2024年北京各区中考数学二模试题分类汇编之代数综合(教师版)

1.在平面直角坐标系尤Oy中，点、P(m,0)为x轴正半轴上的一点，过点P做无轴的垂线，分

别交抛物线y=-f+2尤和y=--+3尤于点跖N.

，，、出1口』MN

(1)当机=一时，---=;

2PM

(2)假如点尸不在这两条抛物线中的任何一条上.当四条

线段OP,PM,.PN,MN中恰好有三条线段相等时，

求m的值.

1

1.解：（1）1;..............................................................................................................1分

（2）・.•OP=m,

MN=（-（—m2+2m）=m,

：.OP=MN.............................................................................................................2分

①当OVMV2时，

*.*PM=—m2+2m,PN=—m2+3m.

:•若PM=OP=MN,W—m2+2m=m,解得m=0,m=l（舍）...........3分

若PN=OP=MN,有一疗+3机二机，解得加=0（舍），m=2（舍）.............4分

②当2＜相＜3时，不存在符合条件的机值...............................5分

③当m＞3时，

*.*PM=m2—2m,PN=m2—3/m.

:•若PM=OP=MN,Wm2_2m=m,解得加=0（舍），m=3（舍）.............6分

若PN=OP=MN,有？n?—3m=m,解得m=0（舍），m=4.................................7分

综上，当加=1或机=4,这四条线段中恰有三条线段相等.

2

2.已知关于x的方程：x2-(m-l)x-m=O①和球

2

x-(9-m)x+2(m+l)=3(2),其中根>0.：一

(1)求证：方程①总有两个不相等的实数根；3

2-

(2)设二次函数为二%2一(加一1)无一根的图象与％轴交于1-

A、8两点(点A在点8的左侧)，将A、6两点根—一…？…3T

据相同的方式平移后，点A落在点A'(l,3)处，点6落:

在点£处，若点B,的横坐标恰好是方程②的一个根，”

求m的值；

(3)设二次函数%=好—(9—m)x+2(m+l),在(2)的条件下，函数为,为的图象

位于直线x=3左侧的部分与直线y=(左>0)交于两点，当向上平移直线

y=依时，交点位置随之改变，若交点间的距离始终不变，则左的值是.

3

2.解：(1)A={m-1)2+4/zi=m2+2m+1=(ZM+1)2,.........................................1分

由〃z>0知必有772+1>0,故A>0.

方程①总有两个不相等的实数根....................................2分

(2)令必=0,依题意可解得4-1,0),B(m,0).

:平移后，点A落在点A'(l,3)处，

...平移方式是将点A向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.

A点B(m,0)按相同的方式平移后，点8'为(m+2,3)....................................3分

则依题意有⑺+2)2—(9—根)(根+2)+2(〃+1)=3......................................4分

解得叫=3,m2=一g(舍负).

m的值为3........................................................................................................5分

3

(3)k=-...........................................................................................................7分

4

3.经过点（1,1）的直线/：y=kx+2（左wO）与反比例函数Gij=—（加wO）的图象交

x

于点A（—l,a）,B（。，-1）,与y轴交于点D

（1）求直线/对应的函数表达式及反比例函数Gi的表达式；

（2）反比例函数G2：:%=工（”0）,

x

①若点E在第一象限内，且在反比例函数G2的图象上，若EA=EB,且44仍的面积

为8,求点E的坐标及t值；

②反比例函数G2的图象与直线/有两个公共点N（点M在点N的左侧），

若DM+DN<3亚,干脆写出r的取值范围.

5

3.(1)解：•..直线/:y=^+2(人/0)经过(—1,1),

k=­1,

；・直线/对应的函数表达式y=-1+2..............................................1分

vn

•••直线/与反比例函数Gij=—(mW0)的图象交于点A(—l,a),B(6,

x

-1),

/.a=b—3.

A(-l,3),B(3,-1).

m=-3

(3)分两种状况：

(i)当/>0时，贝|0<t<l；......................................................................6分

(ii)当/<0时，则一』<f<0.

4

综上，当-:</<0或0<t<l时，反比例函数G2的图象与直线/有两个公共点

6

4.已知：关于x的一元二次方程加X2+(加一3)%一3=0.

(1)求证：无论加取何值，此方程总有两个实数根；

(2)设抛物线丁=如2+(加一3)”3,证明：此函数图像肯定过x轴，y轴上的两个定点

(设x轴上的定点为点A,y轴上的定点为点C)；

(3)设此函数的图像与x轴的另一交点为3,当△ABC为锐角三角形时，求加的取值范围.

