安徽省淮北一中2024届高考数学一模试卷含解析

安徽省淮北一中2024届高考数学一模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知S“是等差数列｛4｝的前〃项和，«1+«2=-|,%+%=4,贝！|S1O=（）

8535

A.85B.—C.35D.—

22

2.关于圆周率见数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可

以通过设计下面的实验来估计万的值：先请全校加名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对再统计两数

能与1构成钝角三角形三边的数对（X,y）的个数a;最后再根据统计数«估计万的值，那么可以估计冗的值约为（）

4。。+2a+2m4。+2加

A.B.C.------D.-------

mmmm

3.已知W表示两条不同的直线，a,尸表示两个不同的平面，且根_L%〃u£,则是“相〃〃”的（）条

件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

4.马林•梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费

马等人研究的基础上对〃-1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2尸-1

（其中〃是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

TT77TT

5.已知函数/⑴=sin（s+0）3>°,⑷4耳），户一了为了⑺的零点，x=z为y"⑺图象的对称轴'且『⑺

在区间（£,】）上单调，则。的最大值是（）

43

A.12B.11C.10D.9

4

6.“tan6=2”是“tan28=——”的（）

3

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.已知函数〃无）的定义域为[0,2],则函数g（x）=〃2x）+Ji万的定义域为（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

8.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

10.如图，在正方体A3CD—A4GD1中，已知E、F、G分别是线段AC上的点，且其石=EE=PG=GC1.则

下列直线与平面平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.eq

11.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”*礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是

体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排

六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，贝！J“六艺”课程讲座不同的排

课顺序共有（）种.

A.408B.120C.156D.240

12.若点（2,k）到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是（）

_5-17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号

之和是偶数的概率为.

PF

14.已知点P是抛物线必=4y上动点，厂是抛物线的焦点，点A的坐标为（0,-1），则--的最小值为

22

15.已知双曲线C：%y=1（«>0,b>0）,直线/：%=4a与双曲线。的两条渐近线分别交于A,3两点.

若八OAB（点。为坐标原点）的面积为32,且双曲线C的焦距为2逐，则双曲线C的离心率为.

16.如图，在平面四边形二二二二中，二口|=j111Hli贝"三6三）•（三+日三）=-------

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆C:三+讶=1（a>b>0）的左右焦点分别为耳，工，焦距为4,且椭圆过点（2,g）,过点心且

不平行于坐标轴的直线/交椭圆与P,Q两点，点。关于x轴的对称点为R,直线PR交x轴于点

(1)求时。的周长;

(2)求PF[M面积的最大值.

18.(12分)根据国家统计局数据，1978年至2018年我国G。产总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242

倍多，综合国力大幅提升.

国内生产总值-GDP(万亿)

将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替，并表示为f；V表示全国GOP总量，表中

_]5

Z产Iny（z=1,2,3,4,5）,z=Rz,.

?i=\

£”）卜,-可

tyzZ（4-矶马-z）

i=li=li=l

326.4741.90310209.7614.05

(1)根据数据及统计图表，判断?=初+。与$=。『,(其中e=2.718为自然对数的底数)哪一个更适宜作为全国

GOP总量y关于/的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)，并求出y关于，的回归方程.

(2)使用参考数据，估计2020年的全国GAP总量.

线性回归方程y^bx+a中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

,£（%一元）（%—歹）

2=上―---------------,a^y-bx.

£（七-元『

i=l

参考数据:

n45678

en的近似值5514840310972981

19.(12分)在ABC中，内角A5c的对边分别是"c,满足条件c=2b-0a,C=工.

4

(1)求角A；

(2)若ABC边AB上的高为出，求AB的长.

20.(12分)已知中心在原点。的椭圆C的左焦点为耳(—1,0),C与V轴正半轴交点为A,且/4耳。=(.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点A作斜率为舟、左2(匕自力0)的两条直线分别交。于异于点4的两点以、N.证明：当左2=六时，直

/C］I

线过定点.

21.(12分)已知函数/(%)=e“-2x.

(1)若曲线y=/(%)的切线方程为y=«x+l,求实数。的值；

(2)若函数姒£)=时(%)+2加%—三+3在区间［-2,4］上有两个零点，求实数加的取值范围.

