专题4.11 相交线与平行线（几何模型1）（知识讲解）-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题4.11相交线与平行线（几何模型1）（知识讲解）几何模型1：M型模型（也称“猪蹄模型”）图一几何模型2：铅笔头模型图二几何模型3：鸡翅模型图三几何模型4：折鸡翅模型图四几何模型5：多个M型模型证明思路参考几何模型1几何模型6：多个铅笔头模型证明思路参考几何模型2类型一、M型模型 1（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，设，那么，，的关系式______．【答案】【分析】过作，过作，根据平行线的性质可知，然后根据平行线的性质即可求解；解：如图，过作，过作，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；举一反三：【变式1】（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，，则____________________．【答案】【分析】过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．解：过点做的平行线，又又.故答案为：．【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．【变式2】（2019·辽宁大连市·七年级期末）阅读材料：如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.请按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.【答案】阅读材料：，见解析；拓展延伸：.【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC=∠FCH=120°-，即可得.解：【阅读材料】作，，（如图1）.∵，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴，.∴.∵，∴.【拓展延伸】结论：.理由：如图，作，过H点作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=，由（1）得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+，∴∠FCH==180°-()-(20°+)=120°-∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-即：.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．类型二、铅笔头型模型2（2020·山东聊城市·七年级期末）直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝°．（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．【答案】（1）50；（2）∠α＝∠1+∠2，证明见解析；（3）不成立．理由见解析．【分析】（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；（2）由题意过P作PG∥AB，则PG∥AB∥CD，利用平行线的性质即可求解；（3）根据题意过P作PH∥AB，则PH∥AB∥CD，利用平行线的性质进行分析即可求解．解：（1）∵AB∥CD，∠α＝50°∴∠2＝∠α＝50°，故答案为：50；（2）∠α＝∠1+∠2．证明：过P作PG∥AB，∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，∴∠α＝∠1+∠2；（3）不成立．理由：过P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，∴∠α＝∠2﹣∠1，故不成立．【点拨】本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；

（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．证明：（1）过E作EH∥AB（如图②）．

∵原四边形是长方形，

∴AB∥CD，

又∵EH∥AB，

∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．

∵EH∥AB，

∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵CD∥EH，

∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

又∵∠1+∠2=∠AEC，

∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；

（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．

故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【点拨】题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．举一反三：【变式2】（2020·湖北随州市·七年级期末）已知，点，分别在直线，上，点在直线与之间，．（1）如图1，求证：．阅读并补齐下列推理过程过点作，因为，所以_____（______________）所以，（_______________________）所以．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会．（2）如图2，点，在直线上，，平分，求证：．（3）在（2）的条件下，过点作平分，请直接写出使时，与之间应具备的关系．【答案】（1），平行于同一条直线的两条直线平行，两条直线平行内错角相等；（2）见解析；（3）【分析】（1）添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质进行角的等量代换；（2）与（1）同理，通过添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质、角平分线的定义进行角的等量代换；（3）在（2）的条件下，根据已有的数量关系，加上平行线得到的内错角相等进行等量代换即可．解：（1），平行于同一条直线的两条直线平行，两条直线平行内错角相等；（2）过点作，，，，由（1）知，，又，，，