2024年高考押题预测数学试卷（北京卷1）含答案解析

绝密★启用前

2024年高考押题预测卷01【北京卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合。={1,2,3,4},M={2,3},则必知=（）

A.{1,4}B.{1,3}C.D.

2.设xdR,贝rx=0”是“x2=x”的（)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.抛物线d=2y的焦点坐标为（）

A.B.（1,0）C.D.0,

4.已知复数;三,aeR是纯虚数，则在复平面中，复数z=a+i的共轨复数彳对应的点坐标是（）

1+31

A.(―3,—1)B.(—3,1)C.(1,—3)D.(1,3)

”的值为（）

5.已知角。的终边上有一点尸的坐标是（3,4）,贝IJcos

43「34

A.——B.--C.-D.-

5555

6.在数列｛4｝中，4=1,〃2=9,4+2=3%+]—2%—1。，则{4}的前〃项和S〃的最大值为（

A.64B.53C.42D.25

7.已知直线依+丁一1=0与圆C:(x-iy+(y+4)2=l相交于A,B两点,且ABC为等腰直角三角形，则实

数。的值为()

A.一或一1B.11C.1或一1D.1

7

8.设。=2°6,6=2%c=0.5°%则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

22

9.双曲线土-匕=1的渐近线与圆Y+y2-4x+3=0的位置关系为

124

A.相切B.相交但不经过圆心C.相交且经过圆心D.相离

10.已知/(x)是定义在(0,+8)上的增函数，其导函数广(幻满足罢?+则下列结论正确的是

/(x)

A.对于任意xw(0,+oo),/(x)<0B.对于任意xe(0,+oo),/(x)>。，

C.当且仅当xe(l,+a>)J(x)<0D.当且仅当xe(L”)"(x)>0

第二部分(非选择题共U0分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.二项式(》-±)6展开式的常数项是.

12.函数小)=倡：'：：：则”皿卜一.

13.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD<如果ACBM=-3，则

ABAD=

14.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,若2$出。0»3=251114+5指3,且AABC的面积S=@c,

4

则的最小值为

15.平面直角坐标系中，A(-l,0),8(1.0),若曲线C上存在一点P,使尸4P5<0,则称曲线C为“合作曲

线”，有下列曲线①f+V=；；②y=x2+l；③2y2_/=1；④31+丁=1；⑤2x+y=4,

其中“合作曲线''是.(填写所有满足条件的序号)

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.(14分)

在如图所示的直三棱柱A3C-AgG中，D,石分别是5C,4q的中点.

(1)求证：DE7/平面ACGA；

(2)若为直角三角形，AB=BC=2,AAl=y/3,求直线DE与平面ABC所成角的大小；

(3)若ABC为正三角形，AB=AAi=4,问：在线段A5上是否存在一点M,使得二面角A-ME-。的

兀

大小为2三？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.

17.(13分)

已知函数〃x)=2cosx-cos(x+0)，d<m，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使函数”X)存在.

条件①：/图=1;

条件②：函数〃尤)在区间0,-上是增函数；

条件③：VxeR,/(x)>/^.

注：如果选择的条件不符合要求，得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计

分.

(1)求。的值；

JT

(2)求/(x)在区间一万,。上的最大值和最小值.

18.(13分)

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据

并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,假设同一组中的每个

数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下).

本各分数段人数

45~55~65~75~85~95体普成绩

（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计

高一全年级中“体育良好”的学生人数；

（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在［40,50）和［60,70）的样本学生中随机抽取2人，求

在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在［60,70）的概率；

（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且分别在［70,80）,［80,90）,［90,100］三组中,其

中a,b,ceN.当数据a,b,c的方差s?最小时，写出a,b,c的值（结论不要求证明）

19.（15分）

r22113e

设椭圆方+v事=1（a>6）的右焦点为尸，右顶点为A,已知［由+阿=画，其中。为原点，e为

椭圆的离心率.

（I）求椭圆的方程；

（II）设过点A的直线/与椭圆交于点8（8不在x轴上），垂直于/的直线与1交于点M,与>轴交于

点、H,若BFLHF,且NMOA=/M4O,求直线的/斜率.

