2022年广东省深圳市27校九年级4月联考（二模）数学试题（原卷版）

2022年初三质量检测

数学（4月）

第I卷（本卷共计030分）

一、选择题：（本大题有010小题，每小题3,共030分，每小题只有一个正确答案）

1.-3的绝对值是（）

1

A.-3B.1C.3D.——

3

2.如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其主视图是（）

A.B.।~j।C.[~jD.

3.在数轴上表示不等式x>-l的解集正确的是（）.

A.-O-----------L

-10

.1°

4.数据2、3、7、8、〃的平均数是5,则这组数据的中位数是（）

A.4B,4.5C.5D.6

5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若N1=3O。，则N2的度数为（）

C.20°D.30°

6.下列计算正确的是（）

㈠叫^//

A.6ab-3a=3bB.

C.（1—I）2—I?—1D.5a2b4-Z?=5a2

7.下列尺规作图，能确定的是（

A

8.如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸3点到河岸AD的距离.小明在A点测得8在北偏

东60°的方向上，在C点测得8在北偏东30。的方向上，则B点到河岸的距离为（）

A.100米B.200米C.

型等米D.1006米

9.二次函数厂以2+bx+c（存0）的图象如图所示，对称轴为_x=T,则下列结论：①abc>0,®a+b<-c,

③4a-2b+c>0,④36+2c<0,⑤a-b>机（am+6）（其中机为任意实数）中正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

10.如图，正方形A3CD中，E、尸分别为边A。、0c上的点，且过P作交

AB于G,过〃作于M，若AB=9,AE=3,则下列结论中：

①ZBGF=NCFB；②①DH=EH+FH；③则■=?,其中结论正确的是（）

AE5

C.只有②③D.①②③

第n卷（本卷共计70分）

二、填空题：（本大题有5小题，每小题，共15分）

11.因式分解：3X3-12x=.

12.关于尤的一元二次方程V+6x-a=0的一个根是3,则另一个根是

13.如图，A,B,C是（。上的三个点，ZAOB=40°,ZB=50°,则NA的度数为

14.如图，在平面直角坐标系中有拓ABC,ZBAC=90°,NB=45°,A（3,0）、C（1,将

ABC沿尤轴的负方向平移，在第二象限内8、C两点的对应点与、G正好落在反比例函数丁=勺的图象

上，贝|左二

15.如图，正方形ABCD中，AD=9,点E是对角线上一点，连接AE,过点E作ERLAE，交

于点E连接A尸，交BD于点G,将工砂‘G沿石厂翻折，得到△EK0,连接40,交EF于点

N,若BF」BC,则线段A"的长是

3

三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8

分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

（4、Y2+2X+1

16.先化简，再求值1+—-U—~1―,其中x=—L

Ix-3J2x-6

17.为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数测试，并把

测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含

后一个边界值）.

组别（次）频数

100—13048

130—16096

160—190m

190〜22072

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

c1）求Mi的值;

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在160次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

18.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、8、C,请在网

格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：

（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心。点的位置，则。点的坐标为；

（2）连接A。、CD,若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为；

（3）连接A8,将线段绕点〃旋转一周，求线段扫过的面积.

19.如图，在RLABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，08为半径作圆，分别与8C,A8相交于点

D,E,连接A£>.已知NC4Z>=N3.

（1）求证：是O。的切线.

(2)若BC=12,tanB=！，求。。的半径.

3

20.某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实

现上课全部使用平板电脑.某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的平板，每台甲型平板比每台乙型平

板进价多600元，用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等.

(1)求每台甲型、乙型平板进价各是多少元？

(2)该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为机台，购买资金不超过

17.76万元.并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，试销时甲型平板每台售价2800元，乙型平板每台售价

2400元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案中，销售完后获得的利润W的最大值.

21.胡老师的数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知.ABC中，AB=AC=x,BC=y,ZBAC=a(00<a<180°),点尸为平面内不与点A、C

重合的任意一点，连接CP,将线段CP绕点尸顺时针旋转戊，得线段P。，连接CD、AP点、E、尸分别

为BC、CD的中点，设直线针与直线所相交所成的较小角为£,探究——的值和夕的度数与x、/

AP

«的关系.

