2024年新高考数学模拟试题3（含详细解析）

2024年新高考数学模拟试题3

一、单选题

1.用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比

男居民多选取（）

A.8人B.6人C.4人D.2人

2.若集合M={,y=ln（4-/）},N=[-2,2],则MCN=（）

A.[—2,2]B.（-2,2）C.（-℃,2]D.[—2,In4]

3.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关

降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用

一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm）,

4.抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为且抛物线C与椭圆一+9=1在第一象限的交点为A,若AFLx轴，则夕=

2

（）

A.2B.1C.D.-

33

5.如图1,儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点

翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分

向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成

T,如图2,是一个纸风车示意图，则（）

C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=D

23-1

6.设A,5为两个事件，已知尸(A)=W，P(3)=M，P(A|3)=/,则P(A|5)=()

7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M,N是锐角的一边04上的两点，试在边QB上找一点？，使

得/MPN最大.”如图，其结论是：点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆与射线。8的切点.根据以上结论解

决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(0,2),N(2,4),点尸在九轴上移动，当/MPN取最大值时，点

C.2或6D.1或3

8.^a=0.001+sinO.OOl,Z?=lnl.OOlc=e03—1,则（）

A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

二、多选题

9.已知直线/,m,平面。，（3,则下列说法错误的是（）.

A.mill,Illa,则nz//a

B.HIP,mlIp,lua,mua,则。〃分

C.l//m,lua,mu/3,则。〃万

D.HIP,mlIp,lua,mua,Im=M,则。〃

10.已知/（x）=sin2x+gcos2x,贝1J（）

A.函数的最小正周期为兀

B.将函数/(x)的图象向右平移5个单位，所得图象关于,轴对称

6

JT冗

C.函数“X)在区间上单调递减

D.若/贝即111+3』11旭+胃=1

Q

11.若％y满足(x+y)2-§母=2,则()

33

A.y-x>-A/3B.y-x<2C.xy>-D.xy>

三、填空题

12.若复数z=3—4i+|3-4i|,则|z|=

13.已知数列｛%｝满足4=L2tz„+1-«„+aA+1=0(neN*),则数列｛4｝的通项公式为.

fV22

14.已知产是双曲线C：Z-L=X(2>0)上任意一点，若尸到C的两条渐近线的距离之积为5,则C上的点到焦点

843

距离的最小值为.

试卷第2页，共6页

四、解答题

15.已知在ABC中，三边。也c所对的角分别为A,B,C,已知a（cosA+cos3cosC）=JWbsinAcosC.

⑴求C；

（2）若。=2,△ABC外接圆的直径为4,求ABC的面积.

16.某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间x（小时/每周）和他们的语文成绩y（分）的关系，某

实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.

表一

编号12345

学习时间X247710

语文成绩y829395108122

（1）请根据所给数据求出语文成绩y的平均数和方差；

（2）基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调查了200位学生.按照是否喜欢

阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计,得到下列数据，请依据表中数据及小概率值。=0.01的独立性检验,分析“喜

欢阅读古典名著与语文成绩优秀，，是否有关.

表二

语文成绩优秀语文成绩不优秀合计

喜欢阅读7525100

不喜欢阅读5545100

合计13070200

a0.100.050.010

Xa2.7063.8416.635

〃(ad-bc¥

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PB=AB=AD=2,BC=4,ADIIBC,ADJ.AB,AC与BD交于点O,过

点。作平行于平面PAB的平面a.

P

⑴若平面a分别交PC,BC于点E,F,求。跖的周长;

(2)当P£>=20时，求平面a与平面PC。夹角的正弦值.

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22

18.已知椭圆C：上+&=1,。为坐标原点，若椭圆C'与椭圆C的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆C'

82

的长轴长与椭圆C的长轴长之比为1：0.

(1)求椭圆C'的方程；

(2)已知点尸在椭圆C上，点A,B在椭圆C'上，若OP=Q4+O8，则四边形OAPB的面积是否为定值?若是，求出

定值；若不是，请说明理由.

19.若一个两位正整数m的个位数为4,则称机为“好数”.

⑴求证：对任意“好数”皿病-16一定为20的倍数；

(2)若m=p2_q2,且PM为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定：=例如24=5?-『，称数对(5,1)

为“友好数对"，贝1]"(24)=(,求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的“(⑴的最大直

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参考答案:

1.D

【分析】由分层抽样的概念，求出男、女居民选取的人数即可得解.

