2023-2024学年北京市中考数学模试卷含解析

2023-2024学年北京市第五十六中学中考数学模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.点P（l,-2）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（-1,-2）D.（-2,1）

2.在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.最高分90B.众数是5C.中位数是90D.平均分为87.5

3.下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x-1=0B.x2+3x-5=0C.x3+x=3D.ax2+bx+c=0

4.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC

为等腰直角三角形，则这样的点C有（）

C.8个D.9个

5.一元二次方程x2-5x-6=0的根是()

A.xi=l,X2=6B.XI=2,X2=3C.xi=l,X2'=-6D.xi=-1,X2=6

6.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）

A.10B.±10C.20D.±20

7.如图，点A、B、C在圆O上，若NOBC=40。，则NA的度数为（）

O

B

A.40°B.45°C.50°D.55°

2

8.在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是彳，如再往盒中

放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为5则原来盒里有白色棋子（）

A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗

9.下列计算正确的是（）

A.79=±3B.-32=9C.(-3)'2=~D.-3+|-3|=-6

9

10.△ABC在网络中的位置如图所示，则cos/ACB的值为（)

V2「V3

B.L•-------D

V2-T

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.2018年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线.某影院针对这一影片推出了特惠活动:

票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片.若观影人数为a（a

>10）,则应付票价总额为____元.（用含a的式子表示）

12.一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750。，则这一内角为____度.

13.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1,若），则点C的坐标为

14.如图，将量角器和含30。角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0。线在

同一直线上，且直径OC是直角边3c的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所

对应的度数是.

A

一k

J；

/逑<yM.心3

DCB

15.已知一组数据4,x,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的中位数是.

1

16.若式子有意义,则x的取值范围是.

17.计算（x4）2的结果等于.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某商店准备购进甲、乙两种商品.已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价

45元.

⑴若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

⑵若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应

该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价-进价）

19.（5分）某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y=-50X+2600,去年的月销量p（万台）

与月份x之间成一次函数关系，其中1-6月份的销售情况如下表：

月份（X）1月2月3月4月5月6月

销售量（p）3.9万台4.0万台4.1万台4.2万台4.3万台4.4万台

（1）求p关于x的函数关系式；

（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？

（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%,而销售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月

份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台.若今年2

月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值.

20.（8分）已知正方形A3C。的边长为2,作正方形AEFG（A,E,F,G四个顶点按逆时针方向排列），连接5E、

GD,

（1）如图①，当点E在正方形A3。外时，线段3E与线段OG有何关系？直接写出结论；

（2）如图②，当点E在线段80的延长线上，射线R4与线段OG交于点M,且OG=2Z>M时，求边AG的长；

（3）如图③，当点E在正方形A3C。的边所在的直线上，直线A3与直线OG交于点V,且OG=4OM时，直

接写出边AG的长.

G

21.(10分)在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-/z)2+4的对称轴是直线*=1.若抛物线与x轴交于原点，求人的

值；当-IVxVO时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求左的取值范围.

22.(10分)赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同

时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为

米.

□□

□□

□□

□□

2米j

-------9.6米—»

23.(12分)(1)观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DBLBC,ECLBC且NDAE=90。，AD=AE,贝！|BC、BD、CE之间的数量关系

为;

(2)问题解决

如图②，在RtAABC中，NABC=90。，CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtADAC,连结BD,求BD的长;

(3)拓展延伸

如图③，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.

(1)判断DE与。O的位置关系，并证明你的结论;

(2)若OF=4,求AC的长度.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解析】

关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P(L-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2),

故选C.

【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.

关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.

2、C

【解析】

试题分析：根据折线统计图可得：最高分为95,众数为90；中位数90；平均分=(80x2+85+90x5+95x2)+(2+1+5+2)=88.5.

3、B

【解析】

根据一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2进行分析即可.

【详解】

A.未知数的最高次数不是2,不是一元二次方程，故此选项错误；

B.是一元二次方程，故此选项正确；

C.未知数的最高次数是3,不是一元二次方程，故此选项错误；

D.a=O时，不是一元二次方程，故此选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

4、A

【解析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰.

【详解】

如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形

结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

5、D

【解析】

本题应对原方程进行因式分解，得出(x-6)(x+1)=1,然后根据“两式相乘值为1,这两式中至少有一式值为L”来

解题.

【详解】

x2-5x-6=l

(x-6)(x+1)=1

Xl=-1,X2=6

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根

据方程的提点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.

6、B

【解析】

根据完全平方式的特点求解：〃±2融+比

【详解】

*.,x2+/nx+25是完全平方式，

•*.m=±10,

故选B.

【点睛】

本题考查了完全平方公式:。2±2而+元其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是尤和1的平方,

那么中间项为加上或减去X和1的乘积的2倍.

7、C

【解析】

根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得NBOC=100。，再利用圆周角定理得到NA=.NBOC.