请您参与学习小组探究过程，并完成以下任务：

(1)填空：

【问题发现】

FFFF

小明研究了。=60。时，如图1,求出了右的值和夕的度数分别为了g=,，=；

FFFF

小红研究了a=90。时，如图2,求出了标的值和£的度数分别为Q=,；

【类比探究】

EF

他们又共同研究了£=120。时，如图3,也求出了标的值和夕的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：——=(用含尤、y的式子表示)；，=(用含a的

AP

式子表示)

EF

(2)求出口=120。时标的值和夕的度数(注：要求写出具体解题过程，否则得零分).

(1)求b,c的值；

(2)连结AB,交抛物线C对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线C向左平移机。">0)个单位得到抛物线Ci.过点M作MN〃y轴，交抛物线。于点N.尸是抛

物线Ci上一点，横坐标为T,过点尸作PE〃尤轴，交抛物线C于点E,点E在抛物线C对称轴的右

427

侧.若PE+MN=—,求m的值.

4

2022年初三质量检测

数学（4月）

第I卷（本卷共计030分）

一、选择题：（本大题有010小题，每小题3,共030分，每小题只有一个正确

答案）

1.-3的绝对值是（）

1

A.一3B.1C.3D.——

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据绝对值的定义以及性质求解即可.

【详解】解：卜3|=3

故一3的绝对值是3

故选：C.

【点睛】此题考查了绝对值的问题，解题的关键是掌握绝对值的定义以及性质.

2.如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其主视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可.

【详解】解：从正面看，共两层，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形.

故选：C

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判

断的前提.

3.在数轴上表示不等式x>-l的解集正确的是（）.

【答案】c

【解析】

【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断.

【详解】解：在数轴上表示不等式的解集的是C,

故选：C.

【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法是解题

的关键.

4.数据2、3、7、8、a的平均数是5,则这组数据的中位数是（）

A.4B,4.5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先根据平均数的概念列方程求出“的值，再将数据重新排列，利用中位数的定义

求解即可.

【详解】解：二.数据2、3、7、8、。的平均数是5,

.2+3+7+8+a

••—5,

5

解得＜3=5,

这组数据为2、3、5、7、8,

这组数据的中位数为5,

故选C.

【点睛】本题主要考查平均数、中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重

新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中

位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.

5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若4=30°,则N2的度

数为（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行的性质即可求解.

【详解】根据平行线的性质得到/3=/1=30。,

Z2=45°-Z3=15°.

以及等腰直角三角形的性质，故选B

【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等.

6.下列计算正确的是（）

A.6ab-3a=3bB.（-3a=6a4b2

C.（a-1）?=〃_iD.5a2b^b=5a2

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项、幕的乘方与积的乘方、完全平方公式以及单项式的除法法则进

行计算即可.

【详解】解：6演与-3。不是同类项，不能合并，因此选项A不符合题意；

（Ta%）?=go%?,因此选项B不符合题意；

（。一1）2=/_2a+l,因此选项C不符合题意；

5a-b^-b=5a2＞因此选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项、累的乘方和积的乘方、完全平方公式以及单项式的除法

法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键.

7.下列尺规作图，能确定的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】要确定AD=5D，即判断点。在线段A3的垂直平分线上.

【详解】解：A、由图可知点。在线段的垂直平分线上，不能确定AD=8D，不符合

题意；

B、由图可知点。在线段A3的垂直平分线上，能确定符合题意；

C、由图可知点。在线段上靠近点C处，不能确定=不符合题意；

D、由图可知点。为过点A作线段8C的垂线的交点，不能确定仞=跳>,不符合题

思；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.

8.如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸A。的距离.小明在A点

测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得8在北偏东30。的方向上，则8点到河岸A£>

的距离为（）

A.100米B.200米C.

200港米D.IOOQ米

【答案】D

【解析】

【分析】过2作于先证得8C=AC=200米，再在

RtABCM中，由锐角三角函数定义求出8M即可.

