期末复习平面向量及其应用解答题训练（一）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量解答题必会题（一）1．已知，，与的夹角是（1）计算：①与夹角的余弦值②方向上的投影向量（2）当为何值时，与垂直？2．设，是两个不共线的非零向量，(1)记，那么当实数为何值时，三点共线(2)若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?3．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，E，C三点共线.(1)求实数的值；(2)若，，求的坐标；(3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.4．已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．（1）若，求θ；（2）求的最大值．5．已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．6．已知向量，．(1)求；(2)求及在上的投影向量的坐标；(3)，求m的值．7．已知向量，.（1）若与共线且方向相反，求向量的坐标.（2）若与垂直，求向量，夹角的大小.8．在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．9．在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若x∈，向量，＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求的最小值及对应的x值．10．已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．(1)求顶点的坐标和三角形BDC的面积；(2)若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求11．如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点．(1)求的大小；(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求；(3)求的取值范围．平面向量解答题必会题（一）1．已知，，与的夹角是（1）计算：①与夹角的余弦值②方向上的投影向量（2）当为何值时，与垂直？【解】由已知得：①方向上的投影向量（2）若与垂直，则，即：，解得：2．设，是两个不共线的非零向量，(1)记，那么当实数为何值时，三点共线(2)若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小?【解】（1），，因为三点共线，所以，所以，，则解得.（2）因为且与夹角为°，所以所以当时，的值最小.3．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，E，C三点共线.(1)求实数的值；(2)若，，求的坐标；(3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.【解】（1）依题意，，因为A，E，C三点共线，又，则存在实数k，使得，即，得，而，是平面内两个不共线的向量，因此，解得，，（2）由（1）知，所以.（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，设，则，由（2）知，由解得，所以点A的坐标为.4．已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．（1）若，求θ；（2）求的最大值．解：（1）由＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，若，则，即，解得，又－＜θ＜，则.（2）则，因为－＜θ＜，\则，所以，所以，即的最大值为5．已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题可知，∵，∴，∴．（2）若，则，，∵与的夹角为锐角，∴，且与不共线，∴，解得且，∴m的取值范围是．6．已知向量，．(1)求；(2)求及在上的投影向量的坐标；(3)，求m的值．【解析】（1）已知向量，，所以；（2），又在上的投影向量的坐标为（3）因为，所以，解得.7．已知向量，.（1）若与共线且方向相反，求向量的坐标.（2）若与垂直，求向量，夹角的大小.解：（1），且与共线且方向相反.设，.，，..（2）与垂直，，，，.，.8．在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．解：（1）因为，，，所以，即，所以，所以，．（2）因为，，所以，即，所以，因为，所以，所以，即．9．在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若x∈，向量，＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求的最小值及对应的x值．解：（1）设D(t，0)(0≤t≤1)，由易知C，∴∴，(0≤t≤1)，∴当t＝时，最小，为．（2）由题意得C(cosx，sinx)，＝(cosx＋1，sinx)，则＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－sin．∵x∈，∴≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，sin取最大值1，∴的最小值为1－，此时x＝.10．已知直角梯形的三个顶点分别为，，，且．(1)求顶点的坐标和三角形BDC的面积；(2)若为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点，求【解】（1）设，因为，，，则，，，在直角梯形中，，且，所以A，为直角，则，即，解得，，所以顶点的坐标为；（2）

因为为线段上靠近点的三等分点，则，设，则，所以，，所以，又因为为线段的中点，则，所以，，则，所以11．如图，在梯形ABCD中，，，，且，E是线段AB上一点，且，F为线段BC上一动点．(1)求的大小；(2)若F为线段BC的中点，直线AF与DE相交于点M，求；(3)求的取值范围．【解析】（1）连接，，由，，，则，，所以与的夹角和与的夹角相同，并设为，，则，又，即，得，