2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合河={1,2,3,…,*（nwN*），若集合4={4,4}三/，且对任意的〃eM，存在e{—1,0,1}使

得6=2卬+〃勺，其中l<i<j<2,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合

/={1,2,3,4,5,6}的基底的是（）

A.{1,5}B.{3,5}C.{2,3}D.{2,4}

2.如图，在棱长为4的正方体—4月£2中，E,F,G分别为棱AB,BC,CQ的中点，M为棱AO的中点,

设P,。为底面A3C。内的两个动点，满足。尸//平面EFG,=J万，则尸M+尸。的最小值为（）

3.某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人,

且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种

A.240B.320C.180D.120

九3+］元〉0

4.已知函数/（'）='是奇函数，则g（7（—D）的值为（）

g（x）,x<0

A.-10B.-9C.~7D.1

5.已知函数/（x）=W，。=/（2°3）,b=/（0.2°3）,c=/（log032）,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

6.已知等差数列{4}的前〃项和为S〃，若$8=16,a6=\,则数列{4}的公差为（）

2322

A.B.C.D.

22i

i

7.下列与函数y=-7=定义域和单调性都相同的函数是()

111

A.y=210g2

C-y=lOg2-D.y=/

8.如图，正四面体P-ABC的体积为K,底面积为S,。是高7W的中点，过。的平面a与棱Q4、PB、PC分

别交于。、E、F,设三棱锥P-的体积为％,截面三角形DEF的面积为So,则()

A.V<8%,S<4S0B.V<8%,S24so

C.V28%,S<4S0D.V28%,SN4so

TTqr

9.把函数v=sin(x+—)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移£个单位，那么所

63

得图象的一个对称中心为()

A.(1,0)B.(?,0)C.哈,0)D.(0,0)

/、flog〃x+a,x〉0/、/、

10.已知a>0且awl,函数,若y(a)=3,则/(—a)=()

3—1,xWU

228

A.2B.-C.——D.——

339

11.已知集合4={尤||尤—1|43,X£2},3=卜€2|2"£4},则集合3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

22

12.过双曲线C:)-多=1(。>0,6>0)的右焦点厂作双曲线C的一条弦A3,且£A+FB=0,若以45为直径的圆

ab

经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为()

A.72B.73C.2D.75

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/'(x)=-V+sinx,若/(a)=M,则/(一。)=.

14.在ABC中，AB=2小,AC<，ABAC=90°,贝!JABC绕6C所在直线旋转一周所形成的几何体的表

面积为.

15.在AABC中，已知AB-AC+28A-BC=3C4-C8，贝！IcosC的最小值是.

22

16.已知双曲线。:3-左=1(a力>0)的左右焦点为耳，鸟，过工作x轴的垂线与C相交于A,3两点，£3与V轴

相交于。.若耳8,则双曲线C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知动圆M恒过点［o,g),且与直线、=-；相切.

(1)求圆心M的轨迹E的方程；

(2)设P是轨迹E上横坐标为2的点，0尸的平行线/交轨迹E于A,B两点,交轨迹E在P处的切线于点T,问：

是否存在实常数力使|尸7/=/11Ali.|75|,若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.

22

18.(12分)已知椭圆C:=+多=1(a>b>0)的两个焦点分别为Fi(—0,0)、F2(、历，0).点M(1,0)

a~b~

与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m彳3).过点M任作直线1与椭圆C相交于A、B两点，

设直线AN、NP、BN的斜率分别为ki、k2,k3,若ki+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.

19.(12分)已知AABC中，内角A氏C所对边分别是a,b,c,其中a=2,c=g.

(1)若角A为锐角，且sinC=Y3,求sinB的值；

3

(2)设/(C)=GsinCcosC+3cos2。，求/(C)的取值范围.

20.(12分)已知函数/(x)=x+a«+lnx(。为常数)

(I)当。=—5时，求/(尤)的单调区间；

(II)若/(尤)为增函数，求实数。的取值范围.

21.(12分)如图，。是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△A5O面积的2倍，ZCBD=2ZABD=2G.

D

(I)若0=2,求的值；

6sinC

(II)若3C=4,AB=2叵,求边AC的长.

22

22.(10分)设直线/与抛物线V=2y交于A,3两点，与椭圆^+三=1交于C,。两点，设直线04,。氏。。,8

(。为坐标原点)的斜率分别为41，%，&，心，若OALO3.

