2024年中考数学总复习培优 二次函数的实际应用压轴题

【压轴必刷专题】

二次函数的实际应用压轴题专练

类型1最大利润问题

L某超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价无（元

/件）之间的函数关系如图（20<x<60）：

（1）求每天销售量y（件）与售价无（元/件）之间的函数表达式；

（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少

时，每天的利润w最大？最大利润是多少？

M元件）

【分析】（1）分别利用当209区40时，设y=or+6,当40<立60时，设y=mx+小利用待定系数法求一次函

数解析式即可；（2）利用（1）中所求进而得出w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最

值.

【详解】

（1）分两种情况：当20WxW40时，设y=ax+6,其中存0,

20a+Z?=40a=1

根据题意,解得

40〃+/?=60b=20

故尸+20；

当40<x<60时，设y=mx+n9其中m^O,

40m+〃=60\m=-2

根据题意,,解得4故产-2x4-140；

60m+n=20n=140

故每天销售量y（件）与售价1（元/件）之间的函数表达式是:

x+20(20<x<40)

-2x+140(40<x<60)

(x+20)(%-20)=x2-400(20<x<40)

(~2x+140)(%-20)=-2x2+180x-2800(40<x<60)

当20<x<40时，w=x2-400,

由于l>0,抛物线开口向上，且%>0时w随x的增大而增大，又20g烂40,

因此当冗二40时，w最大值=402-400=1200；

1

当40<x<60时，w=-2尤2+180X-2800=-2（x-45）2+1250,

由于-2<0,抛物线开口向下，又40〈忘60,

所以当445时，w**<=1250.

综上所述，当x=45时，w最大值=1250.

2.为满足市场需求，某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元.超市规定每盒售

价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价提

高1元，每天要少卖出20盒.

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价了（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于57元.如果超市想要每天获得不低

于6000元的利润，那么超市每天至少销售月饼多少盒？

【分析】

（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即

可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润x销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于57元，且每天销售粽

子的利润不低于6000元，求出尤的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价尤（元）

之间的函数关系式即可求解.

【详解】

解：（1）由题意得y=700-20（15）=-20x+1600.

（2）P=（x-40）（-20尤+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000,

x..45fQ=—20v0,

，当x=60时，场大值=800。元，

即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润尸（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得一20（x-60>+8000=6000,解得占=50,x2=70,

抛物线P=-20（x-60）2+8000的开口向下，

当5魄於70时，每天销售糕点的利润不低于6000元的利润，

又.3,57,.-.5057.

在y=-20x+1600中，左=一20<0,二、随左的增大而减小，

...当x=57时,y最小值=-20x57+1600=460,

即超市每天至少销售糕点460盒.

3.某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价无（元/件）

2

的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表:

售价X(元/件)5565

销售量y(件/天)9070

(1)若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？

(2)设该商店销售商品每天获得的利润为卬(元)，求W与尤之间的函数关系式，并求出当销售单价定为

多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？

(3)由于某种原因，该商品进价提高了。元/件(«>0),该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满

足原来的函数关系.规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润

是960元，求。的值.

【分析】(1)依题意设>=区+比解方程组即可得到销量与售价的关系式，由单利x销量=总利润，解方程

组即可求解；

(2)根据题意w=(x-5O)(-2x+200)=-2(x-75)2+1250,利用二次函数的性质即可求解；

(3)根据题意得，w=(%-50-a)(-2x+200)=-2x2+(300+2a)x-10000-200a,把x=70,w=960代入函数解

析式，解方程即可得到结论.

【详解】

解：(1)依题意设>=履+>，

55k+b=90k=-2

则有解得<

65k+b=70b=200

所以y=—2x+200,

若某天销售利润为800元，

则0-50)(-2彳+200)=800,解得项=60,x2=90,

该天的售价为60元或者90元.

