第07讲圆锥曲线中的离心率问题（高阶拓展）（教师版）

第07讲圆锥曲线中的离心率问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第5题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围由椭圆的离心率求参数的取值范围无2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2022年全国甲卷（文科），第11题,5分根据离心率求椭圆的标准方程根据a、b、c求椭圆标准方程2022年全国甲卷（理科），第10题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围已知两点求斜率2022年全国乙卷（理科），第11题,5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围用和、差角的正弦公式化简、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16题,5分根据离心率求楠圆的标准方程椭圆中焦点三角形的周长问题2021年全国乙卷（理科），第11题,5分求椭圆的离心率或离心率的取值范围根据二次函数的最值或值域求参数2021年全国甲卷（理科），第5题,5分求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分【备考策略】离心率的定义及对曲线的影响用定义法求离心率3.能用文中其他方法快速求解离心率4.能求解离心率的相关最值问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习知识讲解椭圆离心率求解的5种常用方法公式1:公式2:变形证明:公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率证明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则证明:由正弦定理有.公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或双曲线离心率求解的5种常用方法公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则证明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率证明:由正弦定理,有即又公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或考点一、椭圆、双曲线中的定义法求离心率1．（2023·北京大兴·校考三模）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，所以离心率.故选：A2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意求得，然后由公式可得.【详解】由题意得，，所以，．故选：D．3．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，所以双曲线离心率.故选：D4．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则，得到，由椭圆的方程，得到，结合，即可求解.【详解】由题意，椭圆的左顶点为，因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则，所以，可得，又因为，即，代入可得，所以离心率为.故选：D.5．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为.【答案】【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.【详解】将两个点代入椭圆方程得：，解得，故.故答案为：1．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线渐近线和离心率的公式即可.【详解】渐近线方程为；；；故选：A.2．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，所以.故选：D3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意列式解得，进而可得.【详解】由题意可得：，解得，所以C的离心率为.故选：A.4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为.【答案】【解析】根据已知可知：，再代入离心率公式即可.【详解】由题知：，即..故答案为：【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.5．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2，由题可知，过一三象限的渐近线为，即，所以右焦点到渐近线的距离为，又，∴，∴．故答案为:.考点二、利用“公式3”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为)A.B.C.D.2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，

故离心率e＝选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆C的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率.【详解】因为经过左焦点，且斜率为，故，所以，所以，则，设，则，由椭圆的定义可知：，即，解得：，所以，，由勾股定理得：，故，解得：，故椭圆离心率.故选：A4．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）（附加公式4）记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件列关于的方程，由此可求离心率.【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，所以，因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，因为直线的倾斜角为，所以，又，化简，所以解得.故选：A.5．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解.【详解】双曲线的焦点为，，则，是等腰三角形，，，，由正弦定理即，解得，双曲线过点，由双曲线的定义可得，解得离心率，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手：（1）根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；（2）已知条件构造出，，的等式或不等式，结合化出关于，的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.1．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值.【详解】设双曲线的半焦距为，则，由题意可得：，因为，整理得.故选：D.2．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）设，是椭圆上存在一点，使，且，则的离心率为.【答案】.【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解.【详解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，由椭圆的定义可得，，又，在△中，由勾股定理可得：，即，，故答案为：.【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.3．（天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A．＋1 B．4＋2C． D．－1【答案】A【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．【详解】解：依题意可知双曲线的焦点为，，，三角形高是，，边的中点，，代入双曲线方程得：，整理得：，，，整理得，求得，，.故选：A.考点三、利用“公式5”求椭圆、双曲线离心率1．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为A． B． C． D．【答案】A【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM||BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为,所以，所以.2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A．1 B． C． D．2【答案】B【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得设坐标分别为，则因为，所以，从而有①再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B3．（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可.【详解】

不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为，令，解得，即.设，又，，，由可得：，解得，又在椭圆上，即，整理得，解得.故选：A1．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，设，由，且，故，，由点在椭圆上，故，整理得，故离心率，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知．求椭圆的离心率；【答案】【分析】由圆锥曲线焦点弦的重要公式求解.【详解】圆锥曲线焦点弦的重要公式，因为，直线的倾斜角为，所以，，所以，解得.3．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆的右焦点为，过右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与构建出关于、、的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设，，，过点做倾斜角为的直线斜率，直线方程为，联立方程，可得，根据韦达定理：，，因为，即，所以，所以，即，所以，联立，可得，.故选：C.考点四、斜率乘积求离心率1．（2023·浙江宁波·统考二模）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.【详解】如图，取的中点为，连接，则由题意可得，，所以相似，所以,因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以,设，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为，故选:B.2．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意设设，根据题意得到，进而求得离心率．【详解】根据题意得到设，因为，所以，所以，则故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由点差法运算可得，再由离心率公式即可得解.【详解】设，则，，所以，作差得，所以，即，所以该椭圆的离心率.故选：A.1．（吉林·高三阶段练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意设出A、B的坐标和P点坐标，结合两点间斜率公式化简得双曲线方程的表达式；再由题目所给已知条件的双曲线方程，进而求得a、b、c的关系，即可求得离心率．【详解】由题意可知，设，P点坐标为