20.（15分）

已知函数/（尤）=e*sinx+^x2+1

（1）求曲线y=f（x）在点（0,/（0））处的切线方程；

（2）若函数8（了）=0（111元-左）+/。）-6,11工-1有两个极值点玉，巧（不丁々），且不等式

g（占）+g（尤2）<〃玉+尤2）恒成立，求实数彳的取值范围.

21.（15分）

设有数列｛0”｝,若存在唯一的正整数左（左.2）,使得以则称｛4｝为“上坠点数列记｛%｝的前〃项

和为S”.

［2〃+1,小，2*

⑴判断：氏=（-2）",2='''“eN是否为“左坠点数列”，并说明理由;

2,n>2

c

⑵已知｛叫满足4=1,\an+l-an\=a+l,且是“5坠点数列"，若lim多=3,求。的值；

(3)设数列共有2022项且4>0.已知q-%+%=s,a2+a3++a2O22=t.若｛%｝为“P坠点数

列”且⑸｝为“4坠点数列“，试用s,f表示s20M.

2024年高考押题预测卷01【北京卷】

数学.参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

910

12345678

AB

AAAADBCD

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

8

53

2.9-13.-14.315.①③④

2

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步聚。

16.（14分）

【详解】（1）取AG中点尸，连接跖,b,

因为E为AA的中点，所以所〃4G，EP=：AG，

又因为。为BC的中点，所以，

所以EF//CD,EF=CD,

所以四边形EFCD是平行四边形，

所以CF//DE,

又C/u平面ACGA，平面ACGA，

所以DE//平面AC£A；

（2）取AB中点G,连接EG,DG,

因为四边形AA8用为矩形，且瓦6为4中,48的中点,

所以B]E//BG,BiE=BG,

所以四边形与EG8为平行四边形，所以BBJ/EG

因为几何体为直三棱柱，

所以3月，平面ABC,所以EG,平面ABC,

所以直线DE与平面ABC所成角即为NEDG,

因为Z>,G为3C,AB中点，

所以£>G=[AC=gjAB2+3c2=母,且BB、=EG=6,

所以tan/£DG=£^=*=N^,

DGV22

所以ZEDG=arctan,

2

所以直线DE与平面ABC所成角的大小为arctan

2

连接EG，因为，ABC为正三角形，所以瓦G也是正三角形，

因为E为AA中点，所以

因为几何体为直三棱柱，所以8为1平面A4G,

因为EC|U平面AAG，所以3EG，

因为BB[ABt=B[,BB[,AB{u平面AlABBl,

所以EG，平面AA34，

以E为原点，以马,EG方向为x,z轴正方向，在平面AAB耳内过点E垂直于4月方向为y轴，建立如图所

则E(0,0,0),£(卜1,4,白),4(2,4,0),2(-2,4,0),设AM=XS4(4e[0,1]),

所以(2-%,4-%,-z“)=；l(4,0,0),所以加(2-444,0),

所以EM=(2-42,4,0),助=卜1,4,括)，

设平面MED的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-EM=（2-42）x+4y=0

所以

n-ED=-x+4y+Qz=0

取平面4处的一个法向量机二(0,0,1),

6-82

I加川1

所以k°s/，川=瓯=

229

lx4+（22-1）2+6-82

131

解得丸=5或4=茄(舍去)，

此时由图可知，二面角A-。的平面角为钝角，

2冗

所以当M为中点时，二面角A-。的大小为§.

17.(13分)

【详解】(1)由题意得：/(x)=2coax,cos(x+0)=2cos%,[cosxcos0—sinxsin。]

=2cos^9cos2x一2sin夕cosxsinx=cos夕(cos2x+l)-sin°sin2x

=cos(pcos2x-sincpsin2x+coscp=cos(2x一夕)+coscp

当选条件①：f=cos0[cos/+1)—sin(psin/=gcos(p-sin(p=cos]

又因为Ml＜^,所以一方＜0＜方，所以一焉＜0+5＜葛，

所以cos,+1]=l时，即得：9+2=。，即夕=T.

