2023届江苏省扬州市高三考前调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市2023届高三考前调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，、、，且，故.故选：B.2.已知空间中不过同一点的三条直线，则“两两相交”是“共面”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以“，，在同一平面”成立，则“，，两两相交”不一定成立；而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．故“，，两两相交”是“，，共面”的充分不必要条件，故选：A.3.以点为对称中心的函数是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A选项，对称中心为，故不选A；对于B选项，对称中心为，故不选B;对于C选项，对称中心为，故C选项正确；对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.故选：C4.某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，共种走法，若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级，共，所以第二步走两级台阶的概率为.故选：C.5.车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗加工后木块的横截面的形状如图所示，其中O为横截面的中心，,，，计算可得,，,所以加工后木块的体积为.故选：B.6.复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（）．A.若，则点在圆上B.若，则点在椭圆上C.若，则点在双曲线上D.若，则点在抛物线上〖答案〗D〖解析〗表示点与之间的距离，表示点与之间的距离，记，，对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；或由，整理得，所以点在，故A错误；对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.故选：D.7.已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，设，由于为偶函数，则，即，等号两边同时求导可得：，即，又由为偶函数，变形可得，故为常数），由此分析选项：对于A，由于不确定，不一定成立，A错误；对于B，，B错误；对于C，设，有，当时，，增函数，当时，，为减函数，则有，故在R上恒成立，又由，为R上的增函数，则有，C正确；对于D，为偶函数，其图象关于轴对称，不能保证成立，D错误．故选：C．8.已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（）．A. B.C. D.1〖答案〗A〖解析〗根据，可得，化简得为动点的轨迹的方程为：，设经过点的直线为：，（可判断斜率存在）联立方程，得①,由于直线与有且只有一个公共点，所以，或，得，或，因为圆，圆心，所以当点在轴上方时较小，以下只讨论点在轴上方的情况,当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得，当时，点在圆内，可得的最小值为；当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得则，当时，点在圆外，可得的最小值为；则的最小值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：012若，则（）．A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，，∴，因为，所以，.故选：ABD.10.已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（）．A.都有两个极值点B.都有三个零点C.，曲线都有对称中心D.，使得曲线有对称轴〖答案〗AC〖解析〗，，单调递增；单调递减；都有两个极值点，故A选项正确；因为当时，；当时，,所以函数至少有一个零点，已知极大值极小值当，即时，，所以函数与x轴仅有一个交点，不满足都有三个零点，故选项B错误；函数是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数对称中心的横坐标，是曲线对称中心，故选项C正确，由三次函数图象的性质知，曲线C没有对称轴，选项D错误．故选：AC.11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（）A. B.C. D.数列的前项和为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，，A对；对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，则第次“美好成长”后再插入项，则，可得，且，故数列是以首项为，公比为的等比数列，则，故，B错；对于C选项，由题意可知：，C对；对于D选项，因为，且，所以，，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，故，所以，，所以，数列的前项和为，D对.故选：ACD.12.圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若，则点的轨迹为圆B.若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点，使得D.的取值范围是〖答案〗BC〖解析〗对B，如图，不妨以为原点，以的垂直平分线，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设，则，由题意，，化简得，，由于点在上底面内，所以的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对A，，化简得，即点的轨迹为椭圆，故A错误；对C，设点在下平面的投影为，若，则，则，当在线段上时，可取最小值，由均值不等式，，当且仅当时等号成立，所以，即，而点只有在与点重合时，才能取到，此时点与点重合，点与点重合，故C正确；对D，当点与点，点与点重合，的值为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，则被5除所得的余数为________．〖答案〗1〖解析〗由题知时，，故所以被5除得的余数是1.故〖答案〗为：1.14.