因为所以根据斜率公式可得，化简可得对比双曲线方程可知由双曲线中a、b、c的关系可得所以所以选B【点睛】本题考查了两点间斜率公式及双曲线标准方程，双曲线离心率的求法，属于中档题．2．（2023·高二课时练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】设，，，根据直线的斜率，以及，可得，再根据，即可求出．【详解】解：设，，，，，，，．故选：D．3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.考点五、余弦定理求离心率1．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取线段的中点，连接，利用平面向量数量积的运算性质推导出，可知，利用双曲线的定义求出、的长，利用余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，因为，则，因为为的中点，则，且，由双曲线的定义可得，所以，，则，由余弦定理可得，所以，，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可.【详解】在中，，设，由题意知,，由余弦定理得,，由椭圆定义知，则离心率.故选:C.3．（2023·山东烟台·校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.【详解】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率.故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).1．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义结合题意可得出，再由余弦定理求解即可得出答案.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形．设，则．因为，所以，又因为，所以，所以．在中，，由余弦定理得，所以，所以．故选：B.2．（2023·江苏南京·统考二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，设，，则，，，，中，，整理得到，即，故.故选：A考点六、构造齐次方程求离心率1．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直线，直线的方程，即可求出交点的坐标，从而得到点坐标，依题意可得点在椭圆上，将的坐标代入椭圆方程，即可得解.【详解】设椭圆的焦距为，则直线，直线，联立，解得，即，因为，故．因为，所以点在椭圆上，将代入椭圆的方程得，即，即，解得或（舍去）.故选：A2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知点是椭圆的左焦点，，直线交于，两点，若，均是线段的三等分点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设点在第三象限，是椭圆的右焦点是的中位线，轴【详解】不妨设点在第三象限，是椭圆的右焦点，连接，显然是的中位线，轴．易求得，作轴，垂足为，，，故点的坐标是，将点的坐标代入椭圆方程得，，即，解得，即椭圆的离心率为．故选：C.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：（1）直接求出a、b、c，计算离心率；（2）根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．3．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示：因为，则，，所以，，因为，则，设，则，则，由勾股定理可得，即，整理可得，因为，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.4．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知，是双曲线的焦点，圆，直线经过点，直线经过点，，与圆均相切，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据圆的半径及两角互余，再应用同角三角函数关系列齐次式方程，求解可得离心率.【详解】

如图，设直线，交于点P，且与圆C的切点为A，B，根据题意可得圆，∴四边形是边长为的正方形，∵在中，，在中，，又，∴，∴，化简可得：，,又，∴解得.故选：B.5．（2023·河北·校联考模拟预测）若双曲线（，）上存在四点，使得四边形为正方形，且原点为正方形中心，为双曲线右顶点，在第一象限，，设双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，分别设和，设与轴交于点，求出和，得到坐标和，代入双曲线方程可求出，即可求出.【详解】由已知，如图，设，∵，∴，设与轴交于点，∴在中，易求出，且，∴在中，，∴，将和代入双曲线的方程，得，，解得，即，∴∴.故选：C.【点睛】由于双曲线离心率的平方，因此本题解题的关键就是求出与的比值，利用题中几何关系，设长度为度量，将，都用表示，即可求解.6．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，（如图），过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意利用向量可求得点的坐标，结合椭圆方程运算求解.【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得：，则，因为，则，解得，即，且点在椭圆上，则，整理得，解得，即.故选：A.7．（2023·广东深圳·统考二模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设，由已知可得，，根据椭圆的定义有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式两边同时除以可得，，解得，或（舍去），所以.故选：C.8．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由点坐标求得点坐标，然后代入椭圆的方程，化简求得椭圆的离心率.【详解】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，将点坐标代入椭圆的方程得，，，所以离心率.故选：B1．（2023·山东烟台·校考模拟预测）设椭圆的焦点为，点P是C与圆的交点，的平分线交于Q，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作图，根据几何关系以及椭圆的定义求解.【详解】依题意作上图，因为是的角平分线，

