2023-2024学年高二数学下学期讲练结合（人教A版2019）导数的运算（解析版）

5.2导数的运算

理学习目标

1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数

3.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数.

日考点预览

考点oi基本初等函数的导数及运算法则

考点02复合函数的导数

导考点03解析式中含/（X。）

数

的考点04在点的切线万程

运

算考点05“过”点的切线方程

考点06已知切线（斜率）求参数

\考点07利用相切关系求最短距离

。翅识精理

一、导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)ra)=of(x)=e*r(x)=ex

f(x)=x"(aeQ)尸(x)=ar"-/(x)=lnx

X

z

/(x)=ax(a>0,awI)f\x)=axIna/(x)=sinx/(x)=cosx

f\x)=-sinx

f(x)=log”x(a>0，aN1)f(x)=./(x)=cosx

x\na

2.导数的运算法则

若/'(X)，g'(x)存在,则有:

加减运算u(x)±g(x)]=/'(x)士g'(x)

乘法运算"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

除法运算g(x)NO,则必为=/'(x)g(x)「/(x)g'(x).

g(x)g-(x)

3.复合函数的导数

复合函数y=〃g(x)］的导数和函数y=/(〃)，〃=g(x)的导数间关系为”=yu-ux：

二、求切线方程

1.求曲线“在”P点处的切线方程：

第一步：计算切点的纵坐标了(4);第二步：计算切线斜率左=/(为；

第三步：计算切线方程.切线过切点p(x()，/(xo))，切线斜率％=r(x。)；

第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x0)=f'(xn\x-xa).

2.求曲线“过”p点处的切线方程

第一步：设切点为。(%),/(7)))；第二步：求出函数y=/(x)在点/处的导数r(x°)；

第三步：利用Q在曲线上和/'(/)=即。，解出/及/'(%)；

第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(x0^f\x0)(x-x0).

史考点剖析

考点01基本初等函数的导数及运算法则

1.下列导数公式不正确的是()

A.(x")'=ar"TB.©)'=6"C.(cosx)'=sinxD.(sinx)'=cosx

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断即可.

【详解】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD正确；C错误，应为(cosx)'=-sinx.

故选：C.

2.(多选)下列求导运算正确的是()

A.(e'«)'=|e*&B.(2,-log?x)'=⑵-x)ln2

-/、，•cJnx、，1-lnx

C.(cosx)=-sinxD.(——)=——；—

xx

【答案】CD

【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得.

【详解】对于A,(e'4)'=1(4+5)，A错误；

J

对于B,(2'-log2xy=2ln2一一二,B错误；

xln2

由求导公式得C正确，由商的导数运算法则得D正确.

故选：CD

3.已知函数"x)=2*,若/K)=ln4,贝.

【答案】I

【分析】对函数求导，求出了'(%),解方程即可得出答案.

【详解】因为f(x)=2"所以r(x)=21n2,

又(为)=ln4,所以2&ln2=ln4=21n2，解得%=1.

故答案为：1.

4.已知〃x)=cosx,则/'O.

【答案】£

2

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】因为〃x)=cosx,所以r(x)=-sinx,则/—sin]=—日.

故答案为：-立

2

5.求下列函数的导函数.

(l)y=10l；

⑵y=i°gj；

&y-y[^；

2

/八•XX

(4)y=Isin—+cosI-1

【答案】(l)lO'lnlO

(2)---——

xln2

3

⑶通

(4)cosx

【分析】根据求导公式及导数的运算法则进行求导即可.

【详解】(1)y=(10A)=10vlnl0.

/\

1_]

⑵log,X

\2JI,1xln2,

xln

2

3

(3)因为>=后=/

(3\343

所以y'=/=-x=—产.

4M

I/

2

(4)因为y=卜抽5+©0$5-1=sm~+2sin—cos—+cos-——1=smx，

2222

所以y'=(sinx)=cosx.

