专题15 圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系综合过关检测（解析版）

专题15圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系综合过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）1．如图，扇形AOB的圆心角为142°，点C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是(

)A．38° B．120° C．109° D．119°【答案】C【详解】如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=142°，∴∠ADB=∠AOB=×142°=71°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°﹣71°=109°．故选C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．2．如图点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（）A．65° B．50° C．80° D．100°【答案】C【分析】根据三角形的外接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可．【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°．故选C．【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度数数解此题的关键．3．如图，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4，连接OB、OD、BC，先求得∠ABC=90°，进而根据射影定理求得FC=2，从而求得直径的长，根据余弦函数求得∠BAF=30°，进而得出∠BOD=120°，最后根据S阴影=S扇形-S△BOD即可求得阴影的面积．【详解】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，∴BF=DF，，∴∠BAC=∠DAC，在RT△ABF中，∴BD=2BF=4，连接OB、OD、BC，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴BF2=AF•FC，即（2）2=6FC，∴FC=2，∴直径AC=AF+FC=6+2=8，∴⊙O的半径为4，∵AB=4，AF=6，∴，∴∠BAF=30°，∴∠BAD=60°，∴∠BOD=120°，∵OC=4，FC=2，∴OF=2，∴故选择：D.【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积、及直角三角函数和勾股定理等知识，难度适中．4．如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】已知OE是⊙O的半径，D是弦AB的中点，可根据垂径定理的推论来判断所给出的结论是否正确．【详解】解：∵OE是⊙O的半径，且D是AB的中点，∴OE⊥AB，弧AE=弧BE=弧AEB；（故①⑤正确）∴AE=BE；（故②正确）由于没有足够条件能够证明③④一定成立，所以一定正确的结论是①②⑤；故选B．【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的推论；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧．5．如图，在中，，，动点从点出发，沿运动，点在运动过程中速度始终为，以点为圆心，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，当与有个交点时，此时的值不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据⊙C与△ABC有3个交点，可知⊙C与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是r=3，另一个是r=2.4（此时圆与斜边AB相切），依此作答即可．【详解】以C为圆心，作半径为r的圆，则与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是r=3，另一个是r=2.4（此时圆与斜边AB相切），其余情况都不能满足与Rt△ABC只有三个交点，所以以2.4和3为半径做圆，与Rt△ABC相交的点有6个，t分别为2.4，3，4.8，6.6，9，9.6．故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由⊙C与△ABC有3个交点得出可能的情况数，有一定的难度．6．如果等边三角形的边长为，那么它的外接圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】三角形的外接圆的圆心是三条角平分线的交点，根据等边三角形三线合一的性质，外接圆的半径为高的，等边三角形的边长为6，则高为3，所以它的外接圆的半径为2．【详解】∵等边三角形的边长为6，∴高为3．∵外接圆的半径为高的，∴它的外接圆的半径为2．故选A．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆的性质．掌握等边三角形三线合一的性质是解题的关键．7．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点，若，，则下列结论：①；②的周长为；③．正确的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【分析】根据切线长定理，可判断①正确；将的周长转化为，可判断②错误；连接、、，求出，再由，可判断③正确.【详解】、是的切线，，故①正确；、、是的切线，，，的周长，故②错误.连接、、，，，故③正确.综上可得①③正确，共2个.故选：.【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.8．如图，AB是⊙O的直径，弦DC交AB于E，过C作⊙O的切线交DB的延长线于M，若AB=4，∠ADC=45°，∠M=75°，则CD的长为（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】连接OC，过O作OF⊥CD，构造垂径定理，利用已知的45°角，可以得到∠OCF度数，再利用垂径定理所构造的直角三角形，可得到CD长.【详解】解：连接OC，过O作OF⊥CD，利用垂径定理得到F为CD的中点，∵CM为圆O的切线，∴∠OCM=90°，∵∠ADC与∠AOC都对弧AC，∴∠AOC=2∠ADC=90°，∴∠CDM=∠BOC=45°，∵∠M=75°，∴∠DCM=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OCF中，OC=2，∴CF=OC•cos∠OCF=，则CD=2CF=2．故选D．【点睛】垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧.推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧.推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.构造垂径定理后，往往有直角三角形，再利用直角三角形的相关知识解决问题.9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为