31

22.(10分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,,tan(B-A)=-.

(1)求tan5的值；

(2)若c=13,求AABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

将已知条件转化为的形式，求得q,d,由此求得do.

【详解】

2a,+d=-3371385

设公差为d,贝耳।2,所以2d=1,d=Lq=—,S10=10a1+-xl0x9x-=—.

2q+3d=4248242

故选：B

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和的计算，属于基础题.

2、D

【解析】

0<%<1

由试验结果知机对0〜1之间的均匀随机数羽y，满足c,,面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y),

[0<y<l

满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计万的

值.

【详解】

,、0<%<1

解：根据题意知，他名同学取加对都小于1的正实数对(羽y),即彳，

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

/+/<1

若两个正实数羽y能与1构成钝角三角形三边，则有),

0<%<1

0<)<1

T[

1rr»-aR1AF/D4a+2m

其面积3=则有一=-----,解得乃=

42zn42m

故选：D.

【点睛】

本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以

直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个

变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

3、B

【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.

【详解】

对于充分性：若则私7?可以平行，相交，异面，故充分性不成立;

若相〃“，则",0,“<=/?,可得。_L/7,必要性成立.

故选：B

【点睛】

本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条

件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.

4、C

【解析】

模拟程序的运行即可求出答案.

【详解】

解：模拟程序的运行，可得:

P=L

S=l,输出S的值为1,

满足条件PW7,执行循环体，p=3,S=7,输出S的值为7,

满足条件PW7,执行循环体，p=5,S=31,输出S的值为31,

满足条件PW7,执行循环体，p=7,5=127,输出S的值为127,

满足条件PW7,执行循环体，p=9,5=511,输出S的值为511,

此时，不满足条件PW7,退出循环，结束，

故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查程序框图，属于基础题.

5、B

【解析】

由题意可得加（-2）+0=公r,且加工+°=〃/+工，故有。=2（〃-幻+1①，再根据L也…工一工，求得电，12②,

4422034f

由①②可得。的最大值，检验。的这个值满足条件.

【详解】

解：函数/（尤）=sin（。尤+9）（O>0,|夕|”多,

77IT

x=—°为/Xx)的零点，x=—为y=/(x)图象的对称轴，

44

「.◎(—)+(p=k冗，且斯—(p=k'7iH—k、k'GZ,「.69=2(左'—左)+1,即。为奇数①.

4429

/(x)在弓，刍单调，.•二.竺.白£,.5,12②.

432(W34

由①②可得①的最大值为L

77'TTTT

当口=n时，由%=—为y=/(%)图象的对称轴，可得nx：+e=左万+彳，keZ,

442

故有夕=,◎(一~Q+(p=kji,满足%=为了(%)的零点，

444

(717t\

同时也满足满足fW在匕，可上单调，

故0=n为。的最大值，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

6、A

【解析】

4

首先利用二倍角正切公式由tan2。=-求出tan。，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;

【详解】

2tan

解：Vtan2^=f可解得tan6=2或—工，

l-tan26>32

4

“tan。=2”是“tan2^=--"的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题.

7、A

【解析】

0<2x<2

试题分析：由题意，得｛。，解得OWxWl,故选A.

考点：函数的定义域.

8、D

【解析】

利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.

【详解】

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正

确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.综上，真命题是②④.

故选：D

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题.

9、A

【解析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.

【详解】

由题意，该几何体如图所示：

C

故选：A.

【点睛】

本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题.

10、B

【解析】

连接AC,使AC交6D于点。，连接4。、CF,可证四边形4OCR为平行四边形，可得AO〃CE，利用线面平

行的判定定理即可得解.

【详解】

如图，连接AC,使AC交友）于点。，连接4。、CF,则。为AC的中点,

在正方体ABC。-A4G2中，A4〃CG且M="1，则四边形A4CC为平行四边形，

.1.AG〃AC且4G=AC,

。、厂分别为ac、AG的中点，二4/〃oc且AR=oc，

所以，四边形为平行四边形，则CF〃4。，

「era平面A#。，A。u平面48。，因此，c尸〃平面45。.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.

11、A

【解析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最

后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；

【详解】

解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有星=720（种），

当“乐”排在第一节有闻=120（种），

当“射”和嘴”两门课程相邻时有用团=240（种），

当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有=48（种），

则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有720-120-240+48=408（种），

故选：A.

