2021-2022学年河南省郑州市高二年级下册期末考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学（文）

试题

一、单选题

1.复数Z满足（括+i）z=|l-后其中i为虚数单位，则Z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.

【详解】解：因为（豆+%=卜-后

诉"工2g内

所以〜6+i一便+i）（省-i12'

所以z在复平面内所对应的点在第四象限，

故选：D

2.下面几种推理过程中属于类比推理的是（）

A.两条直线平行，同旁内角互补，如果NA和王出是两条平行直线的同旁内角，则

ZA+ZB=180°

B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测

火星上也可能有生命存在

C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,得出结论：一个偶数

（大4）可以写成两个质数的和

a

D.在数列｛%｝中，4=1,an„-i+一（n>2）,由此归纳出｛q｝的通项公式

2Ia„-x

【答案】B

【分析】利用推理的定义判断.

【详解】A.是演绎推理；

B.类比推理；

C.归纳推理；

D.归纳推理.

故选：B

3.如图所示的是一个结构图，在框①②③中应分别填入（）

A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数

C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数

【答案】D

【分析】根据复数的分类和虚数的分类，结合结构图的意义得到答案.

【详解】复数分为实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，

故选：D

4.已知x,y,zeR,且。=尤？+2y,b=y2+2z,c=z?+2x,贝Ua,b,c三个数（）

A.都小于-IB.至少有一个不小于-1

C.都大于TD.至少有一个不大于t

【答案】B

【分析】应用反证法，假设a,b,c三个数都小于T,利用a+》+c<—3得到矛盾结论,

即可确定答案.

【详解】若。，b,。三个数都小于-1,

则Q+5+C=（%+1）2+（y+1）2+（Z+1）2_3<-3,即(x+1)~+(y+1)~+(z+1)~<0,

显然不等式不成立，

所以〃，b,。三个数至少有一个不小于-1,排除A,而C、D不一定成立.

故选：B

5.在同一平面直角坐标系中，由曲线V+y2=1得至1」曲线4尤2+丫2=16,则对应的伸缩

变换为（）

'1

,1[x'=2x

x=­x|x'=2xX~2X

A.<2B.<1C.\AD.~

[y=4y,1

y=/

【答案】C

x=—xr

xr=kx,、），代入求

【分析】设对应的伸缩变换为”＞。,人。）,得到f+/=1

y=Tyr

h

解.

/=kx/、

【详解】解：设对应的伸缩变换为心心＞。,〃＞。），

x=—xr

k，代入/+，

则/=1

y=^y,

nt

得=1，

MeMh2

22

又因为变换后为土+二=1,

416

左2=4

所以

=16'

k=2

解得

h=4

f%，—2x

所以对应的伸缩变换为,“，

U=4y

故选：C

+

6.己知尤，y,zeR,且无+y+z=30,则IgHlgy+lgz的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用基本不等式结合对数运算求解.

【详解】解：lgx+lgy+lgz=lg^zWlg『+；+z[=lglO3=3,

当且仅当尤=y=z=10时，等号成立，

故选：C

7.下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②

若变量x,y满足关系y=-2x+l,且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差

图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④样本点可能全

部不在回归直线§=队+£上.其中真命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①根据回归模型中的变量关系判断;，故正确；②根据变量无，y满足关系

y=-2x+l判断；③根据残差图的意义判断；④根据回归模型中的变量关系判断.

【详解】①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量了唯一确定，根据回归模型

中的变量关系，故正确；

②若变量x,y满足关系y=-2x+l,且变量y与z正相关，则x与z负相关，故错误；

③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，即越接

近于回归直线的距离越小，故正确；

④样本点可能全部不在回归直线§上，根据回归模型中的变量关系，故正确；

故选：C.

8.已知i-1是关于尤的方程2无2+px+q=0的一个根，其中p,qeR,贝！|p+4=()

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】利用方程根与系数的关系求解.

【详解】解：因为i-1是关于尤的方程2/+内+4=0的一个根，

所以方程2犬+加+4=0的另一个根是-i-1,

所以i-l-i-l==3,

解得。=4,q=4，

所以p+q=8.

故选：B

9.用模型>=〃圮"+2(〃，>0)拟合一组数据时，设z=lny,将其变换后得到回归方程为

z=3尤+2，则〃-根=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】由〉=加6研2(%>0)两边取对数，与Z=3X+2,利用待定系数法求解.

