2020年高考数学理科 空间向量与立体几何 练习

5.3空间向量与立体几何

命题角度1空间位置关系证明

与线面角求解

高考真题体验•对方向

1.(2018全国1/8)

如图,四边形ABCD为正方形,E,尸分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DPC折起，使点C

到达点P的位置，且PF±BF.

(1)证明:平面尸E7LL平面ABFD;

⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

⑴证明|由已知可得,

所以8F_L平面PEF.

又BFu平面

(2)励作PH上EF,垂足为由(1)得,PH_L平面ABFD.

以H为坐标原点，的方向为y轴正方向,11为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

H-xyz.

由(1)可得,DELPE.又DP=2,DE=1,

所以PE=.又PF=1,EF=2,故PELPF.

可得PH=,EH=.

则H(0,Q,0),P,D为平面ABFD的法向量.设。尸与平面ABFD所成角为仇

贝"sin3=

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

2.(2018全国11.20)

如图，在三棱锥P-ABC中aB=BC=2,勿=PB=PC=AC=4,O为AC的中点

(1)证明:「。_1平面42(7;

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

⑴怔明|因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点，所以OP_LAC,且OP=2.

连接。民因为AB=BC=AC,所以为等腰直角三角形，且OB±AC,OB=AC=2.

由0户+082=尸32知尸o_LOB.

(2)廨如图，以0为坐标原点，的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0)4(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的法向量

=(2,0,0),

设Af(a,2-a,0)(0v〃W2),

则=(〃,4-〃,0).

设平面PAM的法向量为n=a,y,z).

^-n=0,-n=0得

可取n=((”-4)

所以cos<,n>=.

由已知可得lcos<,n>l=.

所以，

解得〃=-4(舍去),a=.

所以n=.

又二(0,2,-2),所以cos<,n>=.

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.

3.(2016全国III•19)如图，四棱锥P-ABCD中，以_L底面ABCDAD//

BCAB=AD=AC=39PA=BC=^M为线段AO上一点4M=2MQ,N为PC的中点.

⑴证明MN〃平面B48;

(2)求直浮AN与平面PMN所成角的正弦值.

(1)怔明|由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN//

BC,TN=BC=2.

又Ar>〃BC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形，于是MN〃AT.因为ATu平面

出平面PAB,

所以〃平面PAB.

⑵廨取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE_LBC,从而AE±AD,^LAE=.

以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

由题意知，尸(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N=(0,2,-4),.

设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量，

则

可取n=(0,2,l).

于是lcos<n,l=.

(2015全国I•18)如图,四边形ABCD为菱形,NABC=120°,瓦下是平面ABCD同一侧的两

点,BE_L平面ABC£>,£>F_L平面ABCD,BE=2DFAE2EC.

⑴证明:平面AEC_L平面AFC;

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

⑴怔明|连接BD,设B£»nAC=G，连接EG,FG,EF.

在菱形ABCD中,不妨设G8=L

由乙48c=120°,可得AG=GC=.

由平面ABCDAB=BC,^^AE=EC.

又AE_LEC,所以EG=，且EG±AC.

在RtAEBG中，可得8£=,故DF=.

在RtAFDG中，可得fG=.

在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=,DF=,可得£7工从而EG2+FG2=EF\所以EG1FG.

又ACnbG=G，可得EG_L平面AFC.

因为EGu平面AEC,

所以平面AECL平面AFC.

(2)阿如图，以G为坐标原点，分别以的方向为无轴、y轴正方向川为单位长，建立空间直角坐标

系G-wyz.由⑴可得A(0,-,0),£(l,0,),F,C(0„0),

所以=(1,),.

故cos<>==-.

所以直线AE与直线CP所成角的余弦值为.

新题演练提能•刷高分

D,

&

H

(2018山东潍坊二模)如图,在平行六面体A8CD-A]B£。]中41]=4]。43=2€?,乙48。=120°.

⑴证明:AO_LA|B;

(2)若平面AO0AJ平面ABC。,且A0=4尻求直线BA{与平面AgCZ)所成角的正弦值.

(1)|证明|取AL*中点。，连接OB,OAVBD,

：A4]=A]D,

：.ADLOAV

又NABC=120°是等边三角形，

：.AD±OB,

，AO_L平面A】。。.

：A|8u平面A】。民

：-AD±A]B.

