解答提升题03一次函数的性质和应用-2024年中考数学冲刺复习讲练测（浙江新中考）（解析版）

第第页题型01纯数学背景下的一次函数应用类型一应用一次函数的性质解决问题1．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,2)，B(2,−4)(1)求k和b的值(2)若P(1,y1)，Q(3,y2【答案】(1)k=−3,b=2(2)y【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质；（1）根据待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：将A(0,2)，B(2,−4)代入y=kx+b，得b=22k+b=−4解得：k=−3b=2（2）由（1）可得k=−3，∴y随x的增大而减小，又∵1<3，∴y12．（2024·浙江嘉兴·一模）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1k≠0的图象经过点A(1)求该函数的表达式．(2)Px,y1是y=kx+1上的一个动点；Qx,y2是一次函数y=34x+n上的一个动点．当0<x<3时，点P【答案】(1)y=2x+1(2)−1≤n≤1【分析】本题考查了待定系数法，点到坐标轴的距离，利用函数图象解不等式等；（1）将A1,3代入y=kx+1（2）由点到坐标轴的距离得P到x轴的距离d1=2x+1，Q到x轴的距离d2=34x+n，设掌握待定系数法，能根据题意画出图象，利用函数图象求解是解题的关键．【详解】（1）解：将A1,3代入y=kx+1k+1=3，解得：k=2，∴该函数的表达式为y=2x+1；（2）解：由题意得y1y2∴P到x轴的距离d1Q到x轴的距离d2∵0<x<3时，点P到x轴的距离都大于点Q到x轴的距离，∴2x+1>3设y3此时y1如图：要使当0<x<3时，y1是图象始终在y由图象得：−1≤n≤1；故：n的取值范围为−1≤n≤1．3．（2024·浙江·一模）如图，在直角坐标系中，点A2,m在直线y=2x−3上，过点A的直线交y轴于点B(1)求m的值和直线AB的函数表达式．(2)若点Pt,y1在线段AB上，点Qt+1,y2在直线【答案】(1)m=1，直线AB的函数表达式为y=−x+3(2)2y【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征；（1）把A2,m代入y=2x−3可求出m（2）根据一次函数图象上点的坐标特征可得y1=−t+3，y2【详解】（1）解：把A2,m代入y=2x−3得：m=2×2−3=1∴A2,1设直线AB的函数表达式为y=kx+bk≠0把A2,1，B0,3代入得解得：k=−1b=3∴直线AB的函数表达式为y=−x+3；（2）2y∵点Pt,y1在线段AB上，点Q∴y1=−t+3，∴2y∴2y4．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A2,m在直线y=2x−52上，过点A的直线交y

(1)求m的值和直线AB的函数表达式．(2)若点Pt,y1在线段AB上，点Qt−1,y【答案】(1)m=32(2)15【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线AB的函数解析式为y=kx+b，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由（1）及题意易得y1=−34t+3【详解】（1）解：把点A2,m代入y=2x−52设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A2,322k+b=32b=3.∴直线AB的函数表达式为y=−3（2）解：∵点Pt,y1在线段AB上，点Q∴y1=−3∴y1∵k=−11∴y1−y∴当t=0时，y1−y【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．5．（2024·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A−2,m在直线y＝−2x−1上，过点A的直线交y(1)求m的值和直线AB的函数表达式．(2)若点Pt,y1在直线AB上，点Qt−1,y2在直线y=−2x−1上，当【答案】(1)y=x+5(2)k=12【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，是解题的关键．（1）把点A的坐标代入直线y=−2x−1可求得m值，然后设直线AB的函数解析式为y=kx+b，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；（2）由（1）及题意得y1=t+5，y2=−2(t−1)−1，则有【详解】（1）把点A−2,m代入y=−2x−1得，m=−2×−2设直线的函数表达式为y=kx+b，把点A−2,3，B0,5代入，得，解得k=1b=5∴直线AB的函数表达式为y=x+5．（2）∵点Pt,y1在直线y=x+5上，点Q∴y1=t+5，∴y1∵y1∴1−2k=0，∴k=12，故k的值为12，这个定值为116．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点A1,3，且与y轴交于点(1)求该函数表达式．(2)若一次函数y=cx−1c≠0的图象与一次函数y=kx+bk≠0图象交于点Ca,1，求a(3)当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx−2+1m≠0的值都大于y=kx+b【答案】(1)y=−2x+5(2)a=2(3)m>−2【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数图象的交点问题、待定系数法等知识，读懂题意，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可；（2）把Ca,1代入y=−2x+5求出点C的坐标，再把点C的坐标代入y=cx−1c≠0求出（3）根据题意可得m3−2+1>−2×3+5，即可求出【详解】（1）∵一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点A1,3，且与y轴交于点∴k+b=3,b=5∴k=−2,b=5∴该一次函数解析式为y=−2x+5．（2）∵若一次函数y=cx−1c≠0的图象与一次函数y=−2x+5图象交于点C∴−2a+5=1，∴a=2．将C2,1坐标代入y=cx−1c≠0得：∴c=1．（3）∵函数y=mx−2+1m≠0恒过定点2，1又∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=mx−2+1m≠0∴m3−2解得m>−2．7．（2023·浙江杭州·二模）设函数y1=k1x+b，函数y2=k2x（(1)若函数y1和函数y2的图象交于点A(1,①求函数y1，y②当2<x<3时，比较y1与y(2)若点C(2,m)向先左平移4个单位再向上平移n−m个单位得到点D，若函数y1和函数y2的图象交于点C和点【答案】(1)①y1=−x+4；y2(2)n=−3【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解题的关键．（1）①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数图象分析比较；（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．【详解】（1）①把点B(3,1)代入即1=k解得：k2∴函数y2的表达式为y把点A(1,m)代入y2把点A(1,3)，点B(3,k1∴解得k1∴函数y1的表达式为y②∵函数y1和函数y2的图象交于A(1,3)观察图象得∶当2<x<3时，函数y2=k∴当2<x<3时，y1（2）由（1）得m=3，∴C(2∵向左平移4个单位，∴得(−2,又再向上平移n−m个单位，∴D(−2,∵C，D是函数y1和函数y∴2k1+b=3∴n=−3．8．（2024·浙江丽水·一模）设二次函数y=ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值yx⋯−10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=0时，求二次函数的表达式；(2)当−1≤x≤3时，y有最小值为12，求a(3)若a<−3，求证：n−m−p>20．【答案】(1)y=−1(2)12或−(3)证明见解析．【分析】（1）利用表格数据以及待定系数法求解即可；（2）由表可知，抛物线y=ax2+bx+1经过0,1,2,1两点，进而得到抛物线的对称轴为直线x=1,则b=−2a，即y=a（3）利用二次函数的解析式求出m、n、p，结合二次函数的对称轴进而得到n−m−p=−7a−1，利用一次函数的性质即可求证；本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．【详解】（1）解：把−1,0，2,1代入y=axa−b+1=04a+2b+1=1，解得a=−∴二次函数的表达式为y=−1（2）解：由表可知，抛物线y=ax2+bx+1∴当x=0或x=2时，y=1,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴−b2a=1∴y=a∵当−1≤x≤3时，y有最小值为12∴①当a>0，x=1时，函数有最小值12∴12=a−2a+1，解得：②当a<0，则x=−1或x=3时，函数y取得最小值，∴12=3综上，a的值12或−（3）证明：由表和二次函数可得，m=a−b+1，n=a+b+1，p=9a+3b+1，∴n−m−p=a+b+1−a−b+1∵二次函数的对称轴为直线x=1，∴−b∴b=−2a，∴n−m−p=−9a−−2a∵−7<0，∴n−m−p的值随a的减小而增大，∴当a<−3时，n−m−p>−7×−3−1=20，即类型二一次函数与反比例函数的综合问题9．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数y1=3kx(1)当−3≤x≤−1时，反比例函数y1有最小值b，一次函数y2有最大值b+6，求b和(2)若y1>y【答案】(1)b=−(2)0<x<1或x>3【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程；（1）根据题意得出反比例函数y1=3k（2）联立y1【详解】（1）解：∵k>0，∴反比例函数y1∵当−3≤x≤−1时，反比例函数y1有最小值b，一次函数y2有最大值∴b=解得：b=−9（2）解：y解得：x∵反比例函数y1∴当y1>y2时，10．（2023·浙江杭州·二模）设函数y1=k1x，函数y2=(1)若函数y1和函数y2的图像交于点A2,6①求b，n的值．②当y1>y(2)若点C8,m在函数y1的图像上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1【答案】(1)①b=9,n=5②0<x<2或x>4(2)m=−【分析】（1）①采用待定系数法即可求出．②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出．（2）结合题意，表示出点D的坐标，然后将C,D两点代入到y1【详解】（1）①把点A2,6代入到ykk∴把B4,n−2代入到yn−2=∴n=5∴B再把A2,6和B4,3代入到2解得：k∴综上：b=9,n=5．②如图所示：y=解得：x∴A(2,6),B(4,3)结合图像，当y1x的取值范围是：0<x<2或x>4．（2）根据题意，∵C∴D(5,m−1)把点C，D代入到y1k解得：k综上:m=−5【点睛】本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图像和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键．11．（2023·浙江杭州·二模）平面直角坐标系中，反比例函数y1=k1x（k1为常数，k1≠0）和一次函数y2(1)若a=3，求k1(2)若点Ba−2,1①求y1，y②若0<y2<【答案】(1)k(2)①y1=4x，【分析】（1）利用待定系数法即可求出k1（2）①将A23,a，Ba−2,1分别代入y1=k1x可得到23a=a−2×1，即可得到a=6，再将A23【详解】（1）解：若a=3，则A2∴k（2）解：①∵反比例函数y1=k1x（k1为常数，k1≠0）的图像经过点A23,a∴23a=a−2∴A23,6将A23,6分别代入y可得k1=4，∴y1，y2的函数表达式分别为y1②当y2=−3画出函数图像如图所示，

