专题1.1 分式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题1.1分式（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】分式的概念一般地，用表示两个整式，就可以表示成的形式，如果中含有字母，式子就叫做分式.其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母.【知识点2】分式有意义、无意义的条件分式有意义的条件：分式的分母不等于；分式无意义的条件：分式的分母等于.【知识点3】分式值为零的条件：当分式的分子等于且分母不等于时，分式的值为.【知识点4】分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。【知识点5】与分式的基本性质和分式运算的相关概念（1）最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.（2）约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（3）通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．【知识点6】分式的运算法则【知识点7】分式的混合运算有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。【知识点8】分式方程的基本概念定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。【知识点9】分式方程的解法1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。【知识点10】分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种；（3）找出题目中的等量关系，写出等式；（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；（5）解方程。求出未知数的值；（6）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。【考点一】分式的基本性质➼➸分式有意义、无意义、分式的值为0【例1】（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）已知关于的分式，求下列问题：（1）当满足什么条件，分式无意义；（2）当满足什么条件，分式有意义；（3）当满足什么条件，分式的值等于0．【答案】（1）或；（2）且；（3）【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可；（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可；（3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可．（1）解：由题可得，解得：或，∴当或时，分式无意义；（2）解：由题可得，解得：且，∴当且时，分式有意义；（3）解：由题可得，解得，∴当时，分式的值等于0．【点拨】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·浙江·七年级专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．为任何实数时，分式总有意义B．当时，分式的值为0C．和的最简公分母是D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变【答案】D【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可．解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意；C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意；D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意；故选D．【点拨】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）分式有意义的条件是．【答案】且【分析】根据分式有意义的条件，“分母不为0”，可得，求解即可．解：由题意可得：解得且故答案为：且【点拨】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．【考点二】整数指数幂➼➸同底数幂的除法、零（负）指数幂、运算法则【例2】计算：（1）；（2）（2）已知，，求：的值．【答案】(1)；(2)；(3)27【分析】（1）先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可；（2）先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可；（3）先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出，，再由进行求解即可．（1）解：原式（2）解：原式（3）解：∵，，；；∴，，∴，，∴，即，∴．【点拨】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，幂的乘方，幂的乘方的逆运算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．【举一反三】【变式1】计算：（1）；（2）【答案】(1)2；(2)【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．（1）解：（2）解：；．【点拨】本题考查了整式的混合运算，同底数密幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式2】（1）计算：；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解；（2）根据单项式的乘除法则进行计算即可求解．（1）解：（2）解：．【点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式的乘除法熟练掌握以上运算法则是解题的关键．【考点三】与分式运算相关概念➼➸最简分式、约分、通分、最简公分母【例3】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期末）下列各分式中是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意；B、是最简分式，符合题意；C、，故原式不是最简分式，不符合题意；D、，故原式不是最简分式，不符合题意；故选B．【点拨】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．【举一反三】【变式】（2022秋·八年级课时练习）把分式化为最简分式为．【答案】【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式．解：故答案为：【点拨】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键．【例4】（2023春·江苏·八年级专题练习）分式可化简为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解．解：故先：A．【点拨】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分．【举一反三】【变式】（2023春·浙江·七年级专题练习）利用分式的基本性质填空：．【答案】【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可．解：∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【例5】（2023春·全国·七年级专题练习）的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．解：的最简公分母为：．故选：D．【点拨】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．【举一反三】【变式】（2023春·江苏·八年级专题练习）分式，，的最简公分母是【答案】ab（a+b）（a-2b）【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案．解：分式，，的分母依次为：，，故最简公分母是ab（a+b）（a-2b）故答案为：ab（a+b）（a-2b）【点拨】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）对分式通分后，的结果是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．解：∵a2-b2=（a+b）（a-b），∴分式的最简公分母是，∴通分后，=．故选：B．【点拨】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．【举一反三】【变式】（2023春·七年级单元测试）已知对于成立，则A=,B=．【答案】52【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果.解：∵，∴，∴，即，∴，解得.【点拨】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键.【考点三】分式的运算➼➸分式的乘除法【例7】（2021秋·广东广州·八年级广州市第三中学校考阶段练习）已知．（1）化简．（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）原式把除法转换为乘法后，再进行约分即可；（2）先根据得到，再代入中，求值即可．解：（1）；（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了分式的乘除运算以及分式的化简求值，正确把分子与分母因式分解是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·浙江·七年级专题练习）计算的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案．解：原式，故选：D．【点拨】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键．【变式2】（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：

