专题01整式（27个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）（解析版）

专题01整式（27个考点）【知识梳理+解题方法】1．代数式代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．2．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．3．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．4．同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．5．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．6．去括号与添括号（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．7．整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．8．单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．9．多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．10．整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．（2）整式的加减实质上就是合并同类项．（3）整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．11．整式的加减—化简求值给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．12．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．13．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．14．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．15．单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．16．单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．17．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．18．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．19．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）20．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．21．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．22．整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．23．整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．24．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．25．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．26．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）27．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．28．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．【专题过关】一．代数式（共1小题）1．（2021秋•长宁区校级期中）下列各式，哪个是代数式（）A． B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．y＞0 D．3m+2≠0【分析】根据代数式的定义对各选项的式子进行判断即可．【解答】解：A、是代数式，故此选项符合题意；B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）为等式，不是代数式，故此选项不符合题意；C、y＞0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意；D、3m+2≠0为不等式，不是代数式，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的定义．代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．二．列代数式（共2小题）2．（2021秋•宝山区期末）已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么△DEG的面积S1和正方形BEFG的面积S2大小关系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S2＝2S2 D．S1＝S2【分析】连接BD，可得BD∥EG，则有S△DEG＝S△BEG＝S正方形BEFG.从而得出答案．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD、BEFG是正方形，∴∠ABD＝∠BEG＝45°，∴BD∥EG，∴S△DEG＝S△BEG＝S正方形BEFG，∴S1＝S2，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，平行线的判定与性质等知识，证明BD∥EG是解题的关键．3．（2021秋•普陀区期末）用代数式表示“x的2倍与y的差”为2x﹣y．【分析】根据题意可以用代数式表示出x的2倍与y的差．【解答】解：用代数式表示“x的2倍与y的差”为：2x﹣y，故答案为：2x﹣y．