圆（为坐标原点）与直线相切，与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若，则直线的纵截距的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，，所以圆的标准方程为：，设直线的方程为：，与联立，消去得：，设直线与圆的交点，，，，由△，得，，①，因为，所以，又，，所以②，由①②得，满足，即，故直线纵截距的取值范围是，故〖答案〗为：.15.已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．〖答案〗〖解析〗如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，可求得棱台的高为，设该棱台的外接球的半径为，球心到下底面的距离，球心到上底面的距离，①球心在两个底面之间时，所以，因为，则，则上式无解；②球心在下底面下方时，，，两边同时平方：，，解得：，表面积，故〖答案〗为：.16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为________．〖答案〗或〖解析〗设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或．代入得或.故〖答案〗为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．设数列的前项和为，满足________，．（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得对恒成立，求的值．

解：（1）若选择条件①：，则，即，令，则，解得，是以3为首项，3为公比的等比数列，.若选择条件②：，是以为首项1为公差的等差数列，，；（2），，∴当，即；当，即；∴当时，对恒成立．18.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量（盒）购物群数量（个）122032（1）求实数值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数（盒）；（2）假设所有购物群销售凤梨的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若服从正态分布，则．解：（1）由题意得：，解得．故平均数为.（2）由题意，，且，故，所以“优质群”约有个，，所以“一级群”约有个；所以需要资金为，故至少需要准备186800元．19.在中，角所对的边分别为．（1）求证：；（2）延长至点，使得，求的最大值．（1）证明：因为，由正弦定理得又因为，则，可得.（2）解：因为，可知，所以角为锐角，在中，由正弦定理得：，又因为，整理得，由于，则，可得，所以角A为锐角，可得，因为，则，所以可得，又因为，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．20.如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．（1）求点到平面的距离；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）在平行六面体中，是三棱柱，，设点到平面的距离为，则，所以，即点到平面的距离为1．（2）在中，，所以是菱形，连接交于，则，由（1）知点到平面的距离为1，所以平面．设点在直线上射影为点，则，且，所以和重合，即．以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，根据，则，，设平面的一法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角正弦值为．21.已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦．（1）求的内心坐标；（2）是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∴椭圆的标准方程为，不妨取，则；因为中，，所以的内心在轴，设直线平分，交轴于，则为的内心，且，所以，则；（2）∵椭圆和弦均关于轴上下对称．若存在定点，则点必在轴上∴设当直线斜率存在时，设方程，直线方程与椭圆方程联立，消去得，则①∵点的横坐标为1，均在直线上，，整理得，因为点在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点满足题意22.已知函数．（1）若，求证：；（2）当时，对任意，都有，求整数的最大值．（1）证明：时，设，则，，即在上恒成立，在上单调增，又，即；（2）解：时，当时，，所以．下证符合．时，当时，，所以当时，．记，则只需证对恒成立．，令，则在递减，又，所以存在，使得，则在递增，在递减；又，所以存在使得，且，所以在递增，在递减，又，所以对恒成立，因为，所以符合．综上，整数的最大值为3．江苏省扬州市2023届高三考前调研测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，、、，且，故.故选：B.2.已知空间中不过同一点的三条直线，则“两两相交”是“共面”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以“，，在同一平面”成立，则“，，两两相交”不一定成立；而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．故“，，两两相交”是“，，共面”的充分不必要条件，故选：A.3.以点为对称中心的函数是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A选项，对称中心为，故不选A；对于B选项，对称中心为，故不选B;对于C选项，对称中心为，故C选项正确；对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.故选：C4.某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，共种走法，若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级，共，所以第二步走两级台阶的概率为.故选：C.5.车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗加工后木块的横截面的形状如图所示，其中O为横截面的中心，,，，计算可得,，,所以加工后木块的体积为.故选：B.6.复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（）．A.若，则点在圆上B.若，则点在椭圆上C.若，则点在双曲线上D.若，则点在抛物线上〖答案〗D〖解析〗表示点与之间的距离，表示点与之间的距离，记，，对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；或由，整理得，所以点在，故A错误；对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.