(2)由题意知：放=(无一50)(-2x+200)=一2犬+300x-10000=一2(尤-75)2+1250,

当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大，为1250元;

(2)设总利润为w,根据题意得，

w=(尤-50-a)(-1x+200)=-2x2+(300+2a)x-10000-200a,

a>0,对称轴x="笆>75,

-2<0,，抛物线的开口向下，

X,70,二卬随工的增大而增大，

当元=70时，w最大=960,

BP960=-2x702+(300+2a)x70-10000-200a,角星得〃=4.

3

4.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下

模型：设第f个月该原料药的月销售量为产（单位：吨），P与f之间存在如图所示的函数关系，其图像是函

数尸=备（0<江8）的图像与线段A8的组合；设第f个月销售该原料药每吨的毛利润为。（单位：万元），

[2f+8,0<Z<12

。与，之间满足如下关系：。=,；口

[-f+44,12<f<24

（1）当8</24时，求P关于r的函数解析式；

（2）设第/个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）.

①求w关于r的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336W店513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范

围所对应的月销售量P的最小值和最大值.

【分析】

（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题.依据题意由函数图象易得出当8y,24时，P关于f的

函数解析式为尸=1+2；

（2）①然后根据销售利润=销售量x（售价一进价），列出毛利润为W（元）与月份/之间的函数关系式；

②再依据函数的增减性求得最大利润，即可求得对应的月销售量产的最小值和最大值.

【详解】

解：⑴设尸=区+6,将（8,10）,（24,26）代入得

「0=8左+bk=l

\16=2^k+b，解得

b=2

故当8<f,,24时，尸关于t的函数解析式为：P=t+2-

⑵①当。-8时，*38)X0=24。；

当8时，W=(2t+8)(r+2)=2f2+12f+16；

当24时，W=(-t+44)(z+2)=-t2+42f+88；

②当8<f„12时，W=2『+12f+16=2(r+3)2-2,

时，W随/的增大而增大,

当2(1+3)2-2=336时,

解得/=10或/=-16（舍去）,

4

当/=12时，W取得最大值，最大值为448,

当1噂方12时，336W448；

当12＜如24时，W=-t2+42t+88=-(r-21)2+529,

当好12时,W取得最小值448,由-““I)，+529=513,得"17或7=25(舍去),

...当12＜，,,17时，448＜W„513；

.•.当17时，336W513,

此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨.

5.某种蔬菜的销售单价yi与销售月份无之间的关系如图1所示，成本以与销售月份尤之间的关系如图2所

示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线).

(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是元；(收益=售价-成本)

(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大收益是多少？说明理由.

【分析】(1)找出当x=6时，a、”的值，二者做差即可得出结论；

(2)观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出口、”关于x的函数关系式，二者做差后利用二次

函数的性质即可解决最值问题.

【详解】

(1)当杵6时，yi=3,y2=l.

'."yi-”=3-1=2,

A6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元.

(2)yi=mx+n,y2=a(x-6)2+1.

(2

,,,\3m+n=5,m=——

将(3,5),(6,3)代入y尸必+〃，得《,解得：\3,

6m+n=3_

I\n=i

・_2

・・yi=——x+7；

将(3,4)代入丁2=。(x-6)2+1,4=a(3-6)2+1,解得：4=g，

.'.^2=j(%-6)2+1=^x2-4x+13,

5

设每千克该蔬菜销售利润为P,

2111017

.,.P=yi-V2=—x+7-（—x2-4x+13）=——x2-i—x-6=——（x-5）2+—.

333333

17

...当x=5时，P取最大值，最大值为

7

答：5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，最大利润是:元/千克.

6.凤凰县某超市销售一种大米，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与

销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价无（元

66.577.5

/斤千克）

销售量y（千

1000900800700

克）

（1）求y（千克）与尤（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）.

（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法即可求出解析式；

（2）根据销售利润=销售量x（销售单价-成本）即可得出方程；

（3）设利润为w,列出卬关于尤的函数，根据函数的性质即可求出最大利润.

