2023年高考数学一轮复习讲义（新高考1）：复数

§5.5复数

【考试要求】L通过方程的解，认识复数2理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义3掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.复数的有关概念

⑴复数的定义：形如历(a,6GR)的数叫做复数，其中生是实部，女是虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+历(a,bGR)

|实数(b三0),

［虚数(6三0)(其中，当。三0时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+bi=c+c且6=d(a,b,c,dGR).

(4)共辗复数：

a+历与c+di互为共辗复数<=>a=c,6=—d(a,b,c,dGR).

(5)复数的模：

向量应的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作也土包或因，即|z|=|a+6i|=［不"(a,

bGR).

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+bi(〃，/?eR)7-----------=复平面内的点Z(mb).

一一对应一

(2)复数z=a+历(〃，Z?eR)7----------平面向量OZ.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=〃+bi,Z2=c+di(mb,c,d£R),则

①加法：zi+Z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(a+c)+(Z?+6Qi；

②减法：zi-Z2=(a+历)—(c+di)=(a—c)+(b—Qi；

③乘法：zi・Z2=(a+砥•(c+di)=(oc—bd)+(〃d+Z?c)i；

dzia+历(a+bi)(c—di)ac+bd,bc-ad,,

④除法：7=^~7=；,.77—_U=2U_R+2,/i(c+diW0)・

Z2c-rai(c+di)(c—di)c+dc+d

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形0Z1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即应=0Z+

OZ2,ZiZ2=OZ2—OZi.

【常用结论】

1+i1-i

2

1.(l±i)=±2i；Tzzi=1;TTI=一

2.—Z?+〃i=i(a+Ai)(。，Z?£R).

3.i4«=l,i4n+1=i,i4«+2=-l,i4«+3=-i(nGN).

4.i4H+i4n+1+i4,,+2+i4,,+3=O(«eN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|W6表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|2—3+历)|=8>0)表示以3，b)为圆心，r为半径的圆.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)复数z=a一历(a,%GR)中，虚部为A(X)

(2)复数可以比较大小.(X)

(3)已知z=a+bi(a,Z;eR),当a=0时，复数z为纯虚数.(X)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.

(V)

【教材改编题】

1.已知复数z满足(2+i)z=l-i,其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

2.复数z=(3+i)(l—4i),则复数z的实部与虚部之和是.

答案一4

解析z=(3+i)(l-4i)=3-12i+i+4=7-lli,故实部和虚部之和为7—11=一4.

3.若z=(%2+:w—6)+(加一2)i为纯虚数，则实数m的值为.

答案一3

'探究核心题型

题型一复数的概念

例1(1)(2021•浙江)已知aGR,(l+°i)i=3+i(i为虚数单位)，则。等于()

A.-1B.1C.-3D.3

答案C

解析方法一因为(l+ai)i=—a+i=3+i,所以一a=3,解得a=-3.

方法二因为(1+〃i)i=3+i,所以l+〃i=-j—=1—3i,所以〃=—3.

(2)(2022•新余模拟)若复数z满足1一'则复数》的虚部为()

A.iB.-iC.1D.-1

答案C

z(l+i)i3

角牛析-5―：—=l——i,

2—1

・・・z(l+i)(—i)=(2—i)(l—i),

z(1—i)—(2—i)(1—i),

・・・z=2—i,

z=2+i,

z的虚部为1.

【教师备选】

1.(2020・全国HI)若;(l+i)=l—i,则Z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

答案D

.,、？一1一i(1—i)2

解析因为z=币=(1+。(1)=-i，

所以z=i.

2.(2020•全国I)若z=1+i,则Iz2—2z|等于()

A.0B.1C.^2D.2

答案D

解析方法一z2—2z=(l+i)2—2(l+i)=—2,

|Z2-2Z|=|-2|=2.

方法二|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|

=|(l+i)(-l+i)|=|l+i|-|-l+i|=2.

思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只

需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,6GR)的形式，以确定实部和虚部.

跟踪训练1⑴(2022•衡水中学模拟)已知盖=l—yi,其中x,y是实数，i是虚数单位，贝ljx

+yi的共轨复数为()

A.2+iB.2—i

C.l+2iD.l-2i

答案B

解析由yi,得门".、=1—yi,

解得x=2,y—1,

「・x+yi=2+i,

・,・其共车厄复数为2—i.

(2)已知z=l—3i,则|W—i|=.

答案小

解析Vz=l-3i,,1.7=1+31,

z-i—1+3i—i=1+2i,

/•IZ—i|=、y+22=巾.

