2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（泰州卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试（泰州卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.-2023的相反数是（）

A.-2023B.2023C.」一

20232023

【答案】B

【解析】解：-2023的相反数是2023.故选：B.

2.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意即把一长方体沿对角面一分为二，

这相同的两块叫做“堑堵”.如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）

B.

【答案】C

【解析】解：由题意得：它的左视图为一个三角形，如图:

故选：C.

3.张明在对一组数据“6.,15,28,63,39,28”进行分析时，发现第一个两位数的个位数字被墨水弄脏

看不到了，此时统计结果不受影响的统计量是（）

A.方差B.众数C.平均数D.中位数

【答案】D

【解析】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为28与39的平

均数，与被涂污数字无关.

故选：D.

4.如图，直线4〃心直角三角形如图放置，/DCB=90°,若4=118。，则N2的度数为（）

【答案】A

【解析】解：如图,

a//b,ZDCB=90°,Zl=118°,

:.ZBCE=ZL=118°,

N2=NBCE-ZDCB=28°,

故选：A.

5.下列命题正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形D.菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半

【答案】D

【解析】A、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；

B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；

C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意;

D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意;

故选：D

6.如图，O的半径为2,弦垂直直径于点E,且E是。4的中点，点P从点E出发（点尸与点E

不重合），沿EfD-3的路线运动，设AP=x,sinNAPC=y,那么y与尤之间的关系图象大致是（）

【答案】C

【解析】解：连接O2AO,如图,

•.•弦8垂直直径于点E,且E是Q4的中点，OA=2,

：.AE=OE=^OA=l,AD=OD=2,

又AP=x,

AF1

・・・当点尸在线段即时，y=sinZAPC=--=-,

PAx

・,•当1<%<2时，函数图形是反比例函数，

当点尸在5。上时，/APC是定值，y是定值,

故选：C.

第n卷

二、填空题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

7.分解因式：-3(?%+94?%=.

【答案】-3ab(a-3bc)

【解析】解：-hc^b+9akrc=-3ab^a-3bc)-

故答案为：-3必(a-3bc)

8.国家铁路集团有限公司(简称“国铁集团”)最新数据显示，11月份，国家铁路发送煤炭L78亿吨.“1.78

亿”用科学记数法表示为.

【答案】1.78x10s

【解析】解：将L78亿用科学记数法表示为：1.78x108.

故答案为：1.78x10s.

9.物理课上我们学习过凸透镜成像规律.如图，蜡烛AB的高为15cm,蜡烛AB与凸透镜的距离BE为32cm,

蜡烛的像与凸透镜的距离DE为8cm,则像8的高为cm.

【答案吟

【解析】解：Q.ABLBD,CD±BD,

:.AB//CD,

/.ZABE=ZCDE,ZBAE=ZCDE,

..AABEsLCDE,

ABBE

~CD~~DE

AB的高为15cm,BE为32cm,DE为8cm,

1532/.CD=£(cm),

cn-T

故答案为：J.

10.已知圆锥展开图的圆心角为216。，母线长为5,则该圆锥的体积为

【答案】121

【解析】解：如图：设该圆锥的底面半径为广,

圆锥的高为：,52—32=4,

根据圆锥的体积公式V=

得到该圆锥的体积为：1^X32X4=12^,

故答案为：12*

11.一只蜘蛛爬到如图所示的一块瓷砖上，并随机停留在某一位置上，则它停留在阴影区域上的概率是

【解析】解：设一块瓷砖的面积为。，

则S阴影=3。,

则它停留在阴影区域上的概率是尸=m皿=卫=1,

9a9a3

故答案为：—.

12.如图，C4平分N5CD,BC=CD,DA的延长线交5c于点区若NE4c=50。，则24七的度数为

D

【答案】80。/80度

【解析】解：C4平分ZDC3,

ZBCA=ZDCA,

又.CB=CD,AC=AC,

ABC^,ADC（SAS）,

:.ZB=ZD,

:.ZD+ZACD^ZB+ZACB=ZCAE^50°,

../BAE=180。一4一ZAC3—NC4E=80°,

故答案为：80°.

13.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度6=4cm,则螺帽边长。=

【解析】解：如图：连接AC,过点2作3DLAC于。,

ZBCD=ZBAC=3O°,

由AC=6=4,则A£)=C£)=Lb=2,

2

•.•在RtZkAB£>中，SID=30°,

/.BD=-AB=-a,

22

故答案为g相.

14.在《代数学》中记载了求方程d+8x=33正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为V的正方形,

再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为33+16=49,则该方程的

正数解x=M-2x2=3,小明尝试用此方法解关于尤的方程尤z+10x+c=0时，构造出如图②所示的正方

形.已知图②中阴影部分的面积和为55,则该方程的正数解为

【答案】4君-5/-5+4石

【解析】如图2所示:

图22

先构造一个面积为尤2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为gx的矩形，得到大正方形的面

2

积为55+gjx4=80,则该方程的正数解为屈-gx2=4君-5.