【详解】过B作于如图：

由题意得：/A4D=90°-60°=30°,488=90°-30°=60°,

ZABC=ZBCD-ZBAD=3Q°,

：.ZBAD=ZABC,

；.BC=AC=200米，

'：BM±AD,

：.ZBMC=90°,

BM

在Rt"CN中，sinZBCM^——，

BC

J3r-

.,.BM=BCxsinZBCM=200x2C±=100^/3,

2

即B点到河岸AD的距离为100若米，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了方位角，三角形外角，解直角三角形的应用以及等腰三角形的判

定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

9.二次函数y=ox2+bx+c（存0）的图象如图所示，对称轴为尸-1,则下列结论：①%>0,

②a+b<-c,③4a-26+c>0,④36+2c<0,®a-b>m（am+b）（其中根为任意实数）中正确的个

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断。的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后

根据对称轴及抛物线与无轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：①由图象可知：。<0,Z?<0,c>0,abc>0,故此选项正确；

②当x=l时，y=q+Z?+cVO,即〃+Z?V-c,故此选项正确；

③由对称知，当x=-2时，函数值大于0,即y=4”-2Z?+c>0,故此选项正确；

b

④当x=-3时函数值小于0,y=9a-3b+c<0,且——=-1,

2a

bb

即斫一，代入得9x(-)-3b+c<0,得36+2c<0,故此选项正确；

22

⑤当A-1时，y的值最大.此时，y=a-b+c,

而当x=m时,y=am2+bm+c,

所以a-b+c>am2+bm+c,

故。-匕汝苏+功"，即小尼优(am+b),故此选项正确.

故①②③④⑤正确，共5个.

故选：D.

【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数广办2+辰+0系数符号由抛

物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与无轴交点的个数确定.

10.如图，正方形ABCD中，E、E分别为边AD、0c上的点，且过尸作

FH±BE,交AB于G,过X作，A3于若AB=9,AE=3,则下列结论中：

①ZBGF=NCFB；②®DH=EH+FH；③幽■=?,其中结论正确的是()

AE5

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】①根据NA8E的余角是4BG尸和/AEB,得至1JN8GQNAE8,根据SAS证明

△ABE咨ACBF,得到/AEB=/CF8,即可得到②将△。尸”绕点。顺时针

旋转90。，得到AOEN,证明N,E,H三点共线，根据&OH=”N即可得到答案；③连接

EF,证明EF=J2DE=672，BE=BF=3®，根据FH2=EF2-EH2=BF2—BH?求

出3〃=2叵，根据5山/43石=也=4£求出〃0=2,即可得到答案.

5BHBE5

【详解】①•・•正方形A5CD中，AB=BC=9fZA=ZC=90°,且AE=C7=3,

・•・AABE^△CBF(SAS),

NCFB=/AEB,

•：FG_LBE,

：.ZBHG=90°f

：./BGH+NABE=90。,

,：ZAEB+ZABE=90°f

：.ZBGH=ZAEB,

：.ZBGF=ZCFB,正确；

@'：AD=CDfAE=CF,

:・DE=DF,

将△。尸H绕点。顺时针旋转90。，得到△。EN,点尸的对应点为点与

则NHQN=90。，ZDFH=ZDEN,DH=DN,FH=EN,

'：ZEDF+ZEHF=180°f

：.ZDEH+ZDFH==180°,

ZDEH+ZDEN=1SO°,

：.N,E,〃三点在同一条直线上，

AZN=ZDHN=^(180O-ZHZ)A0=45°,

・•・72DH=HN=EH+EN=EH+FH,

工也DH=EH+FH，正确；

③连接EF,

9：AD=CD=9,AE=CF=3,,

：.DE=DF=6f

:,EF=6DE=6C，

•；BF=《BC2+CF2=:92+32=3厢，

BE=3710，

设BH=x,则EH=BE-BH=3^/10-x，

"­'FH2=EF--EH-=BF2-BH2，

/.（6A/2）2-（3710-x）2=@丽『-x2,

.9V10明叩9回

••x=-------，即BH=-------，

55

'：HM±AB,

HM3

9函—3M，

5

9

HM=-,

5

9

HM_53

~AE~1~5

...正确的结论为①②③，

故选D.

【点睛】本题综合考查了正方形和三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方

形的边角性质，三角形全等的判定定理和性质定理，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函

数定义.

第n卷（本卷共计70分）

二、填空题：（本大题有5小题，每小题，共15分）

11.因式分解：3X3-I2x=.

【答案】3x(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】先提公因式3羽然后利用平方差公式进行分解即可.