题型二复数的四则运算

例2(1)(2021•新高考全国I)已知z=2—i,则Z(三+i)等于()

A.6—2iB.4—2i

C.6+2iD.4+2i

答案c

解析因为Z=2—i,

所以z(T+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.

(2)(多选)设Zi,Z2，Z3为复数，Z1W0.下列命题中正确的是()

A.若|Z2|=|Z3|,则Z2=±Z3

B.右Z1Z2=Z1Z3，贝UZ2=Z3

C.若Z2=Z3,则|Z1Z2|=|Z1Z3|

D.若Z1Z2=|Z1『，则Z1=Z2

答案BC

解析由=知A错误；

Z1Z2=Z1Z3,则Z1(Z2—Z3)=O,又Z1WO,所以Z2=Z3,故B正确；

|Z1Z2|=|Z1||Z2|,忆闭|=忆1|阂，

又Z2=Z3,所以|Z2|=|Z2|=阂,故C正确，

令Zl=i,Z2=—i,满足Z1Z2=|Z1F，不满足Z1=Z2,故D错误.

【教师备选】

1.(2020•新高考全国等于()

A.1B.-1C.iD.-i

答案D

葩桁2—i_Q—i)(_2i)__5i_.

肿仞l+2i-(l+2i)(l-2i)-5—L

ab

2.在数学中，记表达式〃d一儿为由〃所确定的二阶行列式.若在复数域内，zi=l+i,

ca

2+i—ziZ21

Z2=_j~9Z3=Z2，则当=5—i时，Z4的虚部为________.

L1Z3Z42

答案一2

ZlZ7

解析依题意知，=Z1Z4-Z2Z3,

Z3Z4

因为Z3=Z2,

2+i(2+i)(l+i)l+3i

且Z2=K=2=方—，

2

所以Z2Z3=|Z2|=|,

因此有(l+i)Z4—2=1-1，

即(1+i)z4=3—i,

,.3—i(3—i)(l—i).

故Z4=[17=2=]—2i,

所以Z4的虚部是一2.

思维升华（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.

（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共机复数.

跟踪训练2（1）（2021•全国乙卷）设iz=4+3i,贝|z等于（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3—4iD.3+4i

答案C

4+3i（4+3i）（—i）-4i―3i^

解析方法一（转化为复数除法运算）因为iz=4+3i,所以Z=T='_j2

=3—4i.

方法二（利用复数的代数形式）设z=〃+历（〃，b£R）,则由iz=4+3i,可得i3+Z?i）=4+3i,

f—Z?=4,

即一Z?+〃i=4+3i,所以彳

〔。=3,

]。=3,

即，，所以z=3—4i.

[Z?=—4,

方法三（巧用同乘技巧）因为iz=4+3i,所以iz-i=（4+3i>i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4i.

:2023—

（2）右z=]贝U|z|=；z+z—.

答案坐1

z+Z=5一W+]+,=1.

题型三复数的几何意义

例3（1）（2021・新高考全国H）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析\二（2-弋+31）=寄=守,所以该复数在复平面内对应的点为0,。该点

1—Jiiuiuzy乙）

在第一象限.

（2）（2020・全国n）设复数zi,Z2满足团|=归2|=2,zi+z2=q5+i,则|zi-z?|=.

答案2小

解析方法一设zi—Z2=〃+bi,a,/?£R,

因为zi+z2=/+i,

所以2zi=(S+〃)+(l+/?)i,

2z2=(小一。)+(1—Z?)i.

因为01=01=2,所以|2ZI|=|2Z2|=4,

所以■(小+砌2+(1+6)2=4,0

74-a)2+(i—b)2=4,②

①2+②2,得*+62=12.

所以|zi—Z2I=4。2+/>2=2d5.

方法二设复数zi,Z2在复平面内分别对应向量。4,0B,

则Z1+Z2对应向量近+协.

由题意知|方|=|协|=|宓+而|=2,

如图所示，以。4,。2为邻边作平行四边形OACB,

OA

则Zi—Z2对应向量函，

且|近|=曲|=|女|=2,

可得|函|=2|5^|sin60°=2^3.

故团一Z2|=|函|=24.

【教师备选】

1.(2020•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则i.z等于()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.~2~i

答案B

解析由题意知，z=l+2i,

；.i-z=i(l+2i)=-2+i.

2.(2019・全国I)设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(x+l)2+y2=lB.(无一iy+y2=i

C.炉+⑪一1)2=1D.x2+(y+l)2=l

答案C

解析：z在复平面内对应的点为(无，y),

.*.z=x+yi(x,y£R).

V|z-i|=l,A|x+（y-l）i|=l,

1）2=1.