6-

3-

____|_______________________111A

-3036x

-3-

-6-

7

4.解：(1)A=(m-3)2+12m=(m+3)2

V(m+3)2＞0

・・・无论m取何值，此方程总有两个实数根........2分

_3-m±-3)2+12m_3-m±(m+3)

(2)由公式法:

1,22m2m

4分

m

・・・此函数图像肯定过x轴，y轴上的两个定点，分别为A(—l,0),C(0,-3)

4分

3

(3)由(2)可知抛物线开口向上，且过点A(-1,0),C(0,—3)和8(—，0).

m

视察图象，当初＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意.

当机＞0时，可知若NACB=90°时，

可证△AOCS/^COR

.AOCO

"CO"50'

/.\oc^=\O^»\OB\.

：.32=lx\OB\.

.•.02=9.即B(9,0).

3

...当0〈一＜9时，△ABC为锐角三角形.

m

即当机〉工时，△ABC为锐角三角.形.

7分

3

8

5.如图，二次函数丁=%2+法+0经过点(-1,0)和点(0,-3).

(1)求二次函数的表达式；

(2)假如一次函数丁=4%+根的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m的值和

该公共点的坐标；

(3)将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成

一个新的图象，该图象记为G,假如直线丁=4^+〃与图象G有3个公共点，求n的值.

y,

4

3

2

1

-4-3-2-1O1234x

-1-

-2

-3

-4

9

5.解：（1）把（-1,0）和（0,-3）代入到y=3+笈+。中，得

0=1—Z?+c

1分

13=c

[b=-2

解得：《...•3分

c=-3

所以y=%2_2%—3

y=x2-2x-3

（2）由题意得：v

y=4x+m

x2-6x-(3+m)=0

.•.△=(—6)2+4(3+刈)=0

:.m=-12......................4分

y=x2-2x-3

\y=4x-12

x=3

解得：＜

y=0

：.m=-12,公共点为(3,0)5分

(3)原抛物线解析式为：y=V—2%—3

原抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线：y=/+2x-3

,[y=x2+2x-3

由《

y=4x+n

得d—2x-3-71=0

.•・△=(-2)2+4(3+0=0

/.n=-4.............................................6分

将(0,-3)代入至Uy=4x+几中，得〃二一3.......................7分

综上，〃=—3或〃=—4.

10

6.关于x的一元二次方程x2-3(m+l)x+3m+2=0.

(1)求证：无论机为何值时，方程总有一个根大于0；

(2)若函数y=，-3(加+l)x+3加+2与％轴有且只有一个交点，求机的

值；

(3)在(2)的条件下，将函数y=/一3(加+1)%+3加+2的

图象沿直线％=2翻折，得到新的函数图象G.在刘V轴即

上分别有点尸。，0),2(0,20,其中，＞0,当线段尸。与

函数图象G只有一个公共点时，求，的值.：

O

11

6.(1)证明：(x-l)[x—(3〃z+2)]=0

Xj=1,xl=3m+2................................................................1分

X]=1>0

无论加为何值时，方程总有一个根大于0；.....................................2分

(2)解：：若函数y=/-3(〃z+l)x+3根+2与无轴有且只有一个交点

A=9(m+1)2-4(3/n+2)=0............................................................3分

1

/.m=——4分

3

(3)解：当机=—；时，函数y=X?-2x+l=(x-l)2

依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为：

y=(x—3)2=x"—6x+9,图象G如图所示.

可得，y=(x-3)2=--6x+9与x,y轴的

交点分别为(3,0),(0,9).

设直线PQ的解析式为y=kx+b(kw0),

由尸(r,0),2(o,2t).

：.直线PQ的解析式为y=-2x+2t.........5分

①当线段PQ与函数图象G相切时，

—2x+2。=%2—6x+9

A=16-4(9-2?)=0

2

②当线段PQ经过点(0,9)时，2t=9

9

2

59

综上：当%二,或时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点.....7分

12

7.已知关于x的一元二次方程/一3x+k-1=0有实数根，k为正整数.