(2)廨平面A。。A_L平面ABCD,

平面ADD{At林面ABCD=AD,

又A]O_LAD,，A]O_L平面ABCD,

••OA,OAVOB两两垂直，

以。为坐标原点，分别以OA,OB,OAl所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,

设48=4。=4]£>=2,则A(l,0,0)4](0,0,),8(0,,0),£>(-1,0,0).

则=(1,0,),=(1,0),=(0,-),设平面A[B]CD的法向量n=(x,y,z),

则

令工=，则y=l,z=-l,可取n=(,l,-l),

设直线BA1与平面所成角为3,

贝Isin6*=lcos<n,>l=.

P

(2018辽宁抚顺一模)如图，在四棱锥P-ABCD中,尸。_L平面A8CZ),底面ABCD为梯形〃CD,

ZBAD=6Q°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.

⑴证明:BE〃平面PAD-

(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.

⑴怔明|设尸为PD的中点，连接EF,FA.

因为EF为"DC的中位线，所以EF//CD,且EF=CD=2.

又AB〃C05AB=2,所以ABE£故四边形为平行四边形，所以

又Aft平面平面PAD,

所以BE〃平面PAD.

⑵阚设G为的中点，因为AD=AB,ZBAD=60°，所以AABO为等边三角形，故DGXAB;

因为AB//CD,^以DGLDC.

又P£>_L平面ABCZ),所以「2DG,C£>两两垂直.

以D为坐标原点，为x轴、为y轴、为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则

尸(0,0,2中(,1,0)及0,2,1)=(0,2,1)=(,1,0),

设n=(无,y,z)为平面BDE的一个法向量，

则

令y=l,则n=.又=(,1,-2),

所以lcos<n,>l=,

即直线尸8与平面所成角的正弦值为.

3.(2018福建福州3月质检)在直三棱柱ABC-A}BlCl中,AABC为正三角形，点D在棱BC上,

且CD=3BD点E,F分别为棱的中点.

⑴证明:4C〃平面

(2)若4c_LE£求直线AiCl与平面DEF所成的角的正弦值.

⑴画|如图，连接产,交于点HA[B交EF于点K,连接。K,

因为ABBiAi为矩形，所以H为线段A产的中点，因为点E,F分别为棱人民8纥的中点，所以

点K为线段8〃的中点，所以A[K=3BK,

又因为CO=38D,所以4«〃。乂又&CC平面DEF,DKu平面DEF,

所以A,〃平面DEF.

择歹

A4

(2)廨]由(1)知,EH〃A4],因为A\，平面ABC,

所以EH_L平面ABC,

因为4ABC为正三角形，且点E为棱AB的中点，所以CE±AB,

故以点E为坐标原点，分别以的方向为x轴,y轴/轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系E-Jtyz,设AB=44A]=/(f>0),则4(2/,0),以0,0,2),£(0,0,0)1(-2,,0),。(-,0,),

所以=(-2,1,2),=(-2,,0),

因为A]C_LE£所以=0,

所以(-2)x(-2)lx+2x0=0,

解得t=2.

所以=(-2,,0),=(-Q),

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),

则所以

取x=l,则n=(l,),

又因为=(-2,0,2),设直线Aq与平面DEF所成的角为仇

所以sin0=lcos<n,>l=,所以直线4C]与平面OE歹所成的角的正弦值为.

4.(2018东北三省三校二模)如图，四棱柱ABCD-A^B^C^D^的底面为菱形，/

BAD=12O°AB=2,E,F为CD^的中点.

⑴求证:〃平面B/E;

(2)若A4]，底面A8CO,且直线ADX与平面B{AE所成线面角的正弦值为，求441的长.

(1)怔明|设G为ABX的中点，连接EG,GF,

因为PGA]B「又DE4肉,

所以fGOE,所以四边形£>EGf1是平行四边形，

所以。/〃EG,又。下仁平面8[AE,£Gu平面々AE,所以DF〃平面BfAE.

(2)廨因为ABCD是菱形，且NABC=60°,所以AABC是等边三角形.

取BC中点则AM±AD,因为A、，平面ABCZ),所以_LAMA4]_LAD,建立如图的空

间直角坐标系A-孙z,令AA=t(t>0),

则A(O,O,O),E'm,纥(,-1,力，4(0,2力，

=(,0),=(,-lj),=(0,2j),设平面々/IE的一个法向量为n=(x,y,z),

贝In-(x+j)=O且mx-y+fz=O,取n=(-rj,4),设直线ADl与平面B£E所成角为。，则sin3=,

解得仁2,故线段441的长为2.