【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．三．代数式求值（共2小题）4．（2022•闵行区校级开学）已知x﹣5＝y+4＝z+1，代数式（y﹣x）2+（z﹣x）2+（y﹣z）2的值为126．【分析】先加减法求出z﹣x＝﹣6，y﹣x＝﹣9，y﹣z＝﹣3，进而代入解答即可．【解答】解：∵x﹣5＝y+4＝z+1，∴z﹣x＝﹣6，y﹣x＝﹣9，y﹣z＝﹣3，把z﹣x＝﹣6，y﹣x＝﹣9，y﹣z＝﹣3代入（y﹣x）2+（z﹣x）2+（y﹣z）2＝81+36+9＝126，故答案为：126．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．5．（2022•闵行区校级开学）当x＝2时代数式ax2+bx﹣3的值为5，当x＝1时代数式（2ax2+bx﹣5）4的值为1．【分析】直接把x＝2代入进而得出4a+2b＝8，再把x＝1代入求出答案．【解答】解：∵当x＝2时，代数式ax2+bx﹣3的值为5，∴4a+2b＝8，∴2a+b＝4，∴当x＝1时，代数式（2ax2+bx﹣5）4＝（4﹣5）4＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．四．同类项（共2小题）6．（2022•闵行区校级开学）下列说法正确的个数是（）①x2y，x2y2，xy，xy2分别是多项式x的项；②关于x的多项式mx3+4nx+t+3是三次四项式；③若﹣x2yn﹣1与7x2y7是同类项，则n＝8；④三次多项式中至少有一项为三次单项式．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别根据多项式、单项式以及同类项的定义逐一判断即可．【解答】解：①x2y，﹣x2y2，﹣xy，xy2分别是多项式x2y﹣x2y2﹣xy+xy2的项，故原说法错误；②关于x的多项式mx3+4nx+t+3是三次三项式，故原说法错误；③若﹣x2yn﹣1与7x2y7是同类项，则n＝8，说法正确；④三次多项式中至少有一项为三次单项式，说法正确；所以说法正确的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查了单项式、多项式与同类项，掌握相关定义是解答本题的关键．7．（2021秋•浦东新区期末）如果x3ym与﹣4x﹣ny是同类项，那么n2﹣m＝8．【分析】同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由同类项的定义可先求得m和n的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵单项式x3ym与﹣4x﹣ny是同类项，∴m＝1，﹣n＝3，解得m＝1，n＝﹣3，∴n2﹣m＝（﹣3）2﹣1＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了同类项的定义，关键要注意同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．五．合并同类项（共1小题）8．（2021秋•宝山区期末）计算：3a2﹣2a2＝a2．【分析】利用还能同类项的法则运算即可．【解答】解：3a2﹣2a2＝a2．故答案为：a2．【点评】本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．六．去括号与添括号（共2小题）9．（2021秋•浦东新区校级月考）去括号并按x的降幂排列：9﹣3（x2﹣2x﹣x3）＝3x3﹣3x2+6x+9．【分析】根据去括号法则先把括号去掉，再按x的降幂排列即可得出答案．【解答】解：9﹣3（x2﹣2x﹣x3）＝9﹣3x2+6x+3x3＝3x3﹣3x2+6x+9．故答案为：3x3﹣3x2+6x+9．【点评】此题考查了多项式与去括号法则，熟练掌握多项式的定义和去括号法则是解题的关键；去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．10．（2021秋•徐汇区校级月考）2a﹣2b+2c﹣4d＝2a﹣2（b﹣c+2d）．【分析】先添加括号，再提取公因式2即可．【解答】解：2a﹣2b+2c﹣4d＝2a﹣（2b﹣2c+4d）＝2a﹣2（b﹣c+2d），故答案为：b﹣c+2d．【点评】本题考查了添括号，掌握添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号是解题的关键．七．整式（共1小题）11．（2021秋•浦东新区校级期中）在﹣3，0，2x，，，，a2﹣3ab+b2这些代数式中，整式的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．【解答】解：﹣3，0，2x，，a2﹣3ab+b2是整式．故选：D．【点评】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．八．单项式（共2小题）12．（2021秋•浦东新区校级期中）在代数式，2xy，0，x2+y2，（a+b）3，中，单项式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据单项式的定义即可得出答案．【解答】解：单项式有：2xy，0，共3个，不是整式，x2+y2和（a+b）3是多项式，故选：C．【点评】本题考查了单项式的定义，解题的关键是掌握数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，注意分母中不能有未知数．13．（2020秋•普陀区期末）单项式﹣ab2c的系数是﹣，次数是4．【分析】根据单项式的系数和次数的定义即可得出答案．【解答】解：单项式﹣2x3的系数和次数分别﹣，4，故答案为：﹣，4．【点评】本题考查了单项式的系数和次数，掌握单项式中的数字因数是单项式的系数是解题的关键．九．多项式（共3小题）14．（2022•闵行区校级开学）下列各式中，﹣xyz+1，r2，π﹣1，﹣1，是多项式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据多项式的定义，即可解答．【解答】解：下列各式中，﹣xyz+1，r2，π﹣1，﹣1，是多项式的有：﹣xyz+1，所以，共有1个，故选：A．