2022-2023学年重庆市渝东九校联盟高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市渝东九校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将〖答案〗填在后面选择题答题框内.1.复平面上表示复数的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗复平面上复数对应的点的坐标是，在第三象限.故选：C2.已知向量，，且，则（）A. B. C.-12 D.12〖答案〗B〖解析〗因为向量，，且，所以，解得.故选：B.3.在中，若，，，则角（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗因为在中，若，，，所以由正弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，故选：A4.如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为（）.A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，，，.故选：C.5.在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，所以，因为，，所以故选：B6.已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（）A.4 B.-4 C. D.〖答案〗D〖解析〗，即；故选：D.7.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗设外接圆得圆心为，半径为，直三棱柱得高为，直三棱柱外接球得球心为，半径为，则，且平面，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，即直三棱柱得高为.故选：D.8.在中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，O为的外心，且有，，若，，则（）A.1 B.-2 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由题可知，，由正弦定理有：所以，即，因为，所以，由正弦定理有：，又，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为O为的外心，取中点，所以，根据圆的性质可知，直线过点,如图，在中可知，，又正弦定理有：，即，所以，所以与相互平分，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台 B.②是圆台C.③是四面体 D.④是棱柱〖答案〗CD〖解析〗图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知为直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（）A.如果，，那么 B.如果，，那么C.如果，，那么 D.如果，，，那么〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，如果，，根据平行线的性质，可得，所以A正确；对于B中，如果，，则或相交或异面，所以B错误；对于C中，如果，，只有当时，可得，所以C不正确；对于D中，如果，，，则或异面，所以D不正确.故选：BCD.11.已知，下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，则的最大值为6〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当时，，此时，故B错误；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，设，则，所以，所以复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离，，所以的最大值为，故D错误.故选：BD.12.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.B.若是所在平面内一点，且，则点为的内心C.若，则是等腰三角形D.若，，则的外接圆半径〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由余弦定理得，由正弦定理得，则，所以A选项正确.B选项，表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，与相互垂直，由于，所以与垂直，所以与共线，而表示以为邻边菱形的对角线，所以在的角平分线上，同理可得在的角平分线上，所以是三角形的内心，所以B选项正确.C选项，由得，整理得，由余弦定理得，整理得，所以三角形是直角三角形，故C选项错误.D选项，由，得，由，得,即，，，，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，则，解得，所以D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为________.〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________.〖答案〗〖解析〗圆锥轴截面是边长为的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长，圆锥的表面积.故〖答案〗：.15.如图，为了测量山高BC，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶M处为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从M点测得，已知山高米，则________，山高________米.〖答案〗①.②.〖解析〗因为在中，由，，所以，所以，在中，，，，则由，得，在中，由正弦定理得，即，，得，在，，，则,故〖答案〗为：，16.在中，点D满足，过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗因为过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，所以，且，，由，得，又三点共线，所以，故，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤.17.已知复数满足.（1）求；（2）若是方程的一个根，求的值.解：（1）由得：，.（2）由（1）知：，则，，解得：，.18.已知，，.（1）设，求的值；（2）当与的夹角为锐角时，求的取值范围.解：（1）因为，，，且，所以，所以，解得，所以（2）因为，，所以，因与的夹角为锐角，所以，且与不共线，由，得，解得，当与不共线时，，解得，综上且，所以的取值范围为19.如图，在中，，，.（1）求的长度；（2）在边上取一点，使，求的面积.解：（1）在中，由余弦定理得，即，所以.（2）设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，即，解得，所以，，，所以，所以的面积为.20.在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.（1）求证：平面；（2）若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积.（1）证明：连接，如下图：是线段的中点，底面是长方形，是线段的中点，又是线段的中点，在中，，平面，平面，平面.（2）解：取的中点为，连接，如下图：分别是线段中点，在中，，，又在正方体中，平面，平面，为的中点，，.21.在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③.（1）求A的大小；（2）求的取值范围.解：（1）选①，因为，由正弦定理得，又，所以，因为，所以；选②，因为，所以，又，所以；选③，因为，由正弦定理得，即，则，则，又，所以，因为，所以；（2）由（1）得，因，所以，则，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.22.