5.(2018湖南长沙一模,18)如图，在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,△ADEcBCf'均为

等边三角形,尸=AO=AB.

⑴过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF〃平面瓦加,试确定点N的位置，并予以证明;

(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.

翩1)当N为线段PC的中点时，使得AP〃平面BDN.

证法如下：

连接AC,BD,设AC(^D=O,

•.,四边形ABC。为矩形，

二。为AC的中点，又为尸C的中点，

为AACf1的中位线，

平面BDNQNu平面BDN,

：.AF//平面BDN故N为尸C的中点时，使得AF//平面BDN.

(2)过点0作PQ//AB分别与AZ),BC交于点尸,。,因为。为AC的中点，所以P,Q分别为

AD,BC的中点，

,/AADE与ABCF均为等边三角形，且AD=BC,

：.AADE2ABCF,连接£尸尸。，则得EP=FQ,

,:EF〃ABABPQ,EF=AB,

：.EF//PQ,EF=PQ,

，四边形EP。F为等腰梯形.

取EF的中点M连接M0,则MOLPQ,

又'：AD±EPAD±PQ,EPC}PQ=P,

.•.AO_L平面EPQF,

过点0作OG±AB于点G,则OG//AD,

-'.OG±OM,OG±OQ.

分别以的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系。-孙4不妨设AB=4,则由条件可

得0(0,0,0)4(1,-2,0),8(1,2,0)尸(0,1,),0(-1,-2,0),N.

设n=(x,y,z)是平面ABF的法向量，

则

所以可取n=(,0,l),

由，

可得lcos<,n>l=,

，直线BN与平面ABB所成角的正弦值为.

与二面角求解

高考真题体验•对方向

(2018全国IIL19)如图,边长为2的正方形4BCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异

于C,D的点.

⑴证明:平面平面BMC;

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

⑴怔明|由题设知，平面CA〃)_L平面ABC。,交线为CD因为8C_LCZ),BCu平面A8CD,所以BC

_1_平面CA〃),故BC_L。胚因为M为上异于C,D的点，且。C为直径，所以。Af_LCM.

又BCnCM=C，所以DM±平面BMC.

而OMu平面AATO,故平面AM£>_L平面BMC.

(2)廨|以O为坐标原点，的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥M-ABC体积最大时M为的中点.由题设得

0(0,0,0)4(2,0,0)f(2,2,0),C(0,2,0),M(0,Ll),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).

设11=(无“/)是平面MAB的法向量，

则

可取n=(l,0,2),

是平面MCD的法向量，

因此cos<n,>=,sin<n,>=.所共面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.

2.

(2017全国I-18)如图，在四棱锥中48〃。,且尸=90°.

(1)证明:平面E4B，平面PAD-,

⑵支"=PZ)=AB=Z)C,NAPO=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

⑴怔明|由已知NBAP=/CZ)P=90°,得AB_L4P,CO_LPD

由于AB〃CD,故AB_LPD,从而AB_L平面PAD.

又AB平面BLB,所以平面RLB_L平面E4D

(2)廨］在平面PAD内作PTLLW,垂足为F.

由⑴可知48平面故AB_LP£可得PTtL平面ABCD

以F为坐标原点，的方向为x轴正方向,11为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

由(1)及已知可得A,尸,8,C.

所以=(,0,0),=(0,1,0).

设n=(x,y,z)是平面PC8的法向量，则

可取n=(0,-l,-).

设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量，

则

可取m=(l,0,l).

贝cos<n.m>==-.

所以二面角A-PB-C的余弦值为

3.(2017全国II/9)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCDAB=BC=AD,ZBAD=ZABC=9Q°4是尸。的中点.

p

(1)证明:直线CE〃平面PAB-

(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.

(1)怔明|取出的中点/，连接EF,BF.

因为E是尸。的中点，所以EF//AD,EF=AD.

由ZBAD=ZABC=90°得BC//AD,

又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE〃BF,

又BFu平面平面勿民故CE〃平面PAB.

(2)廨|由已知得BA_LAZ),以A为坐标原点，的方向为x轴正方向,11为单位长，建立如图所示的空

间直角坐标系A-xyz,则4(0,0,0),8(1,0,O),C(1,1,O),P(O,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).

设M(x,y,z)(0<x<l),则=(x-l,y,z),=(x,y-l,z-).

因为与底面ABC。所成的角为45°,

而n=(0,0,l)是底面ABCD的法向量，

所以lcos<,n>l=sin45°,,即(工-1)2+>2々2=0.①

又M在棱PC上，设=4则

x=X,y=\,z=k.®

由①,②解得(舍去)，

所以M,从而.

