2023-2024广东省东莞市高三第一学期期末考试数学试题含答案

2023-2024广东省东莞市高三第一学期期末考试数学试题

二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项

2023-2024学年度第一学期教学质量检查4520

符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题

卡中的相应位置涂黑.

高二数学9.已知函数/(x)=cos(s+w),G>0,g(x)是/(力的导函数，则下列结论正确的是

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一A.〃%)与g(x)对称轴相同B./(%)与g(x)周期相同

项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

C./(x)g(x)的最大值是3D./(x)g(x)不可能是奇函数

1.已知复数2=学，则2=

10.已知圆G：(X+2)2+/=I,圆6：(8-3)2+>2=4,尸,0分别是C”G上的动点，则下列

A.iB.—iC.D.结论正确的是

2.已知集合4={X|%=4左+1,4eZ},8={x|x=4左一1,左wZ},贝比R(NUB)=A.当CF〃G。时，四边形GC2。尸的面积可能为7

A.{x|x=4%,左wZ}B.{x|x=4^+2tkGZ}C.{x|x=2尼kcZ}D.{x|x=2A:+l,A:eZ)B.当GP//C2。时，四边形GC2。尸的面积可能为8

3.已知由小到大排列的4个数据1,3,5,a,若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这C.当直线PQ与£和G都相切时，IP0I的长可能为2后

4个数据的第75百分位数是

D.当直线P0与q和Cz都相切时，|尸的长可能为4

A.9B.7C.5D.3

11.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,K/W+g(2-X)=5,g(x)-f(x-4)=7.若x=2是g(x)

的对称轴，且g(2)=4,则下列结论正确的是

A./(%)是奇函数B.(3,6)是8(刈的对称中心

22

C.2是/(X)的周期D.Zg(*)=130

*=1

12.如图几何体是由正方形4BCQ沿直线AB旋转90。得到的，已知点G是圆弧壶的中点，点、H

是圆弧3?上的动点(含端点)，则下列结论正确的是

5.在等比数列{叫中，■+%+%+%+%=",%=4,则

6.已知tan(y+,=2,则cosa的值为A.存在点H,使得CHJ.平面EQG

B.不存在点H,使得平面4HE〃平面BOG

C.存在点使得直线EH与平面BOG的所成角的余弦值为立

7.以抛物线C的顶点。为圆心的单位圆与。的一个交点记为点4,与C的准线的一个交点记为3

点B,当点4,B在抛物线。的对称轴的同侧时，0A工0B,则抛物线。的焦点到准线的距离为D.不存在点H,使得平面EOG与平面CEH的夹角的余弦值为g

.2^3R2>/5„8岳„8如

351517三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部

8.双曲线C:彳-/=l(a>0]>0)的渐近线方程为、=士缶，则其离心率e=

分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1,则该正四棱台的体积为13.

14.已知向量1=0,2),5=(-2,1),则使(28+5〉(；1己-5)<0成立的一个充分不必要条件是_.

15.用试剂a检验并诊断疾病4表示被检验者患疾病b,E表示判断被检验者患疾病反用试

剂a检验并诊断疾病&的结论有误差，已知P(Bp()=0.9,P便庐)=0.8,且人群中患疾病b的

概率P(4)=0.01.若有一人被此法诊断为患疾病b,则此人确实患疾病b的概率P(4|B)=_____.

16.若函数/(*)=(，-2工)(/+办+&)的图象关于X=_2对称，则a+b=,/(x)的最小值

A.36

为.

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四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20^21、22题各12分，共70分.解答20.(本小题满分12分)

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超

已知椭圆C:—y+=1(a>^>0),连接C的四个顶点所得四边形的面积为2起，且离心率

出指定区域的答案无效.

17.(本小题满分10分)为也.

数列｛%｝的前麓项积为Tn,且满足?；=；(〃+1)(«+2).2

(1)求椭圆C的方程；

(1)求数列｛勺｝的通项公式；(2)经过椭圆C的右焦点F且斜率不为零的直线，与椭圆C交于4B两点，试问x轴上是

(2)记"=(T)"lna"，求数列｛4｝的前2"项和S?”.否存在定点T,使得△力43的内心也在x轴上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理

由.

21.(本小题满分12分)

某区域中的物种C有0种和8种两个亚种.为了调查该区域中这两个亚种的数目比例(0种数

目比0种数目少)，某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种

C,统计其中/种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验"次(其中"eN),记

18.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸中，四边形488是边长为2的正方形，PB=PD.第i次试验中的H种数目为随机变量=1,2,…㈤；③记随机变量了，利用彳的期望E(幻

n/.)

(1)证明：平面R4C_L平面尸皿.

和方差D(乃进行估算.设该区域中4种数目为“，3种数目为N，每一次试验都相互独立.

⑵若PA=2,PB=BD,点、E,尸分别为尸8,ED的中点，求点E到平面ZC尸的距离.