则第4次运算的结果．【答案】【分析】根据题干中的程序图分别计算出，，，找到规律，可以得到．解：，，，观察上式可得：，，故答案为：．【点拨】本题考查了找规律-数字的变化类，分式的运算，根据程序图计算找到规律是解题的关键．【考点四】分式的运算➼➸分式的加减法【例8】（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）化简：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可；（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．解：（1）；（2）．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·天津·模拟预测）计算的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案．解：原式．故选：A．【点拨】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．【变式2】（2023·上海·七年级假期作业）计算：．【答案】【分析】根据分式的运算求解即可．解：原式．故答案为：．【点拨】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．【考点五】分式的运算➼➸分式的混合运算➼➸化简求值【例9】（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）化简：．【答案】【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得答案．解：．【点拨】本题考查的是分式的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·河北保定·八年级校考期末）计算：的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式加减及乘除的运算法则计算即可．解：原式．故选：B．【点拨】本题主要考查分式的运算，牢记分式加减及乘除的运算法则是解题的关键．【变式2】（2022春·四川成都·八年级校考期中）化简：．【答案】【分析】先对括号的分式进行通分，再进行分式的除法运算，即可求解．解：，故答案为：．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则和因式分解是解题关键．【例10】（2020·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：，其中a=2．【答案】，1．【分析】先将分式进行化简，再把a的值代入化简的结果中求值即可．解：当a=2时，原式．【点拨】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．【举一反三】【变式1】（2022·湖北黄石·统考中考真题）先化简，再求值：，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值．【答案】；【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．解：∵且，∴且，∴，当时，原式．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．【变式2】（2022·湖南郴州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．【答案】ab，4【分析】把分母分解为，利用通分进行括号里分式的计算，再用分式的除法法则进行计算，最后代入求值；解：原式．当，时，原式．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题关键用平方差公式进行因式分解，按照运算法则进行计算．【考点六】分式的方程相关概念运算➼➸增根、无解【例11】（2023春·全国·八年级专题练习）关于x的分式方程（1）若方程的增根为，求m的值；（2）若方程有增根，求m的值；（3）若方程无解，求m的值.【答案】（1）；（2）或；（3）1或或【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.解：（1）∵，去分母得：，移项并合并同类项，得：，当方程的增根为时，，∴；（2）当方程有增根时，方程的增根为或，当时，，当时，，解得：，∴或；（3）∵当方程无增根，且时，方程无解，∴得，当方程有增根，且时，，方程无解，当方程有增根，且时，，方程无解，∴当或或时，方程无解．【点拨】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.【举一反三】【变式1】（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程有增根，则a=．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a的值即可．解：，去分母得：x−a＝3-x，由分式方程有增根，得到x−3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3−a＝3-3，解得：a＝3．故答案为：3．【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】（2018·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为．【答案】-1或5或【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.解：去分母得：，可得：，当时，一元一次方程无解，此时，当时，则，解得：或.故答案为：或或.【点拨】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.【考点七】分式方程➼➸解分式方程【例12】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）解方程：（1） （2）．【答案】（1）；（2）无解【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可．（1）解：，去分母得：，去括号得：，移项合并得：，解得：，经检验是分式方程的解；（2）解：，去分母得：，去括号得：，移项合并得：，解得：，经检验x=2是增根，故原方程无解．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）解方程：（1） （2）【答案】（1）；（2）无解．【分析】分式方程去分母即可转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验后即可得到分式方程的解．解：（1）方程两边同时乘以得：，解得：，检验：当时，所以分式方程的解为；（2）方程两边同时乘以得：，解得：，检验：当时，所以原分式方程无解．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：（1） （2）【答案】（1）；（2）无解【分析】将两个分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）解：在方程两边乘以，得：，解得：，检验：当时，，∴是分式方程的解．（2），在方程两边乘以，得：，解得：，检验：当时，，∴是分式方程的增根，∴分式方程无解．【点拨】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．【考点八】分式方程➼➸分式方程的应用【例12】（2022秋·湖南邵阳·八年级校联考期中）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．解：（1）设乙队单独完成需x天．根据题意，得：．解这个方程得：x=90．经检验，x=90是原方程的解．∴乙队单独完成需90天．（2）设甲、乙合作完成需y天，则有，解得，y=36；①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．②乙单独完成超过计划天数不符题意，③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【点拨】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到