2022-2023学年四川省成都市蓉城联盟高一下学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高一下期期末联考数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它〖答案〗；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作超出答题区域答题的〖答案〗无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A.3 B. C.3i D.〖答案〗A〖解析〗因为，则，所以复数z的虚部为3.故选：A.2已知，，，则m＝（）A.－2 B.2 C.3 D.－3〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，故选：C.3.已知利用斜二测画法绘制某三棱柱直观图如图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗根据斜二测画法，据图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，底面直角三角形的两条直角边分别为2，2，三棱柱高为2，∴．故选：D．4.已知，，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，，，得，，所以在方向上的投影向量为.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则.故选：B.6.已知，是单位向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，设单位向量与的夹角为θ，则有，解得，又，所以．故选：C.7.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，在三棱锥中，，则有，可得，又，则，而，则，又△PAB，△PAC为正三角形，将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中，根据余弦定理，最短距离故选：D．8.已知点O是的内心，，，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线，所以根据角平分线定理可得，所以,因为三点共线，所以设，则，因为，所以，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.如图，已知圆锥SO母线长l＝5，底面半径r＝4，则下列结论中正确的有（）A.圆锥的表面积为B.圆锥侧面展开图的圆心角为C.圆锥的体积为D.圆锥的轴截面是锐角三角形〖答案〗ABC〖解析〗圆锥SO母线长，底面半径，则圆锥的表面积为，所以A正确；圆锥侧面展开图的圆心角，所以B正确；圆锥的体积为，所以C正确；由余弦定理得，而，则为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，所以D不正确．故选：ABC．10.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.函数〖解析〗式化简后为：B.的对称轴为，C.的对称中心为，D.的单调递增区间为，〖答案〗ABD〖解析〗因为，故A正确；令，解得，，所以的对称轴为，，故B正确；令，解得，，所以的对称中心为，，故C错误；令，解得，，所以的单调递增区间为，，故D正确；故选：ABD.11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）A.若，则A＝30°B.若A＞90°，则C.若，b＝4，B＝60°，则有两组解D.若，则是钝角三角形〖答案〗BD〖解析〗对于选项A：若，由正弦定理可得，因为，则，可得，即，又因为，则或，故A错误；对于选项B：若A＞90°，则，因为，则，即，可得，即，故B正确；对于选项C：由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，所以有且仅有一组解，故C错误；对于选项D：若，有正弦定理可得，可得，且，所以为钝角，则是钝角三角形，故D正确；故选：BD.12.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（）A.若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1B.若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为C.若的周长为2，则的最小值为D.若的面积为，则的最大值为〖答案〗ABC〖解析〗当的周长为2时，延长至P，使，连接.则，则，，又,则，则,又由，可得，则，则，选项A判断正确；以A为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，则，，则,当的周长为2时，，由，可得（当且仅当时等号成立）则则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立），故的周长为2，则的最小值为.选项C判断正确；当的面积为时，，即，则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立）.故的面积为时，则的最大值为1.选项D判断错误；由，可得由，可得，，则，又，则故的面积为时，∠MCN正切值的最小值为.选项B判断正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，，若，则k＝______．〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，所以，解得：.故〖答案〗为：14.已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为______．〖答案〗7〖解析〗已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，设棱台的高为h，根据面积比等于相似比的平方，即，，．故〖答案〗为：7．15.已知O是所在平面内一点，，则与的面积比______．〖答案〗〖解析〗因为，，根据向量平行四边形法则画出草图（如图所示），故〖答案〗为：.16.已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为是平面内一组基底，即不共线，设，显然、不共线，且均不为零向量，设的夹角为，则，，又因为，则，即，整理得，所以，又因为，则，所以与所成角的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设复数，i为虚数单位，且满足．（1）求复数z；（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．解：（1）设，，，解得.（2）是方程的一个根，，即，则18.如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．（1）以r为变量，表示圆柱表面积和体积；（2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？解：（1）记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接.高为，则，所以，所以，圆柱的底面积为，侧面积为，圆柱的表面积为，圆柱的体积为.（2）由（1）知，圆柱的侧面积为，则，当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的〖解析〗式；（2）若，求的取值范围．解：（1）由的部分图象可知，所以，所以，解得，因为的图象过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，解得，所以，（2）因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.20.在中，，，AD交BE于点G，设，．（1）用，表示，；（2）若，，，夹角为，求．解：（1），，（2）设，则有，三点共线，，，，，，，夹角为，.21.某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20nmile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60nmile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30nmile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）（1）求走私船的速度大小；（2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．解：（1）点位于哨所北偏东方向nmile处，点位于哨所北偏西方向nmile处，，，nmile/h，走私船的速度大小为nmile/h.