当选条件②：

/(x)=2cosx-cos(x+协=cos(2%-0)+coscp

从而得：当2防1一兀＜2无一。＜2E,左eZ时，/(%)单调递增，

化简得：当防1一色会尤VE+%eZ时，仆)单调递增，

7T

又因为函数“X)在区间0,-上是增函数，

hi--+—<0

77TT

所以得：\,keZ,解之得：-2E+—W0V-2far+7i,keZ,

E+"2

[24

当％=0时，得兀，与已知条件时矛盾，故条件②不能使函数/（x）存在.

故：若选条件②，。不存在.

当选条件③:

由\/xeRJ(x)2/,/(%)=2cosx-cos(x+夕)=cos(lx-(p)+cos(p,

471

得当x=g时，COS（2X-9）=COST,又因为|。|<],

所以得?—9=兀，得

（2）当选条件①：

由（1）知：（»=-|,则得：/（x）=cos^2x+yj+1,

又因为xe-|-,0,所以+,

所以当尤=-g时，〃x）有最大值/f-2〕=cos，t+t]+〈=cosO+〈=]；

所以当X=-]时，/（X）有最小值一■|j=COS]—7T+[]+；=COs1一5j+g=O；

当选条件③：

由（1）知：夕=:,则得：/（^）=cos^2x-|-^+p

_,__,、>7T„_714兀71

又因为一于°'所以一"T'一§'

所以当x=0时，有最大值"O）=cos,T+：=；+；=l；

所以当X=一々时，〃尤）有最小=COS、?_m]+；=COS（-7t）+；=一；；

18.(13分)

【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有40-2-6-2=30人,

30

所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为lOOOx—=750人；

40

（2）成绩在[40,50）有2名学生，设为1,2；[60,70）有2名学生，设为A,8,

故抽取2名学生的情况有：（1,2）,（1,A）,（1,3）,（2,A）,（2,3）,（A,3）,共6种情况,

其中恰有1人体育成绩在［60,70）的情况有：（1,A）,（LB）,（2,A）,（2,3）,共4种情况,

4?

故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在［60,70）的概率为尸=；=；；

（3）甲、乙、丙三人的体育成绩分别为。，及c,且分别在［70,80）,［80,90）,［90,100］三组中,其中a,6,ceN,

要想数据"c的方差d最小，则。也c三个数据的差的绝对值越小越好，故“=79,c=90,

则甲、乙、丙三人的体育成绩79+平6+9均0值169为+Z7，

33

故方差

+='［（68-与2+（26-169）2

（6/-10146+43386）,

对称轴为人=一-10一14^=84.5,

12

故当Z?=84或85时，/取得最小值，

。也。的值为79,84,90或79,85,90.

19.（15分）

/、113c113c

【详解】解：（I）设“G。），由西+网=画，即二片G，

可得/=3c2,又/—=/=3,

22

所以02=1,因此/=4,所以椭圆的方程为工+2L=1.

43

（II）设3（%,力），直线的斜率为刈人工0）,则直线/的方程为y=%（x—2）,

工+匚1

由方程组彳43'消去y,整理得（4/+3）尤2-163尤+16/-12=0,

y=k（x-2）,

解得x=2或x=

4r+3

.g^^zg8k2一6I，-7--—12k

由题息倚4=4防+3，从而%=止+3，

於「9-4/12k)

设（班），由（）知产（）

“0,11,0,有切=(-1,%),~[4k2+3"4k2+3)

由斯，HF,得BF-HF=0,

2

止-912kyH9-4k

所以2+2=0，解得y

4k+34k+3H12k

1Q-4^2

因此直线MH的方程为产-上工+之羡，

19-4公

y-___JQ________20/+9

设”(乙,%),由方程组＜k12k'消去y,得尤M=

12伊+1厂

y=Z(x-2),

在AMAO中，ZMOA=ZMAOo|M4|=|Ma，

20k2+9

即(人一2『+另=右+，3化简得X“=l,即12伏2+])=1,

解得上=_逅或左=逅，

44

所以直线/的斜率为k=-逅或左=逅

44

20.(15分)

【详解】解：(1)因为/(x)=eXsinx+；%2+i,

所以f\x)=exsinx+excosx+x,

所以切线斜率无=/'(0)=L又以0)=1,

故曲线y=/(x)在点(o,/(o))处的切线方程为:

y-l=lx(x-0),即％_y+l=0.

