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文档简介
2021-2022学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学(文)
试题
一、单选题
1.复数Z满足(括+i)z=|l-后其中i为虚数单位,则Z在复平面内所对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【分析】先化简复数,再利用复数的几何意义求解.
【详解】解:因为(豆+%=卜-后
诉"工2g内
所以〜6+i一便+i)(省-i12'
所以z在复平面内所对应的点在第四象限,
故选:D
2.下面几种推理过程中属于类比推理的是()
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果NA和王出是两条平行直线的同旁内角,则
ZA+ZB=180°
B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征,已知地球上有生命存在,所以猜测
火星上也可能有生命存在
C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,得出结论:一个偶数
(大4)可以写成两个质数的和
a
D.在数列{%}中,4=1,an„-i+一(n>2),由此归纳出{q}的通项公式
2Ia„-x
【答案】B
【分析】利用推理的定义判断.
【详解】A.是演绎推理;
B.类比推理;
C.归纳推理;
D.归纳推理.
故选:B
3.如图所示的是一个结构图,在框①②③中应分别填入()
A.虚数,整数,分数B.复数,虚数,整数
C.虚数,复数,纯虚数D.复数,虚数,纯虚数
【答案】D
【分析】根据复数的分类和虚数的分类,结合结构图的意义得到答案.
【详解】复数分为实数和虚数,虚数又分为纯虚数和非纯虚数,
故选:D
4.已知x,y,zeR,且。=尤?+2y,b=y2+2z,c=z?+2x,贝Ua,b,c三个数()
A.都小于-IB.至少有一个不小于-1
C.都大于TD.至少有一个不大于t
【答案】B
【分析】应用反证法,假设a,b,c三个数都小于T,利用a+》+c<—3得到矛盾结论,
即可确定答案.
【详解】若。,b,。三个数都小于-1,
则Q+5+C=(%+1)2+(y+1)2+(Z+1)2_3<-3,即(x+1)~+(y+1)~+(z+1)~<0,
显然不等式不成立,
所以〃,b,。三个数至少有一个不小于-1,排除A,而C、D不一定成立.
故选:B
5.在同一平面直角坐标系中,由曲线V+y2=1得至1」曲线4尤2+丫2=16,则对应的伸缩
变换为()
'1
,1[x'=2x
x=x|x'=2xX~2X
A.<2B.<1C.\AD.~
[y=4y,1
y=/
【答案】C
x=—xr
xr=kx,、),代入求
【分析】设对应的伸缩变换为”>。,人。),得到f+/=1
y=Tyr
h
解.
/=kx/、
【详解】解:设对应的伸缩变换为心心>。,〃>。),
x=—xr
k,代入/+,
则/=1
y=^y,
nt
得=1,
MeMh2
22
又因为变换后为土+二=1,
416
左2=4
所以
=16'
k=2
解得
h=4
f%,—2x
所以对应的伸缩变换为,“,
U=4y
故选:C
+
6.己知尤,y,zeR,且无+y+z=30,则IgHlgy+lgz的最大值为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】利用基本不等式结合对数运算求解.
【详解】解:lgx+lgy+lgz=lg^zWlg『+;+z[=lglO3=3,
当且仅当尤=y=z=10时,等号成立,
故选:C
7.下列四个命题:①在回归模型中,预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定;②
若变量x,y满足关系y=-2x+l,且变量y与z正相关,则x与z也正相关;③在残差
图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;④样本点可能全
部不在回归直线§=队+£上.其中真命题的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【分析】①根据回归模型中的变量关系判断;,故正确;②根据变量无,y满足关系
y=-2x+l判断;③根据残差图的意义判断;④根据回归模型中的变量关系判断.
【详解】①在回归模型中,预报变量y的值不能由解释变量了唯一确定,根据回归模型
中的变量关系,故正确;
②若变量x,y满足关系y=-2x+l,且变量y与z正相关,则x与z负相关,故错误;
③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,即越接
近于回归直线的距离越小,故正确;
④样本点可能全部不在回归直线§上,根据回归模型中的变量关系,故正确;
故选:C.
8.已知i-1是关于尤的方程2无2+px+q=0的一个根,其中p,qeR,贝!|p+4=()
A.6B.8C.10D.12
【答案】B
【分析】利用方程根与系数的关系求解.
【详解】解:因为i-1是关于尤的方程2/+内+4=0的一个根,
所以方程2犬+加+4=0的另一个根是-i-1,
所以i-l-i-l==3,
解得。=4,q=4,
所以p+q=8.