6.函数〃x)=^，如果尸(x)为奇函数，则。的取值范围为

【答案】R

【分析】求出《(力，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.

【详解】由sinxwO可得xHE(keZ),即函数/(x)的定义域为卜卜二也/^2},

、6/sinx-axcosx

则f(x)=si3

又因为函数广(x)为奇函数，对任意的xw{x\x^kn.,kGZ},

asin(r)二a(r)cos(「x)_asinx-cvccosx

=-/'(x),

sin2(-x)sin2x

对任意的实数〃都满足条件，故实数。的取值范围是R.

故答案为：R

7.已知函数/(1)=%1曲+以2+2,若/'(e)=0,则a=.

【答案】-』/_/

e

【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出”.

【详解】函数〃耳=才1比+依2+2,求导得r(x)=l+lnx+2ax,

于是/'(e)=2qe+2=0,所以。=」.

e

故答案为：

e

考点02复合函数的导数

8.设函数小)=3(3父-2(0>0)的导函数尸(x)的最大值为2,则/(x)在「-[,外上的最小值为

\07.62.

()

A.叵2B.二

22

C.一正-2

D.-3

2

【答案】D

【分析】求IH函数的导数，依题意可得。=2,利用余弦函数性质可求出f(x)的最小值.

【详解】：/'(x)=-<osin"+力的最大值为2,二3=2.

cc「兀兀1_兀「兀7兀

八，(6)L62j6L66J

.•.cos(2x+F)e[T,l].HP/(x)e[-3,-l],〃x)的最小值为—3.

故选：D.

9.(多选)下列函数的导数计算正确的是()

A.若函数〃X)=COS(T),则r(x)=sinx

B.若函数/(x)=Q(a>0且awl),贝4'(司=一。一一"

C.若函数〃x)=lg尤，则r(»=岑(e是自然对数的底数)

D.若函数〃x)=tanx,则广㈤=忌^

【答案】BCD

【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.

【详解】对于A,/(x)=cos(-x)=cosx,所以r(x)=-sinx,A错误,

对于B,尸(x)=a~xInax(-x)=-axIna,故B正确,

对于c,r(x)=—5—=IneIse一一―

\lnl0=,10正确'

V7xlnlO

v(sinxAcosx-smx(-smx)1_「由

对十D,/(x)=(tanx)=------=-------------------------L=-z—,Di上确,

Icosxycosxcosx

故选：BCD

10.(多选)下列导数运算正确的是()

A.=B.(e2v)r=e2v

C.(sinx)=sm2xD.----------r=-----------

'7|_(2x+1)J(2x+D

【答案】AC

【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可.

【详解】选项A,(4*3)，=/故A正确；

选项B,(e2j)f=e2x(2x)I=2e2\故B错误；

选项C,(sin2x)'=2sinx(sinx)'=2sinxcosx=sin2x,故CiE确:

2x(2.r+l)3-6(2x+l)2x2-2x2+2x

选项D,故D错误.

(2X+1)3(2X+1)6-(2x+l)4

故选：AC.

ii.已知/(力=/，，则尸(耳=.

【答案】esinx.cosx

【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.

(详解】由尸(x)=(esin(J=esinx•(sinx)'=网"•cosx，

故答案为：esint.cosx

12.盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规

律可以用逻辑斯谛模型N(r)=^，刻画，其中r是该种群的内禀增长率，若「=。08,贝卜=0时，N。)的

瞬时变化率为.

【答案】0.04/^

【分析】求f=0时N⑺的瞬时变化率，即求在t=0处导数值，求导，代入r=0计算即可.

0.16整回

【详解】当r=0.08时，N（t）=1刍前，则N'（f）=

1+e,]+e《08，y，

",,小0.16e0

则f=0时，N⑺的瞬时变化率为N（0）=西可5=0.04

故答案为:0.04.

13.求下列函数的导数.