【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．15．（2021秋•普陀区期末）下列说法中正确的是（）A．是整式 B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2 C．2x是一次单项式 D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3【分析】根据整式的定义即可判断选项A，先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单项式的次数定义即可判断选项C，根据单项式的系数和次数的定义即可判断选项D．【解答】解：A．分母中含有字母，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣y2+xy+2x2﹣4x3y3，故本选项不符合题意；C．2x是一次单项式，故本选项符合题意；D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是﹣3，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键，注意：①表示数与数或数与字母的积的形式，叫单项式，单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数，单项式中的数字因数，叫单项式的系数，②两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，其中不含字母的项，叫常数项，多项式中次数最高的项的次数，叫多项式的次数．16．（2021秋•宝山区期末）多项式中的常数项是﹣1．【分析】直接利用常数项的定义得出答案．【解答】解：多项式中的常数项是：＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了多项式，正确把握常数项的定义是解题关键．一十．整式的加减（共5小题）17．（2021秋•长宁区校级期中）把﹣（3x﹣4）﹣2（﹣x+1）去括号，正确的是（）A．﹣3x+4+2x+2 B．﹣3x﹣4+2x+2 C．﹣3x+4+2x﹣2 D．﹣3x﹣4﹣2x﹣2【分析】根据去括号法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）进行计算．【解答】解：原式＝﹣3x+4+2x﹣2，故选：C．【点评】本题考查去括号，理解去括号法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）和添括号法则（所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都改变符号）是解题关键．18．（2020秋•普陀区期末）已知一个多项式减去2x2﹣9x的结果等于x2+9x+1，那么这个多项式是3x2+1．【分析】先根据题意列出算式（x2+9x+1）+（2x2﹣9x），再去括号、合并同类项即可．【解答】解：根据题意，这个多项式为（x2+9x+1）+（2x2﹣9x）＝x2+9x+1+2x2﹣9x＝3x2+1，故答案为：3x2+1．【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．19．（2021秋•浦东新区校级期中）计算：a3﹣2a[a2﹣3（a﹣1）]．【分析】根据去括号法则：括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．把括号去掉，再合并同类项．【解答】解：a3﹣2a[a2﹣3（a﹣1）]＝a3﹣2a（a2﹣a+3）＝a3﹣a3+2a2﹣6a＝2a2﹣6a．【点评】本题主要考查了去括号与添括号，掌握根据去括号法则，乘法分配律的熟练应用是解题关键．20．（2021秋•松江区期中）如果一个多项式加上﹣2x2﹣4x+5的和是2x2+x﹣1，求这个多项式．【分析】利用两式的和减去多项式﹣2x2﹣4x+5列出算式计算即可．【解答】解：（2x2+x﹣1）﹣（﹣2x2﹣4x+5）＝2x2+x﹣1+2x2+4x﹣5＝（2+2）x2+（1+4）x+（﹣1﹣5）＝4x2+5x﹣6答：这个多项式为4x2+5x﹣6．【点评】本题主要考查了整式的加减，依据题意列出算式是解题的关键．21．（2021秋•浦东新区校级月考）已知A﹣B＝2x3﹣2，A＝﹣x3+2x﹣5，求B的值．【分析】根据“减式＝被减式﹣差”列式，然后先去括号，再合并同类项进行化简．【解答】解：∵A﹣B＝2x3﹣2，A＝﹣x3+2x﹣5，∴B＝A﹣（2x3﹣2）＝（﹣x3+2x﹣5）﹣（2x3﹣2）＝﹣x3+2x﹣5﹣2x3+2＝﹣3x3+2x﹣3，∴B的值为﹣3x3+2x﹣3．【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．一十一．整式的加减—化简求值（共3小题）22．（2021秋•徐汇区校级月考）化简求值：5a2﹣3[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）﹣1]，其中a＝﹣1．【分析】将原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．【解答】解：原式＝5a2﹣3（a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a﹣1）＝5a2﹣3a2﹣15a2+6a+6a2﹣18a+3＝﹣7a2﹣12a+3，当a＝﹣1时，原式＝﹣7×（﹣1）2﹣12×（﹣1）+3＝﹣7+12+3＝8．【点评】本题考查整式的加减——化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．23．（2021秋•宝山区校级月考）若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值与字母x的取值无关，求代数式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）的值．【分析】本题式子与字母x无关，将原式化简提出x，则含x的项为0，由此可得a与b的关系，再将原代数式化简，代入a与b的关系式即可．