【详解】解：因为、=〃寸+2(；九>0),z=Iny,

所以Iny=nx+2+lnm,

又z=3x+2，

n=377=3

所以2+g,解得

m—1

所以m=2,

故选：D

io.我们知道：在平面内，点（毛,%）到直线4+珍+。=0的距离公式为

d=+,通过类比的方法，则在空间中,点（1,2,4）到平面2%+2丁+2+2=0

VA2+B2

的距离为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】类比平面内点到直线的距离求解.

【详解】解：点（1,2,4）至怦面2x+2y+z+2=0的距离为:

2xl+2x2+4+2

d=_L=4

222

A/2+2+1，

故选：A

11.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了

一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾

数字均为1,从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和.现将杨辉三角

形中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图2所示的由数字。和1组成的三角形数表,

由上往下数，记第n行各数字的和为S“，如H=1,邑=2,邑=4,…，则等于（）

I

11

10

11

10001

110011

1010101

图2

C.64D.128

【答案】B

【分析】由图分析得到第2"7-1行且〃eN*所有项均为奇数，判断5犯对应第31行是否

存在“eN*使2"T-1=31,即可得结果.

【详解】由杨辉三角几何排列分析知：第21-1行且aeN*所有项均为奇数,

而S32对应第31行，令2〃T_1=31,可得"=6eN*,

所有第31行所有数字均为奇数，则S32=32.

故选：B

x=cosa,/、

12.已知曲线r-为参数)上任一点使得不等式。《毛+%

y=—1+，3sma

成立，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,-3]B.[-3,+8)C.[1,+co)D.

【答案】A

%=cosa

【分析】设<利用三角恒等变换及正弦型函数的性质求x0+%范围,

%=一］+石sina

根据恒成立求参数范围.

x—cos0C

【详解】由题设，令<°厂，则/+%=cosa+gsina—l=2sin(a+2)-l,

%=-l+J3sina6

所以/+为£[-3』],

又0(%+为对任一点p(%o,%)都成立，故。<一3.

故选：A

13.若不等式卜-1|+3+14。有解，则实数a的取值范围是()

A.a>4B.a<4C.a>2D.a<2

【答案】A

【分析】根据绝对值的三角不等式可得|无-1|+3+1>x+-，再根据基本不等式求尤+3

XXX

的最小值即可

【详解】由|尤-士+

1|+1>X-1+-+1x+—>2XX--4,当且仅当x=±2时取等号,

XX

故HT+g+l的最小值为4,故若不等式|x-l|+：+lWa有解，则“24

故选：A

14.计算器是如何计算sinx,cosx,Inx,&等函数值的呢？计算器使用的是数

值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式

....../57f46

的值求出原函数的值，如sinx=x-----+----------+…，cosx=1------+----------+，其中

3!5!7!2!4!6!

n!=lx2xxn,英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算

得出的sinx和cosx的值也就越精确.运用上述思想，可得到sin[1+l]的近似值为

()

A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56

【答案】C

【分析】将sin[^+l]化为cosl,根据新定义，取x=l代入公式

cosx=l-—+中，直接计算取近似值即可.

2!4!6!

【详解】由题意可得，sin^|+l^=cosl,

I2I4I6111

fecosl=l--+---+=1--+-——-+«1-0.5+0.041-0.001+.=0.54.

2!4!6!224720

故选：C.

二、填空题

1_-2022

15.复数匕」的共软复数为.

1+i

【答案】1+ii+l

【分析】先利用复数的乘方和除法运算化简，再利用共辗复数的概念求解.

172022(

【详解】解：因为下「币2=岛2l-昌i)

所以其共辗复数为i+i,

故答案为：1+i

16.用最小二乘法得到一组数据(4％)(其中i=l、2、3、4、5)的线性回归方程为

55

y=bx+3,若\>=25、ZM=65,则当尤=10时，y的预报值为

i=lz=l

【答案】23

【分析】由已知可得7=5,，=13,根据样本中心求参数b，进而应用回归直线估计x=10

的预报值.

【详解】由题设，x=5,y=13,而样本中心在回归直线上,

所以56+3=13，得b=2，故£=2尤+3,

则x=10,有y=2x10+3=23.

故答案为：23

17.将正奇数数列1,3,5,7,9,…依次按两项，三项分组.得到分组序列如下:

(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),....称(1,3)为第1组,(5,7,9)为第2组,以此类推，

则原数列中的2021位于分组序列中第组.

【答案】405

【分析】将两个括号作为一组，则每组中有5个数，先找出2019所在的位置，然后确

定2021所在的位置.