，

，又P点在圆的圆周上，，是直角三角形，根据椭圆的定义有，由勾股定理得：，整理得：，即解得或（舍）；故选：D.2．（2023·山东聊城·统考三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点在第一象限，根据双曲线的性质得到和关于轴对称，结合直线的方程求出点的坐标，再将点代入双曲线的方程得到关于和的齐次的方程，即可求解.【详解】由题意，不妨设点在第一象限，由双曲线的性质可得，直线和直线关于轴对称，所以和关于轴对称，又，则设，，又直线的方程为：，所以代入点得：，解得：，即点，将点代入双曲线的方程得：，化解得：，解得：或，又因为，所以，则双曲线的离心率，故选：A.3．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意设，得到.根据，得到，根据勾股定理得到，再求离心率即可.【详解】如图所示：设，因为，所以.又因为，所以，即.因为，所以.因为，所以.在中，，解得，即，所以，即.所以，.故选：B4．（2023·河北·校联考模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且，延长交双曲线C于点P，若，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】设，则由双曲线的定义可得，，，然后在利用勾股定理可求出，再在中利用勾股定理可表示的关系，从而可求出离心率.【详解】设（），由双曲线的定义可得，，，由，可得，即，解得，又，即为，即为，则，故选：D.5．（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用数量积知识得，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图连接，令，则，，．因为，所以，即，得，又，所以，将代入，得．故选：A6．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出点P的坐标，由给定条件及椭圆的对称性可得点Q的坐标，再借助斜率坐标公式求出点P的坐标即可求解作答.【详解】设点，，中，，而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得，令椭圆半焦距为c，，由得：，解得，而，因此，即，又，则，整理得，而，则有，解得，所以该椭圆的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7．（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆的的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意设由椭圆的定义可求出，再由，代入化简即可得出答案.【详解】因为过作直线与椭圆相交于两点，若且，设，，由椭圆的定义知：解得：，所以，所以，则，则，.故选：C.考点七、离心率的范围及最值问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可.【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，所以，即的最小值为，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故选：A.2．（2023·四川·校联考模拟预测）已知椭圆：，定点，，有一动点满足，若点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设动点，求出其轨迹，求出，即得解.【详解】解：设动点，由题得，化简得.所以动点的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆.因为点轨迹与椭圆恰有4个不同的交点，所以.所以椭圆的离心率.因为椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据确定点的横坐标满足的关系式，再根据点在双曲线的右支上得到点的横坐标满足的不等式，解不等式即可.【详解】设点的横坐标为，，，即，由题可知，，得．故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆离心率为e，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率e的取值范围.【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为，又因为，且渐近线的斜率小于，即；所以，椭圆的离心率即离心率e的取值范围是.故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由和正弦值，可设出的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点的位置求出的范围，代入等式有解，可求出的关系，即可求出离心率的范围.【详解】解：因为，，不妨设，，，由椭圆定义可知：，，由勾股定理可知：，即，化简可得：，点在延长线上，且在椭圆内部，所以，，解得：.令在上单调递增，所以，解得：，，又，且在椭圆内部，所以，则，.故选B．1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出直线的方程，利用距离公式表示出，，依题意可得，再根据、、的关系得到关于的不等式，解得即可.【详解】依题意直线：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故选：B2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得出直线的方程，与双曲线方程联立得出点和的坐标，并得出不等式关系，再表示出，根据大于列出不等式，求解即可．【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，由，得，且，所以，，因为，且大于，所以，所以，解得，又因为，解得，所以，故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知即为等腰三角形，故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.4．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案.【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A5．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围.【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上.所以必须满足，得，，，，又，.故选：B【基础过关】一、单选题1．（2023·江西·统考模拟预测）椭圆的离心率为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】利用椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由，知，因为椭圆的离心率为，所以，即，解得.故选：C.2．（2023·浙江衢州·校联考一模）设椭圆的半焦距为，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解出，再由离心率公式计算即可.【详解】由，解得，即的离心率为.故选：C3．（2023·山西大同·校联考一模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由题得到，结合，即可求得.【详解】无论椭圆焦点位于轴或轴，根据点,,为椭圆的三个顶点,若是正三角形,则，即，即，即有，则，解得.故选：C.4．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知双曲线，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】，由此可得.【详解】由，得，则，，故．故选：B5．（2023·广西·校联考模拟预测）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C的另一条渐近线于点Q，若，则C的离心率为（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】结合图形可得，利用诱导公式和二倍角公式求得，然后由公式可得.【详解】设渐近线的倾斜角为，则，，则，解得（舍去）或，∴，∴.故选：D．6．（2023·江苏·统考一模）已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解.【详解】依题意，设，，则，又，两式做差可得即，所以.故选；B7．（2023·江西九江·统考一模）已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图形，分析出，则，则得到离心率.【详解】与的面积相等，为的中点，故为等腰直角三角形，，，，即，，，故选：C．8．（2023·贵州·统考模拟预测）椭圆的上顶点为是的一个焦点，点在上，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量关系得到三点共线，表达出点坐标，代入椭圆方程，求出离心率.【详解】因为，所以三点共线，其中，不妨设，，则，由得，解得，故，将其代入中得，，解得，故离心率为.故选：A9．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线的右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】作出图象，根据几何性质可得点的坐标，结合∥可得，进而求出离心率.【详解】由题意，在双曲线C:中，右焦点为，FN垂直于轴，由题意可知：，因为是BF中点，则，可得，且三点共线，则∥，可得，即,所以.故选：A.10．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且.若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围.【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，可得，，又，由余弦定理得，可得，得，即，可得，即，又时，可得，即，亦即，得.故选：B11．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆存在一点，若，则椭圆的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.【详解】设，，则，在中，，所以，所以，所以，因为，当且仅当时，取等号，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.故选：C二、填空题12．（2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线的对称点为．若过A，，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为．【答案】【分析】由题意得到过A，，F三点的圆的半径也为a，求出线段的垂直平分线的方程及线段的垂直平分线，求出交点及圆心坐标，从而利用半径列出方程，求出，得到离心率.【详解】由题意得：过A，，F三点的圆的半径也为a，其中，线段的中点坐标为，故直线的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线的方程为，又线段的垂直平分线为，联立与得：，故圆心坐标为，故半径为，故，其中，解得：.故答案为：13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【答案】2【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果.【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，的中点在渐近线上，则，又，所以，所以，所以.故答案为：.14．（2023·浙江温州·统考二模）已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是．【答案】/【分析】由题意可判断为抛物线和椭圆的通径，通过通径的公式可求出的值，进而求出椭圆的离心率.【详解】显然，由对称性易知为双通径，所以，所以．故答案为：.15．（2023·湖北武汉·武汉市第四十九中学校考模拟预测）点P是双曲线：（，）和圆：的一个交点，且，其中，是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为．【答案】/【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.【详解】