【详解】3x3-⑵

=3x(x2-4)

=3x(尤+2)(尤-2),

故答案为3x(x+2)(x-2).

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行

因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分

解.

12.关于x的一元二次方程炉+6尤—a=0的一个根是3,则另一个根是.

【答案】-9

【解析】

b

【分析】设方程的另一个根是均，根据两根之和等于-一，即可得出关于A的一元一次方

a

程，解之即可得出均.

【详解】方法一：

解：设方程的另一个根是毛，

由题意得：%+3=-6,

解得：占=一9,

方法二：

解：.关于x的一元二次方程/+6%—。=0的一个根是3,

.'.9+18—ci—0>

解得：a=27,即/+6%—27=0，

则(x+9)(x—3)=0,

解得：西=-9,%=3,

所以另一个根为-9.

故答案为：-9.

b

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于--是解题

a

的关键.

13.如图，A,B,C是(O上的三个点，ZAOB=40°,ZB=50°,则NA的度数为

【答案】30。

【解析】

【分析】根据N8的度数求得/BOC的度数，然后求得NAOC的度数，从而求得等腰三角

形的底角即可.

【详解】解：•.,08=0C,ZB=50°,

ZBOC=180°-2ZB=80°,

NAO8=40°,

ZAOC=ZBOC+ZAOB=80°+40°=120°,

OA=OC,

180?120?小

ZA=ZOCA=--------------=30?,

2

故答案为：30。

【点睛】本题考查了圆性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是求得NAOC的度数.

14.如图，在平面直角坐标系中有ABC,ZBAC=90°,NB=45°,A(3,0)、C

(1,将「ABC沿x轴的负方向平移，在第二象限内B、c两点的对应点与、Q正好

落在反比例函数丁=—的图象上，则左=

33

【解析】

【分析】过C作CM垂直于x轴，过8作BN垂直于x轴，先证明4ACM必BAN

7

(A4S),得到CM=AN,AM=BN,计算得出点B(-,2),由平移的性质得到G和囱

2

的纵坐标不变，且横坐标相差2,设出设Ci(杨，；)，则S(7M+-,2),,分别代入反

222

比例函数解析式中，得到两个关系式，消去左求出根的值，即可得到上的值.

【详解】解：过点C作CM_Lx轴，过B作2N_Lx轴，则/AMC=NAA枢=90。，

VZCAB=90°,ZB=45°,

/.ZACB=ZB=45°,AC=AB,ZCAM+ZBAN=90°,

:ZMCA+ZCAM^90°,

：.ZMCA^ZNAB,

在△ACM和△BAN中，

ZCMA=NANB

<ZMCA=ZNAB

CA=BA

:.AACM咨ABAN(A4S),

:.CM=AN=g,AM=BN=2,

,7,5

ON=OA+AN=-,MN=AM+AN=-

22

7

：.B(一,2),

2

由平移的性质，可设Ci(.m,：),则Bi(m+-,2),

22

k、5

把点G和Bi的坐标分别代入y=—,得k=不m；k=2(m+—),

冗/2

^-m—2(相+一),解得：m—-----，

223

则k=\m=--.

23

故答案为：--

3

【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与

图形性质，平移的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键.

15.如图，正方形ABCD中，AD=9,点£是对角线上一点，连接AE,过点E作

EF±AE，交BC于点F,连接A尸，交BD于点G,将..EFG沿所翻折，得到

AEFM,连接交EF于点、N,若BF=^BC,则线段40的长是.

3

【解析】

【分析】过点E作CO的平行线，交于点”，交BC于点K,过点G作GPLAB于点

P,GQLBC于点0.由所作辅助线可知四边形QCK”是矩形，四边形GPB。是正方

形.由正方形的性质，勾股定理结合题意可求出A尸=A¥+B产=90.设QH=x,则

CK=HE=DH=x,AH=EK=9-x,FK=FC-CK=6-x,即可根据勾股定理列出等式

AE^EF^AF2,即(9-X)2+N+(9-X)2+(6-X)2=90,解出龙的值为3,即得出CK=HE=Z)H=3,

AH=EK=6,FK=3,AE=EF=3亚，从而证明为等腰直角三角形，即得出

ZAF£=45°.再由翻折的性质可知/AFM=NAFE+/MfE=90。.设。尸=a,贝U

ABBF

BQ=GQ=GP=PB=3-a.易证△ABFSAGQF,即可得出代入数据求出a的值,

GQQF

39

即得出QB=—,GQ=-.最后由勾股定理求出GF的长，从而得出尸M的长，即可求出

44

AM的长.