I

【详解】

VOB=OC,

/.ZOBC=ZOCB.

又NOBC=40。，

/.ZOBC=ZOCB=40°,

:.ZBOC=180°-2x40°=100°,

AZA=tZBOC=50°

故选：C.

【点睛】

考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.

8、B

【解析】

x_2

x+y5

试题解析：由题意得

x1

x+y+34

x=2

解得：

[y=3

故选B.

9、C

【解析】

分别根据二次根式的定义，乘方的意义，负指数暴的意义以及绝对值的定义解答即可.

【详解】

A/9=3,故选项A不合题意;

-32=-%故选项B不合题意；

(-3)-2=-,故选项C符合题意；

9

-3+|-3|=-3+3=0,故选项。不合题意.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的定义，乘方的定义、负指数塞的意义以及绝对值的定义，熟记定义是解答本题的关键.

10、B

【解析】

作AD±BC的延长线于点D,如图所示:

在RtAADC中，BD=AD,贝!]AB=0BD.

cosZACB=^=1=^1,

AB近2

故选B.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、24a

【解析】

根据题意列出代数式即可.

【详解】

根据题意得：30ax0.8=24a,

则应付票价总额为24a元，

故答案为24a.

【点睛】

考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键.

12、130

【解析】

分析：”边形的内角和是(〃-2)-180°,因而内角和一定是180度的倍数.而多边形的内角一定大于0,并且小于180

度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，小的值小于L

详解：设多边形的边数为x,由题意有

(x-2)-180=2750,

解得x=17^,

18

因而多边形的边数是18,

则这一内角为(18—2)x180-2750=130.

故答案为130

点睛：考查多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键.

13、(-73.1)

【解析】

如图作AF，x轴于F,CELx轴于E.

•••四边形ABCD是正方形,

.\OA=OC,ZAOC=90°,

■:ZCOE+ZAOF=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

/.ZCOE=ZOAF,

在4COE^HAOAF中，

NCEO=NARO=90°

<ZCOE=ZOAF,

OC=OA

.,.△COE四△OAF,

,\CE=OF,OE=AF,

VA（1,不）,

/.CE=OF=1,OE=AF=73>

点C坐标（-6，1）,

故答案为（-6，1）.

点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的

辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标

时，需要加上恰当的符号.

14、60.

【解析】

首先设半圆的圆心为。，连接。E,OA,由题意易得AC是线段的垂直平分线，即可求得NAOC=NABC=60。，

又由AE是切线，易证得RtAAOE丝RtAAOC,继而求得NAOE的度数，则可求得答案.

【详解】

设半圆的圆心为O,连接OE,OA,

'：CD^2OC^2BC,

OC=BC,

,：ZACB=90°,BPACLOB,

：.OA=BA,

:.ZAOC=ZABC,

VZBAC=30°,

AZAOC=ZABC=60°,

'：AE是切线，

：.ZAEO=90°,

:.NAEO=ZACO=90°,

•.,在RtAAOE和RtAAOC中，

AO=AO

OE=OC'

ARtAAOE也RtAAOC(HL),

：.ZAOE=ZAOC=60°,

...NEO£)=180°-ZAOE-ZAOC=60°,

点E所对应的量角器上的刻度数是60°,

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌

握数形结合思想的应用.

15、1.1

【解析】

【分析】先判断出X,y中至少有一个是1,再用平均数求出x+y=ll,即可得出结论.

【详解】•••一组数据4,x,1,y,7,9的众数为1,

•,•x,y中至少有一个是1,

•••一组数据4,x,1,y,7,9的平均数为6,

：・—(4+x+l+y+7+9)=6,

/.x+y=ll,

Ax,y中一个是1,另一个是6,

・••这组数为4,1,1,6,7,9,

...这组数据的中位数是(1+6)=1.1,

2

故答案为：1.1.

【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出X,y中至少有一

个是1是解本题的关键.

16、x>----.

2

【解析】

33

解：依题意得：2x+3>L解得x>-不.故答案为x>-

22

17、x'

【解析】

分析：直接利用塞的乘方运算法则计算得出答案.

详解：(X4)2=X4x2=X1.

故答案为X1.

点睛：本题主要考查了幕的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；(2)应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润

最大，最大利润为900元.

【解析】

(1)设购进甲、乙两种商品分别为x件与y件，根据甲种商品件数+乙种商品件数=100,甲商品的总进价+乙种商品

的总进价=2700,列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值，得到购进甲、乙两种商品的件数；

(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100-a)件，根据甲商品的总进价+乙种商品的总进价小于等于3100,

甲商品的总利润+乙商品的总利润大于等于890列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，得到a的取值范围，根

据a为正整数得出a的值，再表示总利润W,发现W与a成一次函数关系式，且为减函数，故a取最小值时，W最

大，即可求出所求的进货方案与最大利润.

