2023届广西柳州市新高三摸底考试数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西柳州市2023届新高三摸底考试数学试题（文）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，所以.故选：B.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.3.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.－1 B. C.－2 D.1〖答案〗A〖解析〗故选：A.4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%〖答案〗B〖解析〗这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误．故选：B．5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以；因为，所以，，，而，所以，即.故选：A.7.若，则＝（）A.－ B. C.－ D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，所以.故选：C.8.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2 B.－3 C.－2 D.0〖答案〗C〖解析〗根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数，即，则求直线在轴截距的最小值结合图像可得在点处取到最小值故选：C．9.已知直线与圆相交于A，B两点，且，则k＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：B.10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9 B.7 C.11 D.3〖答案〗C〖解析〗因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以最小值为11.故选：C.11.已知是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为是定义在R上的奇函数,所以;函数关于点对称.当时：；当时：;所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以当时，解得;当时，解得;当时，解得;综上所述：不等式的解集故选：D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.记等差数列的前n项和为，若，则___．〖答案〗33〖解析〗等差数列中，，由得，则公差，首项，所以.故〖答案〗为：3314.若函数，则在点处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗由函数，得，，则，故，所以在点处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.15.已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为________．〖答案〗1〖解析〗因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，所以.所以，所以（当且仅当时等号成立）.所以.即的最小值为1.故〖答案〗为：116.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．〖答案〗①③〖解析〗易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故〖答案〗为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将〖答案〗写在〖答案〗卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．解：（1）由已知及正弦定理知：．因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则（2）由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC面积．18.已知数列满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和公式.解：（1）由可得,即所以是一个以2为首项，以2为公比的等比数列所以,所以（2）19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635．解：（1）根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得，，所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）记至少1人对冰球有兴趣为事件D记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取2人，有，共10个结果，其中2人对冰球都有兴趣的有，共3个结果，1人对冰球有兴趣的有，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，所以所求事件的概率．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．（1）证明：连接OB，如图，∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴，又∵，∴≌≌，∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，在中，，．设点C到平面POM的距离为d，由，解得，∴点C到平面POM的距离为．21.已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．（2）证明：．（1）解：由题意可知对于二次函数．当时，恒成立，f(x)在上单调递减；当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，当，f(x)在单调递增；当，f(x)在和单调递减综上：当时，f(x)在（0，＋∞）单调递减当时f(x)在单调递增；单调递减．（2）证明：要证，即证．（方法一）设，则，在（0，＋∞）上为增函数，因为，所以在（，1）上存在唯一的零点m，且，即．所以h(x)在（0，m）上单调递减，在上单调递增，所以，．因，所以等号不成立，所，所以，从而原不等式得证（方法二）不妨设，则，当时，，当时，，因此恒成立，．则恒成立，．则恒成立，即．又，所以等号不成立，即，从而不等式得证22.已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．（1）解：Q（x，y），由题意，得，当时，，平方可得，当时，，平方可得，由可知，不合题意，舍去.综上可得，所以Q轨迹方程C为．（2）证明：不妨设，因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以轴．要使，只需．设直线m的方程为，代入并整理，得．首先，，解得或．其次，设，则，，故.此时直线m的斜率的取值范围为.广西柳州市2023届新高三摸底考试数学试题（文）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，即，所以.故选：B.2.设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.3.已知向量，的夹角为，且，，则（）A.－1 B. C.－2 D.1〖答案〗A〖解析〗故选：A.4.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A.这五个社团的总人数为100B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C.这五个社团总人数占该校学生人数的8%D.从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%〖答案〗B〖解析〗这五个社团的总人数为，．A错误，C错误．因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误．故选：B．5.执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以；因为，所以，，，而，所以，即.故选：A.7.若，则＝（）A.－ B. C.－ D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，所以.故选：C.8.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2 B.－3 C.－2 D.0〖答案〗C〖解析〗根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数，即，则求直线在轴截距的最小值结合图像可得在点处取到最小值故选：C．9.已知直线与圆相交于A，B两点，且，则k＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：B.10.若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（）A.9 B.7 C.11 D.3〖答案〗C〖解析〗因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以最小值为11.故选：C.11.已知是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为是定义在R上的奇函数,所以;函数关于点对称.当时：；当时：;所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以当时，解得;当时，解得;当时，解得;综上所述：不等式的解集故选：D.12.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.记等差数列的前n项和为，若，则___．〖答案〗33〖解析〗等差数列中，，由得，则公差，首项，所以.故〖答案〗为：3314.若函数，则在点处的切线方程为______．〖答案〗〖解析〗由函数，得，，则，故，所以在点处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.15.已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，则的最小值为________．〖答案〗1〖解析〗因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，所以.所以，所以（当且仅当时等号成立）.所以.即的最小值为1.故〖答案〗为：116.在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．〖答案〗①③〖解析〗易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故〖答案〗为：①③三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将〖答案〗写在〖答案〗卡相应题号的空白处）17.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积．解：（1）由已知及正弦定理知：．因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则（2）由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC面积．18.已知数列满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和公式.解：（1）由可得,即所以是一个以2为首项，以2为公比的等比数列所以,所以（2）19.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男110女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至少有1人对冰球有兴趣的概率．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635．解：（1）根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男9020110女603090合计15050200根据列联表中的数据，得，，所以有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）记至少1人对冰球有兴趣为事件D记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取2人，有，共10个结果，其中2人对冰球都有兴趣的有，共3个结果，1人对冰球有兴趣的有，共6个结果，则至少1人对冰球有兴趣的有9个结果，所以所求事件的概率．20.如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平