2021-2023年全国高考数学典例真题汇编5（新高考模式训练）

2021-2023年全国高考数学典例真题汇编(新高考模式训练)5

姓名:班级:

单选题

1.【2021-新高考I卷】设集合A={R—2<x<4},B={2,3,4,5},则AB=()

A.{2}B.{2,3}c.{3,4}D.{2,3,4}

2.【2022-浙江卷数学高考真题】设集合A={1,2},B={2,4,6},则AD5=()

A.{2}B.{1,2}C.［2,4,6}D.［1,2,4,6)

3.12023-天津卷数学真题】“/=/”是“a2+/=2ab”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.【2021-北京数学高考真题】已知/(x)是定义在上［0,1］的函数，那么“函数AM在［0』］上单调递增”是“函

数f(x)在［0,1］上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.【2023-天津卷数学真题】已知{4}为等比数列，S“为数列{4}的前〃项和，an+l=2Sn+2,则为的值为

()

A.3B.18C.54D.152

6.【2021-北京数学高考真题】函数/Q)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

99

C.奇函数，最大值为一D.偶函数，最大值为一

88

7.12021-全国甲卷(理)】为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收

入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

8.【2021-浙江卷】已知。/是互不相同的锐角，则在sinecos/7,sin/?cos%sin/cosc三个值中，大于;

的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

二.多选题

9.【2021■■新高考I卷】有一组样本数据再，3，…，X",由这组数据得到新样本数据%,力，…，先，

其中％=玉+c（，=l，2,…,"）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

10.12021-全国新高n卷】已知直线/：℃+处—/=0与圆C：x?+y2=/，点4。力），则下列说法正确的

是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

k1k

11.【2021-全国新高II卷】设正整数〃=。0-2°+%・2++ak_1-2-+ak-2,其中4e{0,1},记

=a0+O]++ak.贝！]（）

A.G(2H)二g⑺B.G(2〃+3)=G(〃)+1

C.G(8H+5)=G(4〃+3)D.Q(2"-1)=〃

三.填空题

12.【2022-北京数学高考真题】已知全集。={才一3<%<3},集合人={乂-2<工41},则=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)J[l,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]J(1,3)

13.【2022-全国甲卷数学高考真题】设向量°,b的夹角的余弦值为g，且卜|=1，忖=3,则(2。+“力=

14.【2022-天津数学高考真题】设aeR,对任意实数x,记/(x)=min{国―2,f—ax+3a_5}.若/(%)至

少有3个零点，则实数。取值范围为.

四.解答题

15.【2021-全国甲卷(理)】甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两

台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.【2023-全国数学甲卷（文）高考真题】如图，在三棱柱ABC-4用。］中，AC，平面ABC,NACB=90°.

（1）证明：平面，平面3BCC；

（2）设AB=A5AA=2,求四棱锥4—的高.

17.【2023-天津卷数学真题】设椭圆与+与=l（a〉6〉0）的左右顶点分别为4，4,右焦点为尸，已知

ab

|AF|=3,|AF|=1.

（1）求椭圆方程及其离心率；

（2）已知点尸是椭圆上一动点（不与端点重合），直线4P交y轴于点。，若三角形AP。的面积是三角形

面积的二倍，求直线的方程.

18.12021-全国新高n卷】已知椭圆C的方程为=+4=l（a〉b〉0）,右焦点为/（四,0）,且离心率为亚

a2b23

（I）求椭圆c的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线与曲线V+y2=。2@>0）相切.证明：M,N,尸三点共线的充要

条件是|MN|=g\

19.【2021-全国甲卷(理)】已知函数/(x)=|x—2|,g(x)=|2x+3]—|2x—1.

(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像;

(2)若/(x+a)2g(x),求°的取值范围.

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【参考答案】

1.答案:B

解析：

由题设有Ac8={2,3},

故选：B.

2.答案:D

解析：

A.B={1,2,4,6},

故选：D.

3.答案:B

解析：

由/=/,则a=±Z?,当。=一》/0时a?+/?2=2次?不成立，充分性不成立;

由标+步=2次;，则(a-b)2=。，即a=b,显然成立，必要性成立；

所以/=/是储+〃=2ab的必要不充分条件.

故选：B

4.答案:A

解析：

若函数〃可在［0』上单调递增，则〃龙)在［0,1］上的最大值为了⑴,

若“X)在［0』上的最大值为了⑴，

比如/(x)=1x-J,

但y(x)=(x—J在o,1为减函数，在1,1为增函数，

故/(%)在［0,1］上的最大值为/(1)推不出/(X)在［0』上单调递增，

答案第1页，共13页

故“函数/(%)在［0』上单调递增”是“/(%)在［0』上的最大值为/(1)”的充分不必要条件,

故选：A.

5.答案:C

解析：

由题意可得：当”=1时，%=2q+2,即q4=2%+2,①

当九=2时，q=2(q+/)+2,即qq?=2(q++2,②

联立①②可得％=2,q=3,则%=qq3=54.