【详解】由题可知，男居民选取^xl2=5人，女居民选取12-5=7人，

则女居民比男居民多选取2人.

故选：D.

2.D

【分析】求对数型函数值域可得集合结合集合交运算即可求得结果.

【详解】因为4-尤2>()n_2<x<2,所以y=ln(4-J)定义域为(-2,2),

所以04尤2<4n0<4-fV4nln(4-尤②)Vln4,即M=(-oo,ln4],

所以MN=[-2,ln4].

故选：D.

3.C

【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.

【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为铝*=15cm,

2

所以平地降雪厚度的近似值为>X20X(1()2+15+10x15)_95.

---------------------.--------------——cm

?tx20212

故选：C

4.C

【分析】根据题设可得A(点,。)，再由点在椭圆上，代入求参数即可.

【详解】由题设吗,。)，且A在第一象限，轴，则吗,p),

又A在椭圆上，故之+/=lnp2=§,而。>0,故〃=逑.

893

故选：C

5.C

【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点E是线段AD的中点，易得结论；

对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.

【详解】不妨设|=|OC|=|OE|=1,贝U|a4|=|OZ>|=JI,

对于A项，显然OC与0£方向不一致，所以OCxOE，故A项错误；

对于B项，由图知/A03是钝角，则O4O3=|OA|.|O3|cosNAO3<0,故B项错误；

对于C项，由题意知点E是线段AD的中点，则易得：OE=；(OA+O。),即得：OA+OD=2OE，故C项正确；

对于D项，由。4+OC+OD=(OA+OD)+OC=2OE+OC,而0E与0C显然不共线，故。4+OC+ODwO.即D项

错误.

故选：C.

6.B

【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.

3—32——

【详解】由尸(2)=^^P(B)=l--=-,显然P(A)=P(B)P(A|8)+P5)P(A]石)，

23211

因此二=1(川8)+(*]，所以尸(A|3)=§.

故选：B

7.A

【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点尸为过M,N两点且和x轴相切的圆与x轴的切点，求出切点的横

坐标即可.

【详解】由题意知，点尸为过M,N两点且和x轴相切的圆与x轴的切点，

答案第1页，共8页

已知M(0,2),N(2,4),则线段MN的中点坐标为(1,3),直线MN斜率为/=1,

线段跖V的垂直平分线方程为y-3=-(x-l),即x+y-4=0.

所以以线段MN为弦的圆的圆心在直线x+y-4=0上，

所以可设圆心坐标为C(a,4-a),

又因为圆与x轴相切，所以圆C的半径r=|4-H，又因为

所以(a-0)~+(4-a-2)2=(4-a)2,解得。=2或。=-6,

即切点分别为尸(2,0)和尸'(-6,0),两圆半径分别为2,10.

由于圆上以线段(定长)为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小,

且过点的圆的半径比过尸的圆的半径大，

所以ZMPNcZMPN,故点尸(2,0)为所求，

所以当4WPN取最大值时，点P的横坐标是2.

故选：A.

【分析】令/(x)=x+sinx,g(x)=ln(x+l),/z(x)=e*-l,p(x)=〃(x)-/(x)=e*-l-x-sinx,

4(x)=〃(x)-g(x)=e，-1-ln(x+l),然后利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性可比较大小.

【详解】令〃x)=x+sinx,g(无)=ln(x+l),/z(x)=eJ-l,

/?(x)=/z(x)-/(x)=el-1-x-sinx,^(x)=/i(x)-g(x)=ex-l-ln(x+l),

贝!]"(无)=eA—1—cosx,q'(x)=e1---,

令闻x)=p'(x),加(x)=e*+sinx,当xe0,：1时，m(x)>0,所以p'(x)在。,小时单调递增,

所以当xe0,£|时,=Ve-l-cos—-1-cos—=Ve-l-^-<0

p'(%)<p'/I

2262

所以p(x)在xe0,g1时单调递减，所以M0—001)<P(0)=0,所以c<4;

当xe。，；］时，/(x)=e*--令=X1

贝ipz'(x)=e+------>0,

(X+l>

所以〃(x)=d(x)在0,；］上单调递增，所以d(x)2/(O)=。,

所以q(x)在0,£|上单调递增，

所以4(0001)>4(0)=0,所以c〉b,

综上，a>c>b.

故选：D.