(2)因为g(x)=<7(lnx-x)+f(x)-exsinx-1=a(lnx-x)+^x2,

所以g'(x)=之竺叱(尤＞0),

X

因为函数且(%)=。(1口]-%)+/(%)-6、11%-1有两个极值点玉，巧(石。工2)，

则＜(%)=。有两个不同的正根，即无2一以+〃=0有两个不同的正根,

△=4—4Q>0

则xi+x2=a>0=><7>4,

xxx2=a>0

不等式g(%)+g(W)＜"%+%)恒成立等价于

g(%)+g(X2)二g(Xl)+g(%2)

恒成立,

芯+x2a

1212

又g(%)+g(%2)=〃(lnxi-xl)+—xl+«(lnx2—x2)+—x2

=Q(ln%i+Inx2)-6Z(X1+兀2)+；(%；+%；)

12

=Qinxxx2—a(Xj+JT2)+—[(^+x2)-2x[x2]

=alna-+—(Q2-2a)=alna—--a,

所以X>ga)+gQ2)=inq_：aT,

+x22

令y=lnq-g<7-l(a>4),则/=工一：<0,

所以y=Inq-;。一1在（4,+oo）上单调递减,

所以y<21n2—3,所以;1221n2—3.

所以实数4的取值范围为：[21n2-3,户）.

21.（15分）

【详解】（1）解：对于。”=（-2）",由于4=—2,a2=4,a3=—8,a4=16,as=—32,

则存在的>%，a4>as,不满足定义，故｛%｝不是坠点数列.

[2〃+1,4,2―

对于勿=2M，容易发现4=3，仇=5,4=4,仇=8,

即在前4项中只有而对于〃..3起，

1

由于bn+1-b“=2"-2"-'=2"->0,即为<6用对于*4是恒成立的.

故也｝是“3坠点数列”.

（2）解：由绝对值定义，“+lJW=a-1.

又因为｛4｝是“5坠点数列"，则｛4｝中只存在且

则当且仅当”=4时，。“+1-%=-（。+1）,其余均为。”+1=。+1

故可分类列举:

当值,4时，q=1,0-2=67+2,〃3=2〃+3,"4=3〃+4,

当儿.5时，/=2〃+3,%=3〃+4,

分组求和知:

、““—cn(n-l)z<、a+12〃一1n,io/

当“，4日寸,Sn—ZU---——(a+1)——-—n----—,贝(J邑—6。+10,

、“Lr,ccz八-c、(n-4)(n-5)y、a+l5a+3。小

当九.5时，S〃=+(〃-4)(2〃+3)H------------(za+1)——-—?----——n+Set+8,

6Z+17

n^^〃+8〃+8

则当〃―8时,s~^ra+l

lim=lim-----2__________

ns〃n—^00及2"T"

贝!J〃=5,

(3)解：结论：S2O22=s+t,理由如下：

经过分析研究发现：p=q,

下利用反证法予以证明.不妨设。<4,首先研究｛S“｝.

由于电｝为“4坠点数列”，则只存在%>邑,即％<°,

而对于啜*2022且左Hq,则有即处>。，

故在｛a“｝中有且仅有一项与<。，其余项均大于0,

又因为｛。“｝为“。坠点数列”，则有且仅有<T>%,

同时，。<%<%<<%,0<ap<ap+x<<aq<aq+l<<a2022,

这与4<0是矛盾的，则P=qnax=%T且％

则q=s,

故^2022=s+t.

2024年高考押题预测卷01【北京卷】

数学.全解全析

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：本题共1。小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

910

12345678

AB

AAAADBCD

1.【答案】A

【分析】根据补集的定义可得出集合。

【详解】集合"={1,2,3,4},M={2,3},则=

故选：A.