(1)已知+X)=顼％)+E(X),D(Xi+七)=Q(Z)+D(Xj)，证明：E(乃=E(XJ,

_1

n

(2)该小组完成所有试验后，得到房的实际取值分别为x,(i=l,2,…㈤，并计算了数据

爸(i=L2,…的平均值三和方差s',然后部分数据丢失，仅剩方差的数据.=乎.

(i)请用元和一分别代替H途)和。(又)，估算三和三；

(ii)在(i)的条件下，求乂的分布列中概率值最大的随机事件｛%=左｝对应的随机变量的

取值.

19.(本小题满分12分)

在A45C中，角4,。的对边分别为〃，b,c,且2a-c=2bcosC.22.(本小题满分12分)

(1)求B；已知函数f(x)=43(aw0).

(2)若b=3,且。为AA8C外接圆劣弧力。上一点，求4D+2DC的取值范围.e

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若方程/(%)-1(％-1)=0有再，w两个根，且芭+七=0,求实数。的值.

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高三数学参考答案

一'单项选择题

题号12345678

答案ACBDCADC

二'多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案BCACDBDACD

三、填空题

13.V314.-l<A<0（真包含于-1<2<1的任意范围或取值）

10

15.—（或二，没约分的结果正确也给分）16.34,-36

四、解答题

17.解：(1)当〃=1时，a=7；=1(1+1)(1+2)=3,

Al分

=X〃+l)("+2)"+2

当"22时，a“------,n>2,3分

Tn-i1»(«+!)n

当〃=1时，/符合所以%=----4分

n

(2)由(1)得”=(—l)〃hi——,〃EN*,.............5分

n

$2〃=4+5+=+“+…+

方法一：+b2n

13.415.612〃+112〃+2

=-ln—+ln—In—+m—H------In----------Fin--------

1234212n

,I315,2n+l■)+(ln-+ln-+---+ln^^-)

=一(In—+In—H-----FIn--------7分

132n-l242n

52/7+1.1,462〃+2、

x—x---x--------)+ln(—x-x•••x---------)8分

32n-l242n

=—ln(2〃+1)+ln(〃+1)9分

Inj土L.............................................................................................................................................10分

2〃+1

,7712〃+112〃+2如(21)(2〃+2)

方法二,由%3T+历丁n(2〃)(2〃+1)7分

$2"=31+&)+

得(4+4)+…+(b2n7+b2n)

1x43x6(21)(2〃+2)

=In+lnH-----1-In

2734x5(2〃)(2〃+l)

高三数学参考答案第1页（共6页）

1x43x6：；(2/7-1)(2»+2)

=ln(-x----x(2")(2〃+l),8分

2^34x5

2”+2

=In9分

2(2〃+1)

n+\

=In10分

2n+1

说明：有累乘的思维给1分.

分

18.证明：(1)如图1,连接NC,8。交于点O,连接尸。，.........................1

分

因为四边形48CD是正方形，所以2DL/C,.............................................2

分

因为=点O是AD中点，所以....................................3

分

又因为/。口尸。=。，AC,尸Ou平面尸/C,............................................4

分

所以B£>_L平面尸NC,.......................................................................5

分

因为8。u平面尸8。，所以平面P/C_L平面尸5D..........................................6

解：(2)方法一：因为P/=/3=/Z)=2,PB=PD=BD=2A/2.

所以P£)2=+/尸2,pB2=AB2+Api；所以/r)_L4尸，AB1AP,故两两相互

垂直，...........................................................................7分

如图2,以点/为原点，AP,AB,4D分别为x,z轴建立空间直角坐标系，则/(0,0,0),

£(1,1,0),尸(1,0,1),C(0,2,2),.............................................................8分

所以祝=(0,2,2),N=(1,0,1),或=(一1,一1,0),

设平面ACF的法向量为"=(x,y,z),

n-AC=02y+2z=0x——z

则即《解得＜,取z=—1,得几=(1,1,一1),10分

n•AF=0x+z=0"一Z

2_26

记点E到平面/C尸的距离为d,贝!|d=

乖1一3

所以点£到平面/Cb的距离为述.

12分

3

方法二：因为尸/=N3=/D=2,PB=PD=BD=272，

所以「长=/炉，所以尸，

又因为APC\AD=A,AP,u平面/产。，

所以A8J_平面APD,.......................................................................7分

因为48//CD,所以CD,平面/尸£),

因为。Pu平面4PD,所以CD_LDP,.....................................................8分

因为DF二也,所以CF=遥，4F=母，AC=272，

所以NC2=N尸+bC"所以/尸C,...................................................9分

高三数学参考答案第2页(共6页)

所以AAFC的面积为

2

=y-v-v-v-v.

所以七TC尸rP-ABCDvF-ACDvF-AEPvC-ABEvF-CPE'

2

=--4-2-10分

333r&T=3

记点£到平面NW的距离为d,则喔一^=丁班"=1，所以"=亍=三一，

3JyJ33

所以点E到平面4。厂的距离为48................................................