【点睛】关键点睛：此题考查导数的应用，考查比较大小，解题的关键是根据已知条件构造函数，然后利用导数判

断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学计算能力，属于较难题.

9.ABC

【分析】由线面平行，面面平行的判定可判断各选项的正误.

【详解】选项A中，机可能在a内，也可能与。平行，故A错误;

选项B中，。与夕也可能相交，故B错误；

选项C中，a与夕也可能相交，故C错误；

答案第2页，共8页

选项D中，依据面面平行的判定定理可知。〃尸，故D正确.

故选：ABC.

10.ACD

【分析】运用辅助角公式化简，得至(无)=2sin12x+g,再结合正弦型图象与性质，三角函数图象的平移变换逐

项判断即可.、

【详解】由/(x)=sin2x+gcos2x,得/(x)=2；sin2x+

cos2x=2sin2x+—.

2JI3)

对于A：最小正周期为7=3=兀，所以A正确；

对于B：将函数/(x)的图象上所有点向右平移

6

7171._

所得图象的函数解析式为g(%)=2sin2X--+—=2sin2x,

3

而g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以B错误；

TTTT37rTT77r

对于C：^2kn+-<2x+—<2kji-\---,左eZ,化简得E+—<x<kn-\-----,

2321212

717兀「「、，兀兀兀7兀

当左=0时,—<x<——,又因为五%—

12121212

TTTT

所以函数在正，§单调递减，所以c正确;

,所以sin(20+1

对于D选项：因为

71

sin0+—Icos0+-

所以+《卜71卜,166]_

sin(dos[o+^，所以

68sin26>+-Ucos20+-8

66

tan18+g

-,也就是8tan(e+7]-tan2[o+k]=l,

即得

tan2(6+gj+166

所以D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】令y-x=r,代入已知条件，再由判别式可求得，的范围，从而可判断A,B选项，将已知条件变形为

x2+y2=jxy+2,再由均值不等式可得冲的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D选项.

Q

【详解】令y-X=即/=不+乙代入(x+y)2一;孙=2可得：

x2+tt+-(f2-2)=0.

所以△=»一3仁-2"0,解得一百所以A正确.B正确；

Q2

由(x+y)2-］孙=2可变形为炉+/=§孙+2,

因为-气区4盯将f+y=|孙+2代入上式可得：

-?-IV孙V现+1,

33

33

解得孙V”，所以C不正确,D正确.

42

答案第3页，共8页

故选：ABD.

12.475

【分析】先求出复数z,再求出求目从而可求解.

【详解】因为z=3-4i+阴衣'=8—4i，所以忖=,8?+(-4『=4岔.

故答案为：4下.

13.a=---

〃2"-1

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.

2

【详解】数列｛%｝中，%=1,a„+i-«„=0，显然4户。，

则有，=2，,+1,gp—+1=2(—+1),而'+1=2,

an+\anan+\%

因此数列｛'+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

an

所以：+1=2"，即a,=Q.

Un/一1

故答案为：

Z—1

14.乖>_叵

【分析】根据点到直线的距离公式，即可求解.

22

【详解】所求的双曲线方程为土-匕=〃2>0),则渐近线方程为x土&y=0,

84

22

设点户(X。，儿)，则区-九=4nx；-2y；=82,

84

点P到c的两条浙近线的距离之积为-卜⑸=忖一2.=阴=2,

J-)2)2333

1丫2

解得：^=4,故双曲线。方程为：—-/=i,

故〃=&,c=8,故双曲线。上的点到焦点距离的最小值为o-〃=百-8.

故答案为：6-e.

71

15.d)C=-

Q)26

【分析】(1)由正弦定理化边为角，利用三角形中三内角的三角函数关系消去角A,解三角方程即得;

(2)由正弦定理求得边J再由余弦定理求出边6,利用面积公式即得.

【详解】(1)因为。(cosA+cos5cosC)=V3Z?sinAcosC,

由正弦定理得，sinA(cosA+cosBcosC)=\/3sinBsinAcosC,

因为Aw(0,兀),sinAw0,所以cosA+cosBcosC=石sin5cosc,

因为cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC.

所以sinBsinC=石sinBcosC，

又sinfiwO,则tanC=V^,因为。£(0,兀)，所以C=].

(2)由正弦定理，三;=4,则c=4sinC=2g,由余弦定理，cosC="一十厅一厂△,

sinC2ab2

解得6=4或》=-2(舍去)，

故ABC的面积S=L〃6sinC=26.