【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题.

12、D

【解析】

|2x5-12^+6|

由题得=4,解方程即得k的值.

6+(-12)2

【详解】

|2x5-12k+6]

由题得=4,解方程即得k=-3或一.

3

故答案为：D

【点睛】

⑴本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力。)点P(x0,%)到直线

/:"+但+<=0的距离4=1即+劫°+4.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5

【解析】

先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型

的概率计算公式即可算出结果.

【详解】

一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：

1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有10个，

其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，

因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：^=|.

3

故答案为：

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.

14、旦

2

【解析】

过点P作垂直于准线，〃为垂足，则由抛物线的定义可得。加=尸尸，

PFPMPF

则——=—=sinZPAM,"4M为锐角.故当Q4和抛物线相切时，——的值最小.

PAPAPA

PF

再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得——的最小值.

PA

【详解】

解：由题意可得，抛物线必=4》的焦点尸（0,1）,准线方程为y=-l,

过点P作PM垂直于准线，〃为垂足，则由抛物线的定义可得。加=尸尸，

PFPM

则——二----=sinZPAM,为锐角.

PAPA

PF

故当NP4”最小时，一的值最小.

PA

设切点叩而,4由y=#的导数为y=

则Q4的斜率为6=6=*，

227a

求得4=1,可得P（2,l）,

PM=2,PA=2V2，

•••sinZPAAf=^=—.

PA2

J?

故答案为：

2

【点睛】

本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.

15、布或与

【解析】

用表示出钻的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及即可容易求得则离心

率得解.

【详解】

x=4〃，

联立b解得y=4b.

y=­x

、a

所以AQ4B的面积S=L4a-8）=16必=32,所以"=2.

2

而由双曲线C的焦距为2石知，c=小,所以/+/=5.

a=l,=2,

联立解得7。或1i

b=2=1,

故双曲线C的离心率为6或。.

故答案为：6或好.

2

【点睛】

本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.

16、_7

【解析】

由题意得_『「，,.」」一，F然后根据数量积的运算律求解即可.

【详解】

由题意得三元+向=元-而

二二一二二=（二二+二二）+（匚二,+--I）=二二+二二’

（二二+二二）♦（二二+二二）='（二二一--）•（匚二i+二二）=二二"一二二『=9-J6=—7

【点睛】

突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用二_二二表

示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）12（2）

4

【解析】

（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义归耳|+归耳|+|。用+|。&|=4。=12；

(2)求出椭圆的标准方程，设/:兀=叼；+2,2(%],%),。(乙,%)，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面

积，即可求解最大值.

【详解】

(1)设椭园C的焦距为2c,则2c=4,故c=2.则耳(-2,0),鸟(2,0)椭圆过点由椭圆定义

知：2。=|盟|+|9|=6,故a=3,

因此，河Q的周长=归耳+归闻+|。4|+|图|=4。=12；

22

(2)由⑴知：〃=/_=5,椭圆方程为：三+4=1设/：%=冲+21(.%),。(为2，%)，则尺(％2，—%)，

f\

PR-y=正々…J+丝Ui,。

再一％2I乃+乂)

x=my+2八-10m±15^^2+1

=(5疗+9)V+2Qmy-25=0△=900(2m-+1>0,y,=---------------------

5炉+9/=45)u52m2+9

—20m-25CC/\一90根

‘邛2+西为=2,叫,2+2(%+%)=^^

11%%+七％C、,,13,“136

v—+2।y"=11%区-4，

2I必+为

当且仅当P在短轴顶点处取等，故面积的最大值为生叵.

4

【点睛】

此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，

涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.

18、(1)y=ce%>3405”2.312=-312⑵四万亿元.

【解析】

(1)由散点图知y=ce”更适宜，对〉=ce”两边取自然对数得lny=lnc+力，令z=lny,a=lnc,b=d,则

z=a+bt,再利用线性回归方程的计算公式计算即可；

(2)将/=5.2代入所求的回归方程中计算即可.

【详解】

(1)根据数据及图表可以判断，

y=ced,更适宜作为全国GDP总量v关于t的回归方程.