故选：C.

6.答案:D

解析：

由题意，/(-%)=cos(-%)-cos(-2x)=cos%-cos2x=/(x),所以该函数为偶函数,

(1Y9

=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2lcosx-—I+—>

19

所以当cosx=—时，/'(X)取最大值一.

48

故选：D.

7.答案:C

解析：

因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相

应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为004+0.02x3=().10=10%,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为Q10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,

故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

答案第2页，共13页

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68（75

元），超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计

值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.

频率，

注意各组的频率等于焉;X组距.

组距

8.答案:C

解析：

.22o

、/+1，甘士于任小士./sinCL+cosp

法l：由基本不等式有sinacos[n3＜----------........—

ee-cP+cos2ysin2/+cos2a

I可埋sinpcosy<-------------------,sinycosa<-------------------

3

故sinacos〃+sin/cos/+sin/coso<—,

故sinacos/?,sin/?cosy,sinycosa不可能均大于-1-.

7171TC

取1=勺，p=_,z=_,

634

则sinecos〃=：<g,sin,cos/=手〉g,sin/cosa=手〉;,

故三式中大于段的个数的最大值为2,

故选：C.

法2:不妨设a＜B＜丫，则以光二＞85/?＞807,5111。＜$111力＜51117,

由排列不等式可得：

sinacos/?+sin尸cos/+sin/cosa<sinacosy+sin4cos4+sin/cosa,

13

而sinacos/+sincos尸+sin/cosa=sin(/+or)+—sin2/?<—,

故sinacos/?,sinf3cos/,sinycosa不可能均大于-1-.

717171

p=~,/=-

634

答案第3页，共13页

则sinacos(3=—<—,sin/?cosy=,sin/cosa=,

故三式中大于1的个数的最大值为2,

2

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据

三角变换的公式特征选择放缩的方向.

9.答案:CD

解析：

A：E(y)=E(x+c)=EO)+c且cwO,故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为七，则第二组的中位数为/=玉+。，显然不相同，错误；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正确；

D:由极差的定义知：若第一组的极差为％ax-%in，则第二组的极差为

Vmax-Vmin=(/ax+C)"(^nun+°)=4^一。，故极差相同，正确；

故选：CD

10.答案:ABD

解析：

产

圆心。(0,0)到直线I的距离d=.,

yja2+b2

r2

若点A(a,b)在圆C上，则标+尸二’,所以)=,=[|,

J4+b2

则直线/与圆C相切，故A正确；

户

若点A(a,b)在圆C内，则所以

yja+b-

则直线/与圆C相离，故B正确；

若点A(a,。)在圆C外，则所以d=/,,

+b2

则直线/与圆C相交，故C错误；

若点A(a,b)在直线/上，则点+廿一产=0即口2+/=户,

答案第4页，共13页

2

所以d=-y=讨,直线/与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

11.答案:ACD

解析：

对于A选项,&>（“）=%+%++以，2〃=a。•21+q•2~++%_],2"+a*•2*+i,

所以，0（2〃）=ao+q++ak=a）（n）,A选项正确；

对于B选项，取〃=2,2n+3=7=l-2°+l-21+l-22）.-.®（7）=3,

而2=0.2°+1.2i，则0⑵=1,即。⑺/。（2）+1,B选项错误；

对于C选项，8n+5=%•2，+6•24++cik•2*3+5=1・2°+1•2-+,•2^+q,24++a为■

所以，°（8〃+5）=2+a0+q++以，

232123k+2

4«+3=«0-2+01.2++tzjt-2^+3=l-2°+l-2+tz0-2+a1-2++ak-2,

所以，a>（4w+3）=2+a0+a1++ak,因此，0（8n+5）=o（4w+3）,C选项正确；

对于D选项，2"—l=2°+2i++2"一1，故口（2"-1）=〃，D选项正确.

故选：ACD.

12.答案:D

解析：

由补集定义可知：e4={划一3<%<-2或1<%<3},即许A=（—3,-2]（1,3）,

故选：D.

13.答案：11

解析:

解：设a与b的夹角为。，因为Q与b的夹角的余弦值为:，即cos9=；,

又卜1=1,

b=39所以a.目cos，=lx3x—=1,

所以（2a+》）0=2a力+7=2a2+卜/=2x1+3?=11.

答案第5页，共13页

故答案为：11.

14.答案:a案10

解析：

设g(x)=x2—av+3a_5,/z(x)=|x|-2,由凶一2=0可得％=±2.

要使得函数〃力至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则A=°2—i2a+2020,

解得或〃N10.

