专题02 实际问题与反比例函数（重难点突破）（解析版）

专题02实际问题与反比例函数重点利用反比例函数知识解决实际问题难点反比例函数与其他学科的综合问题易错忽略实际问题中自变量的取值范围一、几何问题与反比例函数当问题中设计几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注意自变量的取值范围．【例1】如图，△ABC的边BC＝y，BC边上的高AD＝x，△ABC的面积为3，则y与x的函数图像大致是（）A．B．C． D．【答案】A【详解】.的面积为3，则即函数图像是双曲线该反比例函数图像位于第一象限，故选A【例2】如果矩形的面积为15cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表示大致是（

）．A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由矩形的面积公式可得xy=15，∴y=（x＞0，y＞0）．图象在第一象限．故选：C．二、跨学科问题与反比例函数跨学科问题中常见的反比例关系：1．压力一定时，压强与受力面积成反比例．2．当功率一定时，力与速度成反比例．3．当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例．4．当电压一定时，电流强度与电阻成反比例．【例3】两个物体A，B所受的压强分别为，（都为常数）．它们所受压力F与受力面积S的函数关系图象分别是射线、，已知压强，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解∶观察图象得：当受力面积S相同时，射线位于的上方，即，∵，∴．故选：B【例4】如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（

）A．当时，B．I与R的函数关系式是C．当时，D．当时，I的取值范围是【答案】D【详解】解∶设电流与电阻的函数关系式为（R＞0），把点代入得：，解得：，∴I与R的函数关系式是，故B错误；∴I随R的增大而减小，当R=0.25时，I=880，∴当时，，故A错误；当R=1000时，I=0.22，∴当时，，故C错误；当R=880时，I=0.25，∴当时，I的取值范围是，故D正确；故选：D一、单选题1．市一小学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示，设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵xy=200∴y=(x>0，y>0)故选A．2．已知甲、乙两地相距40米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（

）A．t＝40v B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得：vt＝，，故选：B．3．某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得：，即，故选：D．4．已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例函数关系，如图所示，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设，由于点在此函数解析式上，∴，∴，故选：C．5．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：由图可知，、乙、、丁在反比例函数图像上，根据题意可知优秀人数，则①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故选：C．6．为做好疫情防控工作，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例（如图所示）．当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，则下列说法中正确的是（

）A．每立方米空气中含药量从上升到需要B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成后学生才能进入教室D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为【答案】C【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为由题意得：∴此阶段函数解析式为设喷雾结束后函数解析式为由题意得：∴此阶段函数解析式为A.在喷雾阶段，当时，当时，共需要，故此选项不符合题意．B.每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是故此选项不符合题意．C.喷雾结束后，当时，为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成后学生才能进入教室，故此选项符合题意．D.在喷雾阶段，当时，在喷雾结束后，当时，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为故此选项不符合题意．故选：C．二、填空题7．科学发现，若气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：kPa）是关于气体体积（单位：）的反比例函数，如图所示的是恒温下某气球（充满气）的气压与体积的函数图象．当气体体积为时，气压是______kPa．【答案】100【详解】解：设该反比例函数的解析式为P=，由题意得图象过点（1，200），∴k=1×200=200，∴，当V=2时，P=200÷2=100，故答案为：100．8．在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于______cm．【答案】128【详解】解：由题意可以设y＝，把（4，32）代入得：k＝128，∴y＝（x＞0）．∴x＝，∵x＜1，∴＜1，∴y＞128，∴面条总长度大于128cm．故答案为：128．三、解答题9．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中为线段，为双曲线的一部分）．(1)线段函数关系式是，双曲线的函数关系式是．(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？【答案】(1)，(2)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题【详解】（1）解：设线段函数关系式为，把点和代入得：，解得：，∴线段函数关系式为；设双曲线的函数关系式是，把点代入得：，解得：，∴双曲线的函数关系式是；（2）解：当时，对于，有，解得：，对于，有，解得：，∴学生注意力达到所需状态的时间为，∵，∴教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．10．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．(1)求这个函数的解析式；(2)当气体体积为时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？【答案】(1)(2)气压是(3)为了安全起见，气体的体积应不少于【详解】（1）解：设，将点代入，得，，即这个函数的解析式为；（2）解：当时，，即当气体体积为时，气压是；（3）解：当时，，所以为了安全起见，气体的体积应不少于．一、单选题1．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意有：v•t＝s，∴，故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，且根据实际意义v＞0、t＞0，∴其图像在第一象限，故C正确．故选：C．2．现有一水塔，水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x(m3)，则要经过y(h)就可以把水放完该函数的图像大致应是下图中的（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵水塔内装有水40m3，如果每小时从排水管中放水x（m3），则要经过y（h）就可以把水放完，∴y=，∴x与y成反比例，四个选项中只有C是反比例函数的图象．故选：C．3．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．水温从20℃加热到100℃，需要B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水D．水温不低于30℃的时间为【答案】D【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，故A选项不合题意；由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点（8，100）可得，k＝800，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项不合题意；令y＝20，则，∴x＝40，即饮水机每经过40min，要重新从20℃开始加热一次，从8点到9：30，所用时间为90min，而水温加热到100℃，仅需要8min，故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10min，令x＝10，则℃＞40℃，故C选项不符合题意；水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，令y＝30，则，∴，∴水温不低于30℃的时间为min，故D选项符合题意；故选：D．4．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强p（）随着木板面积S（）的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计，那么下列说法正确的是（