【详解】解：（1）设一次函数为：y=kx+b,

6k+b=1000k=-200

依题意得,解得

7左+3800b=2200

:.函数表达式为y=-200x+2200；

(2)依题意得：(x-5)(-200x+2200)=1600,

整理得N-16X+63=0,解得XI=7,X2=9,

,要惠及客户，；.x=7

答该天的销售单价应定为7元.

（3）设利润为卬，依题意得：w=（尤-5）（-200x+2200）=-200x2+3200x-11000=-200（x—8）2+1800.

故当定价为8元时，有最大利润1800元.

7.某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量相（单位：件）是关于

时间f（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如表：

6

时间〃天231020

日销售量加件96948060

这20天中，该产品每天的价格y(单位：元/件)与时间f的函数关系式为：y=：r+30G为整数)，根据以

上提供的条件解决下列问题：

(1)求出机关于t的函数关系式；

(2)这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？

(3)在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元(a<6)给希望工程，通过销售记录发现，这20

天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间f的增大而增大，求。的取值范围.

【分析】

(1)由题意得，设m=kt+b,根据表格中的数据，代入求解即可；

(2)设日销售利润为W元，求得W与/的关系式，根据二次函数的性质求解最大值即可；

(3)根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质，求解即可.

【详解】

解：(1)由题意，设加=H+b,将(2,96),(3,94)代入解析式,

f2t+6=96什=-2

得。,解得，即%=—2/+100

[3t+b=94[b=100

故答案为：%=-21+100

(2)设日销售利润为W元，则由题意可得，

111?

W=(-2?+100)x(-f+30-25)=--r2+15r+500=--(Z-15)-+612.5

V-1<0,开口向下，...当f=15时，%大=612.5.

在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元

(3)由题意得W=(-2f+100)(；r+25-20-a]=-1?2+(15+2a)r+500-100a,

对称轴为r=15+2a,

V每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，且1W20,

・二15+2a>19.5，a>2.25，

又,：a<6,2.25<a<6.

8.经调查某商品在某月30天内的第无天的销售数量y(单位：件)关于元的函数解析式为

7

4

-x+8(0<x<20)

,销售价格0（单位：元/件）关于％的函数关系如图所示，设第尤天的销售额为W

-1A+16(20<X<30)

（单位：元），回答下列问题:

（1）第20天的销售量为件，销售价格为元/件，销售额为元；

（2）求。与龙之间的函数解析式；

（3）这个月第几天，该商品的销售额w最大，最大销售额为多少？

【分析】（1）把尤=20代入函数解析式求解即可得出销售量，然后由图象可得销售价格，进而问题可求解;

（2）当0<xV20时，设P与x之间的函数解析式为。=心+4,然后代入点（0,40）,（20,20）求解即可；

当20<xV30时，设?与龙之间的函数解析式为。=治尤+4，代入点（20,20）,（30,40）进行求解即可；

4

（3）由（2）可得当0<xW20时，W=--（X-15）2+500,进而根据函数的性质可求出此时的最大利润；当

4

20<xW30时，w=--（x-25）2+180,则可得出此时的最大利润，然后问题可求解.

【详解】

4

解：（1）由题意可把x=20代入y=gX+8得：y=24,

，第20天的销售量为24件，

由图象可知销售价格为20元/件，销售额为24x20=480元；

故答案为24,20,480；

（2）当0<xV20时，设P与龙之间的函数解析式为P=+仿，

[4。=6177=40

将点（0,40）,（20,20）代入，得2（）_2OJ+6,解得;-I'

IZU—ZU/tj+q

/.p=-x+40,

当20<xV30时，设。与龙之间的函数解析式为P=k2x+b2,

20=20左2+b?b=-20

将点（20,20）,（30,40）代入，得,解得2

40=30k2+b2k2=2

8

/.p=2x—20；

(3)当0<x420时，w=(-x+40)x+8j=-|x2+24x+3200=-1(x-15)2+500,

4

V--<0,.••当％=15时，w有最大值500；

(2\44

当20vxV30时，w=(2x-20)xl--x+16I=--x2+40x-320=(x-25)2+180,

4

V--<0,.•.当x=25时，w有最大值180.

