2024年安徽省普通高中高二数学春季阶段性检测试卷附答案解析

2024年安徽省普通高中高二数学春季阶段性检测试卷

(试卷满分150分，考试时间120分钟)2024.02

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知向量3=(1,-3,2),3=(-2,f,4),若&,则，=()

A.-2B.-1C.1D.2

2.若直线4：%x+2y-2=0与，2：5x+(m+3)y-5=0平行，贝!Jm=()

A.B.2C.-5D.-5或2

3.记等差数列｛。,｝的前〃项和为S“，若%+%=%+4,则几=()

A.42B.52C.56D.60

4.若圆C与x轴相切，且圆心坐标为(1,2),则圆C的方程为()

A.%?+j/2—2x—4y+1=0B.—2x—4-y—1—0

C.%2+—2x—4y—3=0D.x2+y2—2x—4y+3=0

5.已知向量方==2,1,-2)忑=(-3,1㈤若洛B忑共面,则实数4=()

5

A.—B.—2C.—1D.0

2

6.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面

内与两定点距离的比为常数4(4。1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点

PO1

0(0,0),^1(4,0),动点尸(X/)满足;7=1，则点P的轨迹G与圆C:(x-l)2+(y+l)2=l的公共弦长为

JrA.3

A.B.V2C.D.V3

1313

3

7.已知正项数列｛q,｝满足%=1,4=2,且｛/｝为等差数列，设%=二一，若数列｛与｝的前左项和为

an+an+\

10,贝！U=（）

A.30B.31C.40D.41

8.过抛物线＜7:y=2.（？＞0）的焦点尸作直线/,与C交于48两点（点A在x轴上方），与》轴正半

轴交于点N,点。是C上不同于45的点，S.QA=^（QN+QF）,\BN\=6,贝疗=（）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在平行六面体ABCD-A.B^D,中，AB=AD=AAX=1,AB1AD,ZAXAD=ZAXAB=60°,P为Afi

与4Di的交点，设方=瓦而=不,戴=己，则（）

A.ACX=a+b—cB.BD^-a+b+c

c.\PC\=-D.AC,-PC=-

14

10.已知数列｛%｝满足3%+5a2+7%+…+(2"+1)。"="•3"",则()

A.｛/｝为等比数列

B.为递增数列

c.数列｛（-1）"%｝的前100项和为=2

D.数列｛|%T00|｝的前8项和为10000

22

11.已知尸，尸分别为椭圆。：乙+二=1的左、右焦点，过坐标原点。且与坐标轴不重合的直线/与。交于

43

48两点，4£_Lx轴，垂足为直线彼与。的另一个交点为尸，则（）

2

111

A。南+时〉

B.的面积小于AFPF的面积

C.的外接圆面积小于AFF户’的外接圆面积

D.A48£的面积最大值为百

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知点/(2,0,2),8(0」」),C(4,0,0),则向量血在衣上的投影向量的坐标是

(X+U.A+2

13.记数列｛0｝的前〃项和为国，已知q=3,S“M=3S“+2〃+3,则34=________________.

〃]।Cl?'L

22

14.已知瓦工是椭圆G：二+右=1(°>6>0)与双曲线C2的公共焦点，G的离心率为qC的离心率为

ab

)3]

02,尸为4与的一个公共点，若/片”=?,则=+==__________.

3，。2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.求满足下列条件的曲线方程:

(1)一个焦点坐标为(0,5),渐近线方程为尤±2了=0的双曲线；

(2)顶点在坐标原点，焦点厂在x轴正半轴上，过点可卜。,旬且满足|MF|=g的抛物线.

16.已知在数列｛%｝中，%=2,4+1=黑-.

⑴证明]是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵设。=(-1)"(2"+1)的布,数列也｝的前〃项和为S*,求S”

17.如图，在四棱锥中，底面/3CD是正方形，PDLCD,且PD=ZX?=2,平面尸£>C_L平

面ABCD,瓦尸分别是棱尸4PC的中点，点M在棱8c上.

⑴求证：平面DEA/_L平面尸48；

(2)若尸3〃平面。月欣，求二面角E-DW-尸的正弦值.

18.已知等差数列｛%｝的公差且％，%，%成等比数列，｛%｝的前〃项和为，，品+'=63,设

3

bn=T-'an,数列也｝的前〃项和为北.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵若不等式+2s“-ll”+3V0对一切/^eN*恒成立，求实数2的最大值.

19.已知片,耳分别是椭圆C:工+仁=1的左、右焦点，MN是C上位于x轴上方的两点，MF｛//NF2,

42

且叱与净的交点为尸.

(1)求四边形孙月N的面积S的最大值；

(2)证明:|尸耳|+-阊为定值.