(l)y=(2x-l)4；

(2)y=cos(2x-：)；

⑶y=ln(4x-l)；

(冗).(71

(4)y=xcosl2x+—Isinl2x+—

(5)y=x\Ji+x2；

(6)j=sin3x+sinx3.

【答案】⑴y'=8（2%-l）3

(2)y，=-2sin(2x—5

4x-l

(4)y'=-sin4x-2xcos4x

l+2x2

⑸尸后

（6）y'=3sin%cosx+cosx3-3x2

【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可;

（2）利用复合函数求导运算求解即可；

（3）利用复合函数求导运算求解即可；

（4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导;

（5）利用复合函数求导运算求解即可；

（6）利用复合函数求导运算求解即可.

【详解】（1）由y=（2x—l）,

则y=4(2X-1)3x(2-o)=8(2x-l)1

(2)由y=cos(2x-：J,

贝ijy'=_sin(2x-；)x(2-0)=_2sin(2x-：

(3)由y=ln(4x-l),

i4

则~-x(4-o)=-

4x-l4x-l

(4)由y=xcos2%+色sin2工+四

=x(-sin2x)cos2x=-—xsin4x，

2

则yr=-g(sin4x4-xcos4xx4)=一；sin4x-2xcos4x.

(5)由y=x\J\+x2»

则y'=Jl+x?—•/1(2%4-0)=I：2".

(6)liH^=sin3x+sinx3,

则/=3sin2xcosx+cosx3-3x2.

考点03解析式中含r（%。）

14.已知函数/（x）=r（.cos2x+sinx,则/（尢）在x处的导数为（）

A.也B.也C.克D.一也

6422

【答案】A

【分析】对〃x）求导，将代入求r（力即可.

［详解］由已知可得/⑺=-2/'（?sin2x+cosx,

所以/图=-2//sin（2x£|+cos：,所以邛

故选：A.

15.若函数I(x)=sin«+2靖(0),则7(0)=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】利用导数的运算法则求得尸(x)，从而求得尸(0).

【详解】因为〃x)=sinr+2H(0),所以r(x)=co&x+2/'(0),

则r(0)=cosO+2/'(0)=1+2/'(0),所以/'⑼=—1,

故选：B.

16.已知/(x)=/'(2024)lnx—gf+x,则广(2024)=()

A.0B.-2023C.-2024D.2023

【答案】C

【分析】求导代入x=2024直接计算即可.

【详解】求导得：/(X)="2024)…

X

所以f(2024)=/(2024)_2024+1，

2024

2023

即就/(2024)=-2023,解得：/(2024)=-2024.

故选：C

17.已知函数/(x)=-x2+3_^«)+61n(2x+l),则/⑴=.

【答案】61n3-4

【分析】首先求函数的导数，并求尸(1),再根据函数/(X)的解析式，即可求解.

10

【详解】尸(力=一2》+37(1)+已，

则/'(1)=-2+3/'(1)+4,得/⑴=—1,

所以/(司=一/一3x+61n(2x+l),

故/(l)=61n3—4.

故答案为：61n3-4

18.设函数〃x）的导数为f（x）,且〃力=/，｝osx+sinx,则//=.

【答案】1

【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，可得（（x）=/'（R（-sinx）+cosx,

所以鹰卜砥卜sin#哼即唱=-“符¥，

故答案为：1.

考点04“在”点的切线方程

3

19.已知函数/*）是偶函数，当xvO口寸，fW=x-x+lf则曲线y=f（幻在x=l处的切线方程为（）

A.2x+y-l=0B.2x-y-3=0

C.2x+y-3=0D.2x-y-\=0

【答案】C

【分析】首先由奇偶性求得x>0时八乃的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可.