设111=牝,%,%)是平面A8M的法向量，则

所以可取m=(0,-,2).

于是cos<m,n>=.

因此二面角M-AB-D的余弦值为.

(2017全国IIL19)如图,四面体ABC。中,“BC是正三角形,“C。是直角三角形,NABD=N

CBDAB=BD.

⑴证明:平面ACDJ_平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABC。分成体积相等的两部分，求二面角

D-AE-C的余弦值.

⑴怔则由题设可得,AABD0ACB。,从而AO=Z)C.又AAC。是直角三角形，所以NAZ)C=90°.

取AC的中点0,连接DO,BOMDO±AC,DO=AO.

又由于AABC是正三角形，故80_LAC.

所以为二面南D-AC-B的平面角.

在RtAAOB中,802+402=482,

又所以8。2+。。2=8。2+4。2=&82=8。2,故/。。8=90°.所以平面ACD_L平面

ABC.

(2)阚由题设及(1)知,04,08,0。两两垂直，以0为坐标原点，的方向为x轴正方向,11为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则A(1,O,O),B(O„O),C(-1,0,0),0(0,0,1).

由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABC。的体积的，从而E到平面ABC的距离为。

到平面ABC的距离的，

即E为。B的中点，得E故=(-1,0,1),=(-2,0,0),.

设n=(无,y,z)是平面DAE的法向量，

则

可取n=.

设m是平面AEC的法向量，则

同理可取m=(0,-l,).

贝Icos<n,m>=.

所以二面角D-AE-C的余弦值为.

5.

D___C

A

(2016全国I-18)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形2歹=2位),/

AfD=90°,且二面角与二面角C-BET都是60°.

⑴证明:平面ABE凡L平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

(1)画|由已知可得AB_LO£AF_L厂瓦

所以AF_L平面EFDC.

又A尸u平面

故平面ABEF1.平面EFDC.

⑵廨］过D作DGLEF,垂定为G,由⑴知OG_L平面ABEF.

以G为坐标原点，的方向为x轴正方向,11为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

G-xyz.

由(1)知/。FE为二面角O4F-E的平面角，

itZDFE=60°，则IDFI=2,I£>GI=,

可得A(l,4,0),3(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).

由已知48〃££所以AB〃平面EFDC.

又平面ABCZXl平面EFDC=CD,

故AB"CD,CD//EF.

由BE//AF,^得BE_L平面EFDC,

所以/C£尸为二面角C-BE-f的平面角,/CEf=60°.从而可得C(-2,0,).

所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,4),=(40,0),

设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,

则

所以可取n=(3,0,-).

设m是平面ABCD的法向量，

则

同理可取m=(0,,4),

则cos<n.m>==-.

故二面角E-BC-A的余弦值为

新题演练提能•刷高分

(2018重庆二诊)如图，在三棱柱48C-A18£中4c=8C,qCL平面ABC,侧面48纥&是正方形,

点E为棱AB的中点，点分别在棱&8],44]上，且4明=4汽4"=44].

(1)证明:平面CMALL平面CEN;

(2)若AC_LBC,求二面角M-CN-Ai的余弦值.

(1)|证明|设48=8期A]M=34V=24]N=6,tan/NEA=,

tan/MNAi=,NNEA=/MNAi，

又NNEA=-/ENA,所以NMNA『-NENA,所以MN上EN.

因为BC=AC,E为AB中点，所以CE±AB.

因为ABC-AiBiCi为直三■棱柱，

所以CELL平面AA产产，

所以MNLCE,因为CECNE=N,

所以MN_L平面CEN,因为平面CMN,

所以平面CMN±平面CEN.

(2)阚由AC_LBC,以C为原点，分别为羽y,z轴建立空间直角坐标系,,8),N(0,4,2),

设平面CAW的法向量为\=(x,y,z),解得n]=(9,-4).

平面CNA[的法向量叫=(1,0,0),

设所求二面角平面角区6,cos0=.

(2018河北石家庄一模)四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形A?〃_1_

BCAB=2BC=2CD=2NAD为正三角形.

⑴点M为棱AB上一点，若BC〃平面SOW,=2,求实数X的值；

(2)若BC，S£),求二面角A-SB-C的余弦值.

廨|(1)因为BC〃平面SDM,BCu平面ABCD,

平面SDWCl平面ABCD=DM,所以BC〃DM.