1.D

【分析】根据垂直关系得到方程，求出答案.

【详解】因为所以而=1x(-2)-3t+2x4=-2-3/+8=0,解得t=2.

故选：D

2.C

【分析】根据两直线的位置关系建立方程，解方程，验证即可.

【详解】若4//，2，则加(冽+3)—2*5=/+3加-10=(加一2)(次+5)=0,

解得冽=2或相=—5,

当加=2时，4,4重合，不符合题意，所以舍去.

所以加=-5.

故选：C

3.B

【分析】根据等差数列的性质结合等差数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】由%+%2=%+4，得%+。12—“9=”9+“7—。9=“7=4,

13(氏+即)

贝I」S13=二'=13%=52.

故选：B.

4.A

【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式.

【详解】由已知得圆。的半径为2,故圆。的方程为(％-1)2+“-2)2=4,

4

即x?+/-2x-4y+l=0.故A正确.

故选：A.

5.D

【分析】先应用空间共面向量定理，得至=，加i+的形式，横、纵、竖坐标对应相等消参求解即可.

【详解】因为々石忑共面，且a石都不是零向量；

由空间共面向量定理得：

存在实数机，〃，使得1=加1+〃5,

且）=（1，-1,4）石=（一2,1，-2）忑=（一3,1,4）,

即（-3,1,2）=4加）+（―2〃,〃，—2〃）,

m-2n=-3,

所以“一加=1,,

4m-2n=2,

解得冽=L〃=2"=0.

故选：D.

6.C

【分析】首先求出点尸的轨迹G的方程，即可得到其圆心与半径，再得到圆c的圆心与半径，即可判断

两圆相交，再两圆方程作差即可得到公共弦方程，求出圆心。到公共弦所在直线的距离"，最后由

2屁计算可得.

【详解】由题意知2=}化简得G：[x+gj+y2=；，其圆心为c[[,o]，半径八=：

又圆C:（x-l）2+（y+l）2=l的圆心为C（l,一l）,半径々=1,

所以|ccj=孚，且g-H<|cc卜上+司，所以两圆相交,

其公共弦所在的直线方程为3x-2y-3=0,

圆心C到公共弦所在直线的距离d=

心+（-以岳'

故公共弦长为2亚二涓=21=噜.

故选：C

5

7.C

【分析】根据条件求出%=技与，然后利用裂项相消法求和即得

【详解】因为。；=1,4=4,结合等差数列定义可得=3〃-2,所以%=口3〃一2,

33_________

所以c.=-------=,---/=J3”+1-A/3M-2,

a,,+an+ij3〃-2+j3〃+l

所以数歹U的前,项和为E,=(7?—1)+(正一4)+…+(J3〃+1-J3"—2)=J3"+1—1,SM=标一1=10,

故氏=40.

故选：C

8.B

【分析】由题意，A为NR的中点，48两点在抛物线上，已知尸可表示出A点和N点坐标，B,F,N

三点共线，可表示出B坐标，由忸N|=6,解出P的值.

【详解】因为逅=g(丽+诙)，所以A为附的中点.

因为尸所以猫=(，代入抛物线的方程可得为=浮，即N

Pr

，乂）1%<0，由竺^=一^—，即*=石22_,可得为=一&。，即一向））,

设B

）xByN-yB2o_72p_y§\）

2P

所以忸N[=Jp1+（2亚p）2=3p=6,解得P=2.

故选：B

9.BD

【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解.

【详解】A：AC^AB+BC+CC^a+b+c,故A错误;

6

B：JD^JD+DD^AD-AB+AA^-a+b+c,故B正确；

C：2.3=0,3・1二|研小0560°=；,1.,=同同cos60°=；,

_—►♦»‘“—►■»♦»I------------►一'》I■»I■»»，》I—*।

XPC=PD+DC=PA+AD+DC=--AD{+AD+DC=--AAx--AxDx+AD+DC=a+-b--c,

222

所以|PC[=J1]=sla+^-b+^-c+^-d'b-^-a-c-^-b-c-,故C错误；

II22)(442222

D：有•无=(万+5+dj•卜+?—/]=万2+12_夕2+),故D正确.

故选：BD

10.ABC

【分析】根据题意求出数列｛%｝的通项公式。〃=3〃，然后逐项判断即可求解.

【详解】对于A,当〃=1时，％=3,当时，3%+5a2+7%+…=（"一1>3",

所以（2〃+l）y=/1.3,,+1-（«-1）-3"=（2H+1）-3",即。"=3",

当〃=1时也满足该式，故。"=3",｛aj是等比数列，故A正确；

对于B,乙=[3],易知其为单调递增数列，故B正确;

2〃（2）

对于C,（-1）-«„=（-3）",所以｛（一1）%"｝的前100项和为♦[：（；严]=3：-3,故c正确;

100-3",1<«<4

对于D,凡_100|=|3"-100卜

3"—100,54〃48

则帆-100|}的前8项和为

-3-32-33-34+35+36+37+38=(3+32+33+3^(34-j=960(,故D错误.