∵0<∴x的取值范围是0<x<23或【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题，掌握反比例函数和一次函数图像与性质是解题关键．12．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=k1x与函数y2=(1)求k1(2)连接OA并延长至点P，使得OA=AP，过点P作x轴的垂线，交x轴于点C，交y1的图象于点D，连接OD．设△OPD的面积为S1，△OCD的面积为S2【答案】(1)k(2)3【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）首先将点A的横坐标代入y2=k2x−2+3，求出点A的坐标，然后代入y1=k1x（2）首先根据题意画出图形，利用两点间距离求出OA，即可得到OP，利用待定系数法求出OA所在直线的表达式，设点Pm,32m，利用两点间距离公式求出P4,6【详解】（1）解：将点A的横坐标代入y2=k∴A2,3将A2,3代入y1=∴y1将点B的纵坐标代入y1=6x，得：∴B−6,−1将B−6,−1代入y2=∴k∴y2∴k（2）解：如图，由（1）知A2,3，B∴OA=2∵OA=AP，∴OP=2OA=213设直线OA的解析式为y3∴3=2k∴k∴直线OA的解析式为y3设点Pm,∴OP=m2+∴m=4，则P4,6∵PC⊥x轴，∴C4,0∵△OPD的面积为S1=12PD⋅OC，∴S113．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象交于A（−1，a），B两点，与x轴交于点(1)求此反比例函数的表达式；(2)若点P在x轴的正半轴上，且S△ACP＝4S【答案】(1)y＝−(2)P（【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题：（1）利用点A在y=x+4上求a，进而代入反比例函数y=k（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．【详解】（1）解：把点A（−1，a）代入y=x+4，得a=3，∴A（−1，3）把A（−1，3）代入反比例函数y=kx（k为常数且∴k=−3，∴反比例函数的表达式为y=−3（2）解：联立两个函数的表达式得y=x+4y=−解得x=−1y=3或x=−3∴点B的坐标为B（当y=x+4=0时，得x=−4∴点C（设点P的坐标为（x，0）∵S∴1解得x1=4∴点P（414．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1=k1x与函数y2=

(1)求k1(2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．【答案】(1)k1=10(2)见解析【分析】（1）首先将点A的横坐标代入y2=k2x−2+5求出点A的坐标，然后代入y1=k1x求出k（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．【详解】（1）∵点A的横坐标是2，∴将x=2代入y∴A2,5∴将A2,5代入y1=∴y1∵点B的纵坐标是−4，∴将y=−4代入y1=10∴B−∴将B−52,−4代入∴解得k2∴y2（2）如图所示，