2

答案第4页，共8页

16.(1)平均数为100,方差为189.2

(2)可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”有关

【分析】(1)由平均数以及方差的计算公式，即可求得答案；

(2)根据已知数据计算/的值，与临界值表比较，根据独立性检验的原则，即可得结论.

82+93+95+108+122

【详解】(1)由题意得了==100

5

/=([(82-100)2+(93-100)2+(122-100)2]=189.2,

所以语文成绩》的平均数为100,方差为1892

(2)零假设为喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀无关.

2

+日隹主晶拓位—r-曰2200x(75x45-55x25)800_

根据表中数据，可得/=--------------------=——«8o.791>6r.635=x

130x100x70x10091001

所以依据。=0.01的独立性检验，”。不成立，

故可以认为“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀''有关.

17.(1)4

⑵落

【分析】(1)依题意可得AO=；OC,再根据面面平行的性质得到OE//R4,OF//AB,EF//PB,根据三角形相似的

性质计算可得；

(2)首先证明平面平面A3CD,取AB的中点G,即可得到PG_L平面A3C。，再建立空间直角坐标系，利

用空间向量法计算可得.

【详解】(1)由题意可知，四边形ABCD是直角梯形，

，△AOD与△CO3相似，又AD=gBC,

AO=—OC,OD=—OB,

22

因为过点0作平行于平面上钻的面a分别交PC,BC于点E,F,

即平面OE产〃平面上4B,平面OEF1平面PBC=EF,平面PBCc平面以5=尸3,

平面OEF平面PAC=OE,平面PAC「平面=

平面。砂平面ASC=O尸，平面ASCc平面%B=AB,

由面面平行的性质定理得OE7/B4,OF//AB,EF//PB,

所以口上钻与。麻相似，相似比为3:2,即岑=冬=粤=),

OFOEEF2

因为一PLB的周长为6,所以.OEF的周长为4.

(2)•.,平面a〃平面...平面。与平面PCD的夹角与平面PAB与平面PCD的夹角相等，

VAD=2,丛=2,PD=2>/2，；•PD?=AD?+PA2,

AD±PA,又ABPA=A,钻,乃4<=平面上钻，；.")，平面上4^,

ADu平面ABC。，.,.平面力IB_L平面ABC。，

取AB的中点G,因为，ABC为等边三角形，；.PGJ_A3,平面平面ABCD=AB,

PGu平面PAB,PG_1_平面ABCD,

以A点为原点，43所在直线为x轴，AD所在直线为，轴，过点A与PG平行的直线为z轴，建立如图所示空间直

角坐标系，

答案第5页，共8页

ZA

则A（0,0,0）,0（020）,P（l,0,5/3）,C（2,4,0）,AZ）=（0,2,0）,DC=（2,2,0）,£>P=（1,-2,V3）,

设平面PCD的法向量〃=（%,y,z）,

DCF=0[2X+2J=0

则，即c后c，

DPn=0[x-2y+j3z=0

取x=l,贝（J〃=（1,-1,一百），

•・•AD_L平面B4B,JA。是平面的一个法向量,

AD-n1不

设平面。与平面PCD夹角为，，贝!Jcos。=——厂=7=子所以sin6=

AD\\nJ555

所以平面a与平面PCO夹角的正弦值为半.

18.（1）—+/=1

4.

（2）面积是定值，为2.

【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；

（2）利用平行四边形的性质及三角形面积公式计算即可.

22

【详解】（1）根据题意易知两椭圆焦点都在X轴上，不妨设c*+/l（a>b>0）,

易矢口椭圆C的长轴长2加=40,所以椭圆C的长轴长击x472=4=2a

椭圆C的曷心率e=/82_J2/=6=1,

故椭圆C'的方程二+y2=l；

4-

（2）是定值，理由如下：

82

设尸（工,%）,A（%,%）,3（%,%），根据点在椭圆上可知，++y；=i，

Xx+X1=XQ

因为OP=Q4+O8，所以四边形（MP3是平行四边形，且

/+%=%

即（西+々）|（必+%）一1①,

82

又才+考+（；+；）=2=才+*+（必+%）=1@,

4v12782

答案第6页，共8页

①-②得：+yxy2-0,

因为tS=［苧+%%：+尸产:=1，

所以［再1,即忱为7闯=2,