故选：ABC.

11.ACD

7

【分析】由椭圆的定义及基本不等式可对A判断求解；作出图形可知点A到X轴距离比点尸到x轴距离

大，从而可对B判断求解；利用正弦定理分别求出「与△尸尸尸的外接圆半径，从而可对C判断求解;

设出直线/：＞=日化40）,再与椭圆方程式联立，分别求出A,8坐标，再结合基本不等式从而可对D

判断

【详解】对于A,四边形/用即为平行四边形，|/刊+忸尸|=以典+恒尸［=2a=4,

所以质+血=：（叫+3）［前向耨+悔卜1，

又M尸国3同,等号不成立，故A正确;

对于B,根据椭圆对称性及图知，点A到x轴的距离总比点尸到x轴的距离大,

「.△E4尸的面积大于△改尸的面积，故B错误；

对于C,设△打尸的外接圆半径为小由正弦定理可得四=」\一FF二'\,.・力=-1-~~；，

sinZFAFsinZFAF

同理AFPF的外接圆半径v=.Jfl，，其中椭圆焦点三角形在椭圆上点对应角最大为60。,

sin/FPF

易知/尸尸//＜60°,.•/＜々，故C正确；

,2y2

对于D,设/:y=fct（左N0）,由，43'解得盯=/M1为|=「

V=h，'14k2+3'"后2+3

CUI12阂12

.”相£的面积$=3"区一闻=瓦=3=诟34r-，

阳

当且仅当左=±@时等号成立，故D正确.

2

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（为,乂），（x2,y2）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或了）的一元二次方程，注意△的判断;

8

(3)列出韦达定理;

(4)将所求问题或题中的关系转化为%+%、网%(或乂+为、%%)的形式;

(5)代入韦达定理求解.

【分析】根据空间向量的投影向量的性质进行求解即可

【详解】存=(-2,1,-1),%=(2,0,-2),

向量商在就上的投影向量为：

故答案为：刀

13.9

【分析】根据题中S.M=3S“+2"+3,可求出%包=3%+2,可求得&+1｝为等比数列，从而可求解.

【详解】由S向=3S“+2〃+3,可知当时,S“=3S,i+2〃+l,

所以S"+「S”=3(S0一Se)+2,即«„+1=3%+2,

从而%+1+1=3(%+1),当〃=1时，星=35+5,

所以％+%=3%+5,又4=3,所以％=11,从而。2+1=3(4+1).

故｛4+1｝是以％+1=4为首项，3为公比的等比数列，

所以%+1=43"、

23

以/+%+2+1+tz4+14x3+4x3

。］+。2+241+1+a?+14x34x3'

故答案为：9.

14.4

【分析】根据椭圆与双曲线的定义，然后再用余弦定理求出弊+丫=4的关系，从而可求解.

CC

22

【详解】设闺川=2《＞0)6：二-二=1(加＞0,〃＞0),

mn

9

pp+pp-2a

不妨设点P在第一象限，则由晨口；'得归周=。+人户闾=。一〃Z,

PF】-Pr2=2m,

在中，由余弦定理得cos/甲岑」即:噂H华I

--2圈附|

即(a+ni)2+(a-m)2+(a+/M)(a-m)=4c2,整理得3a2+m2=4c2，

得3号a2+n4r=4,所以3f+1,/

22

cc%e2

故答案为:4

【点睛】关键点点睛：本题主要是通过椭圆及双曲线有共同焦点，利用椭圆定义及双曲线定义并结合余

弦定理求出相应的几何关系等式，从而可求解.

22

15.⑴：啧=1(2)/=2x或/=4x

【分析】(1)根据题意确定双曲线焦点的位置，再求出力,/即可得解;

(2)设抛物线方程为V=2px(p>0),先求出玉,再根据焦半径公式求出P即可得解.

22

【详解】(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，设方程为与-三=l(a>0,6>0),

ab

a2+b2=25

由题可知<a1,解得42=5万=20,

J=2

22

所以满足条件的双曲线方程为匕-二=1;

520

⑵设抛物线方程为V=2px(p>0),则准线方程为x=",

因为抛物线过点行)，所以％=5,

所以=%+/==|,

解得。=1或。=2,

故满足条件的抛物线方程为/=2x或/=4x.

10

一2

16.(1)证明见解析，a=-(2)-

nn2n+l

2a“111

【分析】(1)由题中递推数列an+\,化简为二+],从而可求解.