（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得,由此即可得结论.【详解】∵∠EDC=135°，∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC=180°-135°=45°；∵∠ACB=90°，∴∠A=45°，∴∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD，∠AED=90°；∵EF为⊙O的直径，∴∠FCE=90°，∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，∴EF=4；连接BD，∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD=4；在Rt△BDE中，,∴AE2+BE2=16.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.10．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为弧AN上一点，且弧AC=弧AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③弧AM=弧BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据AB⊥MN,垂径定理得出①③正确,利用MN是直径得出②正确,,得出④正确,结合②④得出⑤正确即可.【详解】∵MN是⊙O的直径,AB⊥MN,∴AD=BD,,∠MAN=90〬.(①②③正确)∵,∴,∴∠ACM+∠ANM=∠MOB(④正确)∵∠MAE=∠AME,∴AE=ME,∠EAF=∠AFM,∴AE=EF,∴.(⑤正确).正确的结论共5个.所以D选项是正确的.故选D【点睛】此题考查圆周角定理,垂径定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识.A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）11．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB=8，CD=6，那么OE=______________【答案】【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，在△OEC中，根据勾股定理求出OE即可．【详解】解：连接OC．如图所示：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=3，OC=OB=AB=4，在△OCE中，由勾股定理得：故答案为.【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理；关键是构造直角三角形，求出CE的长，用的数学思想是方程思想，把OE当作一个未知数，题目较好．12．如图，AB切⊙O于点B，BC∥OA，交⊙O于点C，若∠OAB=30°，BC=6，则劣弧BC的长为____________．【答案】2π【分析】连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．【详解】解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，BO=CO=BC=6，则劣弧BC长=.故答案为2π.【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．13．如图，已知是的半径，过的中点作的垂线交于点，，以下结论：①；②；③；④；⑤，正确的是____________．（填序号）．【答案】①②③④⑤【分析】由OC是⊙O的半径，过OC的中点D作DC的垂线交⊙O于点A，B，根据垂径定理可得AD=BD，；又由圆心角与弧的关系，可得∠AOC=∠BOC，由垂直平分线的性质，可得AC=BC，然后由含30°角的直角三角形的性质，求得∠OAB=30°．【详解】∵OC⊥AB，∴AD=BD，，故①③正确；∴∠AOC=∠BOC，故④正确；∵过OC的中点D作DC的垂线交⊙O于点A，B，即OC是AB的垂直平平分线，∴AC=BC，故②正确；∵OD=OC=OA，∴∠OAB=30°，故⑤正确．故答案是：①②③④⑤．【点睛】考查了圆心角与弧的关系、垂径定理、线段垂直平分线的性质以及含30°直角三角形的性质．注意理解题意是关键．14．在Rt△ABC中，，，，如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点B在圆C外，那么圆C半径r的取值范围为____________【答案】【分析】根据点A在圆C内，则r>AC，点B在圆C外，则r<BC，即可得出答案.【详解】∵以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，∴r>AC，即r>5，∵以点C为圆心作圆，使点B在圆C外，∴r<BC，即r<8，∴.故答案为.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.熟记“设点到圆心的距离为d，则当d<r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外”是解题的关键．15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F,若AD、BE的长为方程的两个根，则△ABC的周长为____________．【答案】40；【详解】分析：求△ABC的周长，关键是求出两条直角边的长；由已知的方程可求出AF、BE的长，结合切线长定理和勾股定理，可求得CE、CF的长，进而可求出AC、BC的长；再由勾股定理求得AB，即可求△ABC的周长．详解：如图；解方程，得：x=12，x=5，∴AD=AF=5，BF=BE=12；AB=17,设CE=CD=x，则AC=5+x，BC=12+x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2,即172=(5+x)2+(12+x)2，解得：x=3(负值舍去)，∴AC=8，BC=15；因此△ABC的周长=AC+BC+AB=8+15+17=40,.故答案为40.点睛：此题考查了三角形的内切圆与内心,解一元二次方程-因式分解法等知识点，掌握三角形的内切圆的性质是解决问题的关键.注意勾股定理的应用.16．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，），则⊙C半径是____________【答案】4【详解】分析：连接AD，根据圆周角定理得出AD为直径，根据圆周角定理得出∠ADO=30°，然后根据直角三角形的性质求出AD的长度，从而得出半径．详解：连接AD，∵∠AOD=90°，