【详解】解：过点E作C。的平行线，交AD于点交BC于点K,

由作图可知HK_LA。，HKLBC,

四边形DCK8是矩形.

过点G作GPLAB于点尸，GQLBC于点。，则四边形GPBQ是正方形.

NADB=/DBC=/ABD=45°,AD=AB^BC=DC=9,

：.HK=CD=9,HE=DH,BQ=GQ=GP=PB,

BF=-BC,

3

：.BF=3,FC=6,

：.A尸=AB2+B产=92+32=90.

设DH=x,则CK=HE=DH=x,AH=EK=9-x,FK=FC-CK=6-x,

：.AE2=AH2+HE2=(9-x)2+x2,E产=石蜉+尸殍=(9-无产+俗-无产，

'JEFLAE,

/AEF=90。,

：.A/+E产=A产,即(9-x)2+N+(9-x)2+(6-x)2=90,

解得％i=3,X2=9(不合题意，舍去)，

；・CK=HE=DH=3,AH=EK=6,FK=3,AE=EF=3^/5

ZAFE=45°.

由翻折的性质可知ZMFE=ZAFE=45°,

ZAFM=ZAFE+ZMFE=90°.

设QF=a,则BQ=GQ=GP=PB=3-a.

9：GQI/AB,

：.△ABFS/\GQF,

ABBF93

------.........,Bp------=——,

GQQF3-67a

3

解得：a=—,

345

在Rt^GQF中，GF2=GQ2+QF2=\-

T

由翻折的性质可知，FM=GF,

：.在Rt^AFM中，AM=yjAF2+FM2=.I9O+—=史画

故答案为3Ji而.

4

【点睛】本题考查了正方形的判定性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性

质、翻折变换的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识.计算比较复杂，正确

作出辅助线是解题关键.

三、解答题：（本大题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8

分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16.先化简，再求值|1+——-———,其中x=&-

2x—6

【答案】V2

【解析】

【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数

值计算即可.

当％=啦—i时，原式=耳—[^7="'

【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题

的关键.

17.为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次

数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图

(每一组不含前一个边界值，含后一个边界值).

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

(1)求m的值；

(2)把频数分布直方图补充完整；

(3)求该年级一分钟跳绳次数在160次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

【答案】(1)144(2)见详解

(3)60%

【解析】

【分析】(1)根据各组频数之和等于总数求出机的值即可；

(2)根据频数分布表中的数据，即可将频数分布直方图补充完整；

(3)用第3组和第4组频数和除以总人数即可.

【小问1详解】

解：777=360-48-96-72=144；

则m的值为144；

【小问2详解】

解：补全频数直方图，如下:

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

360

即该年级一分钟跳绳次数在160次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为60%.

【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表的实际应用，解答本题的关键是读懂题

意并补全频数分布直方图.

18.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点

A、B、C,请在网格图中进行下列操作(以下结果保留根号)：

(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心。点的位置，则。点的坐标为；

(2)连接A。、CD,若扇形D4C是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为

(3)连接将线段绕点。旋转一周，求线段扫过的面积.

【答案】(1)(2,0)

⑵好

2

(3)47r

【解析】

【分析】(1)线段AB与2C的垂直平分线的交点为。；

(2)连接AC,先判断NA£>C=90。，则可求AC的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，

由此可求底面圆的半径；

(3)设的中点为E,线段A8的运动轨迹是以O为圆心ZM、OE分别为半径的圆环面

积.

【小问1详解】

解：过点(2,0)作了轴垂线，过点(5,3)作与8C垂直的线，

两线的交点即为。点坐标，

：.D(2,0),

故答案为：(2,0)；

【小问2详解】

解：连接AC,

VA(0,4),B(4,4),C(6,2),

:.AD=25CD=2非,AC=2^/10-

：4。=心+。。2,

NAOC=90°,

/.AC的长=(x2»x2«=#>兀,

•..扇形ZMC是一个圆锥的侧面展开图，

/•非兀=2nr，

,A/5

••r=—，

2

故答案：好;

2

【小问3详解】

解：设A3的中点为区

：.E(2,4),

：.DE=4,

:・S=TIX(AD2-DE2)=4%,

丁・线段AB扫过的面积是47.