因为AB〃OC,所以四边形8CDW为平行四边形，又AB=2CD,所以M为AB的中点.

因为=2,%=.

(2)因为BC_LSD,BC_LC£),Sr>nCD=。，

所以平面SCD,

又因为BCu平面A8CA,所以平面SCO_L平面A8CO,

平面SCOP1平面4BC3=C。，在平面SCD内过点S作SE_L直线CD于点E,

则SE_L平面A8C。,在R3SS4和Rt^SED中，因为SA=SO,所以AE==D瓦

又由题知ZEPA=45°，所以AE±ED,

所以A£=EO=SE=1,

以下建系求解：

以点£为坐标原点、,EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES方向为z轴建立如图所示空间坐标

系，则£(0,0,0),5(0,0,1)4(1,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),

=(1,0,-l),=(0,2,0),=(0,2,-1),=(1,0,0),

设平面SAB的法向量nt=(x,y,z),

则所以

令无=1得,=(1,0,1)为平面SAB的一个法向量，同理得4=(0,1,2)为平面SBC的一个法向

0

重,

cos<ni，n2>=,

因为二一角a-sac为钝角，

所以二面角A-SB-C余弦值为

(2018海南期末)如图，是一个半圆柱与多面体48纥4。构成的几何体，平面ABC与半圆柱的

下底面共面，且AC±BC,P为弧上(不与Ai,Bi重合)的动点.

⑴证明:平面尸8々；

(2)若四边形ABBA为正方形，且AC=BC,/PBA=,求二面角P-A^^C的余弦值.

翻1)在半圆柱中,88]_L平面Rig,所以28]_LE4]因为Aq是上底面对应圆的直径，所以PA1

_LPB「因为尸2184=干,尸21<=平面与u平面尸2巴,所以方J平面PBB「

(2)以点C为坐标原点，以CA,CB为x,y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立

空间直角坐标系C-xyz.如图所示，

设C8=l,则8(1,0,0)/(0,1,0)4(0,1,),片(1,0,),尸(1,1,).

所以=(0/,),=(1,0,).

平面PAiBi的一个法向量\=(0,0,1).

设平面CA[8]的一个法向量n0=(x,y,z),

则令z=l,则

所以可取

所以cos<ni，n9>=.

由图可知二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为

4.(2018江西南昌一模)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCDABCD为直角梯形人。〃

BCAD±ABAB=BC=AP=AD=3ACnBD=O,J±O点作平面a平行于平面平面a与棱

BCAD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.

(1)求GH的长度；

(2)求二面角B-FH-E的余弦值.

G

廨|(1)因为a〃平面平面aD平面ABCD=EF,OGEF,平面B48rl平面A8CD=AB,所以EF

〃AB,同理EH//BP,FG//AP,

因为BC//ADAD=6,BC=3,

所以△8OCSA£>04,且，

所以,CE=CB=1,BE=Ab=2,

同理，

连接H。,则有HO〃E4,

所以HO_LEO,HO=1,所以EH=PB=,

同理/G=B4=2,

过点H作HN//EF交尸G于N,

则GH=.

⑵建立如图所示空间直角坐标系，则8(3,0,0)尸(0,2,0),£(3,2,0),H(2,2,1),

=(-1,2,1),=(2,0,1),设平面BF77的法向量为n=(x,y,z),

令z=-2,得n=,

因为平面EFGH〃平面PAB,

所以平面EFGH的法向量m=(0,l,0).

cos<m,n>=,故二面角B-FH-E的余弦值为.

5.(2018山东淄博二模,18)如图，在三棱柱ABC-A}BiCl+,CA=CB=CC1=2,ZACC1=ZCC1B1,

直线AC与直线Ba所成的角为60°.

(1)求证:AB]_LCC]；

(2)若AB=,M是ABi上的点，当平面MCCX与平面AB{C所成二面角的余弦值为时，求的值.

(1)证明|在三棱柱ABC-A]*C]中，各侧面均为平行四边形，所以8B]〃CCMU/ACCi即为AC

与8以所成的角，所以/ACC]=NCC]B|=60。.

连接AC；和々C,

因为CA=CB=CC=2,

所以AAqc和ABiCq均为等边三角形.

取CC1的中点。，连A0和B{o,

则AO±CC1，BiO±CCl.

又Aonqo=o,

所以CCJ平面AO8].A8]U平面AOB],

所以A8]_LCC「

⑵廨|由⑴知AO=B]O=,因为AB]=,

贝IAO2+B1O2=A,

所以A。，々。,又AO_LCq,

所以40_L平面BCCxBx.