(1)证明：直线/过定点，并求出该定点的坐标；

(2)是否存在常数X,满足左+左2=丸(%+&)?并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据题目中的基底定义求解.

【详解】

因为1=—Ix2+lx3,

2=Ix2+Ox3，

3=0x2+lx3,

4=lx2+lx2,

5=lx2+lx3,

6=Ix3+lx3,

所以｛2,3｝能作为集合M=｛1,2,3,4,5,6｝的基底，

故选:C

【点睛】

本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2、C

【解析】

把截面ERG画完整，可得P在AC上，由=J万知。在以。为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得

PM+P。的最小值.

【详解】

如图，分别取GQ,4A的中点连接GH,HI,IJ,JE,易证及凡G,8,/，共面，即平面跳G为截面

EFGHIJ,连接A，,ACAC,由中位线定理可得AC//石尸，平面EFG,EFu平面MG,则AC//平

面跳G,同理可得A。1//平面ERG,由ACIA。=A可得平面ARC//平面EFG,又，P//平面EFG,P在

平面ABCD上，AP&AC.

正方体中。。，平面ABC。，从而有；.DQ=gQ2—DD；=1,二。在以。为圆心1为半径的四

分之一圆（圆在正方形A3CD内的部分）上，

显然M关于直线AC的对称点为E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2石—1，当且仅当E,P,Q,。共线时取等号，

二所求最小值为2乔-1.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出尸点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出。点

轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.

3、C

【解析】

在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得

出结果.

【详解】

两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4,

又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为Cl+^-1耳=180.

IAJ

故选：c.

【点睛】

本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.

4、B

【解析】

根据分段函数表达式，先求得了(-1)的值，然后结合了(冷的奇偶性，求得g(/(-l))的值.

【详解】

d+xx20

因为函数/(九)='一是奇函数，所以/(—1)=—7(1)=-2,

、g(x),x<0

g(/(-l))=g(-2)=/(-2)=-/(2)=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决

问题的能力.

5、B

【解析】

可判断函数“X)在R上单调递增，且2°3〉l〉0.2°3〉o>iogo32,所以c<b<a.

【详解】

03

/(%)=更匚=1—--在R上单调递增，且2°3>1>O.2>0>log032,

e*+1ex+1

所以c</?<a.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解

能力.

6,D

【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.

【详解】

依题意，§8（一+火）=8（%+&）=]6,故%+4=4,故%=3,故1=丝二与=—2,故选：D.

82233

【点睛】

本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.

7、C

【解析】

1

分析函数y=方=的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.

【详解】

函数V=耳的定义域为（Q+"）'在（0,+8）上为减函数.

A选项，＞=2题2*的定义域为（0,+8）,在（0,+8）上为增函数，不符合.

B选项，j=log2Q^|的定义域为E,不符合.

C选项，y=log2'的定义域为（0,+“），在（0,+。）上为减函数，符合.

D选项，,=«的定义域为[0,+8）,不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.

8、A

【解析】

设AB=2,取E尸与重合时的情况，计算出当以及匕的值，利用排除法可得出正确选项.

【详解】

如图所示，利用排除法，取跖与重合时的情况.

p

不妨设AB=2,延长MEIJIN,使得PN//AM.

PD1

■,PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,AM=3MH=3PN,则——=-,

AD3

由余弦定理得§£>2=AB2+AP2—ZAB-ADCOS&UZZ+I』］-2x2x-x-=—,

3。224

22

DM=^BD-BM=-,Sn=-x2x-=-,

2°222

又s弋X2?3.堂吟=2g〉l,

当平面。跖〃平面ABC时，S=4S0,:.S<4S0,排除B、D选项；

LI“PD11..8K)

因为---=—,.'.V=—V,此时，----=2>1,

AD30°4V

当平面£>Eb〃平面ABC时，8%=V,r.8%2丫，排除C选项.

故选：A.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、

推理能力与计算能力，属于难题.

9、D

【解析】

试题分析：把函数y=sin(x+-)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(4x+£)的图象

626

7T\71711

再将图象向右平移g个单位，可得y=sin[—(x-—)+—]=sin—x的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0),

32362

故选D.

考点：三角函数的图象与性质.

10、C

【解析】

根据分段函数的解析式，知当无<0时，/(%)=3.—1,且/(x)<3,由于/(a)=3,则/'(0)=1080a+a=3,即

可求出a.