19.如图，在RLABC中，点。在斜边AB上，以。为圆心，为半径作圆，分别与

BC,A8相交于点。，E,连接AD.已知NC4£>=4.

A

【答案】（1）见详解（2）

【解析】

【分析】（1）如图，连结0。，根据等腰三角形的性质可得/。。2=48,由NC4O=NB

可得NO£>2=NC4。，根据直角三角形两锐角互余及平角的定义可得/人。。=90。，即可证

明是（。的半径；

（2）设。的半径为，在RtAABC中，根据tanB=」可求出AC的长，利用勾股定理可

3

求出AB的长，可用厂表示出0A的长，在RtAAC。中，根据可利用NB的正

切值求出CD的长，利用勾股定理可求出4。的长，在RtAA。。中，利用勾股定理列方程

求出r的值即可得答案.

【小问1详解】

证明：连接。。，

A

E

OB=OD,

AZ3=ZB,

VZB=Z1,

AZ1=Z3,

在RtZkAC。中，Zl+Z2=90°,

.,.Z2+Z3=90°,

.,.Z4=180°-(Z2+Z3)=90°,

・・・0O_LA。，

则AO为圆。的切线；

【小问2详解】

解：设圆。的半径为心

在RtZkABC中，AC=BCtanB=4,

根据勾股定理得：A3=J42+12?=49，

•\OA=4^/10-r,

*〜1

在RtAACD中，tanN1=tan8=—,

3

4

C£)=ACtanZl=—,

3

根据勾股定理得：AD^AC2+CD^16+—=—,

99

在RtAADO中，(?A2=(9D2+AD2,即(4^/16-r)2=^+^,

解得：r=-A/10,

9

，。。的半径为?厢.

【点睛】本题考查切线的判定与性质，勾股定理的应用及锐角三角函数的定义，熟练掌握

三角函数的定义是解题关键.

20.某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，

全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑.某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的平

板，每台甲型平板比每台乙型平板进价多600元，用6万元购进甲型平板与用4.5万元购

进乙型平板的数量相等.

（1）求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？

（2）该公司计划购进甲，乙两种型号的平板共80台进行试销，其中甲型平板为机台，购

买资金不超过17.76万元.并且甲型平板不少于乙型平板的2倍，试销时甲型平板每台售

价2800元，乙型平板每台售价2400元，问该公司有几种进货方案？并求出这几种方案

中，销售完后获得的利润W的最大值.

【答案】⑴2400元;1800元

（2）3种；37200元

【解析】

【分析】（1）设每台乙型平板的进价为x元，则每台甲型平板的进价为（龙+600）元，根据

“用6万元购进甲型平板与用4.5万元购进乙型平板的数量相等”列出分式方程，解方程

即可求解；

（2）根据总价=单价x数量结合总价不超过17.76万元，即可得出关于m的一元一次不等

式，解之即可得出机的取值范围，再由总利润=每台利润x购进数量，即可得出卬关于机

的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题.

【小问1详解】

解：设每台乙型平板的进价为尤元，则每台甲型平板的进价为（尤+600）元，

6000045000

依题意，得:

%+600x

解得：x=1800,

经检验，x=1800是原方程的解，且符合题意,

.'.x+600=2400.

答：每台甲型平板的进价为2400元，每台乙型平板的进价为1800元.

【小问2详解】

解：设最大利润是W元，

..•购进机台甲型平板，

...购进（80-m｝台乙型平板，

依题意，得：W=（2800-2400）m+（2400-1800）（80-m）=-200加+48000.

•••购买资金不超过17.76万元.甲型平板不少于乙型平板的2倍，

2400/H+1800（80—m）<177600

m>2（80-m）

解得：---<m<56,

3

是整数，

••7/2—54,55,56,

.♦.有3种种进货方案：

①购进54台甲型平板，26台乙型平板；

②购进55台甲型平板，25台乙型平板；

③购进56台甲型平板，24台乙型平板；

由W=-200m+48000,

'：k=-200<0,

随机值的增大而减小，

二方案①，即购进54台甲型平板，26台乙型平板时利润W取得最大，

最大值为：-200x54+48000=37200（元）.