【详解】由题意，将两个括号作为一组，则每组中有5个数，因为2019=1+2x(1010-1),

根据等差数列通项公式可知，2019是第1010个奇数，在第1010+5=202组中，是第2

个括号内最后一个数，所以2019是第202x2=404个括号内的数，而2021是第10H个

奇数，所以在第405个括号内.

故答案为：405.

18.已知a,b,ce(0,1),且4+lna=a+21n2,e+ln6=l+b,2+lnc=c+ln2,贝!Ja,

b,c的大小关系是.

【答案】c>b>a

【分析】在同一坐标系中作出函数y=lna,y=x+21n2-4,y=l+x-e,y=x+ln2-2

的图象求解.

【详解】解：在同一坐标系中作出函数y=ln“,y=x+21n2-4,

>=1+无一6,y=x+ln2-2的图象，如图所示：

由图象知：c>b>a,

故答案为：c>b>a.

三、解答题

2

19.已知复数2=<2+乂。>0,。611),且z+—eR,其中i为虚数单位.

Z

⑴求复数Z；

(2)已知复平面上的四个点A,B,C,。构成平行四边形ABC。，复数z+z?,z+1,z?在

复平面内对应的点分别为A,B,C,求点。对应的复数.

【答案】⑴z=l+i

(2)-l+4i

2

【分析】(1)化简z+士，再根据实数的定义求解。即可

Z

(2)根据复数的运算求得z+?2,z+1,z2,再根据平行四边形中A£>=BC计算即可

【详解】⑴因为z=a+i,

n,2.2,2(a-i)2a2YD

za+ici+1

2

所以1——二二0,所以4=i,又a>0,所以a=l,所以z=l+i.

a+1

(2)由题意可知z+z?=l+3i,z+l=2+i,z2=(1+i)2=2i,

所以A(l,3),8(2,1),C(0,2).

设D(x,y),又ABC。为平行四边形，则AD=2C，即(％Ty-3)=(-2,1),解得

x=-l,y=4,故。(-1,4).

点。对应的复数为-l+4i.

20.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个

学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促

进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行

调查，样本调查结果如下表：

甲校乙校

使用智慧课堂不使用智慧课堂使用智慧课堂不使用智慧课堂

基本掌握30305030

没有掌握10151025

试用频率估计概率，并假设每位学生是否掌握“任意角和弧度制”知识点相互独立.

(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的

概率；

(2)完成下面2x2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识

点与使用智慧课堂有关？

使用智慧课堂不使用智慧课堂合计

基本掌握

没有掌握

合计

【答案】（1）0.7；

（2）填表见解析;有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有

关.

【分析】（1）应用古典概型的概率求法求概率即可.

（2）根据题设完成列联表，再由卡方公式求卡方值并比对临界值，结合独立检验的基

本思想得到结论.

【详解】（1）在两所学校被调查的200名学生中，对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的

学生有140人，

所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握

140

的概率为砺=0.7.

⑵

使用智慧课堂不使用智慧课堂合计

基本掌握8060140

没有掌握204060

合计100100200

胃_200x(80x40-60x20)2

«9,524>6.635，

100x100x140x60

所以有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关.

x=2+2cos6,

21.在直角坐标系尤。》中，曲线G的参数方程为...(。为参数)，曲线C2的

y=2sin”

方程为x+y-6=0,以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求曲线c-的极坐标方程;

⑵若射线a分别交C-C?于A,8两点（点A异于极点），求|A口.

【答案】（l）0=4cos。，/?sin0+?=3近

Q)及

【分析】（1）先根据Ci表示圆求得G的直角坐标，再根据极坐标与直角坐标的互换公

式求得曲线G，G的极坐标方程即可;

⑵根据极坐标系中的几何意义，联立与a，a的极坐标方程，进而求得阿

即可

【详解】⑴曲线C表示圆心为（2,1）,半径为2的圆，故直角坐标方程为（x-2）2+y2=4,

即/+丫2-4了=0,故曲线G的极坐标方程「2-4pcos0=0,即：0=4cosO,

曲线c2的极坐标方程为：pcose+〃sine=6,即夕sin[e+?)=30.

=〃=4cos&=2及"。却=4=一、=3直

（2）由题意可知，10Alnn

4sin4+Z

故卜|0邳一|。4|=/一幺=0.

22.已知函数/（x）=k+l|-加，meR,且/（尤）40的解集为[-2,0].

