2024年河北省唐山市高考数学一模试卷及答案解析

2024年河北省唐山市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

9

1.（5分）已知i为虚数单位，复数Z=BM，则z-2=（)

A.1+iB.1-iC.V2D.2

2.(5分)已知xCR,p：q：ux>1n,则.是乡的（）

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

TT,7

3.(5分)已知向量。=(3,-1),b=(-2,x),若a_L(a+b),则|力|=()

A.2V5B.4C.2V10D.20

4.（5分）已知函数/'（%）=则/（无）的最小值为（)

A.0B.2C.2V2D.3

5.（5分）从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是

（）

6.（5分）已知抛物线E：/=以的焦点为R以P为圆心的圆与E交于A,B两点，与E

的准线交于C,D两点,若|CD|=2VH,贝（）

A.3B.4C.6D.8

7.（5分）已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°,则球表面

积与圆台侧面积之比为（）

A.2：3B.3：4C.7：8D.6：13

8.（5分）已知函数无）=|sil!3x|+COS3尤（3>0）的最小正周期为TT,贝!］（）

A.f（x）在［―工，总单调递增

B.（普，0）是无）的一个对称中心

C.f（x）在［一9，的值域为［1,V2］

D.%=工是/（x）的一条对称轴

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知样本数据：1,2,3,4,5,6,7,8,9,则（）

A.极差为8B.方差为6

C.平均数为5D.80百分位数为7

（多选）10.（6分）已知函数f（x）=--3x+l,则（）

A.直线y=—却是曲线y=/（x）的切线

B.f（x）有两个极值点

C.f（x）有三个零点

D.存在等差数列｛丽｝,满足£晨1f（aQ=5

（多选）11.（6分）在透明的密闭正三棱柱容器ABC-A131C1内灌进一些水，已知AB=

A41=4,如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3.固定容器底面一边AC于地面上,

再将容器按如图方向倾斜，至侧面ACC1A1与地面重合的过程中，设水面所在平面为a,

A.水面形状的变化：三角形一梯形一矩形

B.当CiAiua时，水面的面积为2闻

C.当86a时，水面与地面的距离为学

D.当侧面ACGA1与地面重合时，水面的面积为12

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）在（2/—1）4的展开式中，常数项为.（用数字作答）

13.（5分）在AABC中，AB=5,BC=7,AC=8,。是AB边上一点，CD1AB,贝1]CD

xy

14.(5分)已知椭圆E：下+G=l(a〉b〉O)的左、右焦点分别为为，F2,过放的直线

azb"

交E于A,B两点，C(0,-1)是线段BFi的中点，且法•晶=品2,则E的方程

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知数列｛如｝是正项等比数列,其前〃项和为S”，且a2a4=16,5s=53+24.

(1)求｛珈｝的通项公式;

(2)记｛a〃+log2a”的前n项和为Tn,求满足乙＜2024的最大整数n.

16.(15分)某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分.某人答对每道题

的概率都是士每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X.

4

(1)求此人得分的期望；

(2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由.

17.(15分)如图，三棱柱A8C-A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，底面ABC为等边三角

形.

(1)证明：AiB=AiC；

(2)若AiC_LAiB,AiA=AB=2,

①证明：平面A1BC_L平面ABC；

②求平面ABC与平面A18C1的夹角的余弦值.

xy1

18.(17分)已知双曲线「：—-—=l(a>0,6>0),A(2,3),8(弓，0),直线A8

a，DZz

与r有唯一公共点A.

(1)求「的方程；

(2)若双曲线「的离心率e不大于2,过B的直线/与「交于不同的两点M,N.求直

线AM与直线AN的斜率之和.

19.(17分)已知函数/(%)=tanx,g(x)=sin(2x+l)-2ln(cosx).

(1)求曲线y=/(x)在点G，1)处的切线方程；

(2)当xe(0,刍时，求g(x)的值域.

2024年河北省唐山市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.(5分)已知，为虚数单位，复数z=等，则z-2=()

A.l+iB.1-zC.V2D.2

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合共轨复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算即可求解.

【解答】解：言•为虚数单位，复数z=行誓&=17,

••z—1+i,

则z・2=(1-z)(1+0=2.

