山东省济南市莱芜区2023-2024年九年级下学期期中数学试题(含答案)

2024年初中学业水平阶段性诊断测试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确。

2.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用

0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，

不能用铅笔。

4.考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡.

选择题部分共40分

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.9的算术平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.6

2.如图所示的几何体，其左视图是（）

N正面

A.FT5B.L5C

3.如图，A3〃CD,NC=23°,NE=24°,则NA的度数是（）

D.48°

4.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

1

5.下列计算正确的是（）

A.a"+a'=a'B.（a—b）——ci—C.（—3ubD.—3a+4a=a，

6.已知数轴上的点分别表示数a,。，其中—1＜。＜0,0＜/?＜1,并且时＞网，若a+b=c,数c在数

轴上用点C表示，则点AB,C在数轴上的位置可能是（）

,A,BCt.AC,B,

A.-101B.-101

,AtB,cc,A,B,

C.-101D.-101

k

7.已知点A（-4,y）,B（-2,%）,C（3,%）都在反比例函数y=—（左＞0）的图象上，则%,%，内的大小关系为

tX

（）

A.B.C.D.%<%<为

8.4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动.小明随机调查了本校九年级20

名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：

人数4565

课外书数量（本）5678

则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（）

A.7,8B.6,7C.6.5,7D.7,7

9.如图，在菱形A3CD中，分别以A3为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作

直线肱V恰好经过点。，与边交于点E,连接CE,以下四个结论中：①NA3C=120。；②

4SABC£=SACDE；③2BE=AD；④如果CE=2A/7,那么。E=.其中正确结论的个数是（）

10.有趣的皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积为

S=N+^L-1,其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐

标都是整数的点为格点.已知4（0,15）,5（10,5）,0（0,0）,则ZVRO内部的格点个数是（）

A.60B.61C.62D.63

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.）

2

11.因式分解：m+6m+9-.

12.在不透明的盒子中装有4个白色棋子和若干个黑色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子,

摸到白色棋子的概率是工，则黑色棋子的个数是.

3

13.如图，点加在正六边形A3CDEF的边上，以A4为边在其内部作正方形AAWP,则NE4P=

度.

14.若一元二次方程32+X—2=0有实数根，则加的取值范围是.

15.如图，点。是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧46和弧8C都经过圆心。，已

知。的半径为5,则阴影部分的面积是.

16.如图1,在RtZXABC中，ZABC=90,AB=8,3C=6,点。是AB上一点，过点。作。石〃5c交AC

CE

于E,将"nE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中——的值为

BD

三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分6分）

计算：2―2卜（2024—"）。—后+tan60。

18.（本题满分6分）

2x—3x—1

解不等式组：L+5，并写出它的所有负整数解.

<x+4

2

3

19.（本题满分6分）

如图，在，A3CD中，点、E、尸在A。、3C上，且DE=BF,连接AC、EF,两线相交于点0.

求证：AO=CO.

20.（本题满分8分）

某校无人机兴趣小组在广场上开展活动，测量无人机的飞行高度.如图所示，点在同一平面内，操控

者站在坡度是i=l：石，坡面长6m的斜坡3C的底部。处遥控无人机，坡顶8处的无人机以0.4m/s的速

度沿仰角39°的方向爬升，30s时到达空中的点A处.

（1）求此时无人机离点。所在地面的高度；

（2）此时，若在距离。点4.5m处的点M处站着一个人，他正抬头仰望无人机，请问无人机是否在此人头顶

的正上方？请说明理由.

（结果精确到0.1m,参考数据：sin39°«0.63,cos390工0.78,tan39°»0.81,^«1.41,73«1.73）

21.（本题满分8分）

《2024年春节联欢晚会》紧跟时代主题、紧扣社会现实、紧贴火热生活，歌舞类、语言类、戏曲类、其他类

（魔术、武术、杂技、特别设计等）各个节目异彩纷呈.现对80名观众开展了“我最喜爱的晚会节目”的调

查问卷（每人只填一项），根据收集的数据绘制了如下不完整的表格和统计图：

4

请结合上述信息完成下列问题：

（1）a=,b=；

（2）在扇形统计图中，“戏曲类”节目对应扇形圆心角等于度；

（3）若某社区有2000名观众，根据抽样调查结果，估计该社区喜爱“歌舞类”节目的人数；

（4）现有喜欢“歌舞类”（记为4）、“语言类”（记为8）、“戏曲类”（记为C）、“其他类”（记为

的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用画树状图或列表格的方法求出恰好抽到喜

欢“歌舞类”和“语言类”两位观众的概率.

22.（本题满分8分）

如图，为乂）的直径，是：，。上的两点，延长交：O的切线CD于点C.