⑴求m的值;

（2）设〃，b,c为正数，且，+2Z?+3c=根，求储+从+/的最小值.

【答案】（1）机=1

⑵：

【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解;

（2）利用柯西不等式求解.

【详解】⑴由/（九）40,得|%+1区加,

m>0,

所以

—m—1<x<m—1,

又/（幻＜0的解集为[-2,0],

—m—1=-2,

所以

m-1=0,

解得m=l.

⑵由(1)知〃+2Z?+3c=l,

由柯西不等式得+b2+。2)(12+2?+3?)>(a+2Z?+3c)2,

所以/+。2+2二，

14

当且仅当"=15，b=9三,0=3三时等号成立.

141414

23.用分析法证明：对于任意a、be[-2,2],者B有|"+4上2|。+q.

【答案】证明见解析.

【分析】利用分析法，将问题转化为证(。6+4)2N4(a+b)2,再应用作差法证明结论即

可.

【详解】证明：要证|46+4已2,+4，即证(仍+令？24(。+匕了，

因为。、be[-2,2],则04a+244,-4<a-2<0,0<b+2<4,-4<b-2<0,

22

因为("+4)2—4(a+匕>=(片廿+Sab+16)-4[a+2ab+b)

22

=ab+16-4/_462=(/_4)仅2_勺=①_2)(a+2)(6-2)(。+2)>0,

因此，|o^+4|>2|a+/?|.

24.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

22

/7(l+3sin^)=4.在直角坐标系xOy中，直线/的方程为x+2y-4=0.

⑴若点M为曲线C1上的动点，求点M到直线/的距离的最小值；

\11

⑵倾斜角为§的曲线c?过点尸(-1,0),交曲线G于A，B两点,求国+国.

[答案](1)4二；2a

⑵二

\x=pcos®

【分析】(1)由”."得到曲线C1的普通方程，进而得到曲线G的参数方程，然

[y=psm0

后利用点M到直线I的距离求解;

x=

(2)易知G的参数方程为,”为参数)，利用参数的几何意义求解.

y=与

\x=OCOS0cc

【详解】⑴解：由.°得，曲线G的普通方程为Y+4y2=4,

[y=夕sin”

\x=2cosa,

可知曲线G的参数方程为.为参数),

[y=sma

设点〃的坐标为(2cosa,sinar),

所以点M到直线/的距离:

12cosa+2sina-4|

d=

当疝1+A=1时，d.=邛=4加一2瓦.

I4；J，m"755

,1

X=-1H---1,

r-2a为参数）,

(2)曲线C2的参数方程为

y=­t

2

代入曲线G得：13r—力―12=0,

设A,8两点对应的参数分别为％,t2,

412

则4+，2=JJ，口2=一百，A,/2异号.

所以1।1=1।1JN+IHJoT

所以|PA|।尸例一用回一小」一小「

J(4+幻-4%，22^/10

1%闯3

25.已知函数/(x)=|x+a|+|x+l].

(1)当a=T时，求〃x)<3尤的解集；

⑵g(x)=Y-2x+2+a2,若对骂eR,V/e[0,+oo)使得了(占)<g(%)成立，求实数a

的取值范围.

【答案】⑴]小>|:；

(2)(-co,-l]u[0,+oo).

【分析】(1)将函数化成分段函数，再分段讨论求解不等式作答.

(2)利用绝对值的三角不等式求出〃x)最小值，再求出g(x)最小值，然后利用己知

建立不等式，求解作答.

—2x,%<—1

【详解】⑴当3=-1时，/(x)=<2,-1<X<1,当xv—i时，一2%<3%,解得了>0,无

2x,x>l

解，

22

当一10x41时，2v3无，解得x>§,则当x>l时，2xv3x,解得1>0,贝!J

X>1,

所以原不等式的解集为“x>|j.

(2)当xeR时，/(x)=|x+6z|+|j：+l|>|x+<7-x-l|=|a-l|,当且仅当(x+a)(x+l)40时

取“=",即""向。=|“-1|,

而当xNO时，g(x)=x2-2x+2+a2=(x-l)2+l+6i2,因止匕gG).=g(l)=〃+1,

因为对IXiWR,V/e[O,+«0使得〃珀海仁)成立，从而得

因为°2+1>0,则有-/-1Wa-+1,解得。4-1或420,

所以实数”的取值范围为欣).

26.目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结

一心，使我国疫情得到了有效的控制.为了应对最新型的奥密克戎病毒，