以OB[所在直线为x轴,。q所在直线为y轴,04所在直线为z轴，

如图建立空间直角坐标系，则4(0,0,),矶0,-1,0),£(0,1,0),8](,0,0),=(0,-1,)=(,0,)=(0,2,0),

设=f,M(x,y,z),

则(x,y,z-)=《-x,-y,-z),

所以x=,y=Q,z=,M,

所以.

设平面ACBi的法向量为叫=(々,兀/1),平面MCCi的法向量为4=(4%幺2),

所以

解得

解得叫=(1,0,成

所以cos8.

解得/=或7=2,即=2.

6.(2018湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考汝口图，在几何体ABCOEP中，平面AOE_L平面A8CA,

四边形ABCD^J^^,5.ZDAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF//AB,M为BC中点.

(1)求证:〃平面BDE;

(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.

⑴怔明|取CD中点、N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点，所以MN〃BD.

F

M

■y

又BDu平面BOE,且MNC平面BDE,所以MN〃平面BDE,因为EF//ABAB=2EF,

所以E尸〃CD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以fN〃ED又EDu平面BDE

且fNC平面BDE,

所以FN//平面BDE,又FNC^1N=N,

所以平面MFN//平面BDE.

又90u平面MFN,所以FM//平面BDE.

⑵廨取AD中点O,连接EO,BO,因为EA=ED,

所以EO_LAD

因为平面AZ)E_L平面ABCD.

所以£0_L平面ABCD,EOLBO.

因为AO=A8,NOA8=60°,

所以AAOB为等边三角形.

因为。为A。中点，所以ADLBO.

因为EO,BOAO两两垂直，设AB=4,

以0为原点、QAQBQE为无,y,z轴，如图建立空间直角坐标系O-xyz

由题意得4(2,0,0),3(0,2,0),C(-4,2,0),£>(-2,0,0),E(0,0,2),尸(-1,,2).

=(2,2,0),=(1,,2),=(3,-,2),=(4,0,0).

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),

则

令x=l,则y=-,z=0,

所以n=(i,-,0).

设平面的法向量为m=(尤,y,z),

贝比

令z=l,则y=2,x=0,所以m=(0,2,l).

/•cos<iii,n>==-,

，二面角D-8广C平面角的正弦值为.

7.(2018辽宁大连一模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形，孙，平面ABCD,E,F

分别是线段A2P8的中点，以=A8=1.

(1)求证:EP〃平面DCP-

(2)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值

1)(方法一)取PC中点M,连接DM,MF.

D

,:M,F分别是PC,PB中点、，：.MF〃CB,MF=CB.

，：E为DA中点5ABe£>为正方形,：.DE〃CB,DE=CB,

；.MF〃DE,MF=DE,：.四边形DE—W为平行四边形，

：.EF〃DM,：EF，平面尸。CQMu平面PDC,

.•.Ef〃平面PDC.

(方法二)取PA中点N,连接NE,NF."-'E是A。中点,N是B4中点、，：,NE〃DP,

又•:F是PB中点,N是R1中点、，:.NE〃AB,

'：AB//CD,：-NF//CD,

又,:NECNF=N,NEu平面NEF,NFc平面NEF,DPu平面PCD,CDu平面PCD,

平面NEF〃平面PCD.

又平面NEF,：.EF〃平面PCD.

(方法三)取BC中点G,连接EG,FG,

在正方形ABC。中,E是中点,6是8(^中点，

：.GE//CD,

义,：F是PB中点,G是BC中点,〃尸C,又PCnCO=C,GEu平面GERGfu平面

GEF,PCu平面PCD,COu平面PCD,

，平面GE尸〃平面PCD.

：£Fu平面GEF,

.•.斯〃平面PCD.

⑵：小,平面ABC,且四边形ABCD是正方形，.•.A2AB;AP两两垂直，以A为原

点八「224。所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,

则尸(1,O,O)Q(O,O』),C(O,1,1)£(0,0,),4,0).

设平面EFC的法向量为q则

即取n,=(3,-1,2),

则设平面PDC的法向量为4=（4»2,4），=（-1，0，1），=（-1，1，1），则

即取4=（1。1）,85<111,112>=.

平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为.

命题角度3折叠问题、点到平

面的距离

高考真题体验•对方向

1.（2016全国n.19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0X8=5,AC=6,点E,F分别在

AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点"将ADEF沿EF折到△£）石尸的位置,。。=.

