2024年中考数学训练-十字模型综合应用（专项训练）原卷版+解析

08十字架模型综合应用（专项训练）

1.正方形ABCD中，E、F分别为A3、8C的中点，AF与。E相交于点O,则也=（）

D0

A.AB.2屈c.2D.A

3532

2.如图，正方形ABC。内有两条相交线段MN,EF,M,N,E,尸分别在边AB,CD,AD,

BC上.小明认为：若MN=EF,则MN_LEF；小亮认为：若MNLEF,则MN=EF.你

认为（）

A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对

3.如图，E、尸分别是正方形ABC。的边CD、上的点，MCE=DF,AE,8尸相交于点

O,下列结论：(1)AE=BF；(2)AE±BF；(3)AO=OE；(4)SAAOB=S四边形。EOF

C.2个D.1个

4.正方形ABC。中，E、P分别为A3、BC的中点，AF与。E相交于点O,则殁=

D0

5.如图，正方形ABC。中，BE=EF=FC,CG=2GD,8G分别交AE、Ab于M、N,下列

结论：®AF±BG；②BN=■鱼NF；③S四边形CGN/=S“3N；④典用.其中正确结论的序

3MG8

号有.

6.如图，正方形A8CZ）的边长为4,点E,尸分别是CD,8c边上的动点，且CE+CF=4,

BE和AP相交于点G,在点£、尸运动的过程中，当aAGB中某一个内角是另一个内角

的2倍时，ABCG的面积为.

7.如图，正方形ABC。中，点尸，。分别为。，边上的点，且。。=",连接BQ,

AP.求证：BQ1AP.

8.如图1,正方形A8C。中，点P为线段8c上一个动点，若线段垂直AP于点E,交

线段于CD于N,证明：AP=MN；

如图2,正方形ABC。中，点尸为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP,分

另ij交48、AP、BD、OC于点M、E、F、N.

(1)求证：EF=ME+FN；

(2)若正方形ABC。的边长为2,则线段跖的最小值=—，最大值=

9.(1)如图1,在正方形ABC。中，点E,F分别在边8C,上，AE,8尸交于点O,

ZAOF=90°.求证：BE=CF.

(2)如图2,在正方形ABCZ)中，点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,D4上，EF,

GH交于点O,ZFOH=90°,EF=4.求GH的长.

10.综合与实践：

如图，在正方形ABCO中，点E是边A8上的一个动点(点E与点A,8不重合)，连

接CE,过点B作BPLCE于点G,交A。于点?

(1)如图1,求证：4ABFq4BCE；

(2)如图2,当点E运动到中点时，连接。G,求证：DC=DG；

(3)如图3,若AB=4,连接AG,当点E在边A8上运动的过程中.AG是否存在最小

值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由.

11.如图，8。是矩形ABC。的一条对角线，EFLBD交AD于点E,交8C于点R若A8

=3,BC=4,则所的长是（

C-TD.4

08十字架模型综合应用（专项训练）

1.正方形ABC。中，E、尸分别为A3、BC的中点，AF与。£相交于点O,则殁=（）

D0

A.—B.C.—D.—

3532

【答案】D

【解答】解：根据题意，AE=BF,AD=AB,ZEAD=ZB=90°,

：.LADE<ABAF.

：.ZADE=ZBAF,ZAED=ZBFA.

VZDAO+ZFAB=90°,ZFAB+ZBFA=90°,

：.ZDAO^ZBFA,

：.ZDAO=ZAED.

：./\AOD^/\EAD.

所以地=胆=工

DOAD2

故选：D.

2.如图，正方形ABC。内有两条相交线段MN,EF,M,N,E,尸分别在边AB,CD,AD,

BC上.小明认为：若MN=EF,则MALLE尸；小亮认为：若MNLEF,则你

认为（）

A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对

【答案】B

【解答】解：解法一：若MN=EF,则必有这句话是正确的.

如图，,:EF=MN,MH=EG,

：.Rt/\MHN^Rt/\EGF(.HL),

:.NEFG=NMNH,

又,：4EFG=WELM,

：.ZNMH+ZMNH=ZNMH+ZEFG=ZNMH+ZELM=90°,

ZMOL=90°,

即MNLEF,但EF不仅仅是这一种情况，如将第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过

去，得到的EP就是反例，此时有MN=EF,但是MN与EF'肯定不垂直，因此小

明的观点是错误的；

解法二：若MNLEF,则'这句话是对的；

分别把MN和所平移，如图，

ZAMN=ZAGD=NBFE=ZDHC,

MN=GD=ADsinZAGD,

EF=HC=CD^sinZDHC,

因此MV=£K

故选：B.