2.【答案】A

【分析】对方程9=*进行等价转化，即可进行判断.

【详解】因为V=x,故可得x=0或x=l,

则“x=0"是"=尤，，的充分不必要条件.

故选：A.

3.【答案】A

【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.

【详解】由抛物线f=2y,可得抛物线的开口向上，且2P=2,所以p=l,

所以抛物线的焦点坐标为F(0,1).

故选：A.

4.【答案】A

【分析】利用复数除法计算出也="+3+(1-3。)1,从而得到。=_3,求出答案.

l+3i10

a+i+—3i)a—3ai+i—3i2Q+3+(l-3a)i

【详角牛】i+3「(i+3i)(i—3i)—W―W'

贝l"+3=o,解得夕=—3,贝ijz=—3+i,z=-3-i

故共钝复数N对应的坐标为.

故选：A

5.【答案】D

【分析】利用任意角的三角函数的定义求出sina,再用诱导公式化简即可求得结果.

,---------4

【详解】因为角a的终边经过点(3,4),|OP|=r=V32+42=5,贝人也a=多，

所以cosI--aI=cos\--a\=sma=—.

故选：D.

6.【答案】B

【分析】令an+1-an=bn,则由an+2=3a„+1-2%-10可得一10=2(〃一1。),所以数歹!J也-10｝是以一2为首

项,2为公比的等比数歹U,可得到凡“-%=10-2”,然后用累加法得到4=10"2"-7,通过｛%｝的单调性即

可求出S“的最大值

【详解】由4+2=3a“+1-2氏-10,得*一a用=2(%-%-1。,

令。=么，所以％=2»-10,则令「1。=2(6“-10),

所以数列他,-10｝是以4To=%-/T。=-2为首项,2为公比的等比数列，

所以2-10=-2x2"-=-2",即优=一2"+10,即a„+1-«„=10-2",

由a2—%—10—21,％—4=1。—2?,%—%=1°—2^,,cin_—10—2"1("22),

将以上n-1个等式两边相加得凡一q:)=]0“_2-8,

所以a“=10w-2"-7,〃22,

经检验％=1满足上式,故%=1。"-2"-7,

当“V3时,。“+「。”=1。-2">0,即｛4｝单调递增,当“24吐。用-氏=1。-2"<。,即｛%｝单调递减，

因为

3456

a3=10x3-2-7=15>0,a4=10x4-2-7=17>0,a5=10x5-2-7=11>0,a6=10x6-2-7=-11<0,

所以｛4｝的前W项和s”的最大值为$5=1+9+15+17+11=53,

故选：B

7.【答案】C

【分析】由题意可得，圆C的圆心为C（l,-4）,半径为1,结合ABC是等腰直角三角形，可得圆心c（l,-a

到直线or+y-1=0的距离等于r-sin45。，再利用点到直线的距离公式，从而可求得。的值.

【详解】解：由题意得，圆C：（x-iy+（y+a）2=l的圆心为C（l,-a）,半径为1,

由于直线3+>-1=。与圆C相交于A,B两点,且一ABC为等腰直角三角形，

可知ZACB=90,|AB|=|AC|=r=l,

所以NC4B=NC54=45°,

圆心C（l,-a）到直线"+y-l=0的距离等于厂.sin45。=孝，

再利用点到直线的距离公式可得：

圆心C（l,-a）到直线ar+y-l=0的距离〃=/==走，

Va2+12

解得：a=±l,所以实数。的值为1或一1.

故选：C.

8.【答案】D

【分析】先将c=0.5°-6改写为。=246,再利用函数y=2"的单调性判断即可

【详解】由题，CnO.SOSnlgj'nZ"1,对于指数函数>=2,可知在R上单调递增，

因为-0.6<0.5<0.6,所以2~°，6<2°s<2°6,BPc<b<a

故选：D

9.【答案】A

【分析】求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得

出结论.

22_

【详解】双曲线会号=1的渐近线为瓜±3y=0,

圆尤2+y2-4x+3=0,gp（x-2）2+y2=1,

圆心（-2,0）至I］直线&±3y=0的距离为呼地=1（半径），

故渐近线与圆相切，故选A.