【解答】解：（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7∴2﹣2b＝0，b＝1∵a+3＝0，a＝﹣3∴3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣4a2﹣ab﹣b2＝﹣a2﹣7ab﹣4b2＝﹣9+21﹣4＝8．【点评】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．24．（2021秋•青浦区月考）已知A+B＝3x2﹣5x+1，A﹣C＝﹣2x+3x2﹣5，则当x＝2时，求B+C的值．【分析】求（A+B）与（A﹣C）的差，可得B+C的值．【解答】解：∵（A+B）﹣（A﹣C）＝B+C，∴B+C＝3x2﹣5x+1﹣（﹣2x+3x2﹣5）＝3x2﹣5x+1+2x﹣3x2+5＝﹣3x+6．∴x＝2时，B+C＝﹣6+6＝0．【点评】本题考查了整式的加减运算．一十二．同底数幂的乘法（共3小题）25．（2022•闵行区校级开学）下列运算正确的是（）A．4x3•2x2＝6x2 B．3x2•2x3＝6x6 C．（﹣3x5）•（﹣2x2）2＝﹣12x9 D．﹣x•（﹣x）12（﹣x3）3＝﹣x19【分析】利用单项式乘单项式的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、4x3•2x2＝8x5，故A不符合题意；B、3x2•2x3＝6x5，故B不符合题意；C、（﹣3x5）•（﹣2x2）2＝﹣12x9，故C符合题意；D、﹣x•（﹣x）12（﹣x3）3＝x22，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．26．（2021秋•普陀区期末）计算：（﹣a2）•a3＝﹣a5．【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：原式＝﹣a5，故答案是﹣a5．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是注意符号的确定．27．（2022•闵行区校级开学）a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2．【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【解答】解：a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a）7•（﹣a）2＝a•（﹣a5）•（﹣a6）•（﹣a7）•a2＝﹣a21．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．一十三．幂的乘方与积的乘方（共4小题）28．（2022•闵行区校级开学）已知x3n＝5，则2x9n＝250．【分析】利用幂的乘方的法则进行计算，即可得出答案．【解答】解：∵x3n＝5，∴2x9n＝2（x3n）3＝2×53＝2×125＝250，故答案为：250．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键．29．（2022•闵行区校级开学）已知2x＝a，2y＝b，a，b表示5•23x+2y﹣6•8x+2y为5a3b2﹣6a3b6．【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．【解答】解：∵2x＝a，2y＝b，∴5•23x+2y﹣6•8x+2y＝5•23x•22y﹣6•8x•82y＝5•（2x）3•（2y）2﹣6•（2x）3•（2y）6＝5a3b2﹣6a3b6，故答案为：5a3b2﹣6a3b6．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．30．（2022•闵行区校级开学）（﹣x2•x3）2•（0.5x2﹣1.5x2）5﹣（﹣x2）3•[（﹣x）3]2•[（﹣x）4]2．【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．【解答】解：（﹣x2•x3）2•（0.5x2﹣1.5x2）5﹣（﹣x2）3•[（﹣x）3]2•[（﹣x）4]2＝x10•（﹣x10）﹣（﹣x6）•x6•x8＝﹣x20+x20＝0．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．31．（2022•闵行区校级开学）已知42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4，求x的值．【分析】利用幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．【解答】解：∵42x•52x+1﹣42x+1•52x＝5×42x•52x﹣4×42x•52x＝202x，∵42x•52x+1﹣42x+1•52x＝203x﹣4，∴2x＝3x﹣4，∴x＝4．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．一十四．同底数幂的除法（共1小题）32．（2021秋•普陀区期末）已知3m＝4，3n＝5，分别求3m+n与32m﹣n的值．【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入运算即可．【解答】解：当3m＝4，3n＝5时，3m+n＝3m×3n＝4×5＝20；32m﹣n＝32m÷3n＝（3m）2÷3n＝42÷5＝16÷5＝．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．一十五．单项式乘单项式（共3小题）33．（2022•闵行区校级开学）若8xa+5•y2b﹣3•（﹣0.25ya+5xb）＝﹣2x4y3则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则得出关于a，b的方程组，进而得出答案．【解答】解：∵8xa+5•y2b﹣3•（﹣0.25ya+5xb）＝﹣2x4y3，∴﹣2xa+b+5y2b﹣3+a+5＝﹣2x4y3，∴，解得：，故a﹣b＝﹣3﹣2＝﹣5．故选：D．