故选：D.7.已知函数的导函数为和的定义域均为为偶函数，也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意，设，由于为偶函数，则，即，等号两边同时求导可得：，即，又由为偶函数，变形可得，故为常数），由此分析选项：对于A，由于不确定，不一定成立，A错误；对于B，，B错误；对于C，设，有，当时，，增函数，当时，，为减函数，则有，故在R上恒成立，又由，为R上的增函数，则有，C正确；对于D，为偶函数，其图象关于轴对称，不能保证成立，D错误．故选：C．8.已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（）．A. B.C. D.1〖答案〗A〖解析〗根据，可得，化简得为动点的轨迹的方程为：，设经过点的直线为：，（可判断斜率存在）联立方程，得①,由于直线与有且只有一个公共点，所以，或，得，或，因为圆，圆心，所以当点在轴上方时较小，以下只讨论点在轴上方的情况,当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得，当时，点在圆内，可得的最小值为；当时，代入①式，得，再代入双曲线方程可得则，当时，点在圆外，可得的最小值为；则的最小值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：012若，则（）．A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由分布列的性质，可得，解得①，因为，所以，即②，联立①②解得，，∴，因为，所以，.故选：ABD.10.已知函数的图像为曲线，下列说法正确的有（）．A.都有两个极值点B.都有三个零点C.，曲线都有对称中心D.，使得曲线有对称轴〖答案〗AC〖解析〗，，单调递增；单调递减；都有两个极值点，故A选项正确；因为当时，；当时，,所以函数至少有一个零点，已知极大值极小值当，即时，，所以函数与x轴仅有一个交点，不满足都有三个零点，故选项B错误；函数是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数对称中心的横坐标，是曲线对称中心，故选项C正确，由三次函数图象的性质知，曲线C没有对称轴，选项D错误．故选：AC.11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（）A. B.C. D.数列的前项和为〖答案〗ACD〖解析〗对于A选项，，A对；对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，则第次“美好成长”后再插入项，则，可得，且，故数列是以首项为，公比为的等比数列，则，故，B错；对于C选项，由题意可知：，C对；对于D选项，因为，且，所以，，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，故，所以，，所以，数列的前项和为，D对.故选：ACD.12.圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若，则点的轨迹为圆B.若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点，使得D.的取值范围是〖答案〗BC〖解析〗对B，如图，不妨以为原点，以的垂直平分线，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设，则，由题意，，化简得，，由于点在上底面内，所以的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对A，，化简得，即点的轨迹为椭圆，故A错误；对C，设点在下平面的投影为，若，则，则，当在线段上时，可取最小值，由均值不等式，，当且仅当时等号成立，所以，即，而点只有在与点重合时，才能取到，此时点与点重合，点与点重合，故C正确；对D，当点与点，点与点重合，的值为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，则被5除所得的余数为________．〖答案〗1〖解析〗由题知时，，故所以被5除得的余数是1.故〖答案〗为：1.14.圆（为坐标原点）与直线相切，与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若，则直线的纵截距的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，，所以圆的标准方程为：，设直线的方程为：，与联立，消去得：，设直线与圆的交点，，，，由△，得，，①，因为，所以，又，，所以②，由①②得，满足，即，故直线纵截距的取值范围是，故〖答案〗为：.15.已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．〖答案〗〖解析〗如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，可求得棱台的高为，设该棱台的外接球的半径为，球心到下底面的距离，球心到上底面的距离，①球心在两个底面之间时，所以，因为，则，则上式无解；②球心在下底面下方时，，，两边同时平方：，，解得：，表面积，故〖答案〗为：.16.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为________．〖答案〗或〖解析〗设与和的切点分别为，由导数的几何意义可得，曲线在在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，解得，或，所以或．代入得或.故〖答案〗为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．设数列的前项和为，满足________，．（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得对恒成立，求的值．

解：（1）若选择条件①：，则，即，令，则，解得，是以3为首项，3为公比的等比数列，.若选择条件②：，是以为首项1为公差的等差数列，，；（2），，∴当，即；当，即；∴当时，对恒成立．18.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量（盒）购物群数量（个）122032（1）求实数值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数（盒）；（2）假设所有购物群销售凤梨的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励100