由题意可得，C−52∴设CD所在直线的表达式为y=kx+b，∴−52k+b=5∴y=−2x，∴当x=0时，y=0，∴直线CD经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=kxk>0的图像交于点B，与x轴交于点(1)已知点B的坐标为2,6，求：①一次函数y1和反比例函数y2②在y轴上取一点P，当△BCP的面积为5时，求点P的坐标；(2)过点B作BD⊥x轴于点D，点E为AB中点，线段DE交y轴于点F，连结AF．若△AFD的面积为11，求k的值．【答案】(1)①一次函数解析式为y=x+4，反比例函数解析式为y=12②P的坐标为0,−1或(2)k=22．【分析】（1）①把B2,6代入一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=②根据三角形面积求得PC的长，然后由直线的解析式求得C的坐标，即可求得P的坐标；（2）由一次函数y=x+b，可得∠BAD=45°，A−b,0，得出△ABD是等腰直角三角形，设Bm,m+b，则k=mm+b，进一步得出△DOF是等腰直角三角形，则OF=OD=m本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积求法，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．【详解】（1）①∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kxx∴6=2+b，6=k∴b=4，k=12，∴一次函数解析式为y=x+4，反比例函数解析式为y=12②∵B2,6，△BCP∴12∴12∴PC=5，由直线y=x+4得，C0,4∴P的坐标为0,−1或（2）∵一次函数y=x+b，∴∠BAD=45°，A−b∵BD⊥x轴于点D，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kxx∴设Bm,m+b，则k=m∴AD=BD=m+b，∵点E为AB中点，∴∠ADE=∠BDE=45°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴OF=OD=m，∵△AFD的面积为11，∴12AD⋅OF=11即∴k=mm+b16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=k1x+bk1

(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点Pa，0作x轴的垂线，与直线y1=k1x+bk1≠0(3)将直线AB向下平移mm>0个单位长度，若平移后的直线与反比例函数y=k2【答案】(1)一次函数的解析式为y1=−(2)0<a<3或a>6(3)m的值为6+42或【分析】（1）分别用待定系数法即可求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据题意画出图象，由图象直接可得到答案；（3）先求出平移后的直线的解析式，在联立反比例函数，得到一个一元二次方程，由Δ=0【详解】（1）解：将A3，4，B得3k解得：k1∴一次函数的解析式为：y1将A3，4得4=k解得：k2∴反比例函数的解析式为：y=12（2）解：根据题意画出图如图所示：

，∴过点Pa，0作x轴的垂线，与直线y1=当点M在点N下方时，a的取值范围为：0<a<3或a>6；（3）解：∵将直线AB向下平移mm>0∴得到的新函数的解析式为：y=−2∵平移后的直线与反比例函数y=k∴−23x+6−m=∴Δ解得：m=6+42或m=6−4∴m的值为6+42或6−4【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程的根与判别式的关系，采用数形结合的思想解题是解题的关键．17．（2023·浙江·一模）如图，已知A的坐标是4,4，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kxx>0的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD(1)求k的值和点C的坐标．(2)若点Pa,b在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包括边界），求b【答案】(1)k=4；2,2(2)1≤b≤2【分析】（1）根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；（2）先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．【详解】（1）解：∵S△OBD∴k=4，∴反比例函数为y=4x设直线OA解析式为y=mx，将A4,4代入得，4m=4∴m=1，∴直线OA解析式为y=x②，由①②得x2∴x=−2（不合题意，舍去），x=2，∴C为2,2．（2）解：将x=4代入y=4x，得∴点D的坐标为4,1，∵点Pa,b在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部（包含边界），且C的坐标为2,2

∴由图象得1≤b≤2【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．类型三一次函数与几何图形的综合问题18．（2024·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E横坐标为3．(1)求直线AB的解析式；(2)求点C坐标；(3)在x轴和直线AD上分别找点P，Q，使得B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标．【答案】(1)y=−x+4(2)(0,−2)(3)(−2.5,0)或(8.5,0)或(−0.5,0)【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(0,4)，B(4,0)代入y=kx+b之中求出k，b即可得直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥x轴于F，先证ΔOCB和ΔFBD全等得OC=BF，OB=FD=OA=4，进而证ΔOAE和ΔFDE全等得OE=EF=3，由此可得（3）先求出直线AD的解析式为y=−43x+4，可设点Q(q,−43q+4)，再设点P(p,0)，根据点B、①当BC为平行四边形的一边时，又有两种情况：（ⅰ）当点Q在BC的上方时，连接CQ交x轴于T，则点T是CQ和PB的中点，对于P(p,0)，B(4,0)，则点T(p+42,0)，对于C(0,−2)，Q(q,−43q+4)，则T(q2,−4q+66)，由此得方程解出p求解，据此解出p可得点P的坐标；（ⅱ）当点Q在BC的下方时，连接PC，BQ交于点T，则点T是BQ和PC的中点；②当BC为平行四边形的对角线时，连接PQ交BC于【详解】（1）解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，将A(0,4)，B(4,0)代入y=kx+b，得：b=44k+b=0，解得：k=−1∴直线AB的表达式为：y=−x+4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，如图1所示：∵A(0,4)，B(4,0)，点E是AD与x轴的交点，且横坐标为3，∴OA=OB=4，OE=3，BE=4−3=1，∵DF⊥x轴于F，∠COB=∠BFD=90°，∴∠OBC+∠OCB=90°，由旋转的性质得：BC=DB，∠CBD=90°，∴∠OBC+∠FBD=90°，∴∠OCB=∠FBD，在ΔOCB和Δ∠OCB=∠FBD∠COB=∠BFD=90°∴Δ∴OC=BF，OB=FD=4，∴OA=FD=4，在ΔOAE和Δ∠AOE=∠DFE=90°∠AEO=∠DEF∴Δ∴OE=EF=3，∴BF=EF−BE=3−1=2，∴OC=BF=2，∴点C的坐标为(0,−2)；（3）设直线AD的解析式为：y=mx+n，将A(0,4)，E(3,0)代入y=mx+n，得：n=43m+n=0，解得：m=−∴直线AD的解析式为：y=−4∵点Q在直线AD上，∴设点Q(q,−4∵点P在x轴上，∴设点P(p,0)，∵点B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，∴有以下两种情况：①当BC为平行四边形的一边时，又有两种情况：（ⅰ）当点Q在BC的上方时，连接CQ交x轴于T，如图2所示：根据平行四边形的性质得，点T是CQ和PB的中点，对于P(p,0)，B(4,0)，则点T(p+4对于C(0,−2)，Q(q,−43∴−4q+66由−4q+66=0，解得将q=1.5代入q2=p+4∴点P(−2.5,0)；（ⅱ）当点Q在BC的下方时，连接PC，BQ交于点T，如图3所示：根据平行四边形的性质得，点T是BQ和PC的中点，对于P(p,0)，C(0,−2)，则点T(p对于B(4,0)，Q(q,−43q+4)∴−2由−23q+2=−1将q=4.5代入q+42=p∴点P(8.5,0)；②当BC为平行四边形的对角线时，连接PQ交BC于T，如图4所示：根据平行四边形的性质得，点T是BC和PQ的中点，对于B(4,0)，C(0,−2)，则点T(2,−1)，对于P(p,0)，Q(q,−43q+4)∴−2由−23q+2=1将q=4.5代入p+q2=2，得：∴点P(−0.5,0)．综上所述：点P的坐标为(−2.5,0)或(8.5,0)或(−0.5,0)．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．19．（2023·浙江金华·三模）在平面直角坐标系中，若图形M与图形N中，分别存在点P，Q关于直线y=kx对称，则称这两个图形“k轴对称”．如图，正方形ABCD各顶点的坐标分别是A1，1，B