【点评】此题主要考查了单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．34．（2022•闵行区校级开学）9（xy）3•（﹣）2+（﹣x2y）2+（﹣x2y）3•xy2．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算，再合并得出答案．【解答】解：原式＝9x3y3•x4y2+x4y2+（﹣x6y3）•xy2＝x7y5+x4y2﹣x7y5＝x4y2．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．35．（2022•闵行区校级开学）（3a）3•（an﹣1）2•（a2）2+n•（﹣a）2n﹣1．【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝27a3•a2n﹣2•a4+2n•（﹣a）2n﹣1＝﹣27a6n+4．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．一十六．单项式乘多项式（共2小题）36．（2021秋•浦东新区校级期中）计算：．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行解答即可．【解答】解：原式＝﹣x3y3•xy3+x3y2•xy3﹣xy3•xy3﹣x4y6+2x4y5﹣x2y6．故答案为：﹣x4y6+2x4y5﹣x2y6．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．37．（2021秋•松江区期中）计算：（﹣2ab）2•（ab2﹣3ab+a）．【分析】根据单项式乘多项式和幂的乘方与积的乘方法则分别进行计算即可得出答案．【解答】解：（﹣2ab）2•（ab2﹣3ab+a）＝4a2b2•（ab2﹣3ab+a）＝3a3b4﹣12a3b3+a3b2．【点评】此题考查了单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．一十七．多项式乘多项式（共3小题）38．（2021秋•普陀区期末）计算：（x+3）（x+5）＝x2+8x+15．【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算．【解答】解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15；故答案为：x2+8x+15．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项是解题关键．39．（2021秋•浦东新区校级月考）已知（x2+ax+4）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x2和x3项，求a﹣2b的值．【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，代入a﹣2b计算，即可得出答案．【解答】解：（x2+ax+4）（x2﹣2x+b）＝x4﹣2x3+bx2+ax3﹣2ax2+abx+4x2﹣8x+4b＝x4+（a﹣2）x3+（b﹣2a+4）x2+（ab﹣8）x+4b，∵乘积中不含x2和x3项，∴a﹣2＝0，b﹣2a+4＝0，∴a＝2，b＝0，∴a﹣2b＝2﹣2×0＝2．【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．40．（2021秋•浦东新区期中）解不等式：（x﹣5）（6x﹣7）＜（2x+1）（3x﹣1）﹣2．【分析】先利用多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后根据解不等式的步骤进行计算求解．【解答】解：整理，得：6x2﹣7x﹣30x+35＜6x2﹣2x+3x﹣1﹣2，移项，得：6x2﹣7x﹣30x﹣6x2+2x﹣3x＜﹣1﹣2﹣35，合并同类项，得：﹣38x＜﹣38，系数化1，得：x＞1．【点评】本题考查多项式乘多项式，解不等式，掌握多项式乘多项式的运算法则以及不等式的性质是解题关键．一十八．完全平方公式（共6小题）41．（2021秋•奉贤区期中）如果（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是3b．（只需填写一个）【分析】利用完全平方公式的结构特征填写即可．【解答】解：如果（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，那么括号内可以填入的代数式是3b．故答案为：3b．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．42．（2021秋•浦东新区期中）计算：（﹣3a﹣2b）2＝9a2+12ab+4b2．【分析】可以将括号内看作（﹣3a）与（﹣2b）两项的和，按照完全平方公式展开计算即可．【解答】解：（﹣3a﹣2b）2＝（﹣3a）2+2（﹣3a）（﹣2b）+（﹣2b）2＝9a2+12ab+4b2故答案为：9a2+12ab+4b2．【点评】本题考查了完全平方公式的基本计算，牢记公式，并正确识别括号内的项是如何组成的，是解题的关键．43．（2021秋•杨浦区期中）已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝12．【分析】利用完全平方公式配方进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝4，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确配方得出是解题关键．44．（2020秋•普陀区期末）计算：（x+3y）（x﹣2y）﹣（2x+y）2．【分析】根据多项式乘多项式和完全平方公式化简即可．【解答】解：原式＝x2﹣2xy+3xy﹣6y2﹣（4x2+4xy+y2）＝x2﹣2xy+3xy﹣6y2﹣4x2﹣4xy﹣y2＝﹣3x2﹣3xy﹣7y2．【点评】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．45．（2020秋•黄浦区期末）已知a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）a﹣b．