,-.z=2-Z,.-.|Z|=A/5.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，考查共朝复数与模的定义，属于基础题.

3、A

【解析】

X

试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即「P：VxeR,sinxN—.

2

考点：全称命题.

4、B

【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令。7>=。,。3=人0。=°.£为08中点.由a+b=1即可求得p点的轨迹方程.将

c=^a+/db变形，结合X+2〃=1及平面向量基本定理可知RCE三点共线.由圆切线的性质可知|c|的最小值m即

为。到直线PE的距离最小值，且当PE与圆M相切时，机有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得

直线方程,进而求得原点到直线的距离，即为机的最大值.

【详解】

根据题意，仍|=2,设OP=a=(x,y),OB=Z;=(2,0),OC=c,E(LO)

则0E=—

2

由卜+4=1代入可得J(x+2『+y2=1

即P点的轨迹方程为(x+2)之+/=1

又因为。=2。+〃3,变形可得。=%。+2〃-，即。。=4。。+2〃。片,且彳+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知p,C石三点共线,如下图所示:

所以IcI的最小值m即为。到直线PE的距离最小值

根据圆的切线性质可知，当PE与圆M相切时，加有最大值

设切线QE的方程为丁=左(％-1),化简可得依-y-k=0

|-2女一自

由切线性质及点M到直线距离公式可得=1,化简可得8左2=1

slk2+l

即一手

所以切线方程为变x-y-变=0或变x+y-Y2=0

4•44-4

_V2

4_1

所以当。变化时，。到直线PE的最大值为m=「-==Q

即机的最大值为工

3

故选:B

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用，圆的轨迹方程问题，圆的切线性质及点到直线距离公式的

应用，综合性强，属于难题.

5、D

【解析】

根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假.

【详解】

在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的；

在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：

56%x39.6%=22.176%>20%,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%,所以是正确的；

在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；

在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判断互联网

行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

6^B

【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.

【详解】

根据全称命题的否定为特称命题，可得「pH/eR,片<0

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.

7、B

【解析】

/、1-z

转化（1+，）（Z—1）=1—>为2-1=下，利用复数的除法化简，即得解

【详解】

复数Z满足：（l+z）（z—1）=1—

所以Z—1=上1=9过=7

1+z2

nz=l-，

z=l+i

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

8、D

【解析】

y-xx-a

试题分析：先画出可行域如图：由｛•°,得HU),由｛,得C(a,a),当直线z=2x+y过点2(1,1)时，

x+y=2y-x

目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点C(a,a)时，目标函数2=2x+y取得最小值,

最小值为3a；由条件得3=4x3。，所以。=!，故选D.

9、D

【解析】

1

设机=2〃+b,可得=a-m-2aG[-4,01,构造(。一，加了《2+，加之，结合帆=2,可得a-^-me

4164|_22

根据向量减法的模长不等式可得解.

【详解】

设机=2〃+/?，则同=2,

b-m-2a,a-b=a-m-2a2w[T,0],

1111

・.(a—m)L-a9—a*m-\----m9<2H----m9

421616

根

|加|2=和=4,所以可得：竺2=上],

82

11119

配方可得—=—比29V2(“一一根产9<4+—7》9=一，

28482

13

所以a--me—9—

422

又||。|一|11〃2|区a-^-m<||6/|+|^1-m||

44444

则同e[0,2].

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

10、A

【解析】

根据等差数列的前"项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

｛凡｝是等差数列,且公差d不为零，其前〃项和为S”,

充分性:

Sa+i>S”,则an+l>0对任意的“eN,恒成立，则。2>°，

d芋0,若d<0,则数列｛4｝为单调递减数列，则必存在左eN*，使得当"〉左时，4+1<0,则5用<5“，不合

乎题意;

若d>0,由外>0且数列｛4｝为单调递增数列，则对任意的〃eN*，。角>0,合乎题意.

所以，=>"｛q｝为递增数列”;

必要性：设4="-10,当时，«„+1=«-9<0,此时，Sn+i<Sn,但数列｛4｝是递增数列.

所以，N,S〃+i>S,"y"｛a”｝为递增数列”.

因此，“V/7eN*，5什1>”是“｛«„｝为递增数列”的充分而不必要条件.

故选:A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前〃项和公式是解决本题的关键，属于中等题.