【详解】因为xvO,f(x)=x3-x+1,/(-1)=1,

又由/(x)是偶函数，.."⑴=1,

令一x<0,则/(-x)=-x3+x+l,

根据/(可是偶函数，/(-x)=/(x),

得至ijx>0时，/(x)=-x3+x+1,

所以，x>0时，ff(x)=-3x2+\,尸⑴=一2,

故曲线y=/(x)在冗=1处的切线方程为y-1=-2(x-1),

即2x+y-3=O.

故选：C.

20.函数〃司=廿+%在点（0,1）处的切线方程为（）

A.y=2x+lB.y=x+l

C.y=ex+lD.y=(e+l)x+l

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义即可求解.

【详解】由/(x)=e'+x,得r(x)=e'+l,

在点(0,1)处的切线斜率为/'(O)=e°+l=2,

所以切线方程为y-l=2(x-0),即y=2x+l.

故选：A.

21.已知『(cosa+sina)+2f(cosa-sina)=3-sin2a+sina-3cosa,则曲线g(%)=(x+1)•f(%)在(0,g(0))

处的切线方程为()

A.x-y=0B.x-y-\=0C.x+y=0D.x+y-\=0

【答案】C

【分析】将二换成-与原式联立得到了(cosa-sina)=(cosa-sina)2-(cosa-sina),利用换元法求出

函数“X)的解析式，进而写出g(x)的解析式，从而求得切线方程.

【详解】因为/(cosc+sina)+27(cosa—sina)=3—sin2a+sina-3cosa(5),

将a换成-a,得/(cosa-sina)+2/(costz+sincr)=34-sin2cr-sincr-3cosa@,

①x2-②徂

得

f(cosa-sina)=1-sin2a+sina-cosa=(cosa-sina)2-(cosa-sina),

^>/=coscr-sina=\/2cos(a+?),re[-V2,V2],

则/(O=r2-r(re卜夜，夜]),故/(x)=x2-x(xe

故g(x)=(x+l)/(x)=(x+l)(x2-x)=Mx+l)(x-l)=X(X2-1)=X3-X,

则g，(x)=3f-l,

所以g'(0)=-l,g(0)=0,

故切点为(0,0),切线斜率为-1,故切线方程为x+y=0.

故选：C.

22.曲线/(x)=x3-lnx在点(1,/⑴)处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.

【答案】，/0.25

4

【分析】先求出切线方程，后求围成的二角形面积即可.

【详解】易知/(X)的定义域为xe(O,y),而/⑴=易故切点为(U),

设切线斜率为％,且一L故人=f1l)=3-l=2,

X

切线方程为y-i=2(x-D,化简得y=2x-l,

当y=0时，X--,当x=0时，y=-1,

2

易知围成的图形是三角形，设面积为S,故S=gxgxH|=；.

故答案为：7

4

^X-\

23.曲线>=—在点(1,%)处的切线方程为.

X

【答案】ex—y=0

【分析】通过求导得出在点(1,%)的切线斜率，即可求出在点(1,%)处的切线方程.

【详解】由题意,

当x=l时，y=2xlxe?"e-'=e,y=e

I2

在点(1,%)处的切线方程为：y-e=e(x-l),

即：ex-y=O,

故答案为：ex-y=O.

24.已知函数=卜+山，则在点处切线方程为.

【答案】3x+y+2=0

【分析】对f(x)求导可得尸(x)计算出/'(；)得f(x)，再根据题意利用导数的几何意义求解即可.

【详解】对“X)求导可得(("=2'+2呜)+：,则尸(£)=1+2噌)+2,

解得,'(；)=一3,

.•./(x)=x2-6x+lnr,/./(l)=-5,

r(无)=2x-6+g,r⑴=一3,

,切线方程为y+5=—3（x—1）,整理得3x+y+2=0.

故答案为：3x+y+2=0.

考点05“过”点的切线方程

25.己知函数〃耳=!-1,则曲线y=/(x)在点(-处的切线方程为()

A.er+y+l=0B.er-y+1=0

C.ex+y-1=0D.ex-y-l=0

【答案】A

【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.