故选：D.

【点评】本题考查了共轨复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌

握公式，属于基础题.

2.(5分)已知xCR,p：-尤>0",q：贝!]p是q的()

A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式尤2-x>0,然后根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【解答】解：:/-X〉。得出X>1或x<0,得不出x>l；

尤>1得出/-x>0,

；.p是q的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充分条件和必要条件的定义，是基础题.

3.(5分)已知向量。=(3,-1),b=(-2,x),若a_L(a+b),则网=()

A.2V5B.4C.2V10D.20

【答案】A

【分析】根据向量垂直的性质，求出尤，再结合向量模公式，即可求解.

T7

【解答】解：。=(3,-1),b=(-2,x),

i—T

则a+b=(1,%—1),

—>T—

a_L(a+b),

则a-(a+b)=3x1—(%—1)=0,解得％=4,

故山=J(-2/+42=2V5.

故选：A.

【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

4.(5分)已知函数7•&)则无)的最小值为()

A.0B.2C.2V2D.3

【答案】C

【分析】令uGl,把原函数转化为关于f的函数，分离变形后结合基本不等式即可

求解.

【解答】解：令仁正二^则x=2+P,f20,

原函数可化为产孚=什微22H=2也

当且仅当仁昌即仁鱼，x=4时取等号.

故选：C.

【点评】本题主要考查了换元法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

5.(5分)从正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是正三角形的概率是

()

1133

A.—B.-C.—D.一

427147

【答案】B

【分析】利用古典概型的概率公式，即可解出.

【解答】解：正方体八个顶点中任选三个能构成正三角形的有8种结果；

从八个顶点中任选三个构成三角形的有CI=56种结果；

O1

故所得正三角形的概率为：—=

567

故选：B.

【点评】本题考查了古典概型的概率公式，学生的数学运算能力，属于基础题.

6.（5分）已知抛物线/=虱的焦点为R以尸为圆心的圆与£交于A,8两点，与E

的准线交于C,。两点，若|CD|=2何，贝（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据抛物线及圆的几何性质易得圆产的半径，再利用抛物线的焦半径公式求出

A点的横坐标，从而可得A点纵坐标，即可求解.

【解答】解：•••抛物线E方程为：/=©,

；.p=2,...焦点厂为（1,0）,准线方程为尤=-1,

圆心F到准线的距离为p=2,又|CD|=2闻，

...圆F的半径为卜+（空/=5,

„p

|AF|=5,即金+支4=5,1+XA=5.

.,.XA—4,代入y2=4x中可得|ya|=4,

：.\AB\=2\yA\=8.

故选：D.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，圆的几何性质，方程思想，属基础题.

7.（5分）已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60。，则球表面

积与圆台侧面积之比为（）

A.2：3B.3：4C.7：8D.6：13

【答案】B

【分析】作出圆台的轴截面，利用切线长定理可得母线与半径的关系，结合60°可得圆

台的上下半径以及球的半径的关系，即可利用面积公式求解.

【解答】解：设圆台上下底面圆的半径为ri,n,母线为/,球的半径为R,

取圆台的轴截面ABCD,则四边形ABC。为等腰梯形，

圆台的外接球球心为0,则球心0在截面ABCD内，

在截面ABC。内，设圆。切梯形43。的边A3、BC、CD、D4分别于点E、F、G、H,

由切线长定理可得AE=AH,DG=DH,AD=DH+AH=DG+AE,l=n+n,

由于/ABC=60°,所以GE=2R=lsin60°,r2-rr=^l,解得太=36，R=四万,

S球4兀M4X(遮々)23

一「

S圆台7r(riZ+r2Z)—&1+31)2—4

故选：B.

【点评】本题考查了球的表面积与圆台侧面积的计算，属于中档题.

8.(5分)已知函数/(x)=[in3x|+cos3x(3>0)的最小正周期为it,贝！J()

A./(%)在[一工，总单调递增

B.(普.0)是/(x)的一个对称中心

C.f(x)在[一9，的值域为[1,V2]

D.x=工是f(x)的一条对称轴

【答案】C

【分析】依题意，可求得3=2,再利用函数的性质对四个选项逐一判断即可.