(1)求人的值；

(2)当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y=——3x+k-1

的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿x轴翻

折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G.当直线y=5x+b与图象G

有3个公共点时，请你干脆写出b的取值范围.

n

4-

3■

1

13

8.⑴解：

•••方程有实数根

A>0

，13—4左20

为正整数为1,2,3...................2分

(2)当左=1时，\=9,方程的两个整数根为6,0

当左=2时，A=5,方程无整数根

当左=3时，A=l,方程的两个整数根为2,1

；•左=3,原抛物线的解析式为：y=x2-3x+2................4..分

•••平移后的图象的解析式为y=x2-3x......................5分

(3)I.b的取值范围为—.........................7分

14

9.已知关于x的一元二次方程如2+4尤+4-租=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若加为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求”的值；

(3)在(2)的条件下，设抛物线〉=蛆2+4》+4-机与x轴交点为A、B(点8在点A

的右侧)，与y轴交于点C.点。为坐标原点，点尸在直线BC上，且OP=；BC,

求点P的坐标.

15

9.(1)证明:Zi=42-4/^(4-/«)=16-16m+4-m2=4(/〃一2)220,1分

...方程总有两个实数根...........................“2分

_T±,4(m一2)2_T±2(m_2)

(2)解•X——

2m2m

—4+2(m—2)_m—4-4-2(m-2),

------------二—1.3分

2mm2m

・・•方程有两个互不相等的负整数根,

m—4八

・•・------<0.

m

m>0,m<0,

或<

m-4<0.m—4>0.

0<m<4.

;力为整数，，机=1或2或3.4分

1-4

当m=l时,寸丁=一3。冗2，符合题意;

2-4

当m=2时，=—1=%，不符合题意;

2

3-4

当m=3时，%—=但不是整数，不符合题意•

1332

m=l..................................5分

（3）解加=1时，抛物线解析式为丁=三+4》+3.

令y=0,得％=-1,4=-3；令x=0,得y=3.

AA(-3,0),B(~1,0),C(0,3).

ABC=712+32=V10.

1M

：.OP=-BC=--.

22

设直线BC的解析式为y=kx+b,

.Jb=3,4=3,

-k+b=0.k=3.

・,・直线BC的解析式为y=3%+3.

22

设尸（不，3%+3）,由勾股定理有：x0+（3x0+3）=

整理，得2Oxo2+36xo+13=O.

1、13

解得/=――或/=----.

2°10

13139

P(—,—)或尸(----,----).7分

221010

16

10.已知：关于x的一元二次方程（42-1）X2—（3左—l）x+2=0.

（1）当方程有两个相等的实数根时，求左的值；

⑵若k是整数，且关于x的一元二次方程（左2—1）必-（3左-l）x+2=0有两个不相等的

整数根时，把抛物线y=（左2-1）公-（3左-l）x+2向右平移;个单位长度，求平移后

抛物线的顶点坐标.

17

10.(1)：原方程是关于X的一元二次方程

：.k^±l

:方程有两个相等的实数根

A=(A-3)2=0...........................................1分

...仁3

•••上3时，原方程有两个相等的实数根...............................2分

(2)...方程有两个不相等的整数根，

；.(4—3)2〉0,且左#±1............................................3分

._(34-1)+(左-3)_3左-1+--3_4左-4_2

•,玉一-2(♦」)一—2(公-1)―2(左2一1)一诟

、=(3M)-(4-3)=3公1-左+3=2k+2=1八

.一2(♦一1)-2(-_1)-2(O一百................4刀

当左=0时，可使X],与均为整数，

k=0......................................................5分

当左=0时，抛物线为y=-必+x+2.

19

顶点坐标为(一，一)....................7分

24

,1

把抛物线y=-/+x+2向右平移,个单位长度后，得到的抛物线的

9

顶点坐标为(1,—).................................7分

4

18

11.已知抛物线y=ax2-(3a+l)x+2(a+1)(aw0).

(1)求证：无论〃为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点；

(2)若抛物线y=ad—(3。+1)犬+2(〃+1)与x轴交于A(九0)、B(n,0)两点，m、

〃、4均为整数，一次函数广质+b(ZW0)的图象经过点尸(九一1,〃+1)、Q(0,〃)，求一次函

数的表达式.

19

11解：(1)证明：△

=[-(3a+l)]2-4ax2(o+l)...................................................................................1分

=a?—2a+1

=(«-1)2>0

无论4为任何非零实数，该抛物线与无轴都有交

点.........................2分

(2)解：..•抛物线y=奴？—(3a+l)x+2(a+1)与无轴交于0)、B(n,0)两

点，

••ClW1.

令y=ax2一(3a+l)x+2(。+1)(aw0)中y=0,

有:ax2-(3a+l)x+2(〃+1)=0.

解得：x=2,

।1八

x=1+—・.........................................................................................