(1)在点P10,2，P20,3，P3−1,−2中，哪些点与正方形(2)若点D与点Q为“2轴对称”，求点Q的坐标．(3)直线y=43x+b与两坐标轴的交点为E、F，若线段EF与正方形ABCD“k【答案】(1)P10,2，k=1；P3(2)−2(3)1≤b≤55【分析】（1）画出图形，根据“k轴对称”的定义即可求解；（2）求出直线QD的解析式及交点坐标即可解答；（3）求出两种特殊位置的b的值即可解答．【详解】（1）解：如图所示，点P2、P3与正方形k值分别是1、−1，

（2）解：如图，在直线y=2x上，取点K1，2，过点K作KT⊥y轴于点T，作直线DT交OK过点D作DG⊥y轴于点G，

∵T0，2，D∴OT=DG=2，TK=TG=1，∵∠OTK=∠DGT=90°，∴△OTK≌△DGTSAS∴∠TOK=∠GDT，∵∠GDT+∠GTD=90°，∴∠TOK+∠OTJ=90°，∴∠OJT=90°，∴DT⊥OK，∴点Q在直线DT上，∵直线DT的解析式为y=−1∴y=−1∴解得：x=4∴J4∵JD=JQ，∴Q−（3）解：如图所示，连接OD，则OD=2当点D的“k轴对称”在EF上时，直线y=43x+b与以点O为圆心，ODOH=OD=5，且EF与圆O相切于点H当b>0时，直线y=43x+b，当x=0时，y=b，当y=0∴OF=b，OE=34∴EF=OF∴12解得b=5当点B的“k轴对称”在线段EF上时，线段EF与以点O为圆心，OB长为半径的圆有交点，当点F与点0,1重合时，b取的最小值，如图所示：此时y=4∴b=1，∴此时1≤b≤5同理当b<0时，可得−5综上可得：1≤b≤55

【点睛】本题考查了几何变换综合题，一次函数的性质，新定义，轴对称变换的性质，理解题意，寻找特殊点是解决问题的关键．20．（2021·浙江温州·一模）如图，直线y＝﹣12x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD(1)求b的值及点D的坐标；(2)在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．【答案】(1)b＝3，D（﹣2，4）(2)65＜a＜【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式即可得到b的值；根据CD=OD确定点D的横坐标，再将点D的横坐标代入直线解析式即可得到点D的纵坐标．（2）作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G．根据点Q和点P关于y轴对称确定点Q在线段EB上，根据点Q落在△CDO内（不包括边界）确定点Q在线段FG上（不包括端点），使用待定系数法求出直线EB，直线CD，直线DO的解析式，再列出二元一次方程组并求解可得点F和点G的坐标，再列出不等式组求解即可．【详解】（1）解：将点A的坐标（6，0）代入y＝﹣12x+b得0=−解得b＝3．∴直线AB的解析式为y=−1∵CD＝OD，∴点D在线段CO的垂直平分线上．∵C（﹣4，0），O0,0∴点D横坐标为﹣2．∵点D在直线AB上，∴当x＝﹣2时，y＝4．∴点D坐标为（﹣2，4）．（2）解：如下图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G．∵A6,0，点A与点E关于y∴E−6,0，线段AB和线段EB关于y∵动点P在线段AB上，点P的横坐标为a，点P与点Q关于y轴对称，∴点Q在线段EB上，点Q的横坐标为-a．∵点Q落在△CDO内（不包括边界），∴当点Q在线段FG上（不包括端点）时符合题意．∵直线AB解析式y=−1∴当x=0时，y=3．∴B0,3设直线EB解析式为y=k1x+b1，直线CD解析式为y=∴将点E，B坐标代入直线EB解析式得0=−6解得k∴直线EB解析式为y=1同理可得直线CD解析式为y=2x+8，直线DO解析式为y=−2x．联立直线EB解析式和直线CD解析式得y=解得x=−∴F−同理可得G−∵点Q的横坐标为-a，∴−10∴65【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，用二元一次方程组求两直线交点坐标，正确应用数形结合思想是解题关键．21．（2023·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系有一等腰直角三角形MCN，∠MCN=90°，MC=NC，点C在x轴的负半轴上，点M，N在一次函数y=−3x+3的图象上，且M点在第二象限，N点在第四象限，一次函数图象交y轴于点A，交x轴于点B，

(1)求证：AC=BC．(2)求出点C的坐标及CN的长．(3)点P从N匀速运动到C时，点Q恰好从A匀速运动到N，记PN=x，①求出y关于x的函数表达式．②连结PQ，点C关于直线PQ对称点为C'，连结PC'．若直线PC'【答案】(1)见解析(2)C−4，(3)①y=223x+10【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CMN=∠MNC，通过证明△AMC≌△BNCSAS，即可得到AC=BC（2）先求出点A、B的坐标，可得OB=1，OA=3，设OC=m，则AC=BC=m+1，在Rt△AOC由勾股定理可知m+12=m2+32，求出m的值即可得到点C的坐标，过C作（3）①由等腰三角形的性质可得MN=310，AN=MN−AB2+AB=MN+AB2=210，由题意可知PNAQ=CN【详解】（1）解：∵CM=CN，∴∠CMN=∠MNC，在△AMC和△BNC中，CM=CN∠CMA=∠CNB∴△AMC≌△BNCSAS∴AC=BC；（2）解：设OC=m，∵y=−3x+3，∴当y=0时，x=1，当x=0时，y=3，∴A0∴OB=1，∴AC=BC=m+1，在Rt△AOC，由勾股定理可知m+1解得m=4，∴C−4过C作CD⊥AB于D点，