故选:B
9.用模型>=〃圮"+2(〃,>0)拟合一组数据时,设z=lny,将其变换后得到回归方程为
z=3尤+2,则〃-根=()
A.-1B.1C.-2D.2
【答案】D
【分析】由〉=加6研2(%>0)两边取对数,与Z=3X+2,利用待定系数法求解.
【详解】解:因为、=〃寸+2(;九>0),z=Iny,
所以Iny=nx+2+lnm,
又z=3x+2,
n=377=3
所以2+g,解得
m—1
所以m=2,
故选:D
io.我们知道:在平面内,点(毛,%)到直线4+珍+。=0的距离公式为
d=+,通过类比的方法,则在空间中,点(1,2,4)到平面2%+2丁+2+2=0
VA2+B2
的距离为()
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【分析】类比平面内点到直线的距离求解.
【详解】解:点(1,2,4)至怦面2x+2y+z+2=0的距离为:
2xl+2x2+4+2
d=_L=4
222
A/2+2+1,
故选:A
11.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图1所示的数表列出了
一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”,该数表的规律是每行首尾
数字均为1,从第三行开始,其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角
形中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图2所示的由数字。和1组成的三角形数表,
由上往下数,记第n行各数字的和为S“,如H=1,邑=2,邑=4,…,则等于()
I
11
10
11
10001
110011
1010101
图2
C.64D.128
【答案】B
【分析】由图分析得到第2"7-1行且〃eN*所有项均为奇数,判断5犯对应第31行是否
存在“eN*使2"T-1=31,即可得结果.
【详解】由杨辉三角几何排列分析知:第21-1行且aeN*所有项均为奇数,
而S32对应第31行,令2〃T_1=31,可得"=6eN*,
所有第31行所有数字均为奇数,则S32=32.
故选:B
x=cosa,/、
12.已知曲线r-为参数)上任一点使得不等式。《毛+%
y=—1+,3sma
成立,则实数。的取值范围是()
A.(-oo,-3]B.[-3,+8)C.[1,+co)D.
【答案】A
%=cosa
【分析】设<利用三角恒等变换及正弦型函数的性质求x0+%范围,
%=一]+石sina
根据恒成立求参数范围.
x—cos0C
【详解】由题设,令<°厂,则/+%=cosa+gsina—l=2sin(a+2)-l,
%=-l+J3sina6
所以/+为£[-3』],
又0(%+为对任一点p(%o,%)都成立,故。<一3.
故选:A
13.若不等式卜-1|+3+14。有解,则实数a的取值范围是()
A.a>4B.a<4C.a>2D.a<2
【答案】A
【分析】根据绝对值的三角不等式可得|无-1|+3+1>x+-,再根据基本不等式求尤+3
XXX
的最小值即可
【详解】由|尤-士+
1|+1>X-1+-+1x+—>2XX--4,当且仅当x=±2时取等号,
XX
故HT+g+l的最小值为4,故若不等式|x-l|+:+lWa有解,则“24
故选:A
14.计算器是如何计算sinx,cosx,Inx,&等函数值的呢?计算器使用的是数
值计算法,其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数,通过计算多项式
....../57f46
的值求出原函数的值,如sinx=x-----+----------+…,cosx=1------+----------+,其中
3!5!7!2!4!6!
n!=lx2xxn,英国数学家泰勒发现了这些公式,可以看出,右边的项用得越多,计算
得出的sinx和cosx的值也就越精确.运用上述思想,可得到sin[1+l]的近似值为
()
A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56
【答案】C
【分析】将sin[^+l]化为cosl,根据新定义,取x=l代入公式
cosx=l-—+中,直接计算取近似值即可.
2!4!6!
【详解】由题意可得,sin^|+l^=cosl,
I2I4I6111
fecosl=l--+---+=1--+-——-+«1-0.5+0.041-0.001+.=0.54.
2!4!6!224720
故选:C.
二、填空题
1_-2022
15.复数匕」的共软复数为.
1+i
【答案】1+ii+l
【分析】先利用复数的乘方和除法运算化简,再利用共辗复数的概念求解.
172022(
【详解】解:因为下「币2=岛2l-昌i)
所以其共辗复数为i+i,
故答案为:1+i
16.用最小二乘法得到一组数据(4%)(其中i=l、2、3、4、5)的线性回归方程为
55
y=bx+3,若\>=25、ZM=65,则当尤=10时,y的预报值为
i=lz=l
【答案】23
【分析】由已知可得7=5,,=13,根据样本中心求参数b,进而应用回归直线估计x=10
的预报值.
【详解】由题设,x=5,y=13,而样本中心在回归直线上,
所以56+3=13,得b=2,故£=2尤+3,
则x=10,有y=2x10+3=23.