【详解】

由题意知：

当x<0时，/(力=33—1,且〃无)<3

由于/(a)=3,则可知：a>0,

贝(1/(。)=1叫。+。=3,

6Z=2,贝！I-a=-29

9

则a)=〃-2)=3--1=方

即f(-«)=

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

11、D

【解析】

弄清集合3的含义，它的元素x来自于集合A,且不也是集合A的元素.

【详解】

因|x—1区3,所以—2WxW4,故4={—2,—1,0,1,2,3,4},又xeZ,2"eA，贝！|x=0」,2,

故集合3={0,1,2}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

12、C

【解析】

由E4+EB=0得月是弦43的中点.进而得A3垂直于x轴，得一=a+c,再结合。力,。关系求解即可

a

【详解】

因为~4+正3=0,所以尸是弦A5的中点.且A5垂直于“轴.因为以A5为直径的圆经过双曲线。的左顶点，所以

卜22_2

—=a+c,即^~—=6z+c,则。一〃=〃，故e=—=2.

aaa

故选：c

【点睛】

本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-M

【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数/(尤)的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.

【详解】

因为函数/(xh-J+sinx,其定义域为R,

所以其定义域关于原点对称，

又f(一x)=-(-x)3+sin(-x)=—(A3+sin%)=一/(尤)，

所以函数/(%)为奇函数，因为/(a)=”,

所以=

故答案为:

【点睛】

本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中

档题、常考题型.

14、6非兀

【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S=»力计算公式可得.

【详解】

解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，

在ABC中，A8=2百，AC=«，ZBAC=9Q°,如下图所示,

2也.小

底面圆的半径为「=4。=2

则所形成的几何体的表面积为S="（4+/?）=乃义2x（2石+石）=6小兀.

故答案为：6^/^万.

【点睛】

本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.

15、叵

3

【解析】

分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：bccosA+2accosB=3abcosC,然后再结合余弦定理整理为

a2+2b2=3c2,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.

详解：已知AC+2BA-BC=3CA・CB，可得〃ccosA+勿ccos_B=3aZ?cosC,将角A,B,C的余弦定理代入得

221/25

a~+2b2=3c2,由a2+Z；2-c2_30+3、后，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为卫.

lablab3

点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化AB.AC+2A4­8。=314・四是解题关

键.属于中档题.

16、y/3

【解析】

7A2A2

由已知可得A6=A5=’-,结合双曲线的定义可知|A周-恒居|=2=2。，结合02=/+〃，从而可求出离心

率.

【详解】

解：闺。|=|月。］,00〃月3,.」。制=|。剧,又则|AK|=|AB|=2|A阊.

r2r2r2

\AFA=—,:.AFX=AB=—,:.\AF\-\AF^—^2a,即尸=2/=。2一

aaa

解得c-6a，即e=A/3•

故答案为：73.

【点睛】

*

本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出|A8|=幺.关于圆锥曲线的问题,

一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/=2＞；(2)存在，

-2

【解析】

(1)根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；

(2)由抛物线方程求得点P的坐标，设出直线/的方程，利用导数求得点T的坐标，联立直线/的方程和抛物线方程,

结合韦达定理，求得|力4|,|2|,进而求得|PT「与之间的大小关系，即可求得参数X.

【详解】

(1)由题意得，点〃与点［o,g］的距离始终等于点〃到直线、=-;的距离，

由抛物线的定义知圆心M的轨迹是以点为焦点，直线y=-；为准线的抛物线，

则£=！，。=1.二圆心〃的轨迹方程为必=2丫.

22-

(2)因为P是轨迹E上横坐标为2的点，

由(D不妨取代2,2),所以直线。尸的斜率为1.

因为〃/QP,所以设直线/的方程为y=x+m,mW。.

由y=5%2,得丁=%,则E在点尸处的切线斜率为2,

所以E在点P处的切线方程为y=2x-2.

y=x+m,nx=2m…+2,所22),

由＜

y=2犬一2,

所以IP?T=[⑴+2)—2]2+[(2m+2)-2y=5m2.

y=x+m,

由I2C消去y得/—2%—2m=0,

〔X=2y

由A=4+8相＞0,得相〉——且加。0.

2

设B(%2,y2),

则再+%=2,xrx2=-2m.