①当〃=2时，g(%)=A：2—2x+l,作出函数g(x)、/z(x)的图象如下图所示:

此时函数/(%)只有两个零点，不合乎题意;

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为与、%(玉<%2)，

要使得函数“X)至少有3个零点，则%"2,

-<-2

所以，《2,解得ae0；

^(-2)=4+5«-5>0

③当a=10时，g(x)=x2-10%+25,作出函数g(x)、人(尤)的图象如下图所示:

由图可知，函数/(九)的零点个数为3,合乎题意;

④当a>10时，设函数g(x)的两个零点分别为》3、乂(毛<X4)，

要使得函数“X)至少有3个零点，则退22,

答案第6页，共13页

->2

可得<2,解得a>4,止匕时a>10.

g(2)=4+4-520

综上所述，实数a的取值范围是［10,+8).

故答案为：［10,”).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解.

15.答案：(1)75%；60%；

(2)能.

解析:

(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为受=75%,

200

乙机床生产的产品中的一级品的频率为型=60%.

200

s、2400(150x80—120x50)2400

⑵K1=-'----------------------=—>10>6,635,

270x130x200x20039

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

16.答案：(1)证明见解析.

(2)1

解析：

(2)过点A作A］O_LCG，可证四棱锥的高为A。,由三角形全等可证AC=AC,从而证得。为CG中点，设

4C=AC=x,由勾股定理可求出x,再由勾股定理即可求A。.

【小问1详解】

证明：因为AC，平面ABC,BCu平面ABC,

答案第7页，共13页

所以4CL5C,

又因为NAC3=90，即ACSBC,

AC,ACu平面ACGA，ACcAC=C,

所以6C1平面ACG4,

又因为BCu平面BCGBI,

所以平面ACGA，平面BCC声.

【小问2详解】

如图，

过点A作4OLCG，垂足为O.

因为平面ACQA1，平面BCCXBX,平面ACCjA）「,平面BCC^=cq,\Ou平面ACQA,

所以A。，平面BCC4,

所以四棱锥A—BB”的高为\o.

因为AC,平面ABC,AC,5Cu平面ABC,

所以AC,

又因为43=A3,BC为公共边，

所以JRC与.ABC全等，所以A]C=AC.

设4c=AC—x,则4c']=x,

所以。为CG中点，OCl=^AAl=l,

又因为AC±AC,所以4c2+AC-=AA：,

即炉+f=22,解得了=应,

答案第8页，共13页

所以A。=《AC：_OC：=J(A/2)2-12=1.

所以四棱锥A-BBC】c的高为i.

22i

17.答案：(1)椭圆的方程为三+乙=1,离心率为0=一.

432

解析:

(2)先设直线4P的方程，与椭圆方程联立，消去y,再由韦达定理可得xaMp,从而得到尸点和。点坐标.

=

由SA2QA}S4尸。+S4A2尸-2s,4PF+S4内尸得21yM=3|外|,即可得到关于左的方程，解出左，代入直线人尸

的方程即可得到答案.

【小问1详解】

如图,

。+c=3,------

由题意得〈，，解得a=2,c=l,所以6=序丁=也，

a-c=l"

221

所以椭圆的方程为土+乙=1,离心率为e=£=—.

43a2

【小问2详解】

22

由题意得，直线4尸斜率存在，由椭圆的方程为5+4=1可得4(2,0)，

设直线&尸的方程为y=左(*—2),

[22

土+匕=1

联立方程组，43,消去》整理得：(3+4公)/—16左2%+16公一12=0,

y=k^x-2)

答案第9页，共13页

1642—128左2—6

由韦达定理得乙,・辱=所以Xp=

3+4423+4左2

,8产—6-12k

所以P。（。，-2人）.

、3+4产3+4产）

所以S%必=；x4x|y°|,S=；xlx|y/,S&A2P=gx4x|yp|,

所以S.&24=S4P°+SA&p=2sAp尸+S&A2P>

所以2闻=3|y/,^2\-2k\=3-——

D十^vK-

解得T，

所以直线4P的方程为y=±

18.答案：（1）—+y2=l；（2）证明见解析.

3-

解析：

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|脑仙=百；

充分性：设直线=（劭＜0）,由直线与圆相切得〃=/+］,联立直线与椭圆方程结合弦长公式

可得J1+上.’24£=6,进而可得k=±1,即可得解.

1+3左2

（1）由题意，椭圆半焦距c=应且e=£=、5,所以a=石，

a3

又〃=/—02=1，所以椭圆方程为土+y2=］；

3

（2）由（1）得，曲线为f+y2=1（%〉0）,

当直线肱V的斜率不存在时，直线"N:x=l,不合题意；

当直线的斜率存在时，设”（七，X）,N（%2，%），

必要性：

若M,N,尸三点共线，可设直线MN:y=k（x—即正—y一衣;=0,

k

22\^\

由直线"N与曲线好+/=1（］＞0）相切可得=解得左=±i,

答案第10页，共13页

y=±k-&)

联立L3

可得41一6及x+3=0.所以％+%=~~,%

1.2r4

所以|MN卜Jl+1-J(X[+々卜一4%i•%=百，

所以必要性成立;

充分性：设直线上W:y