故答案为:23
17.将正奇数数列1,3,5,7,9,…依次按两项,三项分组.得到分组序列如下:
(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),....称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,以此类推,
则原数列中的2021位于分组序列中第组.
【答案】405
【分析】将两个括号作为一组,则每组中有5个数,先找出2019所在的位置,然后确
定2021所在的位置.
【详解】由题意,将两个括号作为一组,则每组中有5个数,因为2019=1+2x(1010-1),
根据等差数列通项公式可知,2019是第1010个奇数,在第1010+5=202组中,是第2
个括号内最后一个数,所以2019是第202x2=404个括号内的数,而2021是第10H个
奇数,所以在第405个括号内.
故答案为:405.
18.已知a,b,ce(0,1),且4+lna=a+21n2,e+ln6=l+b,2+lnc=c+ln2,贝!Ja,
b,c的大小关系是.
【答案】c>b>a
【分析】在同一坐标系中作出函数y=lna,y=x+21n2-4,y=l+x-e,y=x+ln2-2
的图象求解.
【详解】解:在同一坐标系中作出函数y=ln“,y=x+21n2-4,
>=1+无一6,y=x+ln2-2的图象,如图所示:
由图象知:c>b>a,
故答案为:c>b>a.
三、解答题
2
19.已知复数2=<2+乂。>0,。611),且z+—eR,其中i为虚数单位.
Z
⑴求复数Z;
(2)已知复平面上的四个点A,B,C,。构成平行四边形ABC。,复数z+z?,z+1,z?在
复平面内对应的点分别为A,B,C,求点。对应的复数.
【答案】⑴z=l+i
(2)-l+4i
2
【分析】(1)化简z+士,再根据实数的定义求解。即可
Z
(2)根据复数的运算求得z+?2,z+1,z2,再根据平行四边形中A£>=BC计算即可
【详解】⑴因为z=a+i,
n,2.2,2(a-i)2a2YD
za+ici+1
2
所以1——二二0,所以4=i,又a>0,所以a=l,所以z=l+i.
a+1
(2)由题意可知z+z?=l+3i,z+l=2+i,z2=(1+i)2=2i,
所以A(l,3),8(2,1),C(0,2).
设D(x,y),又ABC。为平行四边形,则AD=2C,即(%Ty-3)=(-2,1),解得
x=-l,y=4,故。(-1,4).
点。对应的复数为-l+4i.
20.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目,并且在甲、乙两个
学校的高一学生中做用户测试,经过一个阶段的试用,为了解智慧课堂对学生学习的促
进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行
调查,样本调查结果如下表:
甲校乙校
使用智慧课堂不使用智慧课堂使用智慧课堂不使用智慧课堂
基本掌握30305030
没有掌握10151025
试用频率估计概率,并假设每位学生是否掌握“任意角和弧度制”知识点相互独立.
(1)从两校高一学生中随机抽取1人,估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的
概率;
(2)完成下面2x2列联表,并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识
点与使用智慧课堂有关?
使用智慧课堂不使用智慧课堂合计
基本掌握
没有掌握
合计
【答案】(1)0.7;
(2)填表见解析;有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有
关.
【分析】(1)应用古典概型的概率求法求概率即可.
(2)根据题设完成列联表,再由卡方公式求卡方值并比对临界值,结合独立检验的基
本思想得到结论.
【详解】(1)在两所学校被调查的200名学生中,对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的
学生有140人,
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人,该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握
140
的概率为砺=0.7.
⑵
使用智慧课堂不使用智慧课堂合计
基本掌握8060140
没有掌握204060
合计100100200
胃_200x(80x40-60x20)2
«9,524>6.635,
100x100x140x60
所以有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关.
x=2+2cos6,
21.在直角坐标系尤。》中,曲线G的参数方程为...(。为参数),曲线C2的
y=2sin”
方程为x+y-6=0,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系.
⑴求曲线c-的极坐标方程;
⑵若射线a分别交C-C?于A,8两点(点A异于极点),求|A口.
【答案】(l)0=4cos。,/?sin0+?=3近
Q)及
【分析】(1)先根据Ci表示圆求得G的直角坐标,再根据极坐标与直角坐标的互换公
式求得曲线G,G的极坐标方程即可;
⑵根据极坐标系中的几何意义,联立与a,a的极坐标方程,进而求得阿
即可
【详解】⑴曲线C表示圆心为(2,1),半径为2的圆,故直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,
即/+丫2-4了=0,故曲线G的极坐标方程「2-4pcos0=0,即:0=4cosO,
曲线c2的极坐标方程为:pcose+〃sine=6,即夕sin[e+?)=30.
=〃=4cos&=2及"。却=4=一、=3直
(2)由题意可知,10Alnn
4sin4+Z
故卜|0邳一|。4|=/一幺=0.