500>180,.•.这个月第15天，该商品的销售额w最大，最大销售额为500元.

9.某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如表:

产品每件售价(万元)每件成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量(件)

甲6a20200

乙201040+0.05/80

其中。为常数，且3WaW5

(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为yi万元、”万元，直接写出yi、”与x的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.

【分析】(1)根据利润=销售数量X每件的利润即可解决问题.

(2)根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题.

(3)根据题意分三种情形分另I］求解即可：①(1180-200tz)=440,②(1180-200a)>440,③(1180

-200a)<440.

【解析】(1)yi=(6-a)x-20,(0<xW200)

y2=10x-40-0.05/=-0.05x2+10x-40.(0<x^80).

(2)对于yi=(6-a)x-20,V6-a>0,

...x=200时，yi的值最大=(1180-200a)万元.

对于”=-0.05(x-100)2+460,

,；0<xW80,...x=80时，中最大值=440万元.

(3)01180-200«=440,解得a=3.7,

@1180-200a>440,解得a<3.1,

@1180-200a<440,解得a>3.7,

；3WaW5,.,.当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同.

当3Wa<3.7时，生产甲产品利润比较高.

当3.7<aW5时，生产乙产品利润比较高.

9

10.某种食品的销售价格yi与销售月份X之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份X之间的关系如图2所

示(图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线).

(1)已知6月份这种食品的成本最低，求当月出售这种食品每千克的利润(利润=售价-成本)是多少？

(2)求出售这种食品的每千克利润P与销售月份x之间的函数关系式；

(3)哪个月出售这种食品，每千克的利润最大？最大利润是多少？简单说明理由.

【分析】(1)将x=6分别代入yi和”，再用户减去”即可得出答案；

(2)设y2=a(x-6)2+1,将(3,5),(6,3)代入得方程组，解得相和孔的

值；将(3,4)代入＞2=4(x-6)2+1,解得〃的值，再由-"即可得出答案；

(3)将(2)中所得的每千克利润尸与销售月份x之间的函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质

可得答案.

【解析】(1)当x=6时，yi=3,"=1,

'."yi-"=3-1=2,

・・・6月份出售这种食品每千克的利润是2元；

(2)设yi=mx+小y2=a(x-6)2+L

将(3,5),(6,3)代入yi=mx+〃，

将(3,4)代入>2=〃(x-6)2+1,

得4=〃(3-6)2+1,解得〃=

・，・y2=:(x-6)2+1=-4x+13,

211010

/•P=yi-yi=—5-x+7-(-%02-4x+13)=—5,x2+-^-x-6

'/3333

iinio7

(3)P=--^xo+-6=一手(x_5)+可，

i7

•・,一2<0,・,•当x=5时，尸取最大值，最大值为9

10

-7

•••5月份出售这种食品，每千克的利润最大，最大利润是］元.

类型2几何图形面积问题

11.如图，四边形ABC。是一块边长为6米的正方形花圃，现将它改造为矩形AEFG的形状，其中点E在

边上（不与点8重合），点G在AD的延长线上，DG=3BE,设BE的长为x米，改造后花圃A£FG的面积

为y平方米.

B'--------------------'C

（1）当改造后花圃AEFG的面积与原正方形ABCD花圃的面积相等时，求BE的长；

（2）当尤为何值时，改造后的花圃但心的面积最大?并求出最大面积.

【分析】

（1）由题意易知AG=（6+3x）米，AE=（6-x）米，然后根据题意可列方程求解；

（2）由（1）可直接得出函数关系式，然后根据二次函数的性质可求解.

【详解】

（1）解：根据题意得（6—%）（6+3尤）—62

解得尤1=0（不合题意，舍去）,&=4；

贝ijBE=4（米）；

（2）根据题意得y=（6—x）（6+3无）=-3（x—2）2+48；

0〈烂6,-3<0,

:.当x=2时，y的值最大为48m2.