【详解】

⑴设购进甲种商品x件，购进乙商品y件，

根据题意得：

x+y=100

15x+35y=2700'

-40

解得：<

y=60

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；

⑵设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100-a)件,

根据题意列得：

15a+35(100-a)<3100

5tz+10(100-tz)>890'

解得：20<a<22,

•.,总利润W=5a+10(100-a)=-5a+1000,W是关于a的一次函数，W随a的增大而减小，

.•.当a=20时，W有最大值，此时W=900,且100-20=80,

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元.

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系及不等关

系是解本题的关键.

19、(1)p=0.1x+3.8；(2)该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；(3)m的值为1.

【解析】

(1)直接利用待定系数法求一次函数解析式即可；

(2)利用销量x售价=销售金额，进而利用二次函数最值求法求出即可；

(3)分别表示出1,2月份的销量以及售价，进而利用今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，得出等式求出

即可.

【详解】

(1)设p=kx+b,

把p=3.9,x=l；p=4.0,x=2分另1］代入p=kx+b中,

\k+b=3.9

得：\

［2k+b=4.0,

供=

解得：［bi0.1'

/•p=0.1x+3.8；

(2)设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，

w=(-50x+2600)(O.lx+3.8)

=-5x2+70x+9880

=-5(x-7)2+10125,

当x=7时，w**=10125,

答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；

(3)当x=12时，y=100,p=5,

1月份的售价为：100(1-m%)元，则2月份的售价为：0.8x100(1-m%)元；

1月份的销量为：5x(1-1.5m%)万台，则2月份的销量为：[5x(1-1.5m%)+1.5]万台；

,•.0.8x100(1-m%)x[5x(1-1.5m%)+1.5]=6400,

解得：mi%=—(舍去)，mz%=—,

35

答：m的值为L

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，根据题意表示出2月份的销量与售价是解题关键.

20、(1)结论：BE=DG,BE±DG.理由见解析；(1)AG=1百；(3)满足条件的AG的长为1所或1J诟.

【解析】

(1)结论：BE=DG,BELDG.只要证明△R4E之△ZMG(SAS),即可解决问题；

(1)如图②中，连接EG,作交ZM的延长线于由A,D,E,G四点共圆，推出NAOO=NAEG=45。,

解直角三角形即可解决问题；

(3)分两种情形分别画出图形即可解决问题；

【详解】

(1)结论：BE=DG,BELDG.

图①

理由：如图①中，设RE交OG于点K,4E交OG于点O.

•••四边形A8C。，四边形AEFG都是正方，形，

：.AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

：.ZBAE=ZDAG,

：./\BAE^/\DAG(SAS),

：.BE=DG,:.NAEB=ZAGD,

,/NAOG=NEOK,

：.ZOAG=ZOKE^9d0,

J.BELDG.

(1)如图②中，连接EG,作GHLAO交ZM的延长线于H.

E

图②

VZOAG=ZODE=90°9

AA,D,E,G四点共圆,

ZADO=NA£G=45。，

,:Z£>AM=90°,

ZADM=ZAMjD=45°,

:.DM=®AD=2®,

9

：DG=1DM9

・•・DG=45

VZH=90°,

，ZHDG=NHGD=45。,

：.GH=DH=49

：.AH=lf

在RSAHG中，AG=V22+42=275.

(3)①如图③中，当点E在CZ>的延长线上时.作GH1DA交DA的延长线于H.

图③

易证△A77GgZ\EZM,可得GH=A5=1,

"：DG^4DM.AM//GH,

.DADM_1

：.DH=8,

：.AH^DH-AD^f),

在RtAAHG中，AG=V62+22=2M

②如图3-1中，当点E在。C的延长线上时，易证：AAKE义AGHA,可得AH=EK=3C=L

.ADDM_1

"GH~MG-M

'：AD=1,

在RtAAG〃中，AG=A/102+22=2726.

综上所述，满足条件的AG的长为2而或2底.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角

形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

21、(1)k=-1；(2)当-4VMV-1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点.

【解析】

(1)由抛物线的对称轴直线可得h,然后再由抛物线交于原点代入求出k即可；

(2)先根据抛物线与x轴有公共点求出k的取值范围，然后再根据抛物线的对称轴及当-l〈x<2时，抛物线与x轴

有且只有一个公共点，进一步求出k的取值范围即可.

【详解】

解：(1)•.•抛物线》=(x-h)2+上的对称轴是直线X=l,

把原点坐标代入了=(x-1)2+k,得，

(2-1)2+k=2,

解得k--1；

(2)•.•抛物线》=(x-1)2+4与x轴有公共点，

对于方程(x-1)2+k—2,判别式"-4ac=-4后2,

：.k<2.

当x=-1时，y—4+k；当x=2时，y—\+k,

•••抛物线的对称轴为x=L且当-l<x<2时，抛物线