10.【答案】B

【解析】由题意可得宁鲁+工2>1,结合函数的单调性，从而可以判断［(尤2-1)/(耳］'>。，即

J\)

g(x)=(炉-l)〃x)在(0,转)上单调递增，从而判断出结果.

2V（元）

【详解】因为+%2>1,/(X)是定义在(0,3)上的增函数，/(x)>0,

7TT

所以2Vl(力+//(司>/(同，即2#口)+02-1)尸(》)>0,

所以［(尤2-1)〃同］'>0,

所以函数g(x)=(Y-l)/(x)在(0,-H»)上单调递增，且g(l)=0,

所以当xe(0,l)时，g(尤)<g⑴=0,Mx2-l<0,所以此时F(x)>0,

当xe(l,+co)时，g(x)>g(l)=0,而尤2_1>0,所以此时〃x)>0,

结合选项，可知对于任意xe(0,+oo),/(x)>0,

故选B.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.【答案】15

【详解】试题分析：(%-二)6的展开式的通项JMCjf-qA)，=(_iyc6b63,

XX

令6-37=0,可得「=2,

则常数项为匕i=(T)2c6?=15.

12.【答案】|

【分析】先计算出-2,然后再求解了(-2)从而求解.

【详解】由题意得/［)=1鸣)=-2,

所以4m=”一2)=1-3一、|.

Q

故答案为：—.

3

13.【答案】|

2

1?23

【详解】试题分析：因为AC・BM=（AD+—AB）.（-AB+—4。）=一2-—ABAD=-3,所以ARAO=—.

2332

14.【答案】3

【分析】利用角的关系以及三角恒等变换相关公式将条件中的恒等式化简，即可求出角C,然后利用面积

公式得到必=c,结合余弦定理以及基本不等式，即可求出必的最小值.

【详解】因为2sinCcos5=2sinA+sin5,

而sinA=sin[%一（3+C）]=sinBcosC+sinCcosB,

代入上式化简得：2sinBcosC+sin5=0

12%

所以cosC=—,因为0<C<〃，所以C=—；

23

因为S=，QbsinC所以得而=c；

24

因为（〃。）2=c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab>3ab,

所以必23,当且仅当a=〃时取等号，

所以aZ?的最小值为3.

15.【答案】①③④

【分析】设点尸（%》）,曲线。为“合作曲线”O存在点ay）使得/+y2VL解出即可判断出结论.

【详解】解：设点P（x,y）,曲线C上存在一点P,使PAPB<0，

•••合作曲线O存在点（羽y）使得炉+y2<1.

①由/则满足存在点a，y）使得炉+/<1,曲线c上存在一点P满足无2+）/<1,故.1为合作曲线;

②令尸（x,v+l）,则/+（炉+1）2<1,化为公+31<0,此时无解，即不满足Y+y2<i,故*2不为合作曲线；

③由2y2_尤2=1,可得°=正，6=1,则曲线c上存在一点P满足Y+V<i,故*3为合作曲线；

2

④由3/+/=1,可得：a=l,b=显,则曲线C上存在一点P满足f+y2<i,故《4为合作曲线；

3

4

⑤因为直线圆心到直线2x+y=4的距离"=石>1,故曲线C上不存在一点P满足尤2+丁<1,故*5不为合

作曲线；

综上可得：“合作曲线''是①③④.

故答案为：①③④

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

16.(14分)【答案】⑴证明见解析(2)arctan(3)存在，且M为中点

2

【分析】(1)取AC中点F,连接跖,cr,证明四边形班CD是平行四边形可得CP//DE,结合线面平行

的判定定理可完成证明；

(2)取中点G,连接EG,DG,先证明EG,平面ABC,然后判断出线面角为/EDG,最后结合线段

长度求解出结果；

(3)先证明EC1，平面44班"然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面皿》和平面的一个

法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值的结果求解出2的值，则结果可知.