因为点T,A,6在直线/上，

所以|AL|=0忖-(m+2)|,|7B|=72|x2-(m+2)|,

所以|MH年|=2%-(m+2)|-|x2-(m+2)|

2

=2kpc2-(〃?+2)(尤］+x2)+(m+2)|

=21-2m—2(m+2)+(m+2)21=2m2,

5

所以|PT『9二|TX|・|7B|.

2

/.zl=—

2

故存在％=使得|PT|2=X|E4|・|7B|.

【点睛】

本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题.

尤2

18、(1):——Fy2=1；(2)m—n—1=0

3

【解析】

试题分析：(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；(2)设出过M的直线

I的方程，将1与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将kl+k3表示为直线1斜率的关系式，化简后得kl+k3=2,

于是可得m,n的关系式.

试题解析：(1)由题意，c=J^,b=l,所以a=J/+02=6

故椭圆C的方程为上+y2=l

3-

（2）①当直线1的斜率不存在时，方程为x=L代入椭圆得，y=土逅

3

不妨设A（1,逅），B（1,一逅）

33

"V6

因为ki+k3=33=2

~i--T~

又ki+k3=2k2,所以k2=l

n—2

所以m,n的关系式为----=1,即m—n—1=0

m-3

②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x-1)

将y=k(x—1)代入§+>2=1,

整理得：(3k2+l)x2-6k2x+3k2-3=0

6k2342—3

设A(xi,yi),B(X2,y2),则石+々=3r+1*2-3/+1

又yi=k(xi—1),yi=k(X2—1)

2-।2-%_(2-％)(3-工2)+(2-%)(3-再)

所以ki+k3=I—

3—Xj3—%2(3—%)(3—w)

[2—左(％_1)](3_%2)+[2_k(々_1)](3一%)

%犬2—3(再+々)+9

2kxix?一(4左+2)(国+%2)+6左+12

x1x2-3(%i+X2)+9

07.2a72

2左x,一一(4左+2)>-^^+6左+12

3左2+13左2+1

3二-3.3"

+9

3F+13F+1

_2(12左2+6)_2

12k-+6-

n—2

所以2k2=2,所以k2=------=1

m-3

所以m,n的关系式为m—n—1=0

综上所述，m,n的关系式为m—n—1=0.

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系,

19、(1)其叵；(2)-,-+^3

9122.

【解析】

(1)由正弦定理直接可求sinA,然后运用两角和的正弦公式算出sin8；

(2)化简/(C)=6sin(2C+W]+=,由余弦定理得cosC=三注£+利用基本不等式求出

<3)22ab41匕)

cosC>-,确定角。范围，进而求出/(C)的取值范围.

2

【详解】

(1)由正弦定理，得：=

sinAsinC

.,asinC2

sinA=--------二—

c3

/.sinC<sinA,且A为锐角

,_A/5

..cosC——,cosA——

33

2娓+岳

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

9

“小mc1+COS2C1.mA/33

(2)f(C>\——sin2c+3x------------=J3—sin2cH-----cos2cH—

v722222

=Qsin12C+|^+|

£

>—

lab42

.-.Ce^0,y.•.2C+ge与

n

sinf2C+—je[0,1]f(C)e—,—+A/3

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.

20、(I)单调递增区间为(4,+«0；单调递减区间为(II)［-4,+8).

【解析】

(I)对函数/(%)进行求导，利用导数判断函数/(光)的单调性即可；

(II)对函数/(%)进行求导，由题意知,/(%)为增函数等价于/(尤)20在区间(0,+。)恒成立，利用分离参数法和

基本不等式求最值即可求出实数。的取值范围.

【详解】

(I)由题意知，函数y=/(x)的定义域为(0,+“),

当叫-5时，小)=可出(2«-1)(6-2)

2x

令/，(x)=0，得％=；，或x=4,

所以/(%)，/(九)随X的变化情况如下表：

H)j_

X4(4,+oo)

4

/'(X)+0—0+

9।)

“X)递增------ln4递减-6+ln4递增

4

・••/(力的单调递增区间为(。,；|,(4,+=0).单调递减区间为］:,4)

(II)由题意得/(%)=1+++-=2"«+2»0在区间(0,+。)恒成立，

即-a(+七］在区间(0,+“)恒成立.

^+^=>21^-=2,当且仅当«=4，即x=l时等号成立.

Vyjxyjx

所以6+《］=4,所以。的取值范围是［-4,+8).

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围；考查运算求解能力和

逻辑推理能力；利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

21、(