思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几

何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

f4

跟踪训练3（1）如图，若向量0Z对应的复数为z,则z+1表示的复数为（）

A.l+3i

C.3-iD.3+i

答案D

444（1+i）1j

解析由题图可得Z（1,—1）,即z=r>z+-=1-i+—=1-i+?r4a+I）=-

+-2-=1—i+2+2i=3+i.

（2）设复数z满足条件|z|=l,那么|z+25+i|的最大值是（）

A.3B.2小

C.1+2-J2D.4

答案D

解析|z|=l表示单位圆上的点，那么|z+2吸+i|表示单位圆上的点至U点（一2吸，一1）的距离，

求最大值转化为点（一2吸，一1）到原点的距离加上圆的半径.因为点（一2w，—1）到原点的

距离为3,所以所求最大值为4.

拓展视野

复数的三角形式

在如图的复平面中，r=\l<r-]-b2,cos9=*sintan6=^（。WO）.

任何一个复数z=a+历都可以表示成z=r（cosO+isin。）的形式.其中，r是复数z的模；0

是以无轴的非负半轴为始边，向量芯所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z="+万的

辐角.

我们把r(cos6+isin。)叫做复数的三角形式.

对应于复数的三角形式，把z=a+bi叫做复数的代数形式.

复数乘、除运算的三角表示：

已知复数zi=n(cos01+isina)，

Z2=厂2(cos02+isin6i),贝"

zi・Z2=片/2[cos(4+02)+isin(4+ft)].

1(兀]..兀\(兀|..兀)n-

例1(1)«05]+151112)义3(854+15111&)等于()

A*

C-1+唔

答案C

解析(^cos^+isinX3^cos^+isin

「(兀，兀\,，兀，Tt\~

=3[cosL+ising+初

=3}os亨+isin

3,3^3.

=-2+21-

(2)(多选)把复数Z1与Z2对应的向量。4,。2分别按逆时针方向旋转号和苧后，重合于向量0M且

模相等，已知Z2=-1—/i,则复数zi的代数式和它的辐角分别是()

A.—yl2—y[2i,苧B.一6+gi,苧

C.-yf2~yf2i,D..巾+巾i,

答案BD

解析由题意可知zifcosisin

(5兀।..54

Z2(cos亍十isin于I,

(5兀।5兀、

Z2(cos"十ism-\

则4=

71.71

cosa十isin]

2(cos与+isinncos苧+isin为

71...71

cos4十isma

—2也—2也(1—i)

••Z1=1+i=(l+i)(l-i)

=一巾+也i=2bos苧+isin竽),

可知Zi对应的坐标为（一也，也），则它的辐角主值为乎,

故可以作为复数一审+也i的辐角的是平+2防1,AGZ,当左=1时，苧+2兀=乎.

（3）复数z=cos含+isin*是方程x5—a=0的一个根，那么a的值等于（）

1，B.舁监

21

C坐T口.一；一坐

答案B

解析由题意得，a=}os*+isin我，

兀I..711.A/3.

=cosw十isin2'2L

例2(多选)已知i为虚数单位，zi=W(cos60°+isin60°),Z2—2-\[2(sin30°—icos30°),则z「Z2

的三角形式不为下列选项的有()

A.4(cos90°+isin90°)

B.4(cos30°+isin30°)

C.4(cos300-isin30°)

D.4(cos0°+isin0°)

答案ABC

解析•；Z2=20(sin30°-icos30°)

=2吸(cos300°+isin300°),

.,.ZI-Z2=V2(COS60°+isin60°>2吸(cos300°+isin300O)=4(cos360°+isin360°).

课时精练

础保分练

1.(2022•福州模拟)已知i是虚数单位，则“a=i”是“/=-1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析i是虚数单位，则i2=—1,“a=i”是“。2=—1”的充分条件；

由层=-1,得a=±i,

故“a=i”是“/=—1”的不必要条件；

故“a=i”是“/=—J，的充分不必要条件.

2.设复数Zl，Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=3—i,则Z1Z2等于()

A.-10B.10C.-8D.8

答案A

解析Vzi=3-i,zi,Z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，

；.Z2=13—i,

；.ziZ2=-9—1——10.

3.(2022・长春实验中学模拟)若复数z的共辗复数为三且满足三・(l+2i)=l—i,则复数z的虚

部为()

33

A-5B.-卫

33

C.pD.一5

答案A

解析z-(l+2i)=l—i,

.—_IT_(Li)(l_2i)

•'z-l+2i-(l+2i)(l-2i)

3

复数z的虚部为亍

4.己知i是虚数单位，则复数Z=i2023+i(i—1)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析因为Z=i2023+i(i—1)=—i—1—i=—1—2i,所以复数Z在复平面内对应的点是(一1,

-2),位于第三象限.