【详解】由〃力=5一1,得广(力=一二，

所以r(-l)=-e,又=

故曲线y=/(x)在点(TJ(T))处的切线的方程为y-(e—l)=-e(x+l),即er+y+l=0.

故选：A.

26.函数/。)=/+("1)/-》+匕为R上的奇函数，过点尸作曲线V=/(x)的切线，可作切线条数

为()

A.1B.2C.3D.不确定

【答案】A

【分析】根据奇函数确定/(x)=x'-x,求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算%=-1,计算

切线得到答案.

【详解】f(--^)=+(^—l)x2+x+b=-f(x)=-x3—(ci—l)x2+x—b,故a=l,b=0f

f(x)=x3-x,f\x)=3x2-1,

设切点为〃伉，入)，则八天＞)=3x；T=+f,且/(/)=£-%=%,

X°2

整理得至匹飞+1乂4/-%+1)=0,解得与=-1,/(-1)=2,

故切线方程为V=2x+2,

故选：A

27.(多选)过点A(l,2)与函数/(力=丁+》相切的直线为()

A.2x+y-4=0B.3x-y-\=0

C.4x-y-2=0D.7x-4y+l=0

【答案】CD

【分析】当A为切点时•，根据/(I)的值和A(l,2)直接求解出切线方程；当A不是切点时，设出切点+。，

然后根据斜率的表示求解出B的坐标，则切线方程可求.

【详解】因为〃x)=d+x,所以/'(xNSd+l；

若A点是切点，则/。)=4,

则切线方程为y-2=4(x—l),即4x—y—2=0,故C正确；

若人点不是切点，设切点5”『+。，则8处切线斜率为/'⑺=3/+1,

又因为直线AB的斜率为kAB=，

则3/+1=r+t~2,3?-3r2+r-l=?+t-2,

t-\

化简可得(2r+l)(r-1)2=0,所以f=或t=l(舍去，此时A,8重合)，

所以点8为‘提-|｝故切线斜率为尸卜[=],

7

则切线方程为尸2=^(犬-1)，即7x-4y+l=0,故D正确.

故选：CD.

28.若曲线y=(x-a)e”有两条过点(1,0)的切线，则”的取值范围是.

【答案】(v,l)U(5,"o)

【分析】先利用导数求曲线y=(x-a)e"过坐标(1,0)的切线方程，再列出关于。的不等式，进而求得。的取

值范围.

【详解】由y=(x-a)e*得y'=(x-a+l)e*,设切点坐标为&,(%-。)人),

则切线斜率％=(&-a+l)eM,

切线方程为y-(xo-a)e%=(%-4+1)6阳(x-x。)，

又因为切线过(1,0),所以O-(与-a)e%=(%-a+l)e&(l-x。)，整理得片一(。+1)与+2。-1=0,

又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，

所以△=(a+l)2-4(2a-l)>0,解得a<1或a>5,

所以。的取值范围是(F』)U(5,yo),

故答案为：（TO/）（5,物）.

1Inxx之2

29.过原点与曲线f（x）=2；一；相切的一条切线的方程为.

【答案】y=2x或y=-2x或y='x（写出其中一条即可）

e

【分析】根据曲线y=x2+l,x<2表示抛物线的一部分，设其切线方程为》="，利用判别式法求解；设

〃x）=lnx,xN2的切线的切点为卢（玉,几），利用导数法求解.

【详解】解：设曲线y=/+l,x<2表示抛物线的一部分，

设其切线方程为丫=丘，代入y=d+l,

得V—依+1=0.由4=公一4=0，得左=±2.

当&=2时，x=\,符合题意，

当氏=-2时，户-1,均符合题意，

所以切线方程y=12x.

设/（x）=lnx,x22的切线的切点为尸伍,几）.