【解答】解：(x)=|sino)x|+cos(ji)x(a)>0)的最小正周期为m

2TT

：.T=—=u,解得3=2,

3

(x)=|sin2x|+cos2x,定义域为R,且满足了(-%)=/(%),

：.f(x)为偶函数，

.V(X)在[一?自上不单调，A错误；

.3TT3TT3TT

V/1(x)+f(——x)=|sin2x|+cos2x+|sin2(——x)|+cos2(——x)=|sin2x|+cos2x+|cos2x|

444

-sin2%W0,

•••(葛，0)不是/(X)的一个对称中心，8错误；

*TC_,TCTTTC7TC

令尤[0,-],则2rC[0,-],2X+^G[-,—],

f(x)=|sin2x|+cos2x=sin2x+cos2x=V2sin(2x+q)G[1,V2],

,：f(x)为偶函数,

.V(X)在[—9]的值域为[1，V2],C正确；

TCTCTC

*.,/(――x)=|sin2(—―%)|+cos2((——x)=|cos2x|+sin2xW/(x),

444

.•.尤=看不是/(无)的一条对称轴，D错误.

故选：C.

【点评】本题考查三角函数的周期性、单调性、对称性及最值等性质的综合运用，考查

逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

(多选)9.(6分)已知样本数据：1,2,3,4,5,6,7,8,9,则()

A.极差为8B.方差为6

C.平均数为5D.80百分位数为7

【答案】AC

【分析】对于A,结合极差定义，对于2,结合方差公式，对于C,结合平均数公式，对

于。，结合百分位数的定义求解.

【解答】解：对于4极差为9-1=8,故A正确；

1

对于C,平均数为-(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,故C正确；

9

对于B,?=(1-5)2+(2-5)2+(3-5)2++(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7

-5)2+(8-5)2+(9-5)2]=写，故8错误，

对于O,V9X0.8=7.2,

这组数据的第80百分位数是按从小到大顺序排列后的第八位，即第80百分位数是8,

故。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了数据统计量的计算，考查计算能力，属于基础题.

(多选)10.(6分)已知函数/(x)=?-3x+l,则()

A.直线y=—圻是曲线y=/(x)的切线

B./(x)有两个极值点

C.f(x)有三个零点

D.存在等差数列｛而｝,满足，江1"在)=5

【答案】BCD

【分析】先对函数求导，结合导数几何意义检验选项A；结合导数与单调性及极值关系

检验选项B；结合单调性及零点存在定理检验选项C；结合函数性质及等差数列的性质

检验选项D.

【解答】解：f(x)=3/-3=3(x+1)Cx-1),

令f(x)=0,得尤=±L

所以函数/(X)在(-8,-1)和(1,+8)上单调递增，在(-1,1)上单调递减,

所以函数/(%)在％=-1处取得极大值，在x=l处取得极小值，所以选项5正确；

3,V2

f(x)=3(x+1)(x-1)=—5,解得x=±—，

,22

/(y)=1-苧，/(-孝)=1+警，

经检验直线y=-怖％是曲线y=/(无)在工=-1处的切线，所以选项A不正确；

易得了(%)在(-8,-1),(1,+8)单调递增，在(-1,1)上单调递减，

又/(-2)=-1<0,/(-1)>0,故/(x)在(-8,-1)上存在唯一零点，

/(I)<0,f(x)在(-1,1)上存在唯一零点，

f(2)>0,即/(X)在(1,+8)上存在唯一零点，即共3个零点，所以选项C正确；

在等差数列｛即｝中，若〃3=0,

贝(71-"45,6E2■—"C14»

又/(-x)+f(x)=2,f(0)=1,

则f9k)=f(ai)+f(02)4/(.3)+f(6Z4)4/(.5)=2+2+l=5,所以选项D正

确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系，导数几何意义在切线方程求解中的

应用，属于中档题.

(多选)11.(6分)在透明的密闭正三棱柱容器ABC-AbBiCi内灌进一些水，已知

AAi=4,如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3.固定容器底面一边4c于地面上,

再将容器按如图方向倾斜，至侧面ACC14与地面重合的过程中，设水面所在平面为a,

则（）

A.水面形状的变化：三角形一梯形一矩形

B.当CiAiua时，水面的面积为2何

c.当Beet时，水面与地面的距离为M

D.当侧面ACC1A1与地面重合时，水面的面积为12

【答案】ABC

【分析】根据题设条件得到”=12日，正三棱柱的体积了=16百，再结合各个选项的

条件，逐一分析判断，即可得出结果.