【分析】（1）根据完全平方公式变形，再代入求出即可；（2）先求出（a﹣b）2的值，即可求出答案．【解答】解：（1）∵a+b＝3，ab＝2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵a+b＝3，ab＝2，∴a﹣b＝±＝±＝±＝±1．【点评】本题考查了完全平方公式，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．46．（2021秋•长宁区校级期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【分析】先算完全平方差和乘积，再求差．【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）．＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²．＝2x²+7xy﹣15y²．【点评】本题考查多项式的乘法，减法，正确使用完全平方差公式是求解本题的关键．一十九．完全平方公式的几何背景（共1小题）47．（2021秋•浦东新区校级月考）如图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（用含有m，n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．（用含有m，n的代数式表示）方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；方法2：边长为m﹣n的正方形的面积，即（m﹣n）2．（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）已知m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值．【分析】（1）直接利用图b得出正方形的边长；（2）利用已知图形结合边长为m+n的大正方形的面积减去长为m，宽为n的4个长方形面积以及边长为m﹣n的正方形的面积，分别求出答案；（3）利用（2）中所求得出答案；（4）由（3）很快可求出（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×5＝29．【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长是：m﹣n；（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；方法2：边长为m﹣n的正方形的面积，即（m﹣n）2；故答案为：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；边长为m﹣n的正方形的面积，即（m﹣n）2；（3）由（2）可得：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（4）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×5＝＝49﹣20＝29．【点评】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确应用完全平方公式是解题关键．二十．平方差公式（共1小题）48．（2021秋•宝山区期末）计算：（x﹣2y+3）（x+2y﹣3）．【分析】原式利用平方差公式，及完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：原式＝x2﹣（2y﹣3）2＝x2﹣（4y2﹣12y+9）＝x2﹣4y2+12y﹣9．【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．二十一．平方差公式的几何背景（共1小题）49．（2020秋•黄浦区期末）如图，从边长为（2a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为2a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么长方形的面积为（）A．4a2+6a B．6a+9 C．12a+9 D．12a+15【分析】根据裁剪拼图可知，所拼成的长方形的长为（2a+3）+2a＝4a+3，宽为（2a+3）﹣2a＝3，由长方形面积的计算方法即可得出答案．【解答】解：由题意可得，所拼成的长方形的长为（2a+3）+2a＝4a+3，宽为（2a+3）﹣2a＝3，所以长方形的面积为（4a+3）×3＝12a+9，故选：C．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼成长方形的长、宽是解决问题的关键．二十二．整式的除法（共2小题）50．（2021秋•普陀区期末）计算：（9a6﹣12a3）÷3a3＝3a3﹣4．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（9a6﹣12a3）÷3a3＝9a6÷3a3﹣12a3÷3a3＝3a3﹣4．故答案为：3a3﹣4．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．51．（2021秋•浦东新区期末）计算：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝．【分析】用多项式的每一项与单项式相除，然后相加即可得出答案．【解答】解：（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝﹣3x+2y﹣；故答案为：﹣3x+2y﹣．【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键，是一道基础题．二十三．整式的混合运算—化简求值（共1小题）52．（2021秋•长宁区校级期中）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（3b+a）（a﹣3b）﹣a（3a﹣6b），其中a＝﹣2，b＝﹣1．【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的运算法则计算乘方，乘法，然