5.(2022.潍坊模拟)在复数范围内，已知p,q为实数，l-i是关于x的方程r+px+quO的

一个根，则p+q等于()

A.2B.1C.0D.-1

答案C

解析因为1—i是关于x的方程/+px+4=0的一个根，则1+i是方程/+。工+4=0的另

Rl+i)+(l-i)=­p,

一根，由根与系数的关系可得，一，，.、

[(1+1)(1—1)=4，

解得p=—2,4=2,

所以p+q=O.

6.(多选)(2022.苏州模拟)若复数z满足(l+i>z=5+3i(其中i是虚数单位)，则()

A.z的虚部为一i

B.z的模为才万

C.z的共辗复数为4—i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

答案BD

解析由(l+i>z=5+3i得

5+3i(5+3i)(l-i)8—2i

Z=1+i=(l+i)(l-i)=2=4-b

所以z的虚部为一1,A错误；

z的模为、42+(—1)2=｛万,B正确；

Z的共轲复数为4+i,C错误；Z在复平面内对应的点为(4,-1),位于第四象限，D正确.

〃+j7

7.若z=(a—g)+ai为纯虚数，其中“eR,则不^=.

答案一i

(a—y/2—O,

解析：z为纯虚数，

••a,

a+i，小T(也一i)(l—4)

1+ai~1+©—(1+V2i)(l-V2i)

-3i

8.（2022・温州模拟）已知复数2=a+砥。,6614,1为虚数单位）,且0=3+21,则a=

b=.

答案51

解析由z=〃+Ai(a,b^R,i为虚数单位),

则z=a~b\,

-zi+i

所以i"""（Q-bi）

ii乙

a-\-b,a—b

=下一+方—i=3+2i,

,,a-\-ba-b“…

故~~2-=3,-2~~=2,所以Q=5,b—1.

FT?2+YY]—6

9.当实数机为何值时，复数z=——-----+（小一2附i为①实数；②虚数；③纯虚数.

fm2—2/71=0,

解①当5

[加W0,

即m=2时，复数z是实数.

②当相2-2根#0,且加W0,

即且时，复数z是虚数.

〃苏十加一6

m

③当《士八

加W0,

<m2—2m^0,

即m=—3时，复数z是纯虚数.

10汝口图所示，在平行四边形043。中，顶点O,A,。分别表示0,3+2i,—2+4i,试求:

（l）Ab,反:所表示的复数；

（2）对角线8所表示的复数;

(3)2点对应的复数.

解⑴：启=一位，

...A。所表示的复数为一3—2i,

"：BC=AO,

病所表示的复数为一3—2i.

(2)VCA=dA-0C,所表示的复数为

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

⑶近=5^+沆，

二.协所表示的复数为

(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,

所对应的复数为l+6i.

立技能提升练

11.(多选)欧拉公式e.=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定

义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地

位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.复数e"对应的点位于第二象限

7T.

B.一为纯虚数

C.复数后y的模长等于方1

D.的共轨复数为劣一坐

答案ABC

解析对于A,e2i=cos2+isin2,

因为冷〈2〈兀，

即cos2<0,sin2>0,复数e2对应的点位于第二象限，A正确；

7T.71.

―17r7T-1

对于B,e2=cos2+isin2=^9e?为纯虚数，B正确；

,丁华cosx+isinx

对于C'否TFI-

(cosx+isin—i)

(小+i)(6-i)

小cos%+sinx小sin%—cos%

于是得|於x+sinxx-cosx

C正确；

对于D,/=cos5+isin聿=坐+京,

其共轲复数为坐一|i,D不正确.

12.(多选)(2022・武汉模拟)下列说法正确的是()

A.若|z|=2,则z・z=4

B.若复数ZI，Z2满足|Z1+Z2|=|Z1—Z2I，则Z1Z2=O

C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚部相等

D.是“复数Z=(〃一l)+(〃2—l)i(〃£R)是虚数”的必要不充分条件

答案AD

解析若|z|=2,贝！12z=|z『=4,故A正确;

设=仇WR),

22=。2+岳1(〃2,/?2R),

由|Z1+Z2|=|Z1-Z*

可得|zi+z2|2=(Ql+42)2+31+A2)2

=|Z1—Z2『=(〃1—。2)2+(Z?1—岳月

则〃1〃2+"。2=0,

而Z1Z2=(ai+b[i)(a2+fei)

=。1〃2一。历+。仍2i+8i〃2i

=2aia2+a\b2i+fei«2i不一定为0,故B错误；

当Z=l—i时，Z」一2i为