专题1.1 平行线的判定方法（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题1.1平行线的判定方法【典例1】将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝110°，则∠ACE＝．（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究∠ACE等于多少度时，CE∥AB，请画出图，并说明理由．【思路点拨】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（2）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD与∠ACE的数量关系；（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．【解题过程】解：（1）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠ACE＝70°，故答案为：70°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；（3）分两种情况：①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝30°，∴∠A＝∠ACE＝30°，∴AB∥CE．②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠B＝60°，∴AB∥CE．综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．1．（2021春•和平区期末）如图，若∠1＝∠2，则下列选项中可以判定AB∥CD的是（）A．B． C． D．【思路点拨】根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行可得只有B选项中∠1，∠2是AB和DC是被AC所截而成的内错角．【解题过程】解：若∠1＝∠2，则四个选项中，能够判定AB∥CD的是选项B，故选：B．2．（2021•范县模拟）如图，直线a、b被直线c所截．若∠1＝55°，则∠2的度数是（）时能判定a∥b．A．35° B．45° C．125° D．145°【思路点拨】根据内错角相等，两直线平行的判定定理进行解答．【解题过程】解：如图，∵∠2＝125°，∠2+∠3＝180°，∴∠3＝55°，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3，∴a∥b，故选：C．3．（2021秋•肇源县期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解题过程】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．故选：C．4．（2021春•招远市期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6+∠4＝180°；⑥∠5+∠1＝180°，其中能判断直线l1∥l2的有（）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【思路点拨】根据同位角相等，内错角相等和同旁内角互补得出两直线平行，对各小题进行逐一判断即可．【解题过程】解：①∠1＝∠2，不能判定l1∥l2；②∠4＝∠5，能判定l1∥l2；③∠2+∠5＝180°，不能判定l1∥l2；④∠1＝∠3，能判定l1∥l2；⑤∠6+∠4＝180°，不能判定l1∥l2；⑥∠5+∠1＝180°，不能判定l1∥l2；故选：D．5．（2021•曾都区一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是（）A．∠1＝∠3 B．∠3＝∠C C．∠2＝∠4 D．∠1+∠2＝180°【思路点拨】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．【解题过程】解：A、当∠1＝∠3时，EF∥BC，不符合题意；B、当∠3＝∠C时，DE∥AC，符合题意；C、当∠2＝∠4时，无法得到DE∥AC，不符合题意；D、当∠1+∠2＝180°时，EF∥BC，不符合题意．故选：B．6．（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【思路点拨】根据平行线的判定定理判断求解即可．【解题过程】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，∴AC∥DF，故A不符合题意；B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，∴AC∥DF，故B不符合题意；C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，∴AC∥DF，故C不符合题意；D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，故D符合题意．故选：D．7．（2020春•滨湖区期中）如图，已知直线a、b．请只用直尺和量角器，检测直线a、b是否平行？试画出图形，并简要说明你的方法．【思路点拨】作直线c与直线a，直线b相交．根据同位角相等两直线平行，判定即可．【解题过程】解：如图①作直线c与直线a，直线b相交．②用量角器量出∠1，∠2的大小．③若∠1＝∠2，则a∥b，否则不平行．8．（2021春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．【思路点拨】根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．【解题过程】解：平行．理由如下：如图，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠6，∴a∥b．9．（2021春•汉阴县月考）如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．【思路点拨】根据题意和对顶角的性质，可以得到∠1＝∠4，∠2＝∠5，然后即可得到∠3+∠5+∠4的度数，从而可以判断直线l1与l2是否平行．【解题过程】解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．10．（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【思路点拨】由CE为角平分线，利用角平分线的定义得到一对角相等，再由已知一对角相等，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．【解题过程】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠B，∴∠DCE＝∠B，∴AB∥CE．11．（2021春•新蔡县期末）如图，在四边形ABCD中，延长AD至点E，已知AC平分∠DAB，∠DAB＝70°，∠1＝35°．求证：AB∥CD．【思路点拨】根据角平分线的定义求得∠BAC的度数，然后根据内错角相等，两直线平行，证得结论．【解题过程】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC=12∠DAB=12又∵∠1＝35°，∴∠1＝∠BAC，∴AB∥CD．12．（2021春•铁西区期末）如图，GM、HN分别平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠BGE+∠DHF＝180°，再根据邻补角的定义和等量关系，以及平行线的判定即可求解．