有穷无穷递增递减数列知识点+练习题

有穷无穷递增递减数列知识点+练习题数列的分类按项数分：可以分为有穷数列和无穷数列，即如果项数是有限的那么就是有穷数列，如果项数是无限的那么就是无穷数列：

（2）按增减分：可以分为递增数列和递减数列，即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列，如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列；

（3）按项的特点分：可以分为摇摆数列和常数列，即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列，如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。有穷数列的定义：项数有限的数列叫做有穷数列；无穷数列的定义：项数无限的数列叫做无穷数列；递增数列的定义：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。递减数列的定义：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列：递增数列和递减数列通称为单调数列.

数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;

2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较an与an+1的大小关系，可以作差比较；也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用(-1)n求摆动数列的通项：在数列中，我们经常会碰到求形如：1，-1,1，-1，…，或-1,1，-1,1，…，等数列的通项，很显然，我们只要利用(-1)n进行符号的调整，就能很快求出数列的通项公式，我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。例题1.有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（

）A．3n+7

B．3n+6

C．n+3

D．n+2答案：C其中，有穷数列是（

），无穷数列是（

），递增数列是（

），递减数列是（

），常数列是（

），摆动数列是（

），周期数列是（

）。（将合理的序号填在横线上）答案：(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6)；(4)(5)；(5)例题6.下列叙述中正确的个数为（

）

①数列{an}，an=2是常数列；

②数列是摆动数列；

③数列是递增数列；

④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是递增数列；A．1

B．2

C．3

D．4答案：C例题7.已知Sk表示数列{ak}的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*），那么此数列是（

）A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．摆动数列例题8.设Sn为数列{an}的前n项和（n=1，2，3，……）。按如下方式定义数列{an}：a1=m（m∈N*），对任意k∈N*，k＞1，设ak为满足0≤ak≤k-1的整数，且k整除Sk，

（Ⅰ）当m=9时，试给出{an}的前6项；

（Ⅱ）证明：k∈N*，有；

（Ⅲ）证明：对任意的m，数列{an}必从某项起成为常数列。解：（Ⅰ）m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，

即前六项为9，1，2，0，3，3。

（Ⅱ）；

（Ⅲ）有，

由（Ⅱ）可得，

为定值且单调不增，

∴数列必将从某项起变为常数，

不妨设从l项起为常数，则，

于是，

所以，

所以{an}当n≥l+1时成为常数列。例题9*.数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。

（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；

（Ⅱ）若a1=，求证：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。（Ⅰ）解：因为数列为常数列，

所以，，

，

由n的任意性知，或。

（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明，

①当n=1时，，符合上式；

②假设当n=k（k≥1）时，，

因为，所以，即，

从而，即，

因为，

所以，当n=k+1时，成立，

由①，②知，。

（Ⅲ）证明：因为

（n≥2），

所以只要证明，

由（Ⅱ）知，，

所以只要证明，

即证明，

令，

，

所以函数f(x)在R上单调递增；

因为，

所以，，即成立，

故，所以数列单调递减。例题10*.已知An（an，bn）（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：

，n=2，3，4，…

（Ⅰ）证明数列是常数数列；

（Ⅱ）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是单调递增数列；

（Ⅲ）证明当a∈M时，弦AnAn+1（n∈N*）的斜率随n单调递增。解：（Ⅰ）当n≥2时，由已知得，

因为，…………①

于是，…………②

由②-①得，…………③

于是，…………④

由④-③得，…………⑤

所以(n≥2)是常数列。

（Ⅱ）由①有，

由③有，

而⑤表明：数列分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差数列，

所以，

数列是单调递增数列对任意的k∈N*成立

，

即所求a的取