（2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，，，，，走私船速度为nmile/h，缉私船速度为nmile/h，，在中，根据余弦定理，，，化简得，(舍去)，或，此时，，缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．22.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求角B；（2）求的最小值；（3）为的外接圆，P为外一点，过P点作的切线，切点分别为E，F，求的最小值．解：（1）因为，由正弦定理得，又因为，所以，所以，因为，所以，又因为，所以.（2）由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，设，因为，所以，，所以，因为在上单调递增，所以时，.（3）因为且，为的外接圆，可得圆的半径为，如图所示，设，连接与交于点，由点为外一点，过点作的切线，切点分别为，，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，则，所以，又由，所以，因为，可得，当且仅当，当时，等号成立，所以的最小值为．四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高一下期期末联考数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它〖答案〗；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作超出答题区域答题的〖答案〗无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A.3 B. C.3i D.〖答案〗A〖解析〗因为，则，所以复数z的虚部为3.故选：A.2已知，，，则m＝（）A.－2 B.2 C.3 D.－3〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，故选：C.3.已知利用斜二测画法绘制某三棱柱直观图如图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗根据斜二测画法，据图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，底面直角三角形的两条直角边分别为2，2，三棱柱高为2，∴．故选：D．4.已知，，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，，，，得，，所以在方向上的投影向量为.故选：A.5.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，则.故选：B.6.已知，是单位向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，即，设单位向量与的夹角为θ，则有，解得，又，所以．故选：C.7.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2，，A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，在三棱锥中，，则有，可得，又，则，而，则，又△PAB，△PAC为正三角形，将三棱锥沿侧棱展开，得到如图所示的多边形，其中，根据余弦定理，最短距离故选：D．8.已知点O是的内心，，，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线，所以根据角平分线定理可得，所以,因为三点共线，所以设，则，因为，所以，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.如图，已知圆锥SO母线长l＝5，底面半径r＝4，则下列结论中正确的有（）A.圆锥的表面积为B.圆锥侧面展开图的圆心角为C.圆锥的体积为D.圆锥的轴截面是锐角三角形〖答案〗ABC〖解析〗圆锥SO母线长，底面半径，则圆锥的表面积为，所以A正确；圆锥侧面展开图的圆心角，所以B正确；圆锥的体积为，所以C正确；由余弦定理得，而，则为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，所以D不正确．故选：ABC．10.已知函数，则下列结论中正确的有（）A.函数〖解析〗式化简后为：B.的对称轴为，C.的对称中心为，D.的单调递增区间为，〖答案〗ABD〖解析〗因为，故A正确；令，解得，，所以的对称轴为，，故B正确；令，解得，，所以的对称中心为，，故C错误；令，解得，，所以的单调递增区间为，，故D正确；故选：ABD.11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题中正确的有（）A.若，则A＝30°B.若A＞90°，则C.若，b＝4，B＝60°，则有两组解D.若，则是钝角三角形〖答案〗BD〖解析〗对于选项A：若，由正弦定理可得，因为，则，可得，即，又因为，则或，故A错误；对于选项B：若A＞90°，则，因为，则，即，可得，即，故B正确；对于选项C：由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，所以有且仅有一组解，故C错误；对于选项D：若，有正弦定理可得，可得，且，所以为钝角，则是钝角三角形，故D正确；故选：BD.12.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（）A.若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1B.若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为C.若的周长为2，则的最小值为D.若的面积为，则的最大值为〖答案〗ABC〖解析〗当的周长为2时，延长至P，使，连接.则，则，，又,则，则,又由，可得，则，则，选项A判断正确；以A为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，则，，则,当的周长为2时，，由，可得（当且仅当时等号成立）则则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立），故的周长为2，则的最小值为.选项C判断正确；当的面积为时，，即，则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立）.故的面积为时，则的最大值为1.选项D判断错误；由，可得由，可得，，则，又，则故的面积为时，∠MCN正切值的最小值为.选项B判断正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，，若，则k＝______．〖答案〗〖解析〗因为，，，所以，所以，解得：.故〖答案〗为：14.已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为______．〖答案〗7〖解析〗已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，设棱台的高为h，根据面积比等于相似比的平方，即，，．故〖答案〗为：7．15.已知O是所在平面内一点，，则与的面积比______．〖答案〗〖解析〗因为，，根据向量平行四边形法则画出草图（如图所示），故〖答案〗为：.16.已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为是平面内一组基底，即不共线，设，显然、不共线，且均不为零向量，设的夹角为，则，，又因为，则，即，整理得，所以，又因为，则，所以与所成角的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设复数，i为虚数单位，且满足．（1）求复数z；（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．解：（1）设，，，解得.（2）是方程的一个根，，即，则18.如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．（1）以r为变量，表示圆柱表面积和体积；（2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？解：（1）记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接.高为，则，所以，所以，圆柱的底面积为，侧面积为，圆柱的表面积为，圆柱的体积为.（2）由（1）知，圆柱的侧面积为，则，当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为．19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的〖解析〗式；（2）若，求的取值范围．解：（1）由的部分图象可知，所以，所以，解得，因为的图象过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以，因为的图象过点，所以，得，解得，所以，（2）因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.20.在中，，，AD交BE于点G，设，．（1）用，表示，；（2）若，，，夹角为，求．解：（1），，（2）设