【解答】解：由题知V水=SnABch=苧x16x3=12V3,正三棱柱的体积，=字x16x

4=16V3,

对于选项4当容器按题设方向倾斜至Bea时，水面形状是三角形，

再倾斜时，水面形状是梯形，

直到侧面ACC1A1与地面重合时，水面形状是矩形，所以选项A正确；

对于选项8,如图1,当容器按题设方向倾斜至CiAiua时，

图1

设水面与棱381的交点为M，设

又三棱柱ABC-AiBiCi为正三棱柱，取BiCi中点E,连接4E,

易知Ai£_LBiCi,A1ELB1B,XBBiPiBiCi=Bi,BBi,BiCi<=[fjBCC1B1,

所以4小_1面8。。初，所以Ai到平面8CC向的距离为4/=2V3,

11

所以Kii-MBiR=3X2X^XaX2遮=4k，解得。=3,

22

此时水面图形为AAIMCI,又41M=CrM=V3+4=5,4的=4,

取4C1中点，则碗，4G,且HM=A/25-4=V^T,

所以SZIAMCI另x4x&T=2VH,故选项B正确；

对于选项C,如图2,当容器按题设方向倾斜至Bea时，设水面与棱ALBI,CLBI的交点

图2

易知厂G〃4Ci〃AC,设BiP=BiG=b,

由%-BFG=称SAB/GBBI=|x|x4b2sin^=4^3,得到b=2V3,

因为水面始终与地面平行，AC始终与水面平行，且AC始终在地面上，

所以水面与地面的距离，即AC到平面的距离，

取AC中点。连接H。，BQ,设BiH交FG于K,连接BK,

易知HQ_LAC,BQ±AC,又HQCBQ=Q,HQ,BQu面QBB1H,所以4(7_1面QBBi//,

y.FG//AiCi//AC,所以尸G_L面。BBiH,过。作。R_L8K于R,连接QR,

因为QRu面QBBi/f,所以PG_LQR,又FGCBK=K,FG,BKu面a,

所以QR±a,即QR为水平面到地面的距离，

如图3,过K作KP_LQB于P,易知BiK=2gsi靖=3,所以BK=19+16=。

HB、

R

QB

图3

KP4「_4

得到sin/QBR=抬=耳，又QB=2遮，所以QR=QBsinNQBR=2百X耳=等,

故选项C正确；

对于选项。，如图4,当侧面ACC1A1与地面重合时，水面a为矩形EiHiMMi,

177

设2Ei=f,则由%1MlNi-BEi%=SABEI/BB]=2X4户5讥可=4百，解得，=2,

所以E1H1=2,故S/HINIMI=4X2=8,所以选项。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，属于难题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（5分）在（2x3—3”的展开式中，常数项为-8.（用数字作答）

【答案】-8.

【分析】利用二项式展开式通项求常数项即可.

【解答】解：由题设，展开式通项为T『+1=C£（2x3）4-r（_》r=（一1）『以24fxi2一针,

=0,1,-3,

令12-4厂=0,解得厂=3,则常数项为-1><4X2=-8.

故答案为：-8.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

13.（5分）在△ABC中，AB=5,BC=1,AC=8,。是AB边上一点，CD1.AB,则CD=

4V3.

【答案】4V3.

【分析】先作出示意图，根据余弦定理求出cos/B,进而求出sin/B,再根据面积公式

得到SMBC,再根据以SAABC=|XCDX=|CD求解即可.

【解答】解：根据题意作图如下：

rciy_,.n匚八八r“八oruz/r>_AC^7^+5^—8^1

因为AB=5,BC=1,AC=8,所以cos/=---2B6Am--=-2x~7x5-=7'

所以sin/B=V1—cos2/-B-

所以S—BC=2xBCxABxsin乙B=IOA/3,

因为CD1AB,所以S“BC=:xCDxAB=|CD,

所以|CD=loVs,

所以CD=4V3.