∵OB=1，OA=3，AB=10∴CD=BC⋅OA∵△MCN为等腰直角三角形，∴∠CND=45°，∵CD⊥MN，∴△CDN为等腰直角三角形，∴CN=2（3）解：①如图所示：

∵△MCN为等腰直角三角形，∴MN=2∴AN=MN−AB由题意可知PNAQ∴xy−∴y=2②Ⅰ如图1，当PC'∥CM

∴∠CPQ=135°，∴∠NPQ=45°，∴PQ⊥AN，∴PN=2∴x=2∴x=12Ⅱ如图2，当PC'∥MN时，延长QP

∵由对称可知，∠CPE=∠C∴∠QPN=∠C∵PC∴∠PQN=∠C∴∠QPN=∠PQN，∴PN=QN，∴x=310∴x=1810【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、平行的性质、勾股定理等知识，熟练在掌握三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、对称的性质、平行的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．22．（2023·浙江绍兴·一模）如图1.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是矩形，点A，点D在y轴上，点B，点C在第一象限，A0,7，AB=6，BC=4(1)求点C的坐标.(2)直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点P，Q，点B，C关于直线l的对称点分别为B'，C①如图2，若点A和点C在直线l上，求点B'到x②若点B'，点C'到x轴的距离都为1，请直接写出点【答案】(1)点C6,3(2)①OF=1913；②Q的纵坐标分别是5，7，6【分析】(1)求得OD=7−4=3，计算即可．（2）①如图，连接B'A，B'C，过点B'作B'E∥x轴，交BC的延长线于点E②分类求解即可．【详解】（1）∵矩形ABCD，AB=7，BC=4，∴DC=AB=6，AD=BC=4.∵A0,7∴OD=3，∴点C6,3（2）①如图，连接B'A，B'C，过点B'作B'E∥x轴，交BC易得△B∴AF设B'F=3x，则CE=2x，B'∴4+2x6−3x解得：x=10∴OF=3−20②∵点B'，点C'到∴点B'，点C'在直线y=1或当点B'，点C'在直线y=1上时，∴B'设B'm,1，则则BB'的中点M6+m2,4设BB'的解析式为∴6k解得k1∴BB'的解析式为设直线BB'与根据折叠的性质，得BB∵CD∥∴四边形B'∴B'当y=3时，66−m解得x=6+2m∴6+2m3解得m=0，∴M3,4，N设直线MN的解析式为y=m∴3m解得m1∴MN的解析式为y=−x+7，当x=0时，y=7，故Q的纵坐标为7；当点B'，点C'在直线y=−1上时，∴B'设B'm,−1，则则BB'的中点M6+m2,3∴M6+m2,3根据折叠的性质，得BB∵CD∥∴四边形B'∴B'∴6+m2解得m=−2，∴M2,3，N设直线MN的解析式为y=m∴2m解得m1∴MN的解析式为y=−x+5，当x=0时，y=5，故Q的纵坐标为5；∴Q的纵坐标分别是5，7，63−5．【点睛】后两种情况还没有得到解法．23．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD于点(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB'D，连结B'【答案】(1)y关于t的函数关系式为y=5-(2)当t为167或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为12(3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为52或8或100(4)t【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式PEOD=APOA=AEAD，得出PE=34t，AE=54t，当以EP为半径的⊙E（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当DP=DE=54t-5时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=（4）设直线AD交BB'于F，连接BB'，则AF⊥BB'，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出BF=85【详解】（1）解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），∴OA=4，OD=3，由勾股定理得：AD=①当0≤t≤4时，∵PE∥∴APOA∴t4∴AE=∴DE=5即y=5②当t＞4时，y=综上所述，y关于t的函数关系式为y=5-5（2）解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t，∵PE∥∴PEOD即PE3解得：PE=当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时，34解得：t=167②当t＞4时，34解得：t=16，此时12；综上所述，当t为167或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为12（3）解：当0≤t≤4时，由PE=DE，∴34解得：t=当t＞4时，分三种情况：如图2所示：①当DP=由勾股定理得：OP即(t解得：t=8；②当PE=PD时，由勾股定理得：(t解得：t=1007∴t=③当PE=DE时，3解得：t=10；综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为52或8或100（4）解：设AD交BB'于F，连接则AF⊥BB∴∠AOD=∠BFD=90°，又∵∠ADO=∠FDB，∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，∴BFAO=BD∴BF=∴BB∵∠AOE=∠BOB'，∴△AOE∴AEBB'∴AE=∴t=【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．24．（2023·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B(−2,3)，E(4,0)，过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为(4,m)，连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA'，在射线BA'上取点

(1)当m=−3时，求直线AB(2)当点C落在坐标轴上时，求△ABC的面积．(3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使以A，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)1323(3)存在，点A的坐标为4,53或4,3或4,33或【分析】（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，然后把A、B两点的坐标代入即可求解；（2）分点C在x轴及y轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可；（3）存在，分五种情况进行分类讨论，灵活运用相似三角形的判定和性质进行求解．【详解】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b，则有：∴4k+b=−3解得：k=−3∴直线AB的解析式为：y=−3（2）解：当点C在x轴上时，设C点的坐标为(n,0)；过B作BH⊥l于点H，则BH=6，CE=n−4，AH=m−3

∵∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAE=∠ACE，∴△ABH∽△CAE，∴BHAE∴6m解得：m=23，n=5∴AC=(23)SΔ当点C在y轴上时，同理可求：

AC=27，AB=2SΔ∴△ABC的面积为1323或（3）解：①过点A、D作直线l的垂线，与过点B、C作y轴的平行线分别交于点F、G、H，则四边形AQHG为矩形，∵△ABC∽△CDA，∴∠DCA=∠BAC=90°，∠ABC=∠ADC=30°，由题意可得△ABC≌△CDA（相似比为1)．