对〉=ce”两边取自然对数得Iny=lnc+力，令z=lny,a=lnc,b=d,^z=a+bt.

若“405,

因为6=

i=\

所以a=』一应=1.903—1.405*3=—2.312,

所以z关于f的线性回归方程为z=1.405/-2.312，

所以V关于f的回归方程为y=eL405f-2-312=("2312)e".

(2)将f=5.2代入其中1.405x5.2—2.312=4.994,

于是2020年的全国G0P总量约为：y=e4"4-=148万亿元.

【点睛】

本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中

档题.

19、(1)y.(2)2A/3-2

【解析】

(1)利用正弦定理的边角互化可得sinC=2sin3—&sinA，再根据5=乃一A-C=%+利用两角和的

正弦公式即可求解.

L71

(2)已知C£>=g\由A=—知")=1,在ABDC中，解出即可.

3

【详解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-A/2sinA

由己知C=?,而5=〃-A_C="_[A+£)

=V2COSA

.l%

..cosA1=t—,Alt=一

23

(2)已知CD=JL

TC

则由A=一知AZ)=1

3

5CD

B=7l—A—C=——7T,DB=-------

12tan5

先求sin2％=sinTC冗

—+—=)(6+a)

1243

57171

cos—n--cos—+—」(遥-板)

12434

即+?=2+G

12(V6-V2)

:.DB=、厂=2后-3

2+V3

；•AB=AD+DB=l+2y/3-3=2y/3-2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.

22

20、(1)—+^=1；(2)见解析.

43

【解析】

(1)在放AA£O中，计算出|时|的值，可得出。的值，进而可得出〃的值，由此可得出椭圆C的标准方程;

(2)设点〃(%,%)、"(%,%)，设直线MN的方程为、=丘+〃?，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理,

根据已知条件得出左总=匕+&，利用韦达定理和斜率公式化简得出m与左所满足的关系式，代入直线肱V的方程,

即可得出直线所过定点的坐标.

【详解】

⑴在中，|Q4|=〃，|a；|=c=l,|Af；|=yl\OA^+\OFf=a，

NA40=g,NOM=£,.•.a=|M=2|0周=2,==

3o

22

因此，椭圆C的标准方程为二+乙=1；

43

（2）由题不妨设ACV:y=履+7%，设点M（x,，x）,M%,%）

f22

土+匕=]

联立<439消去y化简得（4左之+3）%2+8协a+4相2—12=0,

y=kx+m

口8km4m2-12

且玉十%=一_773~~Z，F亢2=-----9------，

4左2+3124左2+3

JKy—y—y—<y/3%-^3

9

k2=~TA.••左左2=勺+左2，=+~~—,

女1-1\x2x1x2

工代入%-Ax.+m（z=1,2）,化简得（左之_2左卜/2+（左一1）（加一6）（西+々）+苏-2^m+3=0,

化简得8限（加—省）=3（根—若『，

加wG,「•8如左二3（加一6）,「.m=8,%+g,

直线MN:y=fcc+仝儆+君，因此，直线脑V过定点[—吧,6.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.

[36

21、（1）a=-l;（2）-2e<m<--^m=—

ee

【解析】

（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为（毛工%-2%），结合导数的几何意义可得方程x0e'。--。+1=0,构造

函数/z（x）=x/-，+1,并求得〃'（％）,由导函数求得力（力有最小值可0）=0,进而可知由唯一零点/=0,即可

代入求得。的值；

（2）将/（九）解析式代入°（力，结合零点定义化简并分离参数得根==,构造函数g（x）==^,根据题意可

2—3

知直线了=根与曲线g(x)==£有两个交点；求得g，⑴并令g，(£)=0求得极值点，列出表格判断g(x)的单调

性与极值，即可确定与丁=根有两个交点时m的取值范围.

【详解】

⑴依题意，f(x)=ex-2x,f'[x}=ex-2,

x

设切点为-2%)，f'^x0)=e°-2,

Xo

[ax(}+l=e-2xn

故L，

e°-2=a

故尤od_2)+1=1—2%,则为*—e*。+1=0；

令/z(x)=xe九-e"+1,hr(^x)=xex,

故当x£(73,0)时，/zr(x)<0,

当x£(0,+oo)时，>0,