（1）求证：ZBDC=ZA-,

（2）若sinE=2,A£>=4,AC=吧，求CD的长.

57

23.（本题满分10分）

某水果店老板市场调研发现，口感无敌的无核沃柑和面甜多汁的罗曼西红柿，物美价廉，走红市场，每斤罗曼

西红柿比无核沃柑进价多1元，用4000元购进罗曼西红柿的数量是用1500元购进无核沃柑数量的2倍.

（1）求罗曼西红柿、无核沃柑每斤进价分别为多少元？

（2）罗曼西红柿每斤售价为6元，无核沃柑每斤售价为4元，水果店老板决定，购进无核沃柑的数量比购进

罗曼西红柿的数量的2倍还多6斤，两种水果全部售出后，可使总的获利不低于1314元，则最少购进罗曼西

红柿多少斤？

24.（本题满分10分）

综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案.如图，在平面直角坐标系中，点A和点

。（、行,-1）在反比例函数y=幺图象上.以点P为顶点，0P为边构造菱形OPQR；4欣，无轴于点

且M是AC的中点，连接Q4、OC；以点。为圆心，OP为半径作弧？R.

5

(1)求反比例函数y=幺的表达式；

X

(2)求出图案中阴影部分的面积；

(3)若点A的坐标为卜l,g),连接AP,在反比例函数y=&的图象上找一点E,在坐标平面内找一点E,

使得以A、P、E、尸为顶点的四边形是以AP为边的矩形，求出点E的坐标.

25.(本题满分12分)

数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系.

(1)2002年世界数学家大会(ICM2002)在北京召开，这届大会会标(如图1)的中央图案是经过艺术处理

的“弦图”(如图2),它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出a、Ac满足的等量关系

为.

(2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：

已知线段A3=8,点C在线段上，AC=x,BC=y,求+4++日的最小值.

他们解决问题的思路是：如图3,在线段A3的同侧构造了两个RtZXACD和RtABCE,

ZCAD=ZCBE=90°,令AD=2,BE=4,利用勾股定理，得出CD==疗而，从而将

问题转化成求“CD+CE最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答.请你写出解答过程；

(3)如图4,在AABC中，ZCAB=30°,点。、E分别为AR3C上的动点，且

BD=CE,AC=2瓜BC=2,求AE+CD的最小值.

26.(本题满分12分)

(1)求该二次函数的解析式；

(2)如图1,在x轴下方作x轴的平行线/,交二次函数图象于A、3两点，过A、3两点分别作x轴的垂线,

6

垂足分别为点。、点C.当矩形A3CD为正方形时，求4点的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，作直线AC,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,

同时动点。以相同的速度从点A出发沿线段匀速运动，到达点。时立即原速返回，当动点。返回到点A

时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为/秒。＞0）.过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E,交直线AC

于点尸，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求/的值.

2024年初中学业水平阶段性诊断测试

数学试题参考答案与评分意见

一、选择题（每小题4分，共40分）

题号12345678910

答案ABCBDBDDCB

二、填空题(每小题4分，共24分)

I257r5

11.(/〃+3)~12.813.3014.机2—且772Ho.15.----16.—

834

三、解答题（本大题共10小题，共86分）

17.解：原式=2—6+1—5+百=—2

18.解不等式①得2,

解不等式②得x＞—3,

•••原不等式组的解集是—3〈尤＜2

..•它的负整数解是—2,—1.

19.证明：四边形A3CD是平行四边形,

:.AD//BC,AD^BC,

ZDAO=ZBCO.

DE=BF,AD-DE=BC-BF,即AE=CF,

又，ZAOE=ZCOF

AAOE^ACOF(AAS)

AO=CO.

20.解：（1）过点3作BDLCD于点Q,过点A作AELCD于点过点5作5G，AE于点G,则四

边形BDEG是矩形，＜i=l：6,BC=6,

/BCD=30°,BD=3,/.EG=BD=3,

AB=0.4x30=12,

7

在RtAAGB中，AG=AB-sin39°«12x0.63=7.56,

AE=AG+GE=7.56+3=10.56«10.6,

故此时无人机离点C所在地面的高度是10.6m.

（2）不是，理由如下：

在RtAAGB中，BG=ABcos39°«12x0.78=9.36®9.4,

:.DE=BG=9A,由（1）知，ZBCD=3Q0,

..在RtABCZ）中，CD=•cos30°=3百，

DM^CD+CM^343+4.5工9.69工9.7,

OEHDW,.•.此时无人机不在此人头顶的正上方.