【详解】(1)取AG中点尸，连接比CP,

因为E为A4的中点，所以EF//BCI，EF=；BCI，

又因为。为8C的中点，所以CO//BC,a>=g3C=；AG,

所以EF〃CD,EF=CD,

所以四边形EFCD是平行四边形，

所以CF//DE,

又CFu平面ACGA，平面4CGA，

所以DE〃平面ACC0；

(2)取A2中点G,连接EG,OG,

因为四边形AA8用为矩形，且E,G为A4，AB的中点，

所以与E//8G,与E=BG,

所以四边形片EG8为平行四边形，所以BBJ/EG

因为几何体为直三棱柱，

所以3瓦，平面ABC,所以EG,平面ABC,

所以直线DE与平面A3C所成角即为/EDG,

因为。G为8C,A3中点，

所以£>G=gAC=gjAB2+8C2=应,且BB、=EG=6，

所以tan/E£>G=g0=^=逅，

DG2

所以ZEDG=arctan,

2

所以直线DE与平面ABC所成角的大小为arctan

2

(3)设存在M满足条件，

连接EG，因为,ABC为正三角形，所以也是正三角形，

因为E为A与中点，所以

因为几何体为直三棱柱，所以84,平面A4C,

因为EGU平面AMG,所以BB,1EG，

因为BB]AB]=B[,BB},AB}u平面A1ABB],

所以EC，平面AABB-

以E为原点，以E4,,EG方向为x,z轴正方向，在平面AA3片内过点E垂直于A与方向为y轴，建立如图所

则E(0,0,0),£(卜1,4,白),4(2,4,0),5(-2,4,0),设e[0,1]),

所以(2一税,4一%,—ZM)=4(4,0,0),所以舷(2—4九4,0),

所以EM=(2-444,0),即=卜1,4,右)，

设平面MED的一个法向量为"=(x,y,z),

•EM=(2-4/l)x+4y=0

所以'

n・ED=-x+4y+y/3z=0

取平面4腔的一个法向量机=(o,o,i),

所以gs”，川=篙=1

2'

解得几=51或2=玲31(舍去)，

此时由图可知，二面角A-血血-。的平面角为钝角，

2兀

所以当M为A3中点时，二面角A-ME-D的大小为三.

17.(13分)【答案】(1)选择见解析；答案见解析(2)答案见解析

【分析】(1)根据题意先把函数/(X)进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角

函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数/(x)存在，从而求解;

,JT

(2)根据(1)中选的不同条件下得出不同的函数”X)的解析式，然后求出在区间一万,0上的最大值和

最小值.

【详解】(1)由题意得：/(x)=2CO&Y•cos(x+^)=2cosx-[cosxcos(p-sinxsin(p\

=2cos^cos2x-2sin0cosxsinx=cos9(cos2x+1)—sin9sin2x

=cos/cos2x-sin^?sinlx+cos(p='cos(2x-cp)+coscp

当选条件①：f(g)=cos(p(cosg+1)—sin°sin=gcos(p-sin(p-cos[0+]]=1,

又因为闸＜g,所以一:＜e＜：,所以一〈等，

222o36

所以cos,+3=l时，即得：9+/o,即夕=g

当选条件②：

/(%)=2co&x-cos(x+0)=cos(2x-0)+cos(p

从而得：当2E-兀(2工一。＜2祈义EZ时，/(X)单调递增，

化简得：当左兀―5+5VX＜阮+5,左£Z时，/(%)单调递增,

■JT

又因为函数“X)在区间0,-上是增函数，

lat--+—＜0

22it

所以得：MeZ,解之得：-2E+巴航+兀次eZ,

E+"2

I24

当人=0时，得］＜夕(兀，与已知条件时矛盾，故条件②不能使函数/(x)存在.

故：若选条件②，夕不存在.

当选条件③:

(gj,/(x)=2cosx-cos(x+^?)=cos(2x-^)+cos^>,

得当丈=与时，cos(2x-p)=cos(♦一夕］=-1，又因为|d＜］,

所以得?_夕=兀，得/

(2)当选条件①：

由⑴知：(p=~,则得：/(x)=cos^2x+-1^+^-,

___.、，71„—,,_兀2兀兀

又因为一万'°'所以2X+3£--—，

所以当x=一e时，/