由:（x）=L得m）=,，y0=lnx0,A0>2,

1

得切线方程为y=一匕

工0

将？（X。,几）的坐标代入切线方程，得%=1,

所以x°=e,所以切线方程为、=,北

e

故答案为：>=2x或y=-2x或y=』x（写出其中一条即可）

e

30.已知曲线y=丁-2x?+2x+l.

（1）求曲线在点P（O」）处的切线方程；

（2）求曲线过点户（0，1）的切线方程.

【答案】⑴2x-y+l=0

⑵2x-y+l=0和x-y+l=0

【分析】（1）先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点

斜式即可得到切线方程；

（2）设过点尸的切线与曲线相切于点Q,然后根据曲线在点。处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可

求出结果.

【详解】（1）由题意得y'=3xJ4x+2,则在点P（O,1）处的切线的斜率％=切1,=2,

所以曲线在点P（O,1）处的切线方程为y=2x+l,即2x-y+l=0.

（2）设曲线y=V—2/+2x+1与过点尸（0,1）的切线相切于点。5,%）,

设切线的斜率为3则由点斜式得直线方程为y-l=A（x-0）,又因为切点为Q（%,%）,

”=（「3%2-4玉,+2

则，％-I=-0），解得A=1或％=2,

%=年一2片+2%+1

则曲线过点尸（0,1）处的切线方程为2x-y+l=0和x-y+l=0.

考点06已知切线（斜率）求参数

31.已知函数〃x）在点x=2处的切线方程为2x+y-l=0,则（（2）+〃2）=（）

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】A

【分析】根据导数的儿何意义求解即可.

【详解】因为函数f（x）在点x=2处的切线方程为2x+y-l=0,

所以/'（2）=-2,且2x2+/（2）-l=0,所以42）=—3,

所以/（2）+"2）=-5.

故选：A.

32.已知直线y=ox-l与曲线>=也相切，则。的值为（）

x

1-ln2

A.1B.-cD.2e2

e4

【答案】A

【分析】设切点为（为,%）,再根据切点在直线与切线上,导数的几何意义列式求解即可.

%="一［1Tn%

%=---------1

为=，故，%°，即

【详解】>的导函数"卡,设切点为5,％）,则3

%=岫

a=Inx°X。

2

lnx1-In.

-----n-=-----;-------1,则21nx0+/-1=。.

玉)演)

易得函数八%)=21nx+x—l为增函数，且"1)=0,故/=1.

故选：A

33.若直线>=、+〃是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数6的值为()

4

A.4B.In4+1

C.In4-1D.In4

【答案】c

【分析】先求得曲线的导函数，由导函数几何意义及直线方程可求得切点坐标，再代入宜线方程即可求得b

的值.

【详解】；y=lnx的导数y'=3.•.☆：=；，得X=4,.•.切点为(4,ln4).

代入直线y=£+b,得In4=1x4+6,即Z>=ln4-1.

44

故选：C

34.已知若曲线y=tflna与直线丫=m相切，则。=.

【答案】-

e

【分析】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。

【详解】设/(x)=“'lna,与直线》=改相切的切点为&,/仇))，

则((x)="(lna)2,

故y=〃x)在点■"(%))处的切线方程可写为y=d(lna)2.(x-x0)+dIna,

v

即y=a”(ini?)'x-xoa°(Ina)'+a*Ina,

若切线为^^“，则-七。",(Ina)?+a*Ina=0且e=a*(Ina)?,得/=，一，

所以就(Ina)&，设就=机则g就=In/n，+卜4=皿"=1所以…e，

所以e(lnay=e,(Ina)。=i所以又因为(j<a<[,所以]na=-1解得a=1.

1

故答案为:

e

35.函数〃x）=（2x-a）e*的图象在点（OJ（O））处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则实数。=.

【答案】0

【分析】根据导数得几何意义，先求导尸（x）=（2x+2-a）e、，所以在点（OJ（O））处的切线斜率为r（0）=2-a,

再根据直线的垂直关系，即可得解.