由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则，∴，，，．故答案为：【能力提升】一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答.【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】C【分析】连接，联立方程组求得，结合，得到，化简得到，进而得出离心率的方程，即可求解.【详解】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为，根据题意，点在第一象限，将代入，可得，可得由求根公式，可得，因为，且，所以，所以点由，可得，即，因为，所以，即，化简得，两边同除以，得，解得或（舍去）．故选：C.3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即.故选：D.4．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知为双曲线：的右焦点，平行于轴的直线分别交的渐近线和右支于点，，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，联立方程组求得，根据，得到，求得，再由在双曲线上，化简得到，结合，化简得到，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线：的渐近线方程为.设，联立方程组，解得.因为，所以，即，可得.又因为点在双曲线上，所以，将代入，可得，由，所以，所以，即，化简得，则，所以双曲线的离心率为.故选：B.二、多选题5．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．的最小值为 D．的最大值为【答案】BD【分析】根据椭圆和双曲线的焦点可判断A,由圆锥曲线的定义以及离心率的计算公式可判断B，结合对勾函数的性质可判断C，利用三角换元可判断D.【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，故A错误；对选项B：，不妨设为第一象限的点，即，由于，，故，，故，即，即，故B正确；对选项C：由得，则，令，所以，由于，所以对勾函数在单调递增，故,没有最小值，故C错误，对选项D：设，，，，若最大值为，则，，，即，，，成立，故D正确；故选：BD6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】当时，不符合题意舍去；再分、求得渐近线的斜率，再根据离心率定义即可求解.【详解】当时，两渐近线的斜率为，此时直线与另一渐近线平行，不满足题意.当时，如图1所示，.，又，解得，，，，即渐近线的斜率为，当时，如图2所示，设与轴交于点P，，，又，解得，即渐近线的斜率为，综上，双曲线的离心率为或.故选：AC.7．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（

）A．最大时， B．的最小值为2C．椭圆的离心率等于 D．的取值范围为【答案】ABD【分析】对于A，根据当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，再根据，代入进而即可求解；对于B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C，运用角平分线定理即可求解；对于D，由正弦定理可得，再又结合A可得，从而得到，再根据题意得到，进而即可求解．【详解】对于A，设，，则，且，所以，则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，又，所以当最大时，，即，故A正确；对于B，过点作，垂足为点G，又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，由，又，同理，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，则由角平分线定理可得，即，故C错误；对于D，设，，，由正弦定理可得，即，则，即，因为，又结合A有，所以，即，所以，又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，所以，即，所以，故，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题8．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e取值范围为．【答案】【分析】在，由正弦定理结合条件有:，再由的范围可求出离心率取值范围.【详解】由，，设，，在中，由正弦定理有：，离心率，则：解得：，由于，得，显然成立，由有，即，得，所以椭圆离心率取值范围为．故答案为：.9．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为【答案】/【分析】设直线方程为与双曲线方程联立，根据求解.【详解】解：如图所示：设直线方程为与双曲线方程联立，解得，因为，所以，即，即，解得，故答案为：10．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．【答案】/【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以，故答案为：【真题感知】1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A2．（2022·全国·统考高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.3．（全国·高考真题）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，