11、A

【解析】

根据平面内两定点4,5间的距离为2,动点尸与A,3的距离之比为无，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

2

合求解.

【详解】

如图所示:

化简得(x+3)2+y2=8,

当点P到A6(x轴)距离最大时，AB43的面积最大，

ARAB面积的最大值是工x2x20=2顶.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

12、C

【解析】

设过点及作圆f+产=片的切线的切点为T,根据切线的性质可得且|OT|=a,再由归阊=2归国和

双曲线的定义可得|P£|=2a,|P&|=4a,得出T为「尸中点，则有。77/尸鸟，得到即可求解.

【详解】

设过点《作圆£+丫2=〃的切线的切点为7，

OT^PF^FJ|=7lOF,|2-b1=a

\PF^2\PF],\PF^-\PF^2a,\PF2\^4a,\PF^2a,

所以7是骂尸中点，，。丁〃尸％，尸耳1尸

22

PF^+\PF21=20/=|F1F2|=4c,

2

二=5,:.0=非.

a

故选:C.

【点睛】

本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、ae[2,6]

【解析】

根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得。的取值范围.

【详解】

fc>l

由二次函数的性质和复合函数的单调性可得2

12-«-1+5>0

解得ae[2,6].

故答案为：ae[2,6]

【点睛】

本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.

14、③④

【解析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.

【详解】

①若加〃。且〃〃1,7%”的位置关系是平行、相交或异面，①错；

②若川，，且加」〃，则〃〃，或者〃U〃，②错；

③若相〃,，设过机的平面与£交于直线〃，则加〃"，又加，。，则〃，a,③正确；

④若"ua,且由线面垂直的定义知_1_〃，④正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间

的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.

15、272

【解析】

作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何

知识计算出直线的斜率.

【详解】

设/是准线，过P作于过。作QN，/于N,过P作PHLQN于H,如图，

IJl!）|PM|=|PF|,\QN\=\QF\,'：2PF=FQ,：.\QF\=2\PF\,：.\QN\=2\PM\,

\QH\=\NH\^\PM\=\PF\,\PH\=J（3|P目）2—=2y/2\PF\,

\PHr-l

tanZHQF=加=2&，二直线PQ斜率为2&.

故答案为：2亚.

本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离,

用平面几何方法求解.

16、乙、丁

【解析】

本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行

分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.

【详解】

从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测

无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确

的，从而得出乙，丁获奖.

所以本题答案为乙、丁.

【点睛】

本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并

通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)增区间为了减区间为°，1；⑵万―L+吁

【解析】

(1)将4=0代入函数y=/(x)的解析式，利用导数可得出函数y=/(x)的单调区间；

(2)求函数y=/(x)的导数，分类讨论。的范围，利用导数分析函数y=/(x)的单调性，求出函数y=/(x)的最

值可判断2。是否恒成立，可得实数。的取值范围.

【详解】

sinx(TC।

(1)当a=0时，/(x)=tanx-2x=------2x\0<x<—\

cos%I2)9

cos*2x+sin2xc1cl-2cos2xcos2x

则ra)=-一2=-一2=^^

cos2x

当0<x<?时，cos2%>0,则/'(%)<0,此时，函数y=/(x)为减函数；

当(<x<T时，cos2x<0,贝!1/'(X)>0,此时，函数y=/(x)为增函数.

所以，函数y=/(x)的增区间为减区间为0,?］；

(2)/(%)=tan%+osin2%-2x10<x<5j,贝(|/(0)=0,

fr(x]=-\——b2acos2x-2=；——F2(2(2COS2x-i)-2

v7cos2xcos2x、)

4acos4x-(2d;+2)cos2x+l(2cos2x-l)(2^cos2x-1)

-COS2X-COS2X

①当2aWl时，即当aW工时，Zacos?%—1<0,

2

由/''(x)NO,得此时，函数y=/(x)为增函数;

由/'(九)W0,得0<尤K7,此时，函数y=/(x)为减函数.

M/(x)min=/^</(O)=O,不合乎题意；

②当2〃>1时，即〃〉，时，

2

1

不妨设COSX。=了=,其中与£ogj,令人大)=0,则1=一或%.