21.解：⑴0.3,28；

（2）36；

（3）2000x0.3=600（人）；

（4）画树状图如图所示：

开始

zRzK/N入

8CDACDABDABC

共有12中等可能的结果，恰好抽到喜欢“歌舞类”和“语言类”两位观众的结果有2种(AB),(B,A)

21

恰好抽到喜欢“歌舞类”和“语言类”两位观众的概率是一=—.

126

22.(1)证明：连接。D.

为：。的直径，.,.NAD3=90°,

CD是〈0的切线，NODC=90°,

ZADB-ZODB=ZODC—ZODB,

即ZADO=ZBDC,

OA=OD,:.ZADO=ZANBDC=ZA；

3

(2)解：NA=NE,sinA=sinE=—.

5

"=90。，.《〉

8

又・AD=4,:.AB=5,

ZBDC=ZA,ZC=NC,

.•.AACQSADCB,...0=乌

ACDC

QQ

:.CD~=ACBC^—xA

7曙.

23.解：（1）设无核沃柑每斤进价x元，则罗曼西红柿每斤进价（％+1）元.

日40001500c

由题意得：-----=-----x2,

X+1X

解得：x=3,

经检验，x=3是原方程的解且符合题意，则无+1=4,

答：罗曼西红柿每斤进价4元，无核沃柑每斤进价3元.

（2）设购进罗曼西红柿加斤，则无核沃柑（27“+6）斤.

由题意得：（6-4）m+（4-3）（2m+6）>1314,

解得m>327,

答：至少购进罗曼西红柿327斤。

24.解：（1）把P（G,—1）代入y=&得上=—G，

则反比例函数的表达式为y=二"；

X

（2）连接菱形OPQH的对角线依，交工轴于点H,则依，x轴.

9

P（A/3,-1）,.-.0H=s]3,PH=1,OP=2,

四边形OPQR是菱形，，。。二？石,PH=2,

/\OPR是等边三角形，ZPOR=60°,

•1'S菱形OPOR=万xOQxPR=~x2+x2=2厉,

_60〃x22_ITI

扇形POR-360—V'

4欣，九轴于点/，且河是AC的中点

=

^AAOM^AACO—2sA^。=\/3,

S阴影=S菱形OPQR-S扇形0晚+SAAC0=2G—+6=3A/3—

（3）设直线AP的表达式为y="+4代入点人卜1,6）和点P（61）,得:y=—x+G—L

①当A£J_"时，设直线A£的表达式为y=%+m,代入点A得丁=%+6+1,

y=x+6+1

联立百

y=----

X

得：xx=-1（舍），x2=-^/3

段=1,...弓卜6,1）

②当FELAP时，设直线PE的表达式为y=x+72,代入点P(G,—

y—x—yfi—1

得：y=x-j3-l,联立＜&得：xx=1,x2=A/3（舍）,

y二----

X

10

当x=］时，y="=f=_布,石?。，—6），

综上所述，点E坐标为卜百,1）或（1,—6）.

25.解：（1）a2+b2=c2：

（2）延长DA到点。'，使AZ）'=A£>,连接。上交A3于点C,

作DFLEB,交石B延长线于点E,

AD=AD',ZDAC=90°,:.CD=CD',

:.CD+CE=CD'+CE>D'E(当。'、C、E三点共线时，取“=”号)

ZD'AB=ZABF=ZBFD'=90°,

••・四边形AD'EB是矩形，

:.BF=AD'=AD=2,D'F=AB=8,

:.EF=BE+BF=4+2=6,

：.D'E=ylD'F2+EF-=782+62=10,

:.CD+CE最小值为10,即J%'+4+J]+16最小值为10；

(3)过点。作C尸〃AB,并截取CF=CB,

连接所，过点A作AGLCF,交尸C的延长线于点G,

CF//AB,NDBC=ZECF,

又BD=CE,BC=CF,..△BCD也△CFE(SAS),

CD=EF,

:.AE+CD=AE+EF>AF(当A、E、尸三点共线时，取“=”号)

CF//AB,ZACG=NCAB=30°,

AG=-AC=-X2A/3=A/3,CG=AC-cos30°=2V3x^=3,

222

GF=GC+CF=GC+BC=3+2=5,

11

AF=VAG2+GF2=7（73）2+52=而=26,

.•.AE+CD的最小值为2々.

抛物线的顶点为（4,-与

26.解：⑴

.,.设y=a（x-4）2-g,

将（0,0）代入得：16。—g=0,解得：a=|

1,八216的18

..y——（x—4）-----,即y二一x2—九，

3333

I1Q1,8

（2）设Aa,—a?—（J,则AD=——a2+-a,

I3333

对称轴为直线x=4,.,.AB=2（4—a）=