∴AF=6，BF=m−3，D(2,−3)∵∠FAB+∠GAC=∠GAC+∠ACG=90°，∴∠FAB=∠ACG，∴△FAB∽△GCA，同理△GCA∽△HDC∽△FAB，又∵AB=DC，∴△FAB≌△HDC（相似比为1)，∴FAGC解得：AG=33m−1∴HQ=AG=33m−1即2+3解得：m=5∴点A的坐标为(4,53②当点C在l上时，则∠BAC=90°，∴D的坐标为(2,−3)，A点的坐标为在Rt△ABC中，∠B=30°∴AC=AB⋅tan∴C(4,−3∴DC∥x轴，即∵tan∴∠ADC=60°，∴△ABC∽△CAD，∴A(4,3

③当点D在BC上时，作CG⊥l于点G，BF⊥l于点F，同①可得：∴C点的坐标为3+3直线OB的解析式为：y=−3把点C3+33可求得m=3点A(4,33)由两点间的距离公式求得：AD=2213，CD=∵2∴∠ADC=90°，∴△CDA∽△CBA，点A4,

④当AD∥x轴时，作BF⊥l于点F，CG⊥l于点同②可求A点的坐标为(4,−3

⑤当点D在线段AB上时，作BF⊥l于点F，CG⊥l于点G，同③可求A点的坐标为(4,−23

∴点A的坐标为4,53或4,3或4,33或【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，含有30°角的直角三角形的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，正确分类是解决问题的关键．题型02实际背景下的一次函数应用类型四一次函数行程问题25．（2024·浙江杭州·一模）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）．(1)根据图象信息，求出甲和乙的速度各为多少？（单位：米/分钟）(2)求线段AB所在的直线的函数表达式；(3)在整个过程中，请通过计算，t为何值时两人相距400米？【答案】(1)甲的速度为40米/分钟；乙的速度为60米/分钟；(2)y=(3)在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．【分析】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；（2）首先求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，再运用待定系数法求解即可；（3）分相遇前后两种情况解答即可．【详解】（1）解：根据图象信息，当t=∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=甲的速度为2400÷60=∴乙的速度为100−40=60（米/分钟）．答：甲的速度为40米/分钟；乙的速度为60米/分钟；（2）乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40×40=∴A点的坐标为40，设线段AB所表示的函数表达式为y=∵A(40，∴40k+b=160060k+b=2400，解得k=40∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t；（3）两种情况：①相遇前：2400−400÷100=20②相遇后：2400+400÷100=28∴在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．26．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．机场监控问题的思考素材1如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行．

素材22号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达问题解决任务1求解析式和速度求出OA段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；任务2求解析式和坐标求出BC段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．任务3计算时长通过计算说明两机距离PQ不超过2.5m的时长是多少．【答案】任务一：ℎ=s(0≤s≤4)，32km/min；任务二：ℎ=−13【分析】本题考查一次函数的应用及待定系数法求一次函数解析式，正确从图象中获取信息是解题的关键．（1）先确定点A的坐标，再用待定系数法求正比例函数的解析式，利用它们在OA段的飞行的时间和飞行的水平距离相同求速度；（2）先确定点B,C的坐标，再根据待定系数法求设BC的解析式，令ℎ=0，求得s，即可得到结论；（3）PQ不超过2.5km，得到5−ℎ≤2.5，把ℎ=2.5代入（1）（2）中的解析式得出s的值，得出了两机距离PQ不超过2.5km的飞行的水平距离，再除以1号飞机的飞行速度，结论可得；【详解】任务一：∵2号试飞机从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处，∴A(4,4)，设OA段h关于s的函数解析式为ℎ=ks，则4=4k，解得：k=1，∴OA段h关于s的函数解析式为ℎ=s(0≤s≤4)，∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．∵A(4,4)∴2号机爬升到A处时飞行的路程为OA=4∵1号机的飞行速度为3km/min∴2号机爬升到A处时飞行的时间为43所以2号机的爬升速度为42任务二：∵由A处经过1min水平飞行到达B∴水平飞行距离为3km∴点B的坐标为(7,4)∵从B处沿直线BC降落1min后到达高度为3km的点∴点C的坐标为10,3．设BC的函数关系式为ℎ=ks+b，将B，C两点坐标分别代入，得4=7k+b3=10k+b解得k=−1∴BC的函数关系式为ℎ=−1把ℎ=0代入ℎ=−13s+∴2号机着陆点的坐标为19,0；任务三：两机距离PQ不超过2.5km，∴ℎ=5−2.5=2.5，∵OA的函数关系式为ℎ=s，∴s=2.5，∵BC的函数关系式为ℎ=−1∴2.5=−1解得：s=11.5，∴两机距离PQ不超过2.5km的时长是11.5−2.5327．（2024·浙江·模拟预测）如图，小江一家乘汽车从家出发，前往景区游玩，经2.5小时到达目的地．下面是他们离家的距离y（千米）关于汽车行驶时间x（小时）的函数图象．(1)小江家到景区的距离为__________千米；(2)出发1.5小时内，汽车行驶的速度为__________千米/时；(3)求AB段的解析式；出发2小时后，离景区还有多远？【答案】(1)170(2)60(3)他们出发2小时时，离目的地还有40千米．【分析】此题重点考查学生对一次函数的实际应用能力，利用待定系数法来确定一次函数的表达式是解题的关键．（1）根据题意求解即可；（2）根据速度=路程÷时间即可求解；（3）根据点坐标求AB段的函数解析式，将x=2代入求值即可．【详解】（1）解：由题意得小江家到景区的距离为170千米；故答案为：170；（2）解：∵当x=1.5小时时，y=90，∴汽车行驶的速度为901.5故答案为：60；（3）解：设AB段图象的函数表达式为y=kx+b，∵A1.5，90，B∴1.5k+b=902.5k+b=170，解得k=80∴y=80x−301.5≤x≤2.5当x=2时，y=80×2−30=130，∴170−130=40．故他们出发2小时时，离目的地还有40千米．28．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发，去目的地N,M，匀速而行．图中OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．