72a4

JI

(i)当a>l时，x>一，

04

当0<x<?时，f(x)>0,此时，函数y=/(力为增函数；

当?<_¥</时，/(%)<0,此时，函数y=/(%)为减函数;

当与(xv^l时，/,(%)>0,此时，函数y=/(x)为增函数.

此时〃%>=而n{/(0),〃%)},

2

而/(尤。)=tanx0+asin2x0-2x0=tanx0(^1+2^cosx0j-2x0=2(tanx0-x0),

构造函数g(x)=tan%-%,0<x<—,贝！)g'(x)=—---1=tan2x>0,

2cosx

所以，函数g(x)=tanx-x在区间(0,3上单调递增，则g(x)>g(O)=O,

即当时，tanx>x,所以，/(xo)=2(tanxo-xo)>O.

•■•/(^=/(°)=0>符合题意；

②当a=l时，/'(%)之0,函数y=〃x)在0,m上为增函数，

•.•"4^="°)=°，符合题意；

③当g<a<l时，同理可得函数y=/(x)在［0,%)上单调递增，在限,7］上单调递减，在上单调递增,

此时/(x)min=面足〃0)，H",则/图=1+"、20'解得

综上所述，实数。的取值范围是

【点睛】

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.

18、(I)y=—(x+1)；(II)。=1；(m)证明见解析

e

【解析】

(I)根据导数的几何意义求解即可.

(II)求导分析函数的单调性，并构造函数刈力=/(%)-依根据单调性分析可得可龙)只能在％=0处取得最小值求解

即可.

cm)根据(I)(ID的结论可知=(％+1),/(无)2兀在尺上恒成立,再分别设沙==(%+1)b=x的

ee

解为马、％.再根据不等式的性质证明即可.

【详解】

(I)由题/'(%)=/_1+(%+1)/,故/=.且/X-DMO.

e

故于(X)在点(-1,/(-1))处的切线方程为v=—(X+1).

e

(II)//(X)=f(%)-=(尤+l)(e*—l)-iixNO恒成立，故/z'(x)=(x+2)e'"—a—l.

设函数0(x)=(x+2)e*则0[x)=(x+3)e*,故0(x)=(x+2)e"在(-oo,—3)上单调递减且°(x)<0,又以尤)在

(-3,+8)上单调递增.

又以0)=2，即"⑼=1—a且为⑼=0,故h[x}只能在％=0处取得最小值，

当a=1时,此时"⑺=(x+2)e*-2，且在(-0,0)上&'(力<0,&(力单调递减.

在(0,+e)±/：'(%)>0,h(x)单调递增.故h[x}2/i(O)=0,满足题意；

当a>1时，此时(p(x)=(x+2)e、=a+1有解%〉0,且h(x)在(0,1)上单调递减，与h(x)>/z(0)矛盾；

当a<1时，此时姒力=(x+2)e*=a+1有解一3</<0,且/?(%)在(%,0)上单调递减，与h(x)>h(0)矛盾；

故。=1

(III)/(幻=/—l+(x+l)/=(x+2)/—l.由(I)，/。)=(无+2)/—1在3)上单调递减且尸(x)<0,

又/'(x)在(-3,内)上单调递增，故/⑴=0最多一根.

又因为尸(―1)=(—1+2"T—1="1—1<0,尸(0)=(0+2”°—1=1>0,

故设厂(%)=。的解为％=/,因为尸(T)"'(0)<0,故1,0).

所以/(%)在(F#递减，在&+8)递增.

因为方程/。)=人有两个实数根知超,故.

结合(I)(II)有/+在R上恒成立.

设b=^^(%+1)的解为了3,则％3<%；设b=X的解为4,则与之工2.

e

.eb..

故v&=------1,%=b.

1-e

eb

故%一%<%4—退<b+l+---，得证.

e-1

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的

结论证明不等式的方法.属于难题.

22

19、(1)—+^=1；(2)见解析.

43

【解析】

(1)在放AA£O中，计算出|A£|的值，可得出〃的值，进而可得出沙的值，由此可得出椭圆C的标准方程；

(2)设点M(%，x)、N(x2,y2),设直线MN的方程为>=履+加，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理,

根据已知条件得出《&=《+&，利用韦达定理和斜率公式化简得出M与左所满足的关系式，代入直线MN的方程,

即可得出直线所过定点的坐标.