答：购进54台甲型平板，26台乙型平板时利润W取得最大，最大利润为37200元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题

的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列

出一元一次不等式，利用一次函数的性质求解.

21.胡老师的数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知.ABC中，AB=AC=x,3C=y,NH4C=c（0°<tz<180°）,点P为平面

内不与点A、C重合的任意一点，连接CP,将线段CP绕点P顺时针旋转2,得线段

PD,连接CD、AP点E、尸分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线所相交所成的

FF

较小角为夕，探究——的值和夕的度数与X、y、C的关系.

AP

请您参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

FFFF

小明研究了。=60。时，如图1,求出了而值和夕的度数分别为耕=，

0----------；

EFFF

小红研究了。=90。时，如图2,求出了蠡的值和月的度数分别为了万=,

P----------；

【类比探究】

他们又共同研究了以=120。时，如图3,也求出了赤的值和少的度数；

【归纳总结】

FF

最后他们终于共同探究得出规律：一=（用含x、y的式子表示）；B=

AP

（用含&的式子表示）

EF

（2）求出。=120。时标的值和£的度数（注：要求写出具体解题过程，否则得零分）.

【答案】⑴果6。。；*；45。；金；?

(2)且；30°

2

【解析】

【分析】（1）当a=60。时，ZkABC和△P£）（7都是等边三角形，PTUEAACP-AECF,从而由

CF1

有而=5，NQ=S=NAC8=60。；当a=90。时，AABC和APOC都是等腰直角三角形，

同理可证△ACPS^ECF即可解决问题，依此可得出规律；

（2）当a=120。，可证乌=1,"=走，而有名=8,由/ACP=/ECR可

AC2CP2CFCP

得APCASAFCE,即可解决问题.

【小问1详解】

解：如图1,连接AE,PF,延长EF、AP交于点

当a=60。时，A4BC和APOC都是等边三角形,

NPCD=NACB=60°,PC=CD,AC=CB,

F、E分别是C。、BC的中点，

CF_1CE1

PC-2'AC-2'

CFCF

~PC~~\C'

ZPCD=ZACB

ZPCD-ZACD=ZACB-ZACD

NACP=ZECF,

△ACP^AECF,

EF1

ZCEF=ZCAP,

AP2

NQ=4=/ACB=60°,

当a=90。时，AABC和△POC都等腰直角三角形,

，：F、E分别是。、BC的中点,

.CE-1CF-1

"AC-V2?而一TT

.CFCE

"PC-AC'

ZPCD=ZACB

：.ZPCD-ZACD=ZACB-ZACD

：.ZACP=ZECF,

：.AACP^AECF,

,EF_1

—,NCEF=NCAP,

.・瓦一花

：.ZQ=/3=ZACB=45°,

2180°-rz

由此，可归纳出跖—_色—_2_—yo，B=/ACB="Ua

APAC%lx

故第（1）答案是：

1-,O6U0。,-五--■，4435。,上■,-1-8°---—--a-;

222x2

【小问2详解】

当a=120。，连接AE,PF,延长所、AP交于点。,

•：AB=AC,E为BC的中点，

：.AE1BC,ZCAE=60°,ZACB=30°

..孙CEA/3

..sin60=---=---,

AC2

同理可得：竺=正，

CP2

.CE_CF

'*AC-cF'

.CECA

,•而一而‘

,//PCD=ZACB

：.ZPCD+ZACD^ZACB+ZACD

：.NACP=ZECF,

又；NECF=NACP,

:.XPCAsMfCE,

.•.空=空=立，ZCEF=ZCAP,

APAC2

.•.NQ=£=NACB=30°.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，图形虽然在发生变化，但是解决问题的方

法不变，要体会题中蕴含的“变中不变”的思想.

22.如图，已知抛物线C：y=%2+bx+c经过点4(0,-4),8(4,0).

(1)求b,c的值；

(2)连结AB,交抛物线C的对称轴于点

①求点M的坐标；

②将抛物线C向左平移侬