(1)求OA所在直线的表达式．(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离．【答案】(1)y=200x(2)出发后甲机器人行走103(3)P,M两地间的距离为600米【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求出BC所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；（3）列出方程即可解决．【详解】（1）∵O0,0∴OA所在直线的表达式为y=200x．（2）设BC所在直线的表达式为y=kx+b，∵B0,1000∴1000=0+b,0=10k+b,解得∴y=−100x+1000．甲、乙机器人相遇时，即200x=−100x+1000，解得x=10∴出发后甲机器人行走103（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离y=200t，则乙机器人t+1分钟后到P地，P地与M地距离y=−100t+1由200t=−100t+1+1000，得∴y=600．答：P,M两地间的距离为600米．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．29．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．

(1)求哥哥步行的速度．(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．①求图中a的值；②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．【答案】(1)v=100(2)①a=6；②能追上，理由见解析【分析】（1）结合图表可得A8,800（2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可；②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将BC和FG的解析式求出，求两个函数的交点即可．【详解】（1）解：由图可得A8,800∴v=800∴哥哥步行速度为100米/分．（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，∴妹妹所用时间t为：800÷200=4（min）．∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，∴a=8+2−4=6．②能追上．如图，根据哥哥的速度没变，可得BC,OA的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，设BC所在直线为s=100t+b1，将B17,800解得b1∴s=100t−900．∵妺妺的速度是160米/分．设FG所在直线为s=160t+b2，将F20,800解得b2∴s=160t−2400．联立方程s=100t−900s=160t−2400解得t=25s=1600∴1900−1600=300米，即追上时兄妺俩离家300米远．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键．30．（2023·浙江宁波·一模）甲开车从A地前往B地送货，同时，乙从C地出发骑车前往B地，C在A，B两地之间且距离A地15千米．甲到达B地后以相同的速度立马返回A地，在A地休息半小时后，又以相同的速度前往B地送第二批货，乙出发后4小时遇上送货的甲，乙让甲捎上自己（上下车时间忽略不计），甲载上乙后以原速前进．甲、乙两人距离B地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．(1)求甲第一次送货前往B地时，甲距离B地的路程y关于x的函数表达式．(2)问在乙距离B地多远时，甲载上了乙？(3)问乙比原计划早到多少时间？【答案】(1)y=−60x+75(2)在乙距离B地15km(3)乙比原计划早到1312【分析】（1）根据函数图象可得A、B两地间的路程为60+15=75千米，进而得出甲第一次到达B地用时，得出甲第一次送货去B地的函数图象经过(0,75)，(1.25,0)．进而待定系数法求解析式即可求解；（2）甲第二次送货的函数图象经过(3,75)，根据速度不变，设甲第二次送货的函数表达式为y=−60x+m．待定系数法求解析式，当x=4时，y=15，即可求解；（3）把y=0代入y=−60x+255，得x=174．设乙的函数表达式为y=nx+60．待定系数法求解析式得出y=−454x+60【详解】（1）由题意得，A、B两地间的路程为60+15=75千米，甲第一次到达B地用时2.5÷2=1.25小时．∴甲第一次送货去B地的函数图象经过(0,75)，(1.25,0)．设甲第一次送货去B地的函数表达式为y=kx+75，把(1.25,0)代入y=kx+75，得0=1.25k+75，解得k=−60，∴y关于x的函数表达式为y=−60x+75(0≤x≤1.25)．（2）甲第二次送货的函数图象经过(3,75)，∵甲送货的速度不变，∴设甲第二次送货的函数表达式为y=−60x+m．把(3,75)代入y=−60x+m，得75=−60×3+m，解得m=255，∴甲第二次送货的函数表达式为y=−60x+255．当x=4时，y=15，答：在乙距离B地15km（3）把y=0代入y=−60x+255，得0=−60x+255，解得x=17∵乙的图象经过点(0,60)，∴设乙的函数表达式为y=nx+60．把(4,15)代入y=nx+60，得15=4n+60，解得：n=−45∴y=−令y=0，即0=−解得x=16∴乙比原计划早到时间为163答：乙比原计划早到1312【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．31．（2023·浙江台州·一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度v1m/s以及球的速度v2m/s随时间ts的变化而变化的情况，小明在4s(1)当0<t≤4时，求v2关于t(2)求图中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．【答案】(1)v(2)8(3)7，理由见解析【分析】（1）设v2关于t的函数关系式为v2=kt+b（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为6m/s（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．【详解】（1）解：设v2关于t的函数关系式为v2=kt+bb=64k+b=2解得k=−1b=6∴v2关于t的函数关系式为v（2）解：对于球来说，v=小明前a秒的平均速度为v初+v末2由小明在4s时第一次追上球可得，3a+64−a解得a=8即图中a的值为83（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑200−16=184米，由（1）知，v2=−t+6，假设每次踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为v初=8m/ss=t−第二次踢后，则−12t2+8t=6t，tv末第三次踢后，变化规律为v2v初=10m/ss=t−第三次追上，则−12t2+10t=6t，tv末又开始下一个循环，故第四次踢球所需时间为4s故第五次踢球所需时间为8s，经过48米，故第六次踢球所需时间为4s故第七次踢球所需时间为8s，经过48米，∵16+24+48+24+48+24=184<200，16+24+48+24+48+24+48=232>200，∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，故答案为：7【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．32．（2023·浙江绍兴·三模）“五一”假期，甲乙两人沿同一条笔直的马路同时从同一小区出发到“三味书屋”参观，小区与“三味书屋”的路程是4千米，甲骑自行车，乙步行，当甲从原路回到小区时，乙刚好到达“三味书屋”，图中折线O→A→B→C和线段OD分别表示两人离小区的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据（图1）回答下列问题：

(1)直接写出甲在“三味书屋”参观的时间；(2)求图中点P（OD与BC交点）的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两人之间的距离为y千米，当40≤t≤60时，请在（图2）中画出y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象．【答案】(1)甲在“三味书屋”参观的时间为20分钟；(2)P的坐标为45 (3)见解析．【分析】（1）由函数图象可知甲在“三味书屋”参观时间为20分钟；（2）分别求出直线OD和直线BC的函数表达式，联立解方程组可得点P的坐标，得到实际意义；（3）根据特殊点的意义画出函数图象即可．【详解】（1）由图象可知，甲在“三味书屋”参观的时间为40−20=20（分钟），故答案是20分钟；（2）解：设直线OD的函数表达式为s=kt，∵直线OD过点(60,4)，∴60k=4，即k=1∴直线OD的函数表达式为s=1当甲从图书馆返回时：设直线BC的函数表达式为s＝∵B(40，∴40k1∴直线BC的解析式为s=−1∴−15解得t=45．当t=45时，s=1∴P45，答：P的坐标为45，故答案是：当经过的时间为45分钟时，甲乙两人相遇，此时距离小区的路程为3千米．（3）如图，即为y（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数图象．