故答案为：4V3.

【点评】本题主要考查解三角形，属于中档题.

x2y2

14.(5分)已知椭圆£：二+公=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸1,尸2,过尸2的直线

azb4

—>—>—>

交E于A,B两点，C(0,-1)是线段的中点，且则E的方程为

x2y2

—+—=1.

~95

x2y2

【答案】U+—=1.

96

【分析】根据题意易得AAB乃为等边三角形，从而根据椭圆的几何性质建立方程，即可

求解.

【解答】解：・・,C(0,-1)是线段3乃的中点，又。是为尸2的中点，

OC//BF2,BPOC//AB,又。C_L是/1/2,

：.ABLF\Fi,.-.|AFi|=|BFi|,且弦A3为椭圆的通径，

2b2

・・・|瓦切为通径长一的一半，且|8/2|=2|OC|=2,

a

b2，

—=2,

a

—»——»

.•.又4BTC="2,.•.根据向量投影及数量积的概念可知AC_LBFI,

又C是线段B乃的中点，二|4四|=又14Al=|5尸1|,

AABF1为等边三角形，•,.|FIF2|=V3|BF2|,

)2

2c=2A/3,c=遮,又一=2,

a

Q2一Q2—3

--------=--------=2,2。-3=0,40,

aa

解得。=3,.,.b2=a2-C2=9-3=6,

x2y2

，椭圆E的方程为工+—=1.

96

X2V2

故答案为：—+—=1.

96

【点评】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的概念，方程思想，属中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知数列｛板｝是正项等比数列，其前〃项和为品，且々2。4=16,55=53+24.

(1)求｛即｝的通项公式;

(2)记｛劭+log2。”｝的前n项和为Tn,求满足7^<2024的最大整数n.

【答案】(1)许=2"-1,“6N*；

(2)10.

【分析】(1)先设等比数列｛斯｝的公比为q(q>0),再根据题干已知条件及等比数列的

性质列出关于公比q的方程，解出q的值，根据等比数列的通项公式即可计算出数列｛如｝

的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛斯+10g2。”｝的通项公式，再运用分组求和法，

以及等差数列和等比数列的求和公式计算出前n项和6的表达式，然后运用作差法分析

出数列｛T”｝是单调递增数列，进一步推导即可计算出满足乙<2024的最大整数n.

【解答】解：(1)由题意，设等比数列｛斯｝的公比为4(q>0),

贝!J4244=送=16,即43=4,

755=53+24,

.*.S5-S3=〃4+〃5=4q+4q2=24,

化简整理，得/+q-6=0,

解得q=-3(舍去)，或4=2,

・,・加=Q3・q〃-3=4・2〃-3=2〃-i,HEN*.

(2)由(1)可得，即+log2Q〃=2〃-l+log22〃-1

=2〃一1+〃-1,

则Tn=(2°+0)+(21+1)+(22+2)+・・・+[2〃-1+(〃-1)]

=(2°+21+22+-+2n-1)+[0+1+2+-+(〃-1)]

_2°-2nn(n-l)

=1-2+-2-

=2〃一1+也尹，

•F+i=2"+i-1+

Tn+1-Tn=2n+l-1+"(室)-[2"-1+"7)]

=2n+n>0,

数列｛%,｝是单调递增数列，

•当w=10时，Tio=2i0-1+等它=1068<2024,

当〃=11时，为1=2“-1+I。("=2102>2024,

满足£<2024的最大整数n的值为10.

【点评】本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，转

化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，等比数列的性质，

作差法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

16.(15分)某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分.某人答对每道题

的概率都是士每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X.

4

(1)求此人得分的期望；

(2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由.

【答案】(1)10：(2)2,理由见解析.

【分析】(1)由题意可知X〜B(8,根据期望公式求解即可；

4

(2)设答对人道题的可能性最大，列不等式求解即可.

【解答】解：(1)某人答对每道题的概率都是3则答对题目的个数X服从二项分布，

4

11

即X〜3(8,-),E(X)=8X彳=2,

44

由于每道题答对得5分，所以此人答题得分为5X,因此在此项测试中，此人答题得分的

期望为E(5X)=5E(X)=10.