【详解】由题可得，r（x）=（2x+2-a）e',

所以在点（0,./（0））处的切线斜率为r（0）=2-a,

又切线与直线x+2y+l=0垂直，

所以2—a=2,解得a=0.

故答案为：0

36.已知抛物线y=2x?+l,求：

（1）抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°?

（2）抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0?

（3）抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0?

【答案】⑴盟

⑵。，3）

⑶（2,9）

【分析】（1）运用导数的几何意义，结合直线斜率与直线倾斜角之间的关系进行求解即可；

（2）运用导数的几何意义，结合互相平行直线的性质进行求解即可；

（3）运用导数的几何意义，结合互相垂直直线的性质进行求解即可；

【详解】（1）由y=2x?+l=>y，=4x,设切点为

因为切线的倾斜角为45。，

所以切线的斜率为1,因此有4玉=1=占=；=x+1=\=>：

（2）由y=2/+iny=4x,设切点为现0力），

因为切线切线平行于直线4x-y-2=0,

所以切线的斜率为4,因此有4%=4n七=ln%=2xF+l=3nB（l,3）；

(3)由y=2x2+lny'=4x,设切点为＜?(毛,％)，

因为切线线垂直于直线x+8y-3=0,

所以切线的斜率为8,因此有4X1=8=>x,=2n%=2x22+l=9nC（2,9）

考点07利用相切关系求最短距离

37.若点P是曲线y=/-lnx上任一点，则点P到直线x-y-6=0的最小距离是（）

A.y[2B.2近C.3亚D.2石

【答案】C

【分析】利用导数求出与直线x-y-6=0平行的直线与曲线y=/_lnx的切点，再由点到直线的距离公式求

解.

【详解】解：设与直线*7-6=0平行的直线与曲线片/一皿彳切于P（x°,九）,

由y=x2-lnx定义域为（0,+8）,得y=2x-‘，则y'lf=2x0-：,

X玉）

由解得%=1（舍去负值）.

工0

|1-1-6|

则点P至I」直线x-y-6=0的最小距离是372.

丘

故选：C.

38.已知函数为偶函数,当xvO时,/（x）=ln（-x）+3x,则曲线y=f（x）上的点到直线y=-2x+l的

最小距离为（）

A.1B.柜C.—D.

555

【答案】B

【分析】首先求x>0的解析式，根据条件求/''（》）=-2的点，再求点到直线的距离的最小值.

【详解】当"0时,设点产1,%）,广（%）」+3=-2,

x\

解得：X,=-1,y=_ln5—|,

23

此时点尸到直线y=-2x+l的距离552+ln5,

4=忑

设x>0,-x<0,因为函数是偶函数，所以〃x）=〃—x）=lnx—3x,

设点Q（孙必），f\x2）=-3=-2,解得：%,=1,%=-3,

I2-3-1L2

此时点Q至悄线y=-2x+\的距离d2=

因为&<4,所以曲线y=f(x)上的点到直线y=-2x+l的最小距离为出=孚.

故选：B

39.若点P是曲线y=-V上任意一点，则点尸到直线丁=尤+2的最小距离是.

【答案】迪

8

【分析】作直线y=x+2的平行线，使得与曲线y=-V相切，设切点为P(%,%),根据导数的几何意义求

得切点为结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】作直线y=x+2的平行线，使得与曲线y=-V相切，设切点为尸(%,%),

因为函数y=-x?,可得y'=-2x,

所以曲线在点尸(%),%)处的导数为川『,=-2々，即切线的斜率为k=-2%

令-2x0=l,解得/=-1，则％=-1即切点为尸

|-1+1+2厂

又由点到直线的距离公式，可得切线上到直线的距离为？47J2,

”-不诉下

即尸到直线y=》+2的最小距离为述.

8

故答案为：述.