【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数解析式是关键．类型五最大利润问题33．（2024·浙江温州·一模）2023年10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行．某网红店看准商机，推出了A和B两款龙舟模型．该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍．已知B模型的进价为30元/个，A模型的进价为20元/个，B模型售价为45元/个,A模型的售价为30元/个．(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少?(2)如果B模型的进价上调m元0<m<6，A模型的进价不变，但限定B模型的数量不少于A模型的数量，两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值．【答案】(1)2665元(2)2【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分0<m<5，m=5及5<m<6三种情况，找出y关于（1）设购进B模型x个，则购进A模型200−x个，根据购进B模型的数量不超过A模型数量的2倍，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润×销售数量（购进数量），可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（2）由购进B模型的数量不少于A模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分0<m<5，m=5，5<m<6三种情况，找出y关于x的函数关系式或y的值，结合【详解】（1）解：设购进B模型x个，则购进A模型200−x个，根据题意得：x≤2200−x解得：x≤400又∵x为正整数，∴x的最大值为133设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则y=45−30即y=5x+2000∵5>0∴y随x的增大而增大，∴当x=133时，y取得最大值，最大值=5×133+2000=2665．答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；（2）解：根据题意得：x≥200−x解得：x≥100又∵x≤4003，且∴100≤x≤133且x为整数．当0<m<5时，y=即y=∵5−m>0，∴y随x的增大而增大，∴当x=133时，y取得最大值，此时133（解得：m=2；当m=5时，y=即y=2000，不符合题意，舍去；当5<m<6时，y=即y=5−m∵5−m<0∴y随x的增大而减小，∴当x=100时，y取得最大值，此时100解得：m=1.01（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．34．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？素材1我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.

素材2现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子．素材3义卖时的售价如标签所示：问题解决任务1计算盒子高度求出长方体收纳盒的高度．任务2确定分配方案1若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．任务3确定分配方案2为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．【答案】任务1

10cm任务2

有四种分配方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖，④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖任务3

76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键．任务1：根据“底面长与宽之比为3:1”列方程求解；任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解；任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解．【详解】解：任务1：设长方体的高度为acm则：80−2a=3(40−2a)，解得：a=10，答：长方体的高度为10cm任务2：设x张木板制作无盖的收纳盒，则：2(100−x)>x−2(100−x)2(100−x)<2[x−2(100−x)]解得：75<x<80，∴x的整数解有：76，77，78，79，∴共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；任务3：设：m张木板制作无盖的收纳盒，则(100−m)张制作盒盖，利润为y元，由题意得：y=28×2(100−m)+5(100−m)+20×[m−(100−m)]−1500即：y=−21m+2600，∵x的整数解有：76，77，78，79，∴当m=76时，y有最大值，为：−21×76+2600=1004，答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元．35．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．(1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价；(2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；(3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为1:3，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低a元（a为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求a的值．【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为48元和40元(2)总利润的最大值为1780元(3)a=5或a=6【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键．（1）设甲坚果每盒的进价为x元，则：乙坚果每盒的进价为x−8元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；（2）设购进甲坚果的数量为m盒，总利润为w，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可；（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为n和3n，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可．【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为x元，则：乙坚果每盒的进价为x−8元，由题意，得：1920x−8解得：x=−40（舍去）或x=48，经检验：x=48是原方程的根；∴x−8=40；答：甲、乙坚果每盒的进价分别为48元和40元；（2）设购进甲坚果的数量为m盒，则购进乙坚果的数量为6000−48m40由题意，得：6000−48m40解得：m≤250∴m的最大整数解为：35，设总利润为w，则：w=68−48∴当a=35时，w有最大值：8×35+1500=1780；故总利润的最大值为1780元．（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为n和3n，由题意，得：68−48−a48解得：a<8，∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，∴68−48−an+整理，得：30−an=3600∵a,n均为正整数，∴a=5,n=144或a=6,n=150，∴a=5或a=6．36．（2023·浙江温州·模拟预测）年末将至、对于厂商来说最关心的是能否将囤积的货物进行清仓，为来年筹备更充足的资金．根据以下厂商提供的信息、请你为其在最后一个月策划一个合适的清仓方案．【素材】1.产品成本：300元件；产品标价：420元/件．2.三类方式销售情况：（1）线上销售：月销售量与售价的数据统计如下：售价（元/件）360372380390400月销售数量（件）180156140120100（2）线下直营：按标价销售，但每件赠送价值30元的礼品，月销售量最多80件；（3）直播促销：直播促销售价为350元，销售量最多可达220件．3.清仓数量：300件．(1)记线上售价为x元，月销售数量为y件，在直角坐标系中，根据线上销售统计的数据进行描点，并选择合适的函数模型表示y关于x的关系．(2)将300件产品以三类方式组合销售，设准备分配给线下直营的数量为a件，要使得销售总利润最大，请分别求出线上销售价格和直播促销的数量．【答案】(1)描点见解析，y=−2x+900(2)线上销售价格为400元，直播促销的数量为120件【分析】本题考查了一次函数解析式，画一次函数图象，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质等知．熟练掌握一次函数解析式，画一次函数图象，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质是解题的关键．（1）描点即可，设y关于x的函数关系为y=kx+b，将360，（2）由题意知，线上售数量为y件，则直播促销的数量的数量为300−a−y件，其中a≤80，300−a−y≤220，设总利润为w，依题意得，w=a420−300−30+yx−300+300−a−y350−300，整理得，w=−12y−1002+40a+20000【详解】（1）解：描点如下，设y关于x的函数关系为y=kx+b，将360，180、解得，k=−2b=900∴y=−2x+900；（2）解：由题意知，线上售数量为y件，则直播促销的数量的数量为300−a−y件，其中a≤80，300−a−y≤220，设总利润为w，依题意得，w=a420−300−30整理得，w=−1∵−12<0∴当y=100，a=80时，w最大，∴300−a−y=300−80−100=120（件），当y=100时x=400，∴线上销售价格为400元，直播促销的数量为120件．