∴AD为直径，∵∠OBA=30°，∴∠ADO=30°，∵OD=，∴AD=8，∴⊙C半径是4．点睛：本题主要考查的是圆周角定理，属于基础题型．根据直角所对的弦为直径得出AD为直径是解决这个问题的关键．17．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为____________.【答案】6cm2【详解】【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．【详解】∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4-x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4-x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4-1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6(cm2)．故答案为6cm2【点睛】本题考核知识点:切线长定理，正方形，勾股定理.解题关键点：运用切线长定理求出AF=AB，EF=EC.18．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过点A（0，4），点B（3，0），点P为⊙M上一点，且在第一象限，则sin∠P的值为____________.【答案】【详解】【分析】连接AB，利用同弧所对圆周角相等，可得∠P=∠ABO，利用勾股定理可得AB，利用三角函数定义，可得sin∠P=sin∠ABO=.【详解】连接AB，因为∠P和∠ABO是弧AO所对的圆周角，所以，∠P=∠ABO，因为点A（0，4），点B（3，0），所以，OA=4,OB=3,所以，AB=5，所以，sin∠P=sin∠ABO=.故正确答案为：【点睛】本题考核知识点：圆周角，解直角三角形.解题关键：作辅助线，利用同弧所对圆周角相等，得∠P=∠ABO.再解直角三角形.19．如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为____________．【答案】4【详解】分析：连结EO并延长交CF于点H，由旋转和相切知四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理即可求出CH的长,从而求出CF的值.详解：连结EO并延长交CF于点H.∵矩形绕点旋转得到矩形，∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,∵A′B′切⊙O与点E,∴OE⊥A′B′,∴四边形EB′CH是矩形，∴EH=B′C=4,OH⊥CF,∵AB=5,∴OE=OC=AB=,∴OH=,在Rt△OCH中，根据勾股定理得CH===2,∴CF=2CH=4.故答案为4.点睛：此题主要考查切线的性质,垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.20．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，，若量出，则圆形螺母的外直径是____________．【答案】【详解】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：∵AD，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC．又∵∠CAB=60°，∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°．在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=8cm，∴tan∠OAD=tan60°=，即=，∴OD=8cm，则圆形螺母的直径为16cm．故答案为16cm．点睛：本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．三、解答题（共3题，共40分）21（12分）．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的延长线上有点D，AC=3CD，连接BD，E为BD的中点，CE是⊙O的切线．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）求∠ACE的度数．【答案】（1）详见解析；（2）120°【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得CE＝BE＝DE，所以∠1＝∠2，接着根据切线的性质得∠1＋∠3＝90°，于是∠2＋∠4＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）设CD＝x，则AC＝3x，先证明△ABC∽△ADB，利用相似比得到AB＝2x，然后在Rt△ACB中利用余弦定义求出∠A＝30°，则∠OCA＝∠A＝30°，从而得到∠ACE的度数．【详解】（1）连接OC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵E为BD的中点，∴CE=BE=DE，∴∠1=∠2，∵OB=OC，∴∠3=∠4，∵CE是⊙O的切线．∴OC⊥CE，∴∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°，即∠OBE=90°，∴BD⊥AB，∴BD与⊙O相切；（2）解：设CD=x，则AC=3x，∵∠CAB=∠BAD，∠ACB=∠ABD=90°，∴△ABC∽△ADB，∴，即，∴AB=2x，在Rt△ACB中，∵cosA==，∴∠A=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠ACE=30°+90°=120°．【点睛】本题考查了切线的判定