）A．p与S的函数表达式为 B．当S越来越大时，p也越来越大C．若压强不超过时，木板面积最多 D．当木板面积为时，压强是【答案】D【详解】解：由于物体受到的压力=压强×受力面积，∵F=600，，∴p、S成反比例函数关系，A、由压强公式可得，故选项不正确，不合题意；B、因为，所以在每个象限内，P随S增大而减小；C、将代入得，所以，因为在每个象限内，p随S增大而减小，所以时，故选项不正确，不合题意；D、当时，代入解析式得∶（）故选项正确，符合题意．故选D．5．如图，直角坐标系中，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA，AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）图象上，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【答案】C【详解】如图，连接AC，交OB于E，设A点坐标为（a，），∵四边形OABC是平行四边形，OB、AC是对角线，∴CE=EA，∵E点在y轴上，∴E点横坐标为0，∴C点横坐标为-a，∵C点在y=(k<0，x<0)图象上，∴C点坐标为(-a，)，∴E点坐标为（0，），∵E为OB中点，∴B点坐标为（0，）∵D为BC中点，∴D点坐标为（，）∵D点在y=(k<0，x<0)图象上，∴k=()=，解得：k=-6故选C.6．如图，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象的一个分支与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是2和5，则k的值是（）A．7 B． C．2+ D．10【答案】C【详解】设D（t，），∵矩形OGHF的面积为2，DF⊥x轴于点F，∴HF=，∵EG⊥y轴于点G，∴E点的纵坐标为，当y=时，=，解得x=kt，∴E（kt，），∵矩形HDBE的面积为5，∴（kt﹣t）•（﹣）=5，整理得，（k﹣2）2=10，∵k＞0，∴k=．故选C．二、填空题7．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时【答案】【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：，∵函数经过点，∴，即，∴当时，，∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，∴，当时，函数为正比例函数，设：，∵函数经过点，∴，即，∴当时，，∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，∴，∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，∴持续时间为，故答案为：．8．如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为_____（不写自变量取值范围）；（2）当y≥4m时，x的取值范围为_____；（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为_____m．【答案】

y

1.2≤x≤3

1.6【详解】解：（1）依题意得：xy＝12，∴y．故答案为：y．（2）∵y，k＝12，当x＞0时，y随x的增大而减小，∵4≤y≤10，即410，∴1.2≤x≤3．∴x的取值范围为1.2≤x≤3．故答案为：1.2≤x≤3．（3）当x＝7.5时，y1.6；当y＝7.5时，7.5，解得：x＝1.6．∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．故答案为：1.6．三、解答题9．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：x/元3456y/张20151210(1)写出y关于x的函数解析式______；(2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．【答案】(1)(2)W＝60﹣，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元．【详解】（1）解：设，把x＝3，y＝20代入得，解得k＝60，∴．（2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）•＝60﹣，∵W随x增大而增大，x≤10，∴x＝10时，W＝60﹣12＝48（元）为最大值，∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元．10．某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．【答案】(1)(2)当时，，当时，；年利润的最大值为144万元【详解】（1）解：当时，设，将点代入，得，∴；当时，设，分别将点，代入，得：，解得：，∴；综上分析可知：．（2）解：当时，，当时，当时，∵，∴w随x增大而增大，∴当时，w有最大值为（万元），当时，∵，∴当时，w有最大值为144万元．∵，∴年利润的最大值为144万元．11．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图像如图所示，是双曲线的一部分．(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？(3)工