3.如图，E、尸分别是正方形ABC。的边CD、A。上的点，MCE=DF,AE,8尸相交于点

O,下列结论：(1)AE=8F；(2)AEA.BF；(3)AO=OE-,(4)SAAOB=S四边形DEOF

C.2个D.1个

【答案】B

【解答】解：•••四边形ABCO为正方形,

：.AB=AD=DC,ZBAD=ZD=9Q°,

而CE=DF,

：.AF=DE,

在△ABF和中

/\ABF^/\DAE,

：.AE=BF,所以(1)正确；

，NABF=/EAD,

而/EAO+/EAB=90°,

ZABF+ZEAB^90°,

/.ZAOB=90°,

：.AE±BF,所以(2)正确；

连接BE,

■:BE>BC,

J.BA^BE,

而BO±AE,

J.OA^OE,所以(3)错误；

AABFqADAE,

SAABF=S&DAE,

S^ABF-S/^AOF=SADAE-SAAOF,

.••SAAOB=S四边形OEOF,所以(4)正确.

故选：B.

4.正方形ABC。中，E、/分另ij为48、8C的中点，A尸与DE相交于点。，则殁=

DO

【答案】工

2

【解答】解：'：AD=AB,AE=BF,ZDAE=ZB=90°；

.'.△ADE4ABAF(SAS)；

ZADE=ZOAE；

又•.•/OEA=/AED

.•.△OA£^AAD£；

.AO_AE1

"DO"AD"2'

5.如图，正方形A8CZ)中，BE=EF=FC,CG=2GD,8G分另U交AE、A/于M、N,下列

结论：®AF±BG；②BN」NF；③§2运彩CGNF=S&ABN；④网■二.其中正确结论的序

3MG8

号有.

［答案］①③④

【解答】解：过点G作GHLA8,垂足为交AE于点O,

:四边形ABCD是正方形，

.,.AD^AB^BC^CD,ZABC^ZC^ZDAB^ZZ>=90°,AD//BC,

,:BE=EF=FC,CG=2GD,

：.BF=—BC,CG=-CD,

33

：.BF=CG,

:AABF/ABCG(SAS),

NAFB=/CGB,

"：ZCGB+ZCBG=90°,

AZAFB+ZCBG=90°,

：.ZBNF=1SO°-CZAFB+ZCBG)=90°,

：.AF±BG,

故①正确；

在RtzXABF中，tan/AFB=2^=要-=旦，

BFfBC2

Z.在RtZXBNF中，tanZAFB=四=旦，

NF2

：.BN=—NF,

2

故②不正确；

,?AABF^ABCG,

S^ABF=SABCG,

S^ABF-SABNF=SABCG-S^BNF,

S四边形CGNF=S4ABN,

故③正确；

VZZ)AB=ZD=ZAHG=90°,

四边形AOGH是矩形，

：.AD=GH,DG=AH,AD//GH,

：.GH//BC,

设DG=AH=a,

:.CD=3DG=3a,

：.AB=AD=BC=3a,

：.BE=^BC=a,

3

VZAHO=ZABE=90°,ZHAO=ZBAE,

：./\AHO^/\ABE,

•AH=OH

,,而BE'

.a=0H

3aa

OH=^a,

3

：.GO=GH-OH=3a-工=露，

33

'JGH//BC,

：.ZOGM=ZGBE,ZGOM=ZOEB,

:.AGOMsABEM,

8_

a

.G0=GM=7=8

"BE而-T§，

•.•-B-M----3,

MG8

故④正确，

所以，正确结论的序号有：①③④，

故答案为：①③④.

6.如图，正方形ABC。的边长为4,点E,尸分别是CD,8c边上的动点，且CE+CF=4,

BE和Ab相交于点G,在点E、尸运动的过程中，当AAGB中某一个内角是另一个内角

的2倍时，ZXBCG的面积为

A

DEC

【答案】4或2

【解答】解：:正方形ABC。的边长为4,

ACF+BF=4.

VCE+CF=4,

・•・CE=BF.

在445尸和△BCE1中，

:•△ABFW/\BCE(SAS).

・•・NAFB=NBEC.

*：AB//CD,

：.ZABG=ZBEC.

：./ABG=/AFB.

VZABG+ZFBG=90°,

/.ZAFB+ZFBG=90°.

J.BG.LAF.

：.ZAGB=90°.

•••△AG5中某一个内角是另一个内角的2倍,

AZABG=45°或60°.

：.ZGBF=45°或30°.

过点G作GHLBC于点H,如图，

当NG3/=45°时，点尸与点C重合，

•••GH=1BC=2,

ABCG的面积=』XBCXGH=4.

2

当NGBP=30°时，

,：BG=^AB=2,

2

2

.♦.△BCG的面积=』XBCXGH=2.