(1)证明:。H_L平面ABCD;

（2）求二面角B-D'A-C的正弦值.

（1）怔明|由已知得AC_LBD/r>=CD

又由AE=CF得,

故AC//EF.

因此EFLHD,从而EF±D'H.

由AB^5AC=6得。。=8。==4.由EF//AC得.

所以OH=1,D'H=DH=3.

于是0H2+。m=32+12=10=£），02,

故D'HVOH.

又D'HJLEF,而OHCf：F=H,

所以。H_L平面ABCD

（2）廨］如图，以X为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz.

\D,

%

B

则H(0,0,0)A(-3,-1,0),B(O,-5,O),C(3,-1,0),D'(0,0,3),

=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).

设m=(X],yi，Z])是平面A8。'的法向量，

则

所以可取m=(4,3,-5).

设11=(4%，4)是平面ACD的法向量，

则

所以可取n=(0,-3,l).

于是cos<m,n>==-.sin<m,n>=.

因此二面角B-O'A-C的正弦值是.

2.(2015陕西•18)如图①，在直角梯形ABC。中八。〃3(7,/姑。=43=8>14。=2,£是的

中点。是AC与BE的交点，将AABE沿BE折起到AA/E的位置，如图②

AS)

(1)证明:COJ_平面A]OC;

(2)若平面ABEL平面BCOE,求平面A^BC与平面&C。夹角的余弦值.

(U证明胜题图①中，因为A8=8C=1》£)=2,E是的中点,/54。=,所以BEJ_AC,

即在题图②中,BE_L],BE_LOC,

从而台片,平面&OC,

又CD〃BE,所以CO_L平面ApC.

(2)廨由已知，平面平面BCDE,

又由(1)知，平面4产£1_平面BCDE,

又由(1)知,•BE_L0A],8E_L0C,

所以/AjOC为二面角4-BE-C的平面角，

所以/AQC=.

如图，以。为原点,建立空间直角坐标系，

因为A[B=A]E=BC=ED=1,BC〃ED,

所以8,&4],C,得=(-,0,0).

设平面A]BC的法向量、=(々,产]),平面A^CD的法向量i>o=(无2，了2/2)，平面A]BC与平面

AfD夹角为仇

则取取n2=(O,l,l),

从而cos0=lcos<ni，n?>l=,

即平面ABC与平面夹角的余弦值为.

新题演练提能•刷高分

1.(2018河南4月适应性考试)如图，在边长为2的菱形ABC。中,NZMB=60°.点E尸分别在

边CD,CB上，点E与点C,D不重合,EF_LAC,£尸rUC=O沿EF将ACEF翻折到APEF的位置,

使平面PEF_L平面ABFED.

(1)求证:POJ_平面ABD;

(2)当PB与平面ABD所成的角为45°时,求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.

(1)怔明|EF±AC,：.PO±EF.•:平面PEFL平面ABFED,平面PEFC平面ABFED=EF,且尸。u

平面PE尸，，尸O_L平面ABD.

(2)照如图，以。为原点,建立空间直角坐标系。-移z,连接BO,'/PO_L平面ABD,

：.ZPBO为PB与平面AB。所成的角，即NPBO=45°,二产。=2。

.'.ABDA为等边三角形，

：.BD=2,HB=,HC=3.

设尸。=x，则0H=3-x,由「。2=。耳2+直/,得x=2,即PO=2,OH=1.

•••尸(0,0,2)4(4,0,0)f(l,,0)Q(l,-,0)/(0,,0).

设平面EW,平面PBF的法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z),由

取”=1,得m=(l,-,2).

同理，得n=(-l,,l),

.,.cos<m,n>==-,

，平面28歹与平面B4D所成锐二面南的余弦值为.

2.(2018广东揭阳学业水平考试)如图所示，平面多边形A8COE中HE=E2AB=8。,且

AB=4)=25A£=,8=1,4。，。,现沿直线ADLADE折起，得到四棱锥P-ABCD.

B

⑴求证:PB_LA。

(2)若尸2=,求PD与平面PAB所成角的正弦值

(1)证明|取A2的中点。，连接OB,OP,'：BA=BD,EA=ED,^PA=PD,：.OB±AD且。尸_LA。,

又OBppP=O,

，AD_L平面BOP,

而P8u平面BOP,."-PB±AD.