8

40.若点尸是曲线y=f-hu•上任意一点，点。是直线x-y-3=0上任意一点，则|PQ|的最小距离为.

【答案】也》叵

22

【分析】利用导数的几何意义处理即可.

【详解】y=x?-lnx(x>0),；.y'=2x-1

令y'=l,则x=l,即曲线y=—-lnx在(1,1)处的切线方程为：y-l=l?(x1),

即丫=工，

如下图所示，当P(1,1)时尸。的最小值为点P到直线x-y-3=o的距离(。为垂足).

41.若点尸是曲线y=x2—lnx-1上任意一点，则点尸到直线），=x-3的最小距离为.

【答案】>/2

【分析】由已知，先在曲线上设出点。（毛,为）,然后写出以。（玉）,%）点为切点的曲线的切线方程，根据题意，

找到距离直线y=x-3最近的点，即攵=2%-工=1,从而求解出切点以及切线方程，最后计算两条平行线之

间的距离即可.

【详解】由已知，设点。（玉），九）曲线y=l2_1nx7上一点，则有%=/2_［叫,

因为y=/一所以y'=2x-」，所以了1气=2/一-

x/

所以曲线y=f-lar-l在。（%,yQ）处的切线斜率为&=2%,

无0

则曲线y=f-Inx-1在0（%,%）处的切线方程为>一（%2-1啄-1）=（2%-，）（x-%）,即y=（2%-，）x-年-In%.

%"o

要求得曲线y=*2-Inx-1上任意一点，至I］直线y=x-3的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即

k=2Xo--=l,解得%=1或%=-4（舍去），

此时，以点。（1,0）为切点，曲线的切线方程为：y=x-i,

此时，切点。0,0）为曲线上距离直线y=x-3最近的点，即点尸与点。重合,

最小距离为直线y=X-3与直线y=x-1之间的距离，设最小距离为d,

1-1-(-3)1

所以"

故答案为：血.

42.设点尸是曲线y=上的任意一点则尸到直线了=-X的最小距离是

【答案】V2

【分析】对函数y=«-jinx求导，由题意得在P点的切线与直线＞=-、平行，从而求出尸点坐标，根

据点到直线的距离进行求解即可

(详解】由题意得在尸点的切线与直线)'=一%平行

设曲线y=上与直线产一%平行的切线的切点卜°，衣一jinx。)，

人,13

由y=-%的斜率为-1,y=―7=——

2%

,113

则由二诉一五='解得％=】，故切点为(U)

切点(U)至1Jx+y=o的距离d=点.

故答案为：V2

,精准炼习

基础过关练

1.下列式子错误的是()

A.(sinx)z=cosxB.(cosx)'=s\nx

C.(21nxy=-D.(e-'j=_eT

X

【答案】B

【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案.

【详解】对于A：(sinx)'=cosx,故正确；

对于B：(cosx)'=-situ,故错误；

2

对于C：(21nx)'=-,故正确；

X

对于D：(e-T)r=-e-S故正确，

故选：B.

2.已知函数/(x)=lnx-_f(l)x2+3x-4,则/〈3)=()

【答案】A

【分析】在等式〃力=11^-1/'(1b2+3尤-4两边求导，令x=l,可求得广⑴的值，可得出尸(力的表达式,

代值计算可得出r⑶的值.

［详解］因为/(x)=lnx__f(l)x2+3x_4,则/'(x)=——2r(l)x+3,

418

所以，r⑴=4-2,⑴,解得广⑴三，所以，r(x)=;_|x+3,

114

因此，r(3)=--8+3=-y.

故选：A.

3.曲线/(x)=e*+公在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行，则。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】确定曲线/(x)=e*+ar在点(0,1)处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可

求得答案.

【详解】因为曲线/(x)=e'+or在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行，

故曲线/(x)=e'+④在点(0,1)处的切线的斜率为2,

因为f'(x)=e*+a,所以/