2022-2023学年上海市闵行区高一下学期期末区统考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末区统考数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.函数的最小正周期是________________．〖答案〗〖解析〗函数的最小正周期是故〖答案〗为：2.若复数，则____________.〖答案〗〖解析〗∵复数，则，∴.故〖答案〗为：.3.已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.〖答案〗〖解析〗因为角α的终边经过点(3，4)，所以，故〖答案〗4.已知，，则角____________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以角，故〖答案〗为：5.若函数的最大值为，则____________.〖答案〗〖解析〗因为函数，且函数的最大值为，所以，解得，故〖答案〗为：.6.已知，则的值为____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，则．故〖答案〗为：．7.已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为____________.〖答案〗〖解析〗，的夹角为，，则，,在方向上的数量投影为．故〖答案〗为：．8.若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则___________．〖答案〗5.〖解析〗是关于的实系数一元二次方程的一个根，也是此方程的一个虚根，

∴故〖答案〗为5.9.已知，，与平行，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又与平行，所以，解得.故〖答案〗为：10.在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则____________.〖答案〗〖解析〗在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，，不妨设角的终边过点，则角的终边过点，结合任意角的三角函数的定义可知，若，则，则，故〖答案〗为：．11.已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________.〖答案〗〖解析〗因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点，则函数的图像与直线只在前几段有交点，依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意，所以，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，此时函数的图像与直线的图象恰有个交点，若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点，所以，综上可得，即实数的取值范围是.故〖答案〗为：12.已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以向量、、分别看作以为起点，以为终点，且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，又因为，所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点，因为，当时，的值为，故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分）每题有且只有一个正确〖答案〗，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：A14.下列命题中正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误；对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误．故选：B．15.某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：①②；③；若存在、恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗C〖解析〗当时，，且，即①符合题意；②当，时，，且，即②符合题意；③因为，所以若成立，则，即，所以，化简得，不符合实际，即③不符合题意．故选：C．16.在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为，如图：当时，点坐标为，当时，点的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，因为，所以扇形的面积为等于.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，（1）试用表示向量与；（2）求的值.解：（1）如图，因为点是边的中点，所以，则，同理，.（2）由（1）可知，，，又因为为矩形，所以，则.18.欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.（1）求，；（2）若复数是纯虚数，求的值.解：（1）；（2）且，复数是纯虚数，.19.上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.（1）当米时，求分隔栏的长；（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.解：（1）因为，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的长为米；（2）因为，，设，，则，在中，由正弦定理得，所有，则，当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.20.已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的〖解析〗式.（1），，.（2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称.（3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为.解：（1）依题意，又，所以，所以，，解得，，又，所以，所以.（2）依题意，，所以，所以，将的图像向右平移个单位长度得到，又关于轴对称，所以，所以，又，所以，所以.（3）因为，，即区间的长度恰为，又，令，，解得，，所以的对称轴为，，根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值，当与恰关于，对称时取得最小值，①不妨设当，则是上严格增函数，则，因为，所以，则，即，即，②不妨设当，则，因为，所以，则，即，即，综上所述，即，解得，所以，又，所以，所以或，，因为，所以，所以.21.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④.（1）设，，求和.（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：①②③.试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.（1）解：因为，，所以，（2）解：设，，，、、、、、、，则，，故①不成立，，，，因为，，所以，故②正确；，，，，设，，，则，，，所以，故，即③错误；（3）证明：设满足条件的，，、，则，，因为为任意的复数，不妨设且，由定义可得，即，则，所以，则，以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，不妨令，则，则，当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末区统考数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.函数的最小正周期是________________．〖答案〗〖解析〗函数的最小正周期是故〖答案〗为：2.若复数，则____________.〖答案〗〖解析〗∵复数，则，∴.故〖答案〗为：.3.已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.〖答案〗〖解析〗因为角α的终边经过点(3，4)，所以，故〖答案〗4.已知，，则角____________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以角，故〖答案〗为：5.若函数的最大值为，则____________.〖答案〗〖解析〗因为函数，且函数的最大值为，所以，解得，故〖答案〗为：.6.已知，则的值为____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，则．故〖答案〗为：．7.已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为____________.〖答案〗〖解析〗，的夹角为，，则，,在方向上的数量投影为．故〖答案〗为：．8.若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则___________．〖答案〗5.〖解析〗是关于的实系数一元二次方程的一个根，也是此方程的一个虚根，

∴故〖答案〗为5.9.已知，，与平行，则实数的值为______.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又与平行，所以，解得.故〖答案〗为：10.在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则____________.〖答案〗〖解析〗在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，，不妨设角的终边过点，则角的终边过点，结合任意角的三角函数的定义可知，若，则，则，故〖答案〗为：．11.已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________.〖答案〗〖解析〗因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点，则函数的图像与直线只在前几段有交点，依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意，所以，当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，此时函数的图像与直线的图象恰有个交点，若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点，所以，综上可得，即实数的取值范围是.故〖答案〗为：12.已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________.〖答案〗〖解析〗因为，所以向量、、分别看作以为起点，以为终点，且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，又因为，所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点，因为，当时，的值为，故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分）每题有且只有一个正确〖答案〗，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：A14.下列命题中正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误；对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误．故选：B．15.某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：①②；③；若存在、恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个〖答案〗C〖解析〗当时，，且，即①符合题意；②当，时，，且，即②符合题意；③因为，所以若成立，则，即，所以，化简得，不符合实际，即③不符合题意．故选：C．16.在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为，如图：当时，点坐标为，当时，点的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，因为，所以扇形的面积为等于.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，（1）试用表示向量与；（2）求的值.解：（1）如图，因为点是边的中点，所以，则，同理，.（2）由（1）可知，，，又因为为矩形，所以，则.18.欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.（1）求，；（2）若复数是纯虚数，求的值.解：（1）；（2）且，复数是纯虚数，.19.上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.（1）当米时，求分隔栏的长；（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.解：（1）因为，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的长为米；（2）因为，，设，，则，在中，由正弦定理得，所有，则，当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.20.已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的〖解析〗式.（1），，.（2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称.（3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为.解：（1）依题意，又，所以，所以，，解得，，又，所以，所以.（2）依题意，，所以，所以，将的图像向右平移个单位长