12.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABC。，为美化环境，用总长为100%的篱笆围成

四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.

（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE=3BE；

（2）在（1）的条件下，设BC的长度为加z,矩形区域ABC。的面积为求y与x之间的函数关系

式，并写出自变量x的取值范围.

II

〃〃〃/〃〃〃/〃〃/,//

A\H\ID

B-----------------------'c

【分析】(l)矩形MERV与矩形E2C尸面积相等，则AM^GH,而四块矩形花圃的面积相等,

即S矩形AAfDN=2S矩形MEFN,即可证明；

(2)设2c的长度为MI,矩形区域ABC。的面积为M，则y=BC•AB=x(40-1x)=-|x2+40x,

即可求解.

【解析】(1)证明：•••矩形MEFN与矩形E8C尸面积相等，

；.ME=BE,AM=GH.

•四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND=2S矩形MEFN,

：.AM^2ME,：.AE^3BE；

(2):篱笆总长为100处

：.2AB+GH+3BC=l00,

即24B+聂B+3BC=100,：.AB=40

设BC的长度为xm,矩形区域ABC。的面积为冲？，

则y=BC=%(40—9)=-|x2+40%,

'：AB=40-1BC,

；._8£=10-磊■尤>0,解得

y=—三/+40x(0<xV―—)•

,53

类型3抛物线型问题

13.据统计每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一，行驶中的汽车，在刹

车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离，为了测定某种型号汽车的

刹车性能(车速不超过140km/h),对这种汽车的刹车距离进行了测试，测得的数据如下表：

刹车时车速(km/h)051015202530

刹车距离(m)00.10.30.611.52.1

12

y（米）

（i）在如图所示的平面直角坐标系中以刹车时的速度为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表

示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象.

（2）观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式.

（3）一辆该型号的汽车在福银高速上发生了交通事故，现场测得刹车距离为32.5m,请推测该汽车的刹车

时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是否超速行驶？（假定该路段最高限速110km/h）

【分析】（1）依题意根据数据描点连线即可作出大致图象；

（2）根据所作图象设该曲线的解析式为y=g2+bx+c,结合表中数据用待定系数法解出a,b,c即可；

（3）当尸32.5时，计算出对应的符合题意的x的值，然后与限制的车速进行比较即可判断汽车是否超速.

【详解】

解：（1）描点连线（画出图象）.

（2）根据图象可估计为抛物线.

.,.设y=af+6x+c,把表内前三对数代入函数

c=O

得，25a+5Z?+c=0.1,解得a=Q002,6=0.01,c=0,

100。+106+c=0.3

y=0.002x2+0.01x.

经检验，其他各数均满足函数（或均在函数图象上）;

13

(3)当y=32.5时，32.5=0.002^+0.01%.

整理可得d+5x-16250=0.

解之得占=125,X2=-130(不合题意，舍去),

所以可以推测刹车时的速度为125千米/时.

・；125>110,...汽车发生事故时超速行驶.

14.近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现

针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y(单位：m)

与滑行时间x(单位：s)之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)若跑道长度为900(m),是否够此无人机安全着陆？请说明理由;

(3)现对该无人机使用减速伞进行短距离着陆实验，要求无人机触地同时打开减速伞(开伞时间忽略不计),

若减速伞的制动效果为开伞后每秒钟减少滑行距离20。(单位：m),无人机必须在200(单位：m)的短距

跑道降落，请直接写出。的取值范围为

(1)由图象可知抛物线过点(。，0),(10,600),(15,750),分别代入解析式求解方程组即可得出结论;

(2)将(1)中求出解析式化为顶点式，确定出无人机滑行需要的最远距离，然后与900比较大小即可得

出结论;

(3)根据(2)的结论，求出使用减速伞后滑行至停下所需的滑行距离表达式，然后根据题意建立不等式

求解即可.

【详解】

解：(1)设抛物线解析式为〉=加+及+«。/0),

由图象可知抛物线过点(。，0)，(10,600),(15,750),依次代入解析式得:

c=0a=-