【解题过程】证明：∵GM、HN分别平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，∴∠BGE+∠DHF＝180°，∵∠BGE+∠BGF＝180°，∴∠BGF＝∠DHF，∴AB∥CD．13．如图，已知：∠BAN＝92°，∠ACE＝136°，CE⊥CD，AF平∠BAN．求证：DC∥MB．【思路点拨】由角平分线可得∠BAF＝46°，从而可得∠MAC＝46°，再由CE⊥CD，∠ACE＝136°可得∠DCA＝134°，从而有∠DCA+∠MAC＝180°，即可判定DC∥MB．【解题过程】证明：∵AF平分∠BAN，∠BAN＝92°，∴∠BAF＝46°，∴∠MAC＝∠BAF＝46°，∵CE⊥CD，∠ACE＝136°，∴∠DCE＝90°，∴∠DCA＝360°﹣∠DCE﹣∠ACE＝134°，∴∠DCA+∠MAC＝180°，∴DC∥MB．14．（2021春•华容县期末）如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余，试判断直线AB，CD是否平行？为什么？【思路点拨】先用角平分线的性质得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，再用∠1与∠2互余，即可得到∠ABD与∠BDC互补．【解题过程】解：直线AB，CD平行．证明：∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AB∥DC．15．（2020秋•秦都区期末）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．（1）求证：∠DEF＝∠EBG；（2）若∠EBG＝∠A，求证：AB∥EF．【思路点拨】（1）根据互相垂直的意义，以及同角的余角相等，得出结论；（2）根据角平分线定义以及等量代换，得出∠A＝∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．【解题过程】证明：（1）∵EB⊥EF，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°．又∵∠EBG+∠BEG＝90°，∴∠DEF＝∠EBG；（2）∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，∴∠A＝∠DEF．∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF，∴∠A＝∠AEF，∴AB//EF．16．（2020秋•会宁县期末）如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．（1）求证：EA平分∠BEF；（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．【思路点拨】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可；（2）根据平行线的判定解答即可．【解题过程】证明：（1）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∴EA平分∠BEF；（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，∴AB∥CD．17．（2021•新洲区模拟）如图，点C，F，E，B在同一直线上，点A，D分别在直线BC的两侧，且DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，∠B＝∠C．求证：AE∥DF．【思路点拨】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，可以得到∠FDO＝∠OAE，从而可以根据平行线的判定得到结论成立．【解题过程】证明：如图，∵∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC,∴∠OAB＝∠ODC，又∵DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，∴∠FDO=12∠ODC，∠OAE=1∴∠FDO＝∠OAE，∴AE∥DF．18．（2021春•饶平县校级期末）如图所示，∠BED＝∠B+∠D，根据这一条件，你能得到AB∥CD吗？请写出过程．【思路点拨】过E作∠BEF＝∠B，再由条件∠BED＝∠B+∠D可得∠2＝∠D，根据内错角相等，两直线平行可得EF∥CD，AB∥EF，进而可得AB∥CD．【解题过程】解：可以得到AB∥CD，过E作∠BEF＝∠B，又∵∠BED＝∠B+∠D，∴∠2＝∠D，∴CD∥EF，∵∠BEF＝∠B，∴AB∥EF，∴AB∥CD．19．（2020秋•遂宁期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（2）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE所有可能的度数及对应情况下的平行线（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据①中的结论可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE可得出结论；（2）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°进行解答．【解题过程】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；（2）存在，当∠ACE＝30°时，AD∥BC，理由如下，如图1所示：∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，∴∠DCB＝∠D，∴AD∥BC；当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，理由如下，如图2所示：∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，∴BE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴AC∥BE；当∠ACE＝120°时，AD∥CE，理由如下，如图3所示：∵∠ACE＝120°，∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，又∵∠D＝30°，∴∠DCE＝∠D，∴AD∥CE；当∠ACE＝135°时，BE∥CD，理由如下，如图4所示：∵∠ACE＝135°，∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，∵∠E＝45°，∴∠DCE＝∠E，∴BE∥CD；当∠ACE＝165°时，BE∥AD．理由如下：延长AC交BE于F，如图5所示：∵∠ACE＝165°，∴∠ECF＝15°，∵∠E＝45°，∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠CFB，∴BE∥AD．20．（2021春•盐都区月考）如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．（1）若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【思路点拨】（1）根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相