22.已知函数/(x)=k+l|-加,meR,且/(尤)40的解集为[-2,0].
⑴求m的值;
(2)设〃,b,c为正数,且,+2Z?+3c=根,求储+从+/的最小值.
【答案】(1)机=1
⑵:
【分析】(1)利用绝对值不等式的解法求解;
(2)利用柯西不等式求解.
【详解】⑴由/(九)40,得|%+1区加,
m>0,
所以
—m—1<x<m—1,
又/(幻<0的解集为[-2,0],
—m—1=-2,
所以
m-1=0,
解得m=l.
⑵由(1)知〃+2Z?+3c=l,
由柯西不等式得+b2+。2)(12+2?+3?)>(a+2Z?+3c)2,
所以/+。2+2二,
14
当且仅当"=15,b=9三,0=3三时等号成立.
141414
23.用分析法证明:对于任意a、be[-2,2],者B有|"+4上2|。+q.
【答案】证明见解析.
【分析】利用分析法,将问题转化为证(。6+4)2N4(a+b)2,再应用作差法证明结论即
可.
【详解】证明:要证|46+4已2,+4,即证(仍+令?24(。+匕了,
因为。、be[-2,2],则04a+244,-4<a-2<0,0<b+2<4,-4<b-2<0,
22
因为("+4)2—4(a+匕>=(片廿+Sab+16)-4[a+2ab+b)
22
=ab+16-4/_462=(/_4)仅2_勺=①_2)(a+2)(6-2)(。+2)>0,
因此,|o^+4|>2|a+/?|.
24.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为
22
/7(l+3sin^)=4.在直角坐标系xOy中,直线/的方程为x+2y-4=0.
⑴若点M为曲线C1上的动点,求点M到直线/的距离的最小值;
\11
⑵倾斜角为§的曲线c?过点尸(-1,0),交曲线G于A,B两点,求国+国.
[答案](1)4二;2a
⑵二
\x=pcos®
【分析】(1)由”."得到曲线C1的普通方程,进而得到曲线G的参数方程,然
[y=psm0
后利用点M到直线I的距离求解;
x=
(2)易知G的参数方程为,”为参数),利用参数的几何意义求解.
y=与
\x=OCOS0cc
【详解】⑴解:由.°得,曲线G的普通方程为Y+4y2=4,
[y=夕sin”
\x=2cosa,
可知曲线G的参数方程为.为参数),
[y=sma
设点〃的坐标为(2cosa,sinar),
所以点M到直线/的距离:
12cosa+2sina-4|
d=
当疝1+A=1时,d.=邛=4加一2瓦.
I4;J,m"755
,1
X=-1H---1,
r-2a为参数),
(2)曲线C2的参数方程为
y=t
2
代入曲线G得:13r—力―12=0,
设A,8两点对应的参数分别为%,t2,
412
则4+,2=JJ,口2=一百,A,/2异号.
所以1।1=1।1JN+IHJoT
所以|PA|।尸例一用回一小」一小「
J(4+幻-4%,22^/10
1%闯3
25.已知函数/(x)=|x+a|+|x+l].
(1)当a=T时,求〃x)<3尤的解集;
⑵g(x)=Y-2x+2+a2,若对骂eR,V/e[0,+oo)使得了(占)<g(%)成立,求实数a
的取值范围.
【答案】⑴]小>|:;
(2)(-co,-l]u[0,+oo).
【分析】(1)将函数化成分段函数,再分段讨论求解不等式作答.
(2)利用绝对值的三角不等式求出〃x)最小值,再求出g(x)最小值,然后利用己知
建立不等式,求解作答.
—2x,%<—1
【详解】⑴当3=-1时,/(x)=<2,-1<X<1,当xv—i时,一2%<3%,解得了>0,无
2x,x>l
解,
22
当一10x41时,2v3无,解得x>§,则当x>l时,2xv3x,解得1>0,贝!J
X>1,
所以原不等式的解集为“x>|j.
(2)当xeR时,/(x)=|x+6z|+|j:+l|>|x+<7-x-l|=|a-l|,当且仅当(x+a)(x+l)40时
取“=",即""向。=|“-1|,
而当xNO时,g(x)=x2-2x+2+a2=(x-l)2+l+6i2,因止匕gG).=g(l)=〃+1,
因为对IXiWR,V/e[O,+«0使得〃珀海仁)成立,从而得
因为°2+1>0,则有-/-1Wa-+1,解得。4-1或420,
所以实数”的取值范围为欣).
26.目前,新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐,在党中央的正确领导下,全国人民团结
一心,使我国疫情得到了有效的控制.为了应对最新型的奥密克戎病毒,
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