12分

3

19.解:(1)由2。-。=2bcosC及正弦定理,得2sin/—sinC=2sin5cosC,.....1分

由4=兀一(5+。)，得2sin(B+C)—sinC=2sin5cosC,.......................2分

所以2(sinBcosC+cosBsinC)-sinC=2sin5cosC,.........................3分

整理得sinC(2cosB-l)=0,...............................................4分

因为sinCwO，所以cosB二工,

............................................5分

2

JT

因为0<5(兀，所以3=—..................................................6分

3

(2)由圆内接四边形45co对角互补，得乙4DC=n-B上,.................7分

3

ADDCAC3c%

设ND4C=e,则NDC4=——，，由正弦定理得.(兀sin©-2JI百

3sin——0sin—

UJ32

所以AD=2Gsin]/_，；Z)C=2百sing，................................9分

所以AD+2DC=2A/3sin(--e)+46sin8=3cos，+34"sin6=6sin(6+3，……1。分

36

71

因为66(0,m),.....................................1.1.分......

所以6+巴e(工工)，得sin(0+巴)e(±l),所以6sin(6+二)e(3,6),

662626

故40+2DC的取值范围为(3,6)................................12分

说明：另解,若设NDCA=B,则4D+2DC=6cos，.

ab=V2

c_V2

20.解:(1)由题意得《2分

a2

a1=b2+c2

a2=2

解得《3分

b2=1

,2

所以椭圆C的方程为工+y2=i.4分

2'

高三数学参考答案第3页（共6页）

⑵因为直线/过右焦点尸（1,0）且斜率不为零，设直线/的方程为》=叼+1,N（XQJ,现尤2，%），

x=my+\

联立得＜%2,整理得（加2+2）J?+2加y—1=0,..................................................................5分

—+y=1

[2

贝!JA=(2m)2-4(m2+2)(-1)=8加？+8〉0恒成立,

2m

%+%=--ryr

m+2

所以6分

1

y^2=

mr—+27

设x轴上存在定点7亿0）使得NTAB的内心也在％轴上，

则直线和空关于％轴对称，所以直线口和空的倾斜角互补,

所以3r+L=0,即勖+%=』7+上7=0,....................................................................7分

/一t%2一%

所以必(9-/)+%(%-。=0，即必("%+1-。+%(町+1-0=0-

整理得2叼1%+(1T)Q+为)=0,...................................................................................................8分

—1—2m

即+.................................................9分

m+2m+2

即2冽(/-2)=0对所有mGR恒成立，..............................................10分

所以:2,............................................................................................................................................11分

所以存在定点7(2,0)符合题意.....................................................12分

21.证明：(1)依题意得乂(，=1,2,…,〃)均服从相同的二项分布，所以X,(i=l,2,…的期望、

方差相等，即差相)=后底2)=-=),£)(&)=。氏)=••,=口4：,................1分

由期望、方差的线性运算性质E(aX+b)=a£(X)+b、。(西+6)=/o(X),以及

E{Xt+Xj)=E(X,)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(X,)+D(X),.................................................................2分

_1n1n1n1

得E(X)=E(-ZX,)=-E(»)=2E(X)=rnE(X)=E(X),...................................................3分

nz=in,-=inz=in

_1»1n1n11

D(X)=0(—ZX)=二。(£工)=旺。(X,)=/D(X)=~D(X),............................................4分

n/=1n/=1n/=1nn

故E(*)=E(X),D(X)=-D(X,).

n

解：(2)(i)由题意得。(XJ=必(»=〃xU"=i0.5,

n

因为所以。(&)=渭齐*兄)，.............................

3(50,1^),50()(1-5分

M+NM+NM+N

所以10.5=50(-^-)(l-,整理得(J。)[--^―+0.21=0,

M+NM+NM+NM+N

因式分解得解得或

JJ;=030.7,............................................6分

M+NM+NM+N

因为所以故铲^=所以估计#....................

M<N,<^<0.5,0.3,7分

M+NM+NN7

-M

估计元=E(X)=E(XJ=50X--------=50x0.3=15...................................................................................8分

M+N

(ii)在(i)的条件下，X]的分布列为尸(&=左)=40.32.752/=0,1,2,…,50),...........9分

记=40.3*0.752(左=0,1,2,…，50),

高三数学参考答案第4页（共6页）

,,,-----:---x0.3

pk_40.3*0.75°-"_左!(50-左)！_3(50-左+1)

丁-C^10.3^10.75W)-50!x07一'..................

(-_1)!(50_.+1)!

当包>1,即时，3(5°~^+1)>1,解得左<15.3,即左V15,

Pk-i7k

当且<1,即时，3叱”<1,解得无>15.3,即左216,...............11分

Pk-i7k

所以A<P1<。2〈…〈。“〈?小，Pl5>P16>-->Pso

所以当左=15,即随机变量的取值为15时，事件｛乜=15｝的概率值最大...............12分

22.解：(1)求导得/'(x)=—f，...............................................1分

e

①当a<0时，

当/'(x