【详解】

⑴在中，|O4|=b,Qq|=c=l,\AF]=^\OAf+\OF{f=a,

NAFQ吟,NO4耳=£,.•.a=|A片=2|。7=2,...o=J7T7=后,

3o

22

因此，椭圆C的标准方程为L+2L=1；

43

(2)由题不妨设ACV:y=丘+7处设点M(%，K),N(x2,y2)

工X=]

联立I43一，消去y化简得(4左2+3)尤?+8初a+4〃，—12=0,

y=kx+m

口8km4m2-12

且X+X2=_^Ti，玉々=^^，

k=ki.kk—k+k-%-6二%一6—y「也I%-6

k「l玉％2%%2

2

工代入X=kxt+m(z=1,2),化简得(左2-2左卜/2+(左一。(机一百)(玉+x2)+m-2y/3m-\-3=0,

化简得8限(m-6)=3(m，

机w6，「.8百人=3(加一班)，.•.m=8,k+8,

直线MN:y=kx+处上+6，因此，直线肱V过定点-学，百.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.

20、(1)3T(2)详见解析

【解析】

(1)f\x)=e"---(x>0),

ax

在[1,2]上，因为/(X)是减函数，所以((x)=e;’<0恒成立，

ax

即工Nxe，恒成立，只需l2(xe，)1mx.

aa

令r(x)=xe”,xe[l,2],则f'(»=e"+xe",因为xe[l,2],所以/(x)〉0.

所以f(x)=xe'在[1,2]上是增函数，所以(a濡=2e2,

所以,N2e2,解得

a2e2

所以实数。的最大值为3.

2e

(2)f(x)=ex----(x>0)yr(x)=e'----.

a9ax

令g(x)=ex-(x>0),贝()/(%)=]+3，

axax

根据题意知g'(X)>0,所以g(x)在(0,+8)上是增函数.

11

又因为g(—)=e。-l>0,

a

当i从正方向趋近于0时，,趋近于+8,e尤趋近于1，所以-■—<0,

axax

所以存在不£(0-)，使g(%)=物一占=°,

u〃x()

1

e而0

BP=,x0=—]n(ax0)=-]na—]nx0,

所以对任意xw(0,x0),g(x)<0,即/(x)<0,所以/(元)在(0,%)上是减函数;

对任意xe(Xo，+R),g(x)>。，即/'(幻>0,所以/Xx)在(乙,+8)上是增函数,

所以当x=/时，Ax)取得最小值，最小值为/(%).

由于-lnx0=x0+lna,

1

则/(x0)=*_l^=X+vtE£=_L+E+四22]_L.E+皿=2+必=

aaxQaaxQaavaxQaaaa

出吧，当且仅当工=%，即而=1时取等号，

aaxQa

所以当0＜。＜1时，

22人]

21、(1)—+^=1；(2)①证明见解析；②U

43%3

【解析】

(1)由题意焦距为2,设点c(l,%),代入椭圆「+「=1(。〉6〉0),解得y=土艺，从而四边形AC3D的面积

a"b~a

h2

6=2SMBC=2a=2炉，由此能求出椭圆的标准方程.

(2)①由题意AC:y=《(x+2),联立直线与椭圆的方程工+汇=1,得(3+4勺2)/+16公-12=0,推导出

431

,(一/’—),。(编,一/),由此猜想：直线,过定点尸(1，°)，从而能证明〃。三点共

线，直线/过定点尸(1,0).

22

②由题意设C(X1,%),0(9,%),直线/:x=my+l,代入椭圆标准方程：L+2L=1,得(3/+4)/+67利-9=0,

43

6m9由此推导出「止=史三J(吵T)」(定

推导出X+%=-9—，y%=—%—

3m2+4123m2+4&%%(占+2)%(〃彷+3)777yly2+3%3

尤2-2

值).

【详解】

22

(1)由题意焦距为2,可设点C(l,%),代入椭圆二+与=1(。〉人〉0),

ab

得二+至=1,解得为=±工，

aba

一h1

四边形ACBD的面积6=2s=2a.—=2b2，

Aa

b2=3f42=4,

22

二椭圆的标准方程为L+2L=I.

43

(2)①由题意AC:y=《(x+2),

22

联立直线与椭圆的方程工+匕=1,得(3+41)尤