(2)廨尸=1,。8=2,。22+。82=5=尸82,

：.PO±OB,

：.OP,OB,OD两两互相垂直，以0为坐标原点,08,0。,。尸所在的直线为x,y,z轴建立如图

所示空间直角坐标系O-xyz,

则4(0,1，0)，2(2,0,0)Q(0,1,0),尸(0,0,1),=(0,-1,1),=(0',1),=(20,1),

设m=(a,b,c)为平面PAB的一个法向量，则

由

令。=1,则得c=2,b=-2,•'•m=(l,-2,2),

设尸。与平面RW所成角为6,

则sin。=,即PD与平面PAB所成角的正弦值为.

3.(2018东北三省三校三模)已知等腰直角AS4B,54=48=4,SA_LAB,CQ分别为SBS4的中

点，将ASC。沿CD折到ASC。的位置,SA=2,取线段SB的中点为E.

(1)求证:CE〃平面

(2)求二面角A-EC-B的余弦值.

(1)|证明|取SA中点/，连接DF,EF,

"：SE=EB,SF=FA,：.EFAB.

SL'."CDAB,：-CDEF,

四边形CDFE为平行四边形,

平面SA。尸。u平面SAD,

，CE〃平面SAD.

(2)廨|•/SD=AD=2,SA=2,

：.SD2+AD^=SA^.：-SDlAD.

：SO_LCO,SZ)u平面SCD,

，S£>_L平面ABC。，

:AD,CD平面ABCD,.'.SD±AD,SD_LCD,

又'.'AD±DC,：.DA,DC,DS两两互相垂直，

如图所示，分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,

则A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),8(2,4,0),E(l,2,1),=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0),

设平面EC4,平面ECB的法向量分别为m=(Fyi，Z]),ii=(X2，y2，Z2),

则

取n=(l,-l,-l).

**.cos<m,ii>=,

，二面角A-EC-B的平面角的余弦值为

4.(2018山东济南一模)如图1,在高为6的等腰梯形ABC。中且CO=65AB=12,将它

沿对称轴。01折起,使平面A。。1。，平面BCO］。如图2,点P为8C中点，点E在线段上(不

同于两点)，连接OE并延长至点。，使

图1图2

⑴证明:。。，平面E4。；

(2)若求二面角C-BQ-A的余弦值.

(1)怔明|由题设知。4,。8,。0］两两垂直,所以以。为坐标原点,。4,08,。。］所在直线分别为x

轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m,

则相关各点的坐标为。(0,0,0)八(6,0,0),2(0,6,0)。(0,3,6),。(3,0,6),。(6,m,0).

二•点P为BC中点,.,•尸(0,,3),二=(3,0,6),=(0,见0),=(6,%,-3).

•.•=0,=0,；.,且不共线,.10。_1平面PAQ.

(2^'：BE=2AEAQ//OB,：.AQ=OB=3,

则。(6,3,0),

•••=(-6,3,0),=(0,-3,6).

设平面CBQ的法向量为ii|=(x,y,z),

;令2=1,

则y=2,x=l,故\=(1,2,1),

又显然，平面A3。的法向量为叫=(0,0,1),

设二面角C-BQ-A的平面角为6：由图可知,6为锐角，则cos8=.

5.(2018安徽安庆二模)如图,四边形ABCD是矩形，沿对角线ACWAACD折起,使得点D在平

面ABC上的射影恰好落在边AB上.

D

A

(1)求证:平面平面BCD;

(2)当=2时，求二面角D-AC-B的余弦值.

(1)怔明设点。在平面ABC上的射影为点E,连接。瓦则OE_L平面ABC,所以OE_LBC.

因为四边形ABCD是矩形，所以AB_LBC.

因为ABnDE=E，所以BC_L平面ABD,^^BC±AD.5^AD±CD,CDnBC=C,

所以A。_L平面BCD,而ADc平面AC。，

所以平面AC。_L平面BCD.

(2)廨以点B为原点，线段BC所在的直线为无轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐

标系，如图所示.

设L4£)l=a，则\AB\=2a,

所以A(0,-2a,0),C(-a,0,0).

由(1)知又=2,

所以/。84=30°，/2X48=60°,

那么IAEI=IA£)lcosNZMB=a,由EI=IABI-IAEI=a,l£>EI=IA@sinNZMB=a,

所以Z)(0,-a,a),

所以=(0,a,a),=(-4,2a,0).

设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z),

则

取y=l,则x=2,z=-,所以m=(1,2,-).

因为平面ABC的一个法向量为n=(O,O,l),

所以cosvm,n>==-.故所求二面角D-AC-B的余弦值为.

_