已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图（1）.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.今有斜坐标系（长度单位为米，如图（2）），且，，设（1）计算的大小；（2）质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.解：（1）因为，，所以，又，所以，所以，即的大小为.（2）①如图所示：依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点左边），且有，质点乙到达D点，且有，故.②时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，如图所示：，，则，所以两质点间的距离，因为，所以当时，取得最小值为，所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米.重庆市渝东九校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将〖答案〗填在后面选择题答题框内.1.复平面上表示复数的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗复平面上复数对应的点的坐标是，在第三象限.故选：C2.已知向量，，且，则（）A. B. C.-12 D.12〖答案〗B〖解析〗因为向量，，且，所以，解得.故选：B.3.在中，若，，，则角（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗因为在中，若，，，所以由正弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，故选：A4.如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为（）.A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，，，，.故选：C.5.在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，所以，因为，，所以故选：B6.已知非零向量，满足，，若，则实数的值为（）A.4 B.-4 C. D.〖答案〗D〖解析〗，即；故选：D.7.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（）A.1 B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗设外接圆得圆心为，半径为，直三棱柱得高为，直三棱柱外接球得球心为，半径为，则，且平面，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以，即直三棱柱得高为.故选：D.8.在中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，O为的外心，且有，，若，，则（）A.1 B.-2 C.0 D.〖答案〗A〖解析〗由题可知，，由正弦定理有：所以，即，因为，所以，由正弦定理有：，又，所以，所以，因为，所以，因为，所以，因为O为的外心，取中点，所以，根据圆的性质可知，直线过点,如图，在中可知，，又正弦定理有：，即，所以，所以与相互平分，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是（）A.①是棱台 B.②是圆台C.③是四面体 D.④是棱柱〖答案〗CD〖解析〗图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是四面体；图④上下两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：CD.10.已知为直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（）A.如果，，那么 B.如果，，那么C.如果，，那么 D.如果，，，那么〖答案〗BCD〖解析〗对于A中，如果，，根据平行线的性质，可得，所以A正确；对于B中，如果，，则或相交或异面，所以B错误；对于C中，如果，，只有当时，可得，所以C不正确；对于D中，如果，，，则或异面，所以D不正确.故选：BCD.11.已知，下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，则的最大值为6〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当时，，此时，故B错误；对于C，若，则，所以，故C正确；对于D，设，则，所以，所以复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离，，所以的最大值为，故D错误.故选：BD.12.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.B.若是所在平面内一点，且，则点为的内心C.若，则是等腰三角形D.若，，则的外接圆半径〖答案〗ABD〖解析〗A选项，由余弦定理得，由正弦定理得，则，所以A选项正确.B选项，表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，根据向量加法和减法的运算法则可知，与相互垂直，由于，所以与垂直，所以与共线，而表示以为邻边菱形的对角线，所以在的角平分线上，同理可得在的角平分线上，所以是三角形的内心，所以B选项正确.C选项，由得，整理得，由余弦定理得，整理得，所以三角形是直角三角形，故C选项错误.D选项，由，得，由，得,即，，，，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，则，解得，所以D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为________.〖答案〗〖解析〗在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________.〖答案〗〖解析〗圆锥轴截面是边长为的等边三角形，圆锥底面半径，圆锥母线长，圆锥的表面积.故〖答案〗：.15.如图，为了测量山高BC，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶M处为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从M点测得，已知山高米，则________，山高________米.〖答案〗①.②.〖解析〗因为在中，由，，所以，所以，在中，，，，则由，得，在中，由正弦定理得，即，，得，在，，，则,故〖答案〗为：，16.在中，点D满足，过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗因为过点D的直线交线段AB于点M、交线段AC的延长线于点N，记，，所以，且，，由，得，又三点共线，所以，故，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤.17.已知复数满足.（1）求；（2）若是方程的一个根，求的值.解：（1）由得：，.（2）由（1）知：，则，，解得：，.18.已知，，.（1）设，求的值；（2）当与的夹角为锐角时，求的取值范围.解：（1）因为，，，且，所以，所以，解得，所以（2）因为，，所以，因与的夹角为锐角，所以，且与不共线，由，得，解得，当与不共线时，，解得，综上且，所以的取值范围为19.如图，在中，，，.（1）求的长度；（2）在边上取一点，使，求的面积.解：（1）在中，由余弦定理得，即，所以.（2）设，则，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，即，解得，所以，，，所以，所以的面积为.20.在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.（1）求证：平面；（2）若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积.（1）证明：连接，如下图：是线段的中点，底面是长方形，是线段的中点，又是线段的中点，在中，，平面，平面，平面.（2）解：取的中