2+%4+1

11

(2)由(1)结论可得，=(-1)晨4+,再利用裂项相消求和从而可求解.

n〃+1

2a„

【详解】(1)因为%+i,由题意知。〃。0,

2+〃〃

L12+%11111

所以---,即——

%2%2

故数列是以。为公差的等差数列.

11

---

%2

112

以

所

-+X-即

2-2---

〃

-4；'：?*4

(2)b,=(-l)"(2〃+l)a,a“+i=(-l)'L-L

〃(加+1)nn+1

1

2n+1

=4f_1+M=4(/21)=__8n_.

[+1J2〃+l2n+l

17.(1)证明见解析(2)叵

6

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理来证明笈)，平面43C。，。£人平面P48,

进而得到平面DEM1平面PAB；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角.

【详解】(1)••・平面PDCL平面48CD,平面尸。平面48cZ)=CZ),Pr＞，C。,

PD1平面ABCD,

又BAu平面ABCD,PDYBA.

又胡J_AD,ADcPD=D,AD,PDu平面PAD,:.3/_L平面PAD,

又DEu平面PAD,:.BALDE.

「底面48c。是正方形，尸。=DC=£>4£是棱P区的中点，.,.■DE_LP/,

又&4cp4=4B4,P/u平面PAB,DE1平面PAB.

又DEu平面DEM,平面DEM1平面PAB；

(2)PBHDFM,：.PB//FM,又尸是PC的中点，，河是8c的中点.

11

以。为坐标原点，。尸所在直线分别为无轴、了轴、z轴建立空间直角坐标系，如图,

则。（0,0,0）,E（l,0,1）,尸（0,1,1）,川（1,2,0）,

:.瓦=（1,0,1）,方=（0,1,1）,由=（1,2,0）.

设平面DEM的法向量为而=（。,仇＜?）,平面的法向量为自=（x,y,z）.

DE-m=a+c=0,

由，令6=T,得应=（2,-1,-2）,

DM-m=a+2b=0,

DF•方二歹+z=0,/、

由，_.令歹=T，得力=（2,—l,l）,

DM•万=x+2》=0,

/__\m-n4+l-2_V6

：.COS（m,H）=i-j-p-r

'/网同3庭一6

••・二面角E-DM-F的正弦值为产，=粤.

18.⑴…+1⑵小

【分析】（1）等差数列｛%｝中用首项和公差表示条件风+凡=63和%,%,%成等比数列，联立方程组求

解即可;

（2）分别求出S“和（，代入不等式⑵-1"+2S,-ll〃+3W0,转化不等式后构造函数

3—n

/（«）=—（«€N*）求最值即可•

【详解】（1）由已知等差数列｛%｝,

%+2d=7

邑+£=63,%=3,

得:得3d2=2qd,解得

Q；=a2a22，d=2,

dw0,

所以%=4+（〃-l）d=3+2（〃-1）=2〃+1.

（2）年=21%=（2〃+1）・21,

12

2,,_1

Tn=3+5X2+7X2+---+（2H+1）-20,

2Tti=3x2+5x22+7x2,+…+（2〃-l）.2"T+（2〃+l>2"②，

所以①Y）得：

-Tn=3+2x2+2x2?+2x23+…+2X2"T-（2〃+1>2".

1_

所以-1=-----------（2"+1b2"=（1-2M）-2"-1,

得：Tn=（2n-l）-2"+l.

又由（1）中等差数列｛4｝满足知：5“=3〃+吗3*2=/+2",

4=2,2

不等式(7；T)4+2S"-ll〃+3W0对一切〃€N*恒成立，且(2〃-1)-2">0,

—+7n—33—n

即2VS="对一切〃eN*恒成立，

令〃")=寸(〃eN*),只需保证不等式〃")mm>%成立即可，

因为/("+1)-/(〃)=7一学=二，

当14〃43时,/(?7+1)-/(«)<0,当〃=4时，/(n+l)=f(n),当“N5时，/(n+l)-/(«)>0,

即〃1)>/⑵>/(3)=0>〃4)=/(5)=q</(6)<…，

得了(")mm=/(4)=/(5)=-J,

16

所以几的最大值为二.

【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是利用错位相减法得到［=(2〃-1)-2"+1,再代入分离参数得

24M对一切〃eN*恒成立，令/(〃)=U(〃eN*),再作差得到其单调性，从而求出其最小值.

19.(1)2后(2)证明见解析

【分析】(1)设直线孙，班的方程分别为x=)-0,x=)+VL联立方程结合韦达定理可得

叱+册=4(1+1),平行线孙,八7居间的距离〃再结合基本不等式求面积的最值；

111121r+2J”+l

\ME\..27,ixIIl/iI..