故答案为：475-5

15.平面直角坐标系中，在x轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y轴的交点的距离之和最小的点,

称为这条抛物线与X轴的“亲密点”，那么抛物线y=2/+4x+5与无轴的“亲密点”的坐标是.

【答案】||，。］

【解析】解：y=2x2+4x+5=2(x+l)2+3,

抛物线开口向上，顶点P为(-1,3),

•••顶点关于x轴的对称点Q为(-1,-3),

当x=0时，y=5,

••・抛物线与y轴的交点”为(。,5),

设直线MQ的解析式为y=kx+5,

代入(—1,—3)得，—3=-左+5,

解得人=8，

直线MQ的解析式为y=8x+5,

令y=0,贝"=

O

抛物线y=2/+4x+5与x轴的“亲密点”的坐标是［-±0),

BC=5,点N是边BC上一点,且BN=1,将矩形ABC。绕A顺时针

旋转a(0°<a<180°),得到矩形屿心,点2的对应点是点E,点C的对应点是点尸，点。的对应点是点

G,连接C/.点〃是C尸的中点，连接MV,在旋转过程中，线段初V的最大值为

【答案】逑+且

22

【解析】连接AC,50交于点0,连接OM,AF,过点。作OTLAC于点T,连接QV,

ABCD是矩形，

：.OB=OC=OA=OD,

•・,点M是的中点，

・•・OM是△ACF的中位线，

OM=-AF=-AC=OC,

22

・••点M在以。为圆心，以0C为半径的圆上运动,

,•*AF=AC=yjAB2^-BC2=732+52^734,

：.MO=-y/34f

2

VOTVAC,AB1BC,

：.OT//AB,

:..CTOsCBA

.TOCOCT_1

**AC-CB-2

1315

：.TO=-AB=-CT=-BC=~,

222f2

BN=\,

：.TN=-3

2

在RtTON中,ON=y/TO2+TN2=述

2

.••线段肱V的最大值为逑+亘

22

故答案为：量1+五.

22

三、解答题（本大题共10个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

(-1)2014-(^-3)°；

17.(1)计算:I+

Y4

⑵解方程:U=—T

2014

【解析】（1）I+(-1)-(^-3)°

=-+1-1,

2

2

(2)—=---1

x-22-x

原方程去分母得：x=T-（%-2）

去括号得：x=—4—x+2,

移项，合并同类项得：2x=-2,

系数化为1得：x=-l,

检验：将x=-1代入（x-2）得-1-2/0,

故原方程的解为：尸-1

18.2023年11月24日，第十届【媒眼看国茶】论坛：文明互鉴，“一带一路”共筑茶缘在中国举行.为了

解A、8两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下

试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用尤表示，共分为三个等

级：合格50Vx<55,良好55Wx<6。，优秀xN60）,下面给出了部分信息：

10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50,54,55,55,55,57,57,58,59,60.

10亩2型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57,57,57,59.

抽取的A、8型铁观音亩产量统计表

型号AB

平均数5656

中位数56b

众数a57

方差7.415.8

“优秀”等级所占百分比10%20%

B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

⑴填空：a=,b=,m=

（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶3000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少

亩？

【解析】（1）在50,54,55,55,55,57,57,58,59,60中，出现次数最多的是55,

...众数。=55，

3型中“良好，，等级有4个，占40%,“优秀”等级所占百分比为20%,

二.“合格”等级占1-40%-20%=40%,即〃z=40,

把B型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57,

故答案为：55,57,40；

（2）B款茶叶更好，

理由：因为B款茶叶的中位数和众数都大于A款茶叶的，所以B款茶叶更好（答案不唯一）；

（3）3000x（40%+40%）=2400（亩），

答：估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有2400亩.

19.为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论

语；D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.

（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为，是事件（填

“随机”或“不可能”或“必然”）？

⑵小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，

且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的

方法进行说明.

【解析】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中"三字经''的情况只有

1种，

是随机事件；

4

故答案为：—,随机；

4

（2）画出树状图如图：

开始

BCDACDABDABC

由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种,

20.如图，A3是<。的直径，点C在,。上，且AC=8,BC=6.

（1）尺规作图：过点。作AC的垂线，垂足为E,交劣弧AC于点连接C£>（保留作图痕迹，不写作法）;

⑵在（1）所作的图形中，分别求OE和8的长.