2

综上，△BCG的面积为4或2.

故答案为：4或2.

7.如图，正方形A8C。中，点尸，。分别为CDAD边上的点，S.DQ=CP,连接8Q,

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD,ZBAD=ZADC=90°,

,:DQ=CP,

：.AD-DQ=CD-CP,

：.AQ=DP,

：./\ABQ^ADAPCSAS),

ZDAP=ZABQ,

VZDAP+ZBAP^90°,

ZABQ+BAP=9Q°,

C.BQLAP.

8.如图1,正方形ABC。中，点尸为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E,交

线段A2于M,C。于N,证明：AP=MN；

如图2,正方形ABC。中，点P为线段8c上一动点，若线段MN垂直平分线段AP,分

另U交AB、AP.BD、0c于点M、E、F、N.

(1)求证：EF=ME+FN；

(2)若正方形A8CD的边长为2,则线段E尸的最小值=—,最大值=.

【解答】解：(1)AP=MN,

理由如下：

如图1,

过B点作BH//MN交.CD于H,

■:BM//NH,

：.四边形MBHN为平行四边形，

,:BH=AP,

:.MN=AP

(2)如图2,连接弦，FP,FC

..•正方形ABC。是轴对称图形，尸为对角线上一点

C.FA^FC,

又：尸E垂直平分AP,

：.FA=FP,

：.FP=FC,

：.ZFPC=ZFCP,

:NFAB=NFCP,

：.ZFAB=ZFPC,

：.ZFAB+ZFPB^1SO°,

：.ZABC+ZAFP=180°,

：.ZAFP^90°,

：.FE^—AP,

2

由(1)知，AP=MN

：.MN=ME+EF+FN=AP=2EF,

:.EF=ME+FN

(3)由(2)有，EF=ME+FN,

；MN=EF+ME+NF,

:.EF=LMN,

2

VAC,80是正方形的对角线，

：.BD=242,

当点尸和点8重合时，EF最小=[MN=1A8=1,

22

当点P和C重合时，EF最大=LMN=，BD=M，

22

故答案为1,V2

9.(1)如图1,在正方形ABC。中，点、E,尸分别在边8C,C。上，AE,8尸交于点O,

ZAOF=90°.求证：BE=CF.

(2)如图2,在正方形A8CD中，点E,H,F,G分别在边A8,BC,CD,D4上，EF,

GH交于点O,ZFOH=90°,EF=4.求GH的长.

【解答】（1）证明：：正方形ABCO中，

C.AB^BC,

ZABE=ZBCF=90°,

VZAOF=90°,ZAOB=90°,

：.ZBAE+ZOBA=90°,

X•/ZFBC+ZOBA=90",

：.ZBAE=ZCBF（同角的余角相等），

AABE^ABCF（ASA）.

C.BE^CF-,

（2）解：如图，过点A作AM〃G8交BC于Af,

过点B作BN〃EF交CD于N,AM与BN交于点O',

则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，

：.EF=BN,GH=AM,

VZFOH=9Q°,AM//GH,EF//BN,

:./NO'A=90°,

故由（1）得，△ABMgZXBCN,:.AM=BN,

10.综合与实践:

如图，在正方形ABC。中，点E是边A3上的一个动点(点E与点A,B不重合)，连

接CE,过点B作BPLCE于点G,交A。于点？

(1)如图1,求证：AABF义ABCE；

(2)如图2,当点E运动到中点时，连接。G,求证：DC=DG；

(3)如图3,若AB=4,连接AG,当点E在边AB上运动的过程中.AG是否存在最小

值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：：四边形48co是正方形,

C.AB^BC,ZBAD^ZCBA^90°,

AZCEB+ZBCE=90°,

"JBFLCE,

：.ZABF+ZCEB=90°,

ZABF=ZBCE,

在AAB/和△BCE中,

:AABF妾XBCE(ASA),

(2)证明：如图2,延长CO,BF交于点H,

图2

:点E是AB的中点，

：.BE=^AB,

2

:四边形ABC。是正方形，

：.CD//AB,AD=AB=BC,ZBAD=ZCBA=90°,

：.ZCEB+ZBCE=90°,

"JBFLCE,

AZABF+ZCEB=90°，

：.ZABF=ZBCE,

又；AB=BC,ZFAB=ZEBC=90°,

/.AABF^ABCE(ASA),

：.BE=AF,

：.BE=AF=LB=L。，

22

：.AF=DF,

'：AB//CD,

：.ZABF=ZH,

在△ABE和△£>打中，

2ABF=NH

<NDFH=/AFB，

AF=DF

；.AABF丝ADHF(A4S)

：.AB=DH,

:.DH=CD，

又；BFLCE,

:.NBGH=90°,