(2)设此人答对左道题的可能性为P(X=k)=x(1)8-fc,k=(0,1,8,

Pf_蜜)@d_2-8

P(X=kT)瑞，，，，

8!1

/c!(8-fc)!V4

=S'3

(/c-l)!(9-fc)!X4

9—ky9—4k

=3F=1+^^，

Q

当AV,时，pk>pk-\ypz随人的增加而增加，即p2>pi>p0,

Q

当时，pk<pk-l,随我的增加而减小，即p8Vp7<...<p2,

所以当左=2时，分最大，因此此人答对2道题的可能性最大.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题.

17.(15分)如图，三棱柱ABC-4B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，底面ABC为等边三角

形.

(1)证明：AiB=AiC；

(2)若AiC_LAiB,A\A=AB=2,

①证明：平面A1BC_L平面ABC；

②求平面ABC与平面48。的夹角的余弦值.

1

V21

【答案】(1)证明见详解；(2)—.

【分析】(1)取BC中点为。连结AO,A10,证明平面A410,再由等腰三角形

中三线合一即可证明结论；

(2)①证明A1OL平面ABC,即可证明结论；②建立空间直角坐标系求解.

【解答】解：(1)证明：取BC中点为0.连结AO,A10.

因为侧面班1C1C为矩形，所以又则441L8C,

由底面ABC为等边三角形，所以AOLBC.

故BC_L平面A41O,

由于AiOu平面A410,故AiO_LBC.

又BO=CO,故A18=A1C.

(2)①证明：由A1CL41B,。为BC的中点及Ai5=4C,所以40=20=1.

又A0=陋,441=2,得泡=4。2+4。2,则Ai0_L04,

XAiOXBC,OAHBC=O,所以AiO_L平面ABC,

AiOu平面4BC,故平面48aL平面ABC；

②以。为坐标原点，OA,0B,。41所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系。-孙z.

4(0,0,1),^(V3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0).

OAr=(0,0,1),A1Cr=AC=(-V3,-1,0),4；B=(0,1,-1).

设平面ABCi的一个法向量是三=(%,y,z),

'TT

则；'9yz°,令y=R,贝！Jx=-1,z=V3,所以九=(—1,V3/V3).

,n-41cl=—V3x—y=0

由(1)知04是平面ABC的一个法向量,

设平面ABC与平面AiBCi的夹角为0,

而.O】il_必|_V21

则cos。=|cos<n,0A>\

r前应J71+3+3x17

V21

所以平面ABC与平面AiBCi的夹角的余弦值为〒.

【点评】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查了空间向量的应

用，考查了数形结合思想，属于中档题.

x2V21

18.(17分)已知双曲线「：—=l(a>0,b>0),A(2,3),8(/0),直线AB

a'ozz

与r有唯一公共点A.

(1)求r的方程;

(2)若双曲线r的离心率e不大于2,过B的直线/与「交于不同的两点M,N.求直

线AM与直线AN的斜率之和.

为2y22

【答案】(1)=1或%2—除=1；

-73

4

(2)4.

49fy=2x-l

【分析】(1)由题意得―7-77=1,联立y2化简得(廿-4〃2)一

ab［滔一/=1

22

-ab=0f分射-4〃2=0或廿-4〃270讨论即可求解；

(2)设MGi,yi),N(X2,"),直线AM,AN的斜率分别为内，ki,

直线l：y=k(x—3,与％2—号=1联立得(3—k2)%2+k^x—4—3=0,可得/+山=

--J,%1%2=—-—+3，然后将依，上用坐标表示结合韦达定理即可求解.

3—k3—k

49

【解答】解：(1)由题意得T—==1,

Q_n

直线AB的方程为y—3=——2)<=>y=2%—1,

2-2

(y=2%—1

联立|x2y2_,化简得(庐-4/)x2+4tz2x-d一〃2b2=0,

49

当。2-4Q2=O时,又格一记j解得户=7,a2

4a249

2

当廿-4/』0时,得一=4=3Q2=b,又国一记=L

b2-4a2

解得廿=3屋=3,经检验A=0满足题意,

X2y22

所以双曲线方程为〒—1或，—v除=1；