【解析】（1）解：分别A、C以为圆心，大于!AC的长为半径画弧交于点尸，连接纱，与圆的交点即为£）,

2

则。D即为AC的垂线，连接CD,如图即为所求;

(2)由(1)可知，ODLAC,则AE=CE=；AC=4,即点E为AC的中点，

OA=OB,

.••0E为"1SC的中位线，

OE=-BC=3,

2

；AB是一一。的直径，

Z4CB=90°,

由勾股定理可得：AB=YIAC2+BC2=10-

OD=OB=^AB=5,贝！]r)E=Or)-OE=2,

由勾股定理可得：CD=yjDE2+CE2=2而.

21.乐乐超市为了元旦促销，印制一批宣传册.该宣传册每本共10页，由A,8两种彩页构成.已知A种

彩页制版费为3元/张，B种彩页制版费为2元/张，共计24元(注：彩页制版费与印数无关).

(1)每本宣传册A,8两种彩页各有多少张？

(2)据了解，A种彩页印刷费为0.5元/张，8种彩页印刷费为0.3元/张，这批宣传册的制版费与印刷费的和不

超过594元.如果按到超市的顾客人手一册发放宣传册，那么最多能发多少位顾客？

【解析】(1)解：设每本宣传册中A种彩页有x页，8种彩页有y页，

.[x+y=lQ

••13x+2y=24‘

fx=4

解得，4,

[y=6

.••每本宣传册中A种彩页有4张，B种彩页有6张；

(2)解：设可以发加位顾客，

4x0.5m+6x0.3m+24<594,

解得，m<150,

•••最多可以发150位顾客.

22.金秋十一月，阳光大草坪ABCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图.经勘测，入口B在

入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东60。方向400m处，入口。在入

口A的北偏西45°方向1000m处.（参考数据0。。1.73）

北

（2）小明从入口。处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的500m处.小明可以选择鹅卵石步道

①D-C-B-M,步行速度为50m/min,也可以选择人工步道②£）-A-M,步行速度为60m/min,请计算

说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到O.lmin）

【解析】（1）过点。作DEIAB于点E,过点C作CFLDE于点产，

北

在RtACDF中，CP=CD.sin60°=400x^-=200如«346,

2

.-.BE=346,

在RtAADE中，AE=AD-cos45°=1000x^1=50072a705，

2

AB=AE+BE=1051m.

AB的长度为1051m.

(2)由(1)知，AB=1051,

BM=500,

:.AM=AB-BM^551,

在Rt^ADE中，DE=AE=705,

在RtACDF中，DF=CDcos60°=400x1=200,

2

EF=BC=DE-DF=505.

鹅卵石步道的路程为OC+C3+即/=400+505+500=1405,

所需时间为1405+50=28.1(min).

人工步道的路程为ZM+AM=1000+551=1551,

所需时间为1551+60=25.85a25.9(min).

28.1>25.9,

他选择人工步道时间更快.

23.如图，过正方形45co顶点8,C的。与AD相切于点E,与8相交于点片连接所.

(1)求证：EF平分NBFD.

(2)若〒=二，DF=后,求EF的长.

nC4

【解析】(1)证明：如图，连接0E,

。与AD相切于点E,

.-.OE1.AD,即NOE4=90°,

四边形ABCQ是正方形,

.\ZD=9Q°=ZOEA,

:.OE//CD,

;./OEF=/EFD,

OE=OF,

:.Z.OEF=Z.OFE,

.\ZOFE=ZEFD,

，EF平分NBFD.

四边形A3CD是正方形，

：.AD=CD=BC9ZC=ZD=90°,ABCD,

•是。的直径，

:.OF=OB,

由(1)已证：OECD,

:.AB//OE//CD,

DEOF

=----=1，

~AEOB

AE：=DE=-AD,

2

FC_3

~BC~4f

.,・设厂C=3x,贝ijAD=CD=5C=4%,

DF=CD-FC=X=E

:.DE=-AD=-CD=2x=245f

22

则在RtZXO毋中，EF=yjDE2+DF2=5-

24.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线产r+〃与双曲线丫='(加力0)交于48两点，与y轴交于点C,

X

与X轴交于点O,其中点A的坐标为(1,3).

(1)求双曲线和直线AB的表达式；

(2)将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线A®的解析式;

(3)在>轴上是否存在点P使得NAPD=45。？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)解：把A(L3)代入y=:得〃=3,

则双曲线的表达式是1=3,

X

把A(l,3)代入y=-x+〃得—1+6=3,

解得6=4,

则直线AB的表达式是y=r+4：

(2)解：将直线向下平移“(">0)个单位长度得直线解析式为〉=-尤+4-〃，

•..直线48向下平移”(〃>0)个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，

3

一=-x+4-〃，

x

整理得炉+(，-4卜+3=0,

A=(«-4)2-4X1X3=0,

解得〃=4+2省或〃=4-2指,

二直线的解析式为y=-x-20或y=-尤+；

(3)解:存在，

过点A作A"_Lx轴于点M,

•.•点A的坐标为（1,3）,

直线AB的表达式是y=-x+4,

令y=0,则0=一％+4,

解得x=4,

D（4,0）,

：.AM=DM=3,

是等腰直角三角形，

以M为圆心，为半径作（/，与》轴交于点尸，连接MP,

ZAPD=-ZAMD=45°,

2

设P（0,P）,

MP=出+p2=3,

P=+2y/2,

.♦.点尸的坐标为（。，2夜）或（0,-2收）.

25.如图，抛物线y=；（x+2）（尤-a）（其中。＞1）与无轴交于A、B两点,交y轴于点C.

⑴求/OBC的度数和线段A3的长（用。表示）：

⑵若点D为，ABC的外心，且二ACD与.3CO的周长之比为亚:4,求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y=；（x+2）（尤-a）上是否存在一点P,使得/CBP=/ZMB?若存在，求

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）解：在_y=；（x+2）（x-q）中，当y=0,即，x+2）（x—a）=0,解得x=-2或无=。，

5（a,0）,A（-2,0）,

AB=a—（-2）=a+2

在〉=；（X+2）（%—。）中，当％=0时，得至ljy=一。，

C（0,—a）,

/.OB=OC=a,

ZBOC=90°,

/.ZOBC=45°.

（2）解：由（1）知NO5C=45?,

・点。是ABC的外心，

ZADC=2ZOBC=90°,DA=DC,

：.ZADC=NBOC=90?,—=—，

CDCO

:.ADAC^AOBC,

•.,.ACE）与BCO的周长之比为M：4,

ACM

----=------,

BC4

.Vio

——=—，

yjla4

解得a=4或。=-4(舍去)，

，抛物线的解析式为^=1(X+2)(X-4)=|X2-X-4.

(3)解：如图3-1,作点C关于直线元=1的对称点C',连接5C',过点C'作C'HLv轴于H,

由(2)得C(0,-4),3(4,0),抛物线对称轴为直线无=一装T=l,

X2

AC(2,-4),且点C在抛物线上，

OC=HC'=4,OH=2,

：.OA=BH=2,

又,/ZAOC=ZBHC=90?,

AAO&ABHC(SAS),

:"CAB=NC'BA,

NZMC=/O3C=45。，

:.ZDAB=ZCBC,

点C就是所求的点P,

.■,P(2,-4).

如图3-2所示，作点P关于直线BC的对称点E,则/E3C=/PBC=miB,作直线AE交抛物线于P，

图3-2

由对称性质可知，ZBCE=/BCP,CE=CP,

•：C（0,-4）,P（2,-4）,

CP_Ly轴，即NOCP=90?,CE=CP=2,

,/ZOCB=ZOBC=45?,

：.ZBCP=45°,

:.ZPCE=2ZPCB=90°,

•・•点E在y轴上,

OE=OC—CE=2,

.'.£（0,-2）,

B（4,0）,E（0,-2）,

直线BE的解析式为y=gx-2,

x=-l

x=4-

，解得y=。或5

y=——

2

综上所述，满足条件的点P的坐标为(2,Y)或12,-：

26.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运

用由“特殊到一般”的思想进行了探究:

I1问题背景U如图1,正方形ABCD中，点E为43边上一点，连接DE,过点E作交BC边于点尸，

将AADE沿直线OE折叠后，点A落在点A，处，当/BEF=25°,则4E4=

I1特例探究U如图2,连接OR,当点A恰好落在DF上时，求证：AE=2A'F.

(深入探究』如图3,若把正方形A3CD改成矩形A3CD,且AD=〃AB,其他条件不变，他们发现AE与AF

之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A'P之间的数量关系式.

K拓展探究X如图4,若把正方形ABCO改成菱形A3CO,且NB=60。，ZDEF=120°,其他条件不变，当

AE=2痣时，请直接写出A尸的长.

图4

【解析】K问题背景』解：EFLDE,/BEF=25。，

:.ZAED=65°,

将VADE沿直线OE折叠后，点A落在点A，处,

ZAED=ZAED=65°,

:.ZFEA!=25°,

故答案为:25；

K特例探究】证明：；将VADE沿直线DE折叠后，当点A恰好落在。尸上时,

:.AE=AE,ZA=ZDAE=90°,ZAED=ZDEA,

:.ZB=ZEA：F=9Q°,

ZAED+ZBEF=90°=ZDEA+ZFE4,,

:.ZBEF=ZFEA,

又'EF=EF,

：.BEFNA'